Peta Kendali - WordPress.com

Distibusi Probabilitas
SQC -3
Dani Leonidas S ,ST.MT
Distribusi Peluang
Distribusi
Binomial
Distribusi
Multinomial
Variabel Random
Diskrit
Distribusi
Hipergeometrik
Distribusi
Poisson
Distribusi
Probabilitas
Distribusi
Normal
Distribusi
Student
Variabel Random
Kontinyu
Distribusi ChiSquare
Distribusi F
Distribusi Binomial
Contoh
 Jawaban dari pertanyaan benar/ salah adalah tepat atau
keliru. Asumsikan bahwa sebuah ujian berisikan 4
pertanyaan benar/salah, dan seorang mahasiswa tidak
mempunyai pengetahuan sedikitpun tentang topik
tersebut. Peluang mahasiswa menebak jawaban yang
tepat adalah 0,5.




Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tidak
satu pun dari empat pertanyaan yang tepat ?
Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan
tepat satu dari empat pertanyaan yang tepat?
Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan
paling banyak satu dari empat pertanyaan yang tepat?
Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan
paling sedikit satu dari empat pertanyaan yang tepat?
Berapa probabilitas mahasiswa tersebut
mendapatkan tidak satu pun dari empat
pertanyaan yang tepat ?
 X =0, N = 4, p = 0,5, q = 0,5
4 1 0 1 4
 P(X=0)=
( ) ( )
0 2 2
=
4!
1 0 1 4
( ) ( )
0! 4−0 ! 2
2
=0,0625
Capture tabel,,,,,
Berapa probabilitas mahasiswa tersebut
mendapatkan tepat satu dari empat pertanyaan
yang tepat ?
 X =1, N = 4, p = 0,5, q = 0,5
4 11 1 3
 P(X=1)=
( ) ( )
1 2 2
=
4!
1 1 1 1
( ) ( )
1! 4−1 ! 2
2
=0,25
Tabel ,,,,,
Tabel kumulatif cont,,,,
 P(X=1) = 0,3125 – 0,0625 =0,25
Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan paling
banyak satu dari empat pertanyaan yang tepat?
 X =1, N = 4, p = 0,5, q = 0,5
 P (X≤1)
= P(X=0) + P(X=1)
= 0,0625 + 0,25 = 0,3125
Berapa probabilitas mahasiswa tersebut
mendapatkan paling sedikit 2 pertanyaan dari 4
pertanyaan yang tepat ?
 X ≥ 2, N = 4, p = 0,5, q = 0,5
 P (X ≥ 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1))
= 1 – 0,3125 =0,6875
Distribusi Multinomial
Ekspektasi Distribusi
Multinomial
 Ekspektasi terjadinya tiap peristiwa
E1, E2, ... , EK berturut-turut adalah
Np1, Np2,...,Npk
 Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan
oleh mesin A, 4 barang oleh mesin B, dan 5
barang oleh mesin C. Semua barang yang
dihasilkan ketiga mesin mempunyai ciri yang
sama. Barang-barang tersebut diberi label yg
memberikan keterangan diproduksi oleh mesin
yang mana, lalu semua dimasukkan ke dalam
kotak. Tentukan probabilitas diantara 6 barang
yang diambil akan ditemukan 1 barang dari
mesin A, 2 barang dari mesin B, dan 3 barang
dari mesin C.

6!
3 1 4 2 5 3
( ) ( ) ( ) =
1!2!3! 12
12
12
0,1206
Distribusi Hipergeometrik
n
Dengan rata-rata
 50 alat diproduksi selama minggu ini.
40 diantaranya dapat beroperasi
secara sempurna. Sampel berukuran
5 diambil secara acak.
 Berapa probabilitas mendapatkan 4 alat
yang beroperasi sempurna dari 5 alat
yang diambil secara acak ?
Berapa probabilitas mendapatkan 4 alat yang beroperasi
sempurna dari 5 alat yang diambil secara acak ?

