MATEMATIKA SEKOLAH 2 Menentukan pola barisan bilangan
advertisement
MATEMATIKA SEKOLAH 2 Menentukan pola barisan bilangan sederhana Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri Disusun oleh : Novi Diah Wahyuni 1001060083 Riswoto 1001060085 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2011 INDIKATOR Menentukan pola barisan bilangan sederhana Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri A. Pola Bilangan Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek. (i) (ii) (iii) Gambar 1.1 Gambar 1.1 membentuk pola. Berapa banyak persegi yang digunakan untuk menambah masing-masing gambar dalam pola itu ? Gambar ke 1 2 3 4 5 6 7 Banyak persegi dalam gambar 0 5 10 15 20 25 30 Rangkaian bilangan yang menunjukan banyak persegi membentuk pola bilangan. Pola bilangan yang dihasilkan adalah 0, 5, 10, 15, … dan seterusnya. Maka, 0 dinamakan suku pertama, 5 dinamakan suku kedua, 10 dinamakan suku ketiga, dan seterusnya. B. Pengertian Barisan Contoh: Barisan bilangan genap: 0, 2, 4,6, 8,... Barisan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9,... Barisan bilangan segitiga: 1, 3, 6,10,... A Barisan bilangan persegi: 1,4, 9,16,... Barisan bilangan segitiga Pascal: 1, 2, 4, 8, 16, … Jumlah bilangan baris ke-n Segitiga Pascal = 2 n-1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 … dst Barisan adalah urutan bilangan dengan pola tertentu. Misalnya barisan bilangan genap, barisan bilangan ganjil, dan barisan bilangan segitiga. Perhatikan barisan bilangan genap berikut ini ! 2, 4, 6, 8, … Suku ke-1 dari barisan bilangan genap adalah 2, ditulis dengan lambing U1 = 2. Selanjutnya dapat dituliskan U2 = 4, U3 = 6, dan seterusnya. Pikirkan berapa U10 ? Perhatikan kembali barisan bilangan berikut . 2, 4, +2 8, ______, … 6, +2 +2 +2 Suku ke-2 diperoleh dengan menambahkan suku ke-1 dengan 2, suku ke-3 diperoleh dengan menambahkan suku ke-2 dengan 2, dan seterusnya. Dapat disimpulkan bahwa barisan bilangan genap mempunyai aturan “dimulai dari 2 dan suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya”. Barisan bilangan yang suku berikutnya idapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan tertentu disebut barisan aritmetika. Bilangan tertentu itu disebut beda. Sekarang perhatikan barisan bilangan berikut ini ! 2, 4, x2 8, x2 16, x2 _____, … x2 Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya didapat dari hasil kali suku sebelumnya ( tidak nol ) dengan bilangan tertentu disebut barisan geometri. Bilangan tertentu itu disebut rasio. C. Menentukan Rumus Suku ke-n Dari Suatu Barisan Bilangan 1. Barisan aritmetika adalah barisan yang antar bilangan berdekatan memiliki beda atau selisih yang sama. Contoh barisan; 3, 7, 11,15,... Sub pertama = 3 Beda barisan tersebut adalah 15 -11=11-7 = 7-3=4. Barisan aritmetika memiliki bentuk umum: U1, U2, U3, U4, U5, …, Un Beda barisan aritmetika (b) dirumuskan: b = U2-U1 = U3-U2 = U4-U3 =…Un-Un-1 Misalkan, U1 di lambangkan a, maka: Suku ke-n atau Un = a+(n-l)b Jumlah n suku pertama diperoleh dengan cara: Sn = 1 n(2a+ (n-1)b atau Sn = 1 n(a+Un) 2 2 Contoh: Diberikan barisan bilangan : 2, 5, 8, 11 … Tentukan suku pertama, beda daan suku ke-8 barisan bilangan tersebut. Jawab: Suku pertama yang dilambangkan a = 2. Beda barisan tersebut yaitu 5-2 = 3. Suku ke-8 barisan tersebut dicari dengan cara: Un =a+(n-l) b => U8=2+(8-1)3 = 2 + 7.3 = 21+23 Jadi, a = 2, b = 3 dan U8= 23. 2. Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai rasio. Perhatikan barisan geometri berikut. 1, 2, 4, 8, . . . Pada barisan geometri diatas diperoleh U U2 U3 U4 .... n r 2 U1 U 2 U 3 U n1 Jika U1 = a, maka diperoleh : 1 = 1 x 22 a 2 = 1 x 21 4 = 1 x 22 8 = 1 x 22 axr a x r2 a x r3 Jadi, suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn-1 D. Macam-macam Pola Barisan Bilangan Pola bilangan ada bermaca-macam. Ada barisan bilangan segitiga, barisan bilangan segi tiga, barisan bilangan kubik, barisan bilangan persegi panjang, barisan bilangan balok, barisan bilangan genap, barisan bilangan ganjil, barisan bilangan fibonacci, barisan geometri, dan deret geometri tak, terhingga 1. Barisan bilangan segitiga Barisan bilangan segitiga adalah barisan bilangan yang membentuk pola segitiga. Barisan: 