DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Titik Murwani
NIM: 063114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
FRACTAL DIMENSION OF JULIA SETS
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Sarjana Sains Degree
In Mathematics
By :
Titik Murwani
Student Number: 063114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Jika Anda menerima Tuhan, Anda harus memahami bahwa Dia ada
dalam semua yang kita lakukan.
dalam semua relasi,
dalam semua tantangan,
dalam semua rintangan.
Kerja menjadi sebuah ibadah
jika dilakukan bersamaNya di pikiran kita.
(Vijay Eswaran)
Semuanya kupersembahakan untuk
Bapak dan Ibu Marto Wiyono
Orang tuaku dan saudaraku
dan juga Dia
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu
fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah
dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut
adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari
himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi.
Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu
( )=
+ dan
: ℂ → ℂ, dengan
adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh
himpunan titik-titik di ℂ yang memiliki orbit yang terbatas terhadap
Julia ( ) adalah batas dari himpunan Julia penuh
( ) adalah
. Himpunan
( ). Beberapa sifat dari sistem
fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan
dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry.
Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and
box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need
not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated
using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated
from the quadratic complex function, i.e
complex number. The filled Julia set
orbits with respect to
: ℂ → ℂ, where
( )=
+
and
is a
( ) is the collection of points in ℂ whose
are bounded. The Julia set ( ) is the boundary of
( ).
Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and
box counting dimension of Julia sets are the same.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kepada Tuhan yang selalu memberikan kasih dan berkat
sehingga penulis dapat meneyelesaikan skripsi ini.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa skripsi tidak akan selesai tanpa dukungan
dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Prof. Drs. Frans Susilo, S.J.,Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah
berkenan membimbing, memberikan ilmu, dan perhatiannya kepada penulis
selama penulisan skripsi.
2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Kaprodi Matematika dan
Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si.,M.Si. selaku Wakaprodi
Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2006 yang
telah berkenan untuk menguji skripsi ini dan selalu memberikan nasehat,
saran, dukungan dan ilmu yang sangat berharga kepada penulis.
4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si yang telah memberikan ide
dalam pemilihan topik skripsi ini, atas nasehat, saran, pengalaman,
pengetahuan serta atas pinjaman buku-bukunya dan berbagai kesempatan
diskusi yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan.
5. Bapak Zaerilus Tukija dan segenap staff sekretariat Fakultas Sains dan
Teknologi yang telah membantu dalam penulis selama menempuh studi.
6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan
fasilitas dan kemudahan kepada penulis selama masa studi.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7. Orang tuaku, Bapak Darwinto dan Ibu Sri Darmini yang selalu memberikan
dukungan, nasehat dan doa dalam segala hal dan menyediakan apa saja yang
dibutuhkan.
8. Sahabat-sahabatku, Diyah Sayekti, S.Si., Rochi Ifahyani Siagian, S.Si.,
Laurencia Rosarianes Yogimurti, Maria Endah Savitri, Marcellina Dewi
Abu, Fery Kristianingrum, Metta Diwya Kundalini, dan Sisiria Mardiawati
yang selalu menemani dalam suka dan duka dan yang selalu memahami
penulis.
9. Teman-teman 2004-2009 yang telah menemani, mendukung dan berbagi
banyak pengalaman kepada penulis.
10. Semua pihak yang telah membantu penulis selama menempuh studi dan
penuyusunan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu.
Yogyakarta, 24 Januari 2010
Penulis
Titik Murwani
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .........................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING..................................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................
v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .........................................
vi
HALAMAN ABSTRAK ....................................................................................
vii
HALAMAN ABSTRACT..................................................................................
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ...........................................................
ix
KATA PENGANTAR .......................................................................................
x
DAFTAR ISI .....................................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah .....................................................................
1
B. Rumusan Masalah ...............................................................................
3
C. Pembatasan Masalah ...........................................................................
3
D. Tujuan Penulisan ................................................................................
4
E. Manfaat Penulisan ...............................................................................
4
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Metode Penulisan ................................................................................
4
G. Sistematika Penulisan .........................................................................
4
BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL ......................................
6
A. Ruang Metrik....................................................................................
6
B. Ruang Fraktal ...................................................................................
26
C. Ukuran Lebesgue ..............................................................................
28
D. Fungsi Kompleks .............................................................................
37
E. Sistem Fungsi Iterasi ........................................................................
39
BAB III DIMENSI FRAKTAL ..........................................................................
43
A. Ukuran Hausdorff ............................................................................
43
B. Dimensi Hausdorff ...........................................................................
51
C. Dimensi Hitung Kotak......................................................................
54
BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA ........................................
63
A. Himpunan Julia ................................................................................
63
B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia ................................
68
BAB V PENUTUP ............................................................................................
73
5.1 Kesimpulan .....................................................................................
73
5.2 Saran ...............................................................................................
74
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................
