minggu ke-11 hukum bilangan besar lemah dan kuat

MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
MINGGU KE-11
HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN
KUAT
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Misalkan X1 , X2 , X3 ... barisan variabel random . Kita tulis
n
P
Xi . Dalam subbab ini kita akan menjawab pertanyaan
Sn =
i=1
ujud dan tidaknya barisan konstante An dan Bn > 0, Bn → ∞
untuk n → ∞ sedemikian hingga Bn−1 (Sn − An ) konvergen dalam
probabilitas ke 0 untuk n → ∞.
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Definisi
n
P
X0 .
Misalkan X1 , X2 ... barisan variabel random dan Sn =
i=1
Barisan X1 , X2 ... dikatakan memenuhi hukum bilangan besar lemah
terhadap barisan konstante B1 , B2 , ..., Bn > 0, Bn ↑ ∞, bila
terdapat barisan konstante real A1 , A2 ...An ... sedemikian hingga
P
Bn−1 (Sn − An ) −
→ 0 untuk n → ∞.
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Teorema
Misalkan X1 , X2 , X3 , ... barisan variabel random yang tidak saling
berkorelasi dengan E (Xi ) = µi dan Var (Xi ) = σi2 , i = 1, 2, .... Bila
n
n
n
P
P
P
σi2
σi2 → ∞ untuk n → ∞, dengan An =
µi dan Bn =
i=1
maka
i=1
n
P
(Xi − µi )
i=1
n
P
i=1
=
σi2
Sn − An P
−
→0
Bn
i=1
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Akibat
Bila X1 , X2 , X3 , ... saling independen dan berdistribusi identik
dengan E (Xi ) = µ dan var(Xi ) = σ 2 < ∞, maka kita bisa memilih
An = nµ dan Bn = nσ 2 .
Akibat
n
P
Dalam teorema di atas kita bisa memilih Bn = n asalkan
untuk n → ∞.
i=1
σi2
n2
→0
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Definisi
Barisan variabel random X1 , X2 , X3 ... dikatakan memenuhi hukum
bilangan besar kuat terhadap barisan konstante B1 , B2 , ... bila
terdapat barisan konstante A1 , A2 ... sedemikian hingga
a.s
Bn−1 (Sn − An ) −→ 0 untuk n → ∞
Di sini Bn > 0 dan Bn → ∞. Kita akan mencari syarat cukup agar
barisan {Xn } memenuhi hukum bilangan besar kuat. Selanjutnya,
kita hanya akan membahas kasus khusus untuk Bn = n.
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Kita akan mulai dengan lemma Borel-Contelli. Bila {An } barisan
∞
∞ S
T
Ak . Misalkan
kejadian dalam Ω, maka lim sup An =
n→∞
n=1 k=n
A = lim sup An , maka A adalah kejadian bahwa paling banyak tak
n→∞
berhingga atau infinitely often An terjadi. Kita kadang-kadang
menulis
P(A) = P lim sup An = P (An i.o.)
n→∞
dengan i.o. singkatan dari infinitely often. Dengan penulisan ini
a.s.
Xn −−→ 0 bhb P {|Xn | > ε i.o.} = 0 untuk setiap ε > 0.
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Teorema
a. Misalkan {An } barisan kejadian sedemikian hingga
∞
P
P (An ) < ∞, maka P(A) = 0.
n=1
b. Bila {An } barisan kejadian independen sedemikian hingga
∞
P
P (An ) = ∞, maka P(A) = 1.
n=1
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Akibat
Misalkan {An } barisan kejadian independen, maka P(A) sama
dengan 0 atau 1.
Teorema
Bila X1 , X2 ... barisan variabel random independen dan berdistribusi
identik dengan mean µ dan momen keempat berhingga, maka
Sn
Sn a.s
−→ µ atau P lim
=µ =1
n→∞ n
n
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Akibat
Bila X1 , X2 , X3 ... variabel random independen dan berdistribusi
identik sedemikian hingga P {|Xn | < K } = 1 untuk setiap n
dengan K konstante positif, maka
Sn a.s
−→ µ
n
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
LIMIT FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Misalkan X1 , X2 ... barisan variabel random. Andaikan Fn fungsi
distribusi kumulatif dari Xn , n = 1, 2, 3, ... dan fungsi pembangkit
momen dari Xn yaitu Mn (t) ujud. Pertanyaannya adalah
bagaimana kelakuan Mn (t) untuk n → ∞ dan apakah limit
tersebut selalu konvergen pada suatu fungsi pembangkit momen.
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Contoh
Misalkan {Xn } barisan variabel random dengan f.m.p.
P(Xn = −n) = 1
n = 1, 2, 3, ...
Kita mempunyai
Mn (t) = E e
tXn
= e −tn → 0 untuk n → ∞, t > 0
Mn (t) → ∞ untuk t < 0 dan Mn (t) → 1 untuk t = 0. Jadi,


