BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan dan Deret
Barisan
 Barisan adalah suatu susunan bilangan yang
dibentuk menurut
 suatu urutan tertentu.
 Notasi : a n
 Contoh:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,a 6
A. Barisan Aritmetika
 Definisi
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang
selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan
bilangan tetap (konstan).
 Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan
dilambangkan dengan b.
 Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut
ini.
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ...
Barisan
Aritmetika
c. 30, 25, 20, 15, ...
Contoh :
a.
1, 4, 7, 10, 13, ...
+3
+3
+3
+3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ...
+6
+6
+6
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.
c. 30, 25, 20, 15, ...
–5
–5
–5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka
berlaku b = Un – Un – 1.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan
suku pertama (U 1) dilambangkan dengan a dan beda
dengan b dapat ditentukan seperti berikut.
U1
U2
U3
U4
U5
.
.
.
Un
Jadi,
=
=
=
=
=
a
U1
U2
U3
U4
+ b = a + b
+ b = (a + b) + b = a + 2b
+ b = (a + 2b) + b = a + 3b
+ b = (a + 3b) + b = a + 4b
= Un-1 + b = a + (n – 1)b
rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
Keterangan: Un = suku ke-n
a = suku pertama
Un = a + (n – 1)b
b = beda
n = banyak suku
Contoh 1 :
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,
12, ....
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
Un = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.
Contoh 2 :
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2)
= 3,dan
Un = 40.
Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga;
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
B. Deret Aritmetika
 Definisi
Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu
barisan aritmetika. Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Undisebut deret
aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.
 Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama
barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari
suatu barisan bilangan dinotasikan D .
Dengan demikian, Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un .
Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus
Dn , perhatikan contoh berikut :
Contoh 1 :
Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14.
Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.
Jawab:
Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat
dituliskansebagai berikut.
D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14
D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2D5 = 5 x 16
D5
5  16
=
2
D5 = 40
Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.
Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut.
Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan
aritmetika adalah
Dn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un.
Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku
adalah b kurang dari suku berikutnya.
Un-1 = Un – b
Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b
Un-3 = Un-2 – b = Un – 3b
Demikian seterusnya sehingga Dn dapat
dituliskan
Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un…(1)
Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai
berikut:
Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)
Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan
Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un
Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a
2Dn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un) + ... + (a + Un)
n suku
Dengan demikian,
Dn = (1/2)
Dn = (1/2)
Dn = (1/2)
2Dn = n(a + Un )
n(a + Un )
n(a + (a + (n – 1)b))
n(2a + (n – 1)b)
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret
aritmetika adalah
Dn = (1/2) n(a + Un )
Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)
Keterangan:
Dn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
n = banyak suku
Contoh 2:
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 +
8 +....
Jawab:
Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
D100
1
=
x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
2
= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut
adalah 10.100.
Contoh 3:
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang
kurang dari 100.
Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah
3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh
a = 3, b = 3, dan Un = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
Un = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah
Dn
D33
=1
2
=1
2
n (a + U )
n
x 33(3 + 99)
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang
dari 100 adalah 1.683
Soal – soal
Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18,
…
2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatika berikut
ini :
a. 3, 7, 11, …
b. 15, 13, 11, 9, …
c. -8, -4, 0, 4, …
d. -6, -1, 4, 9, …
3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatika adalah
13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya.
Berapakah Un dan Dn
4. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku
pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 27. Tentukan Un
dan Dn
1.
5. Carilah jumlah dari
a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama
b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama
c. 60 bilangan bulat positif yang pertama
C. Barisan Geometri
DEFINISI:
• Barisan geometri adalah suatu barisan dengan
pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan
selalu tetap.