40 10
( )( )
P(4)= 4 50 1 =0,431
( )
5
Distribusi Poisson
dimana
 µ (myu) = rata-rata hitung aritmatik
dari jumlah pemunculan (kejadian)
selama suatu interval waktu tertentu
 e = bilangan konstan 2,71828
 Misalkan rata-rata terdapat 1,4 orang
buta huruf untuk setiap 100 orang.
Sebuah sampel berukuran 200 telah
diambil. Hitunglah probabilitas tidak
ada orang yang buta huruf per 200
orang!
probabilitas tidak ada orang yang
buta huruf per 200 orang!
 p(0)=
𝑒 −2,8 (2,8)0
=
0!
𝑒 −2,8 = 0,0608
Tabel
 Bisa dibantu dengan membaca tabel
Capture dari tabel,,,
Distribusi
Binomial
Distribusi
Multinomial
Variabel Random
Diskrit
Distribusi
Hipergeometrik
Distribusi
Poisson
Distribusi
Probabilitas
Distribusi
Normal
Distribusi
Student
Variabel Random
Kontinyu
Distribusi ChiSquare
Distribusi F
Distribusi Normal
 Disebut juga kurva normal atau distribusi
Gauss
 Jika variabel X mempunyai fungsi densitas
pada X=x dengan persamaan
Dan mempunyai batas -∞<x<∞, maka
dikatakan bahwa variabel random X
berdistribusi normal
Distribusi Normal
 Sifat-sifat penting distribusi Normal
1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
2. Bentuknya simetris terhadap x=µ
3. Merupakan kurva unimoda yang tercapai pada x=
yaitu sebesar 0,3989/σ
4. Grafiknya mendekati (asimtut) sumbu datar x
dimulai dari
5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit
persegi
Distribusi Normal
Distribusi Normal
Kurva Normal pada nilai sigma
yang berbeda
Kurva Normal dengan nilai Mean
yang berbeda
Distribusi Normal
 Untuk menghitung Probabilitas pada
fungsi densitas
maka diperlukan solusi atas nilai
integral
Distribusi Normal
 Sehingga untuk menghitung
probabilitas X antara suatu nilai a dan
b atau P(a<x<b) adalah
Distribusi Normal Standar
 Distribusi Normal Standar ialah distribusi normal
dengan rata-rata bernilai 0 dan simpangan baku
bernilai 1
Distribusi Normal Standar
 Fungsi Densitas distribusi normal
standar ialah:
Kurva Normal “Umum”
Kurva Normal Standar
Cara Menghitung Probabilitas
Distribusi Normal Menggunakan Tabel
“Setengah” atau ”lengkap”



Hitung Z hingga 2 desimal
Gambarkan kurvanya
Letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu ditarik garis vertikal
hingga memotong kurva





Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara nilai Z dengan
garis tegak dititik 0 (tabel setengah)
Dalam tabel “setengah”, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya
hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas
Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara nilai Z dengan
ujung kiri (Tabel Lengkap)
Dalam tabel “lengkap”, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya
hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas
Dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke
bawah., maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.
Bilangan yang didapat harus ditulis dalam 0,XXXX (bentuk 4
desimal)
Tabel Kurva normal setengah
dan lengkap
Tabel Kurva normal lengkap
P (Z = - 2.54) = 0.0055
Tabel Kurva normal Setengah
P (Z ≤ - 2.54) = 0.0055
 Lihat Z untuk 2.54 = 0.4945
 Untuk mendapatkan Z ≤ - 2,54
 0.5 – 0.4945 = 0.0055
Latihan
Hitunglah Probabilitas berikut ini:
 P(Z ≤ 0) = 0.5
 P(Z ≤ 2.15) = 0.9842
 P(0 ≤ Z ≤ 2.15) = 0.9842 – 0.5
= 0.4842
 P(Z ≤ -1,86) = 0.0314
 P(Z ≤ 0) = 0.5
 P(-1,86 ≤ Z ≤ 0)
= 0.5 – 0.0314
= 0.4686
 P(Z ≤ -1,50) = 0.0668
 P(Z ≤ 1,82) = 0.9656
 P(-1,50 ≤ Z ≤ 1,82) = 0.9656 –
0.0668
= 0.8988
 P(Z= 1,40) = 0.9192
 P(Z= 2,65) = 0.9960
 P(1,40 ≤ Z ≤ 2,65) = 0.9960 –
0.9192
= 0.0768
 P(Z ≤ 1,96)
= 0.9750
P(Z ≥ 1,96) = ?
 P(Z ≤ 1,96)
= 0.9750
 P(Z ≥ 1,96)
= 1 – 0.9750
= 0.025
Latihan ....
 Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 dengan
simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi ini
berdistribusi normal, maka tentukan:
a.
b.
c.
d.
Persentasi bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?
Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500
gram, jika semua ada 10.000 bayi?
Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama
dengan 4000 gram, jika semuanya ada 10000 bayi?
Berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya
ada 5000 bayi?
Distribusi Student (t)
 Distribusi dengan variabel random X
dan mempunyai fungsi densitas
sebagai berikut:
Sifat penting
 Simetris diatas sumbu t, dan sumbu
simetrisnya adalah = 0
 Fungsi densitas t bergantung pada
ukuran sampel n
 Jika n diperbesar mendekati N, variabel
X akan mendekati distribusi normal
Kegunaan
 Mengukur tingkat keyakinan
(parameter) dari hasil eksperimen
Penggunaan daftar Grafik distribusi t
dengan dk = ν (dibaca nu)
 Luas bagian yang diarsir = p dan
dibatasi paling kanan oleh tp.
 Harga tp inilah yang dicari dari daftar
untuk pasangan ν dan p yang
diberikan
Mencari nilai t
𝑥−𝜇
 t= 𝑠
𝑛
 𝑋 = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
 µ = rata-rata dugaan
 s = Standar deviasi/ simpangan baku
Contoh penggunaan
 Jika p =0,95, n = 13, maka dk = 13 – 1 = 12
maka t = 1,78
 Jika n = 16, tentukan t supaya luas yang
diarsir = 0,95.