1, 3, 6,10,... Deret: 1 + 3 + 6 + 10 + ... Rumus suku ke-n: Un= 1 n(n + l) 2 Jumlah n suku pertama: Sn = 1 n(n- l)(n + 2) 8 2. Barisan bilangan persegi Barisan bilangan persegi adalah barisan bilangan yang membentuk pola persegi. Barisan: 1, 4, 9, 16, 25,... Deret: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ... Rumus suku ke-n: Un= n2 Jumlah n suku pertama: Sn= 1 n(n + l)(2n+ 1) 6 3. Barisan bilangan kubik Barisan bilangan kubik adalah barisan bilangan yang dipangkatkan tiga kali. Barisan: l3, 23, 33,43, ... Deret: 13+ 23+ 33+43 + ... Rumus suku ke-n: Un= n2 Jumlah n suku pertama: Sn = 1 n2(n+l) 2 4 4. Barisan bilangan persegi panjang Barisan bilangan persegi panjang adalah barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang. Barisan: 2, 6,12,... Deret: 2 + 6 + 12 + ... Rumus suku ke-n: Un= n(n + 1) Jumlah n suku pertama: Sn = 1 n(n + l)(n + 2). 3 5. Barisan bilangan balok Barisan bilangan balok memiliki barisan seperti berikut. Barisan: 6, 24, 60,... Deret: 6 + 24 + 60 + ... Rumus suku ke-n: Un= n(n+l)(n+2). Jumlah n suku pertama: Sn = 1 n(n + l)(n + 2)(n + 3). 4 6. Barisan bilangan genap Barisan bilangan genap adalah dimulai dari 0. Selanjutnya, bilangan berikutnya ditambah 2 seterusnya. Barisan: 2, 4, 6, 8,... Deret: 2 + 4 + 6 + 8 + ... Rumus suku ke-n: Un = 2n Jumlah n suku pertama: Sn =n2 n. 7. Barisan bilangan ganjil Barisan bilangan ganjil dimulai dari satu. Selanjutnya, bilangan berikutnya ditambah 2. Barisan: 1, 3, 5, 7,... Deret: 1 + 3 + 5 + 7+ ... Rumus suku ke-n: Un= 2n -1. Jumlah n suku pertama: Sn = n2 8. Barisan Fibonacci Barisan ini ditemukan oleh matematikawan “Leonardo Fibonancci”. Barisan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku di depannya. Barisan diawali dari bilangan 1. barisan: 1,1,2,3,5,8,... Deret: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + … Rumus suku ke-n: Un= Un-1 +Un-2 9. Barisan Geometri Barisan geometri adalah barisan yang perbandingan di antara dua suku yang berurutan tetap. Rumus suku ke-n = Un = a.rn-1 Suku pertama = a Rasio antara dua suku yang berurutan = r Banyaknya suku =n a(r n 1) Jumlah n suku pertama: Sn = r 1 ; untuk r ≥1. a(1 r n ) Sn = ; untuk r <1 1 r 10. Deret geometri tak berhingga Disebut deret geometri tak berhingga jika memiliki banyak suku yang tidak berhingga. Jika suatu deret geometri tak berhingga memiliki nilai rasio: -l < r < l, maka jumlah sukunya sampai tak hingga adalah: Sn a 1 r SOAL ! 1. Tentukan jumlah dari 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16. 2. Tentukan jumlah dari 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15. 3. Tentukan 12 bilangan pertama dari pola bilangan persegi. 4. Tentukan 12 bilangan pertama daripola bilangan persegi panjang. 5. Apakah -15, -18, -21, -23, . . . merupakan barisan aritmetika ? Tentukan bedanya ! 6. Apakah 8, 4, 2, 1, . . . . merupakan barisan geometri ? Jika iya tentukan rasionya ! 7. Tuliskan lima suku pertama dari barisan a. 2n + 5 b. 2n2 – 4 8. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut ini, kemudian tentukan U20. a. 16, 24, 32, 40, 48, . . . b. 9, 3, -3, -9, . . . 9. Tentukan tujuh suku pertama dari barisan : a. 7 x 2n 1 b. 63 x 3 n 10. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan geometri berikut, kemudian tentukan U25. a. 5, 10, 20, 40, . . . b. 12, 36, 108, . . . 11. Dari suatu barisan aritmetika, diketahui U3 = 5, U7 = 13, dan beda = 2. Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan tersebut ! 12. Pada barisan geometri, jika U1 = 16 dan U5 = 1, tentukan enam suku pertama barisan tersebut ! 13. Suku ke-n suatu barisan ditentukan oleh rumus 15 – 4n. a. Tuliskan lima suku pertamanya. b. Tentukan suku ke-30 barisan tersebut. c. Suku keberapakah yang bernilai – 189 ? 14. Suatu barisan geometri, suku ke-4 adalah 27 dan suku ke-6 adalah 243. Tentukan suku ketiga ! 15. Mirna memulai program latihan untuk lomba lari. Ia mulai berlari 3 km pada hari pertama dan menambah jarak 0,2 km tiap hari. Berapa jarak yang ditempuh mirna pada hari ke-7 ? DAFTAR PUSTAKA Dewantara, Aryo. 2009. Bahas Tuntas 1001 Soal Matematika SMP. Yogyakarta : Pustaka Wdyatama. Lastiningsih, Netti. & Siswono, Tatag.Y.E. 2007. MATEMATIKA 3. Jakarta : Erlangga.