• Bentuk umum
U1, U2, U3, …, Un atau
a, ar, ar2, …, arn-1
Bentuk umum:
U1, U2, U3, …, Un atau
a, ar, ar2, …, arn-1
 Jika diketahui suatu barisan geometri U1, U2, …,
Un dan dimisalkan U1 = a dengan rasionya r maka
dapat ditulis:
U1 = a
U2= U1 .r = a.r = ar2-1
U3= U2.r = (ar) r = ar2 = ar3-1
:
Un = a.r.r…r = arn-1
Rumus suku ke-n barisan geometri
 Misalkan terdapat suatu barisan geometri U1,
U2, …, Un maka rumus umum suku ke-n dengan
suku pertamanya a dan rasionya r adalah :
Un = ar n-1
pada barisan geometri, berlaku
Contoh Soal
1. Suku ketiga dan suku keenam dari suatu barisan
geometri berturut-turut adalah 32 dan 2.048.
Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu
!
Jawab : U3 = 32
U6 = 2048
32 r3=2048
r3=64
r=4
Misal : U3 = a . r2
32 = a . 42
a=2
2. 3 buah bilangan a, b, dan c membentuk
barisan geometri. Tunjukan bahwa
sama dengan
Jawab :
3.Suku pertama sebuah barisan geometri adalah
, sedangkan suku keempatnya sama dengan
. Tentukan rasio dan suku ke-enambelas
dari barisan itu !
Jawab :
=
U4 =
U4 = a . r3
=
. r3
r3 =
r =
=
 U16 = a .
=
.
=
.
=
.
=
4. Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang
terbentuk pada :
a. Bilangan-bilangan di antara ¼ dan 8, disisipkan
sebanyak 4 buah bilangan.
b. Bilangan-bilangan di antara 2 dan 162, disisipkan
sebanyak 3 buah bilangan,
Jawab : a) x = ¼ , y = 8, dan k = 4(genap), maka nilai
r hanya ada 1 kemungkinan :
b) x = 2, y = 162, dan k = 3 (ganjil), maka nilai r ada 2
kemungkinan :
r = +3 atau r = -3
Jadi, nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk
adalah r =3 atau r = -3.
Untuk r = 3, barisan geometri yang terbentuk 2, 6, 18,
54, 162, sedangkan untuk r = -3, barisan geometri yang
terbentuk adalah 2 , -6, 18, -54, 162.
Soal
1. Suku ke-5 barisan geometri adalah 243, hasil bagi
suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah
. . .
a. 3
c. 7
e. 12
b. 5
d. 9
2. Jika k + 3, 5k - 9, 11k + 9 membentuk barisan
geometri,
maka jumlah semua nilai k yang memenuhi adalah . . .
a. 66/4 c. 66/7
e. 66/11
b. 66/5 d. 66/10
3. Suku – suku barisan geometri tak hingga adalah positif,
jumlah suku U1 + U2 = 45 dan U3 + U 4 = 20, maka jumlah
suku barisan itu adalah . . .
a. 65
c. 90
e. 150
b. 81
d. 135
4. Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang
yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang
paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang
192 cm, maka panjang tali semula sama dengan . . .
a. 379
b. 383
e. 387
b. 381
d. 385
5. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku
ke-6 adalah 96, maka 3072 merupakan suku ke . .
a. 9
c. 11
e. 13
b. 10
d. 12
6. Diketahui a dan b adalah akar – akar persamaan
x2 – 2x + k = 0 dan a – 5/2, a + b, a + 5 merupakan
barisan geometri dengan suku – suku positif. Nilai k =
. . .
a. -3
c. 2
e.6
b. -2
d. 3
7. Jika suku pertama dan keempat barisan geometri
berturut – turut a1/2 dan a3x+1/2 sedang suku kesepuluh
sama dengan a91/2 maka nilai x adalah . . .
a. 25
c. 5
e. 15
b. -5
d. 16
8. Dalam suatu barisan geometri U1 + U3 = p dan U2 + U4 = q
maka U4 = . . .
a. p3/ ( p2 + q2 ) c. ( p3 + q3 ) / ( p2 + q2 )
e. q2 / ( p2 + q2 )
b. q3 / ( p2 + q2 ) d. p2 / ( p2 + q2 )
9. Diketahui x1 dan x2 adalah akar – akar positif persamaan
kuadrat x2 + ax + b = 0. Jika 12, x1, x2 adalah tiga suku
pertama barisan aritmatika dan x1, x2, 4 adalah tiga suku
pertama barisan geometri, maka diskriminan persamaan
kuadrat tersebut adalah . . .
a. 6
c. 15
e. 54
b. 9
d. 30
 10. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan
rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka
 terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30.