Luas ujung kanan dan ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05
Kedua ujung kiri dan kanan sama luas, jadi luas ujung
kanan mulai dari t ke kanan = 0,025
Mulai dari t ke kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975
Harga p yang dipakai = 0,975
 ν = n – 1 = 15, p = 0,975 didapat t = 2,13

Jadi antara t = -2,13 dan t = 2,13 luas yang diarsir 0,95
Contoh penggunaan
 Peneliti menyatakan bahwa varietas
padi hasil pengembangannya memiliki
tingkat produktivitas 5 ton per hektar.
Dengan tingkat kepercayaan 95%,
apakah pernyataan ini dapat diterima
jika dari sampel 9 hektar didapatkan
rata-rata produktivitas 4,7 ton dan
deviasi standars 1 ton?
 Hitung nilai t

t=
𝑥−𝜇
𝑠
𝑛
=
4,7−5
1/ 9
= −0,9
 Tentukan berapa batasan nilai t untuk luas 95 %



p = 0,975
ν=9–1=8
Maka didapat nilai t antara -2,31 ≤ t ≤ 2,31
 Jika nilai t hitung terletak dalam batasan nilai t untuk
luas 95%, maka kita dapat menerima pernyataan dari
peneliti tersebut bahwa varietas padinya memiliki
produktivitas 5 ton per hektar
Distribusi Chi-Square
 Memiliki Persamaan distribusi sebagai
berikut:
 Tabel berisikan harga-harga 𝜒 2 untuk
pasangan dk dan probabilitas p
Contoh penggunaan daftar
 Untuk mencari 𝜒 2 dengan p = 0,95
dan dk ν = 14, maka di kolom kiri cari
bilangan 14 dan di baris atas 0,95.
Maka didapat 𝜒 2 = 23,7
 Pada grafik distribusi 𝜒 2 dengan dk
=9
 Jika luas daerah yang diarsir sebelah
kanan = 0,05 , maka 𝜒 2 =16,9. didapat
dari dk = 9 dan p =0,95
 Jika luas daerah yang diarsir sebelah kiri
= 0,025, maka 𝜒 2 = 2,70. didapat dari
dk =9 dan p = 0,025
Distribusi F
 Distribusi ini memiliki persamaan
distribusi sebagai berikut
Cara baca tabel
 Untuk pasangan ν1 dan ν2 24 dan 8 ,
ditulis juga (ν1, ν2) = (24,8), maka
untuk p = 0,05 didapat F = 3,12,
sedangkan untuk p = 0,01 didapat F=
5,28.
 Bagaimana untuk p = 0,99 dan dan p
=0,95 ?
Soal latihan 1

Terdapat 200 pasien dimana 10 menderita
tekanan darah tinggi.Secara random diambil
10 pasien.
 Hitung berapa probabilitasnya akan terdapat
paling banyak dua pasien dari yang 10 ini
menderita tekanan darah tinggi
 Berapa pasien rata-rata yang menderita
tekanan darah tinggi untuk setiap 10
pasien?
2
 Peluang bagi seseorang mendapatkan
kecelakaan di lokasi A adalah 0,0005. misalkan
dari jam 13.00 s/d jam 15.00 tiap hari lewat
875 buah kendaraan . Jika probabilitas
mendapat kecelakaan untuk tiap kendaraan
sama besar dan terjadinya kecelakaan atau
tidak terhadap kendaraan yang satu
independen dari apapun yang terjadi terhadap
kendaraan lainnya, Tentukan probabilitasnya
dalam jangka waktu tersebut akan terjadi dua
kecelakaan atau lebih
3
 Jika permintaan nomer telepon
melalui operator dari jam 10:00
sampai 11:00 rata-ratanya 3.

Peluang dalam satu jam




tidak akan menerima permintaan nomor telepon
Kurang dari 3
Lebih dari 3
Peluang Dalam dua jam



tidak akan menerima permintaan nomor telepon
Kurang dari 3
Lebih dari 3
4
 Misalkan tinggi mahasiswa berdistribusi normal
dengan rata-rata 167,5 cm dan simpangan
baku 4,6 cm. Semuanya ada 200.000
mahasiswa. Tentukan ada berapa mahasiswa
yang tingginya





Lebih dari 175 cm
Lebih dari 160 cm
Kurang dari 170 cm
Kurang dari 166 cm
Antara 158 cm dan 170 cm