0 t > 0
Mn (t) → M(t) = 1 t = 0 untuk n → ∞


∞ t<0
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
tetapi M(t) bukan fungsi pembangkit momen. Perhatikan bila
Fn (x) f.d.k. dari Xn , maka
(
0
bila x < −n
Fn (x) =
→ F (x) = 1 untuk
1
bila x > −n
setiap x dan F (x) bukan fungsi distribusi kumulatif. Bila contoh di
atas menunjukkan tidak perlunya konvergensi f.p.m. ke f.p.m.,
d
kasus di bawah mengilustrasikan kasus Xn −
→ X , tetapi
Mn (t) 6→ M(t).
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Contoh
Pandang fungsi distribusi kumulatif

0
x < −n



1
Fn (x) =
+ Cn arctan(nx) − n ≤ x < n

2


1
x >n
dengan Cn =
1
.
2 arctan(n2 )
Untuk n → ∞ terlihat
(
Fn (x) → F (x) =
0
x <0
1
x >n
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
pada setiap titik-titik kontinu dari F (x). Fungsi pembangkit
momen yang bersesuaian dengan Fn adalah
Zn
Mn (t) =
Cn e tx
n
dx
1 + n2 x 2
−n
yang ujud setiap t. Fungsi pembangkit momen yang bersesuaian
dengan F (x) adalah M(t) = 1 untuk setiap t. Karena Mn (t) → ∞
bila t 6= 0, maka Mn (t) 6→ M(t).
Berikut adalah teorema yang menjamin konvergensi dalam
distribusi ekuivalen dengan konvergensi fungsi pembangkit momen
yang bersesuaian. Bukti teorema bisa dilihat pada buku-buku teori
probabilitas lanjut seperti Lukacs (1970).
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Teorema
Misalkan {Fn } barisan fungsi distribusi kumulatif yang
berkorespondensi dengan barisan fungsi pembangkit momen {Mn }
dan misalkan Mn (t) ujud untuk |t| ≤ t0 untuk setiap n. Bila
terdapat fungsi distribusi kumulatif F yang berkorespondensi
dengan fungsi pembangkit momen M yang ujud untuk
|t| ≤ t1 < t0 sedemikain hingga Mn (t) → M(t) untuk n → ∞ dan
d
setiap t ∈ [−t1 , t1 ], maka Xn −
→ X.
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Contoh
Misalkan Xn variabel random dengan f.m.p.
1
1
, P {X0 = 0} = 1 −
n
n
t
maka Mn (t) = en + 1 − n1 yang ujud untuk setiap t ∈ R dan
Mn (t) → 1 untuk n → ∞ dan setiap t. Di sini, M(t) = 1 adalah
fungsi pembangkit momen variabel random X yang merosot di
d
X = 0. Jadi, Xn −
→ X.
P {Xn = 1} =
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Lemma berikut sangat berguna dalam penerapan teorema di atas.
Lemma
Bila f (x)
→ 0 untuk x → 0 kita tulis f (x) = o(x), maka
x
n
= e a untuk setiap bilangan real a.
lim 1 + na + o n1
n→∞
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Contoh
Misalkan X ∼ binomial (n, θ), maka Mx (t) = (θe t + (1 − θ))n
untuk setiap t.
Bila θ → 0, n → ∞ sedemikian hingga nθ = λ, maka menurut
lemma di atas
4
λ t
λ λ t n
e −1
→ exp λ e t − 1
Mx (t) = 1 − + e
= 1+
n
n
n
yang merupakan fungsi pembangkit momen distribusi Poisson.
d
Jadi, X −
→ Poisson (λ).
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Contoh
Misalkan X ∼ Poisson (λ). Fungsi pembangkit momen dari X
adalah exp {λ (e t − 1)} untuk setiap t. Kita bentuk Y = (X√−λ)
,
λ
maka fungsi pembangkit momen dari Y diberikan oleh
t(x−λ) √
MY (t) = E e tY = E e λ
√
t
= e −t λ Mx √
λ
MINGGU KE-11HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
Selanjutnya,
√
log MY (t) = −t λ + log Mx
t
√
√
= −t λ + λ e λ
√
= t λ+λ
=
t
√
λ
−1
t2
t3
!
t
√ +
+
+ ...
λ 2λ 3!λ 23
t2
t3
+
+ ...
1
2
3!λ 2
2
Akibatnya, log MY (t) → t2 untuk λ → ∞. Jadi, MY (t) = e t
untuk λ → ∞, yang merupakan fungsi pembangkit momen
distribusi N(0, 1).
2/2