 Hasil kali ketiga bilangan ini adalah . . .
a. 64
c. 216
e. 1000
b. 125
d. 343
4. DERET GEOMETRI
BENTUK UMUM DERET GEOMETRI
a  ar  ar  .....  ar
2
n -1
Jika U n  suku ke - n, U t  suku tenga h dan
Sn  Jumlah n suku pertama deret geometri maka :
1.
U n  ar n -1
3.
a(1 - r n )
Dn 
untuk r  1
1 r
a(r n  1)
Dn 
untuk r  1
r 1
U t  aU n
4.
U n  Sn  Sn 1
5.
Un
r
U n -1
2.
CONTOH 1
Jika k  1, k - 1, k - 5 membentuk deret geometri maka
harga yang dapat diberikan pada k ialah.....
A.
-3
B.
-2
C.
2
D.
3
E.
4
JAWAB
Deret Geometri k  1, k - 1, k - 5
k -1 k  5
r

k 1 k 1

(k - 1)  (k  5)(k  1)
2
 k - 2k  1  k - 4k - 5
2
2

2k  - 6

k  -3
CONTOH 2
3
Jika suku pertama deret geometri adalah m
dengan m  0 sedangkan suku ke - 5 adalah m ,
2
maka suku ke - 21 adalah.... .
A.
B.
C.
m
8 3
m
6 3
m
4 3
m
2
m
2
m
2
D.
m
E.
3
2 3
m
2
m
2
JAWAB
1
3
a  m  m sedangkan U 5  ar  m
3
1
3
4
m .r  m  r  m
4
2
4
2
5
3
 U 21  ar  a(r )
20
4 5
1
3
5
3
1
3
25
3
 m .(m )
5
 m .(m )
26
3
8 23
m m m
8 3
m
2
5. SISIPAN
CONTOH :
Antara dua suku yang berurutan pada barisan
3,18,33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga
Berbentuk barisan Aritmetika yang baru.Jumlah
7 suku pertama dari barisan yang terbentuk
Adalah…..
A. 78
D. 87
B. 81
E. 91
C. 84
PEMBAHASAN
3,
, ,18
U 6  a  5b  18
Yang disisipkan
a=3
3  5b  18  b  3
n
S7  (2a  (n - 1)b)
2
7
 (2.3  6.3)
2
7
 (24)
2
 84
6. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Jika deret itu Konvergen maka gunakan rumus
-1 < r < 1
Jika yang ditanyakan Jumlahnya gunakan rumus
a
S~ 
1 r
CONTOH 1
Sebuah bola tenis dijatuhkan kelantai dari tem
pat yang tingginya 1 meter.Setiap kali setelah
Bola itu memantul,ia mencapai ketinggian yang
sama dengan duapertida dari tinggi yang dicapai
nya sebelum pantulan terakhir.Panjang lintasan
Bola itu sampai ia berhenti adalah…..
A. 2m
D. ~
B. 3m
E. Semua salah
C. 5m
Soal
 Jika ada tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut
berurutan yang berjumlah 12 dan merupakan suku-suku
deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka
diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut
adalah?
a. 0 atau 24
b. 0 atau 48
c. 12 atau 24
d. 24 atau 36
e. 36 atau 48
 Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya
membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling
pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka
panjang tali semula adalah
a. 183 cm
b. 185 cm
c. 187 cm
d. 189 cm
e. 191 cm
 Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4-n. Maka jumlah tak
hingga deret tersebut sama dengan
a. 3
b. 2
c. 1
d.1/2
e. 1/3