75
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Fraktal adalah cabang baru dalam matematika dan seni. Orang semakin
mengenali fraktal karena gambar–gambar yang dihasilkan menarik. Sistem–sistem
fisika dan benda–benda kreatifitas manusia bukanlah bentuk–bentuk geometri
yang teratur. Hal yang membuat fraktal semakin menarik adalah kemampuannya
dalam mendeskripsikan fenomena-fenomena alam seperti garis pantai, gunung,
kehidupan organisme dalam persamaan matematika.
Fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola sehingga memiliki struktur yang serupa dengan bentuk semula untuk tiap bagiannya. Pengulangan pola–pola tersebut menyebabkan suatu fraktal dapat memiliki detil tak hingga.
Geometri fraktal mampu mendeskripsikan bentuk–bentuk yang tak hingga banyaknya.
Meskipun fraktal sangat berkaitan dengan teknologi komputer, tetapi fraktal ditemukan sebelum teknologi komputer berkembang. Benoit Mandelbrot adalah orang yang pertama kali mengenalkan istilah fraktal pada tahun 1982 dalam
bukunya yang berjudul “ The Fractal Geometry of Nature ”. Kata fraktal berasal
dari kata fractus ( Bahasa Latin ) yang berarti patah, rusak atau tidak teratur. Sebelum istilah fraktal digunakan, benda–benda yang tidak teratur disebut kurva
monster.
Dua sifat penting yang dimiliki fraktal adalah sifat self–similarity ( kesebangunan diri ) dan dimensinya yang tidak bulat. Sifat self–similarity dapat terlihat jelas pada pohon pakis. Setiap bagian dari pohon pakis itu memiliki bentuk
yang serupa dengan bentuk awalnya atau bentuk utuhnya.
Mandlebrot mendefinisikan fraktal sebagai himpunan yang mempunyai
dimensi tak bulat. Setiap bangun dalam geometri Euclid memiliki dimensi yang
bulat, misalnya titik berdimensi nol, garis lurus dan kurva berdimensi satu, bidang
datar dan luasan berdimensi dua, dan benda–benda ruang seperti bola, kubus berdimensi tiga. Secara umum fraktal memiliki bentuk yang tidak teratur dan dimen-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
sinya tidak bulat, sehingga konsep fraktal tidak dapat dijelaskan dengan konsep
geometri klasik (Geometri Euclid).
Bilangan yang digunakan untuk membandingkan fraktal yang satu dengan
yang lain disebut dimensi fraktal. Secara intuitif, gagasan mengenai dimensi mengarah pada bilangan bulat seperti pada objek geometri pada umumnya, namun
gagasan tersebut dipatahkan oleh Hausdorff dan Besicovitch. Konsep mengenai
dimensi yang takbulat ini pertama kali dikenalkan oleh Felix Hausdorff dan Abram Samoilovitch Besicovitch pada tahun 1918, dan kemudian dimensi ini disebut
dimensi Hausdorff- Besicovitch, atau dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff dari
himpunan
nan , yaitu
sangat bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi
dari himpu-
( ), dengan adalah bilangan real positif, yaitu
( ) = inf{ :
dengan ℋ ( ) = lim
→
inf{∑
( ) = 0} = sup{ :
( ) = ∞},
| | : { } adalah selimut- dari }.
Metode lain yang sering digunakan untuk mencari dimensi fraktal dari
suatu himpunan adalah dimensi hitung kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand.
Untuk menghitung dimensi hitung kotak dari suatu himpunan, misal himpunan ,
himpunan tersebut diselimuti oleh jaring-jaring kemudian dihitung banyaknya jaring
yang menyelimuti . Gagasan mendasar dari dimensi ini adalah menghitung berapa
banyak perubahan yang terjadi bila ukuran dari jaring tersebut diubah. Dimensi
hitung kotak bergantung pada konsep lim inf dan lim sup. Misalkan
jumlah minimum dari jaring-jaring bersisi
kotak bawah dari
( , ) adalah
yang menyelimuti . Dimensi hitung
dihitung dengan rumus
dim
= lim inf
log ( )
− log
= lim sup
log ( )
.
− log
→
dan dimensi hitung kotak atas dari
dım
Jika dim
= dım
→
, maka nilainya disebut dimensi hitung kotak .
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, himpunan Julia, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger,
kurva Koch. Himpunan Mandelbrot dan himpunan Julia adalah dua contoh fraktal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
yang sangat terkenal, yang tergolong ke dalam fraktal bilangan kompleks. Himpunan Julia ditemukan lebih dulu daripada himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia
ditemukan oleh Gaston Maurice Julia, seorang matematikawan Perancis yang berprofesi sebagai tentara.
Himpunan Julia dibangun dari pemetaan fungsi teriterasi
=
didefinisikan dengan
bilangan kompleks , ( ),
titik
+ , dengan
( ), … ,
adalah bilangan kompleks. Barisan
( ), … yang terbentuk disebut orbit dari
ℂ terhadap pemetaan fungsi kompleks
. Barisan bilangan kompleks dari
dikatakan terbatas jika terdapat bilangan positif
|
( )| <
: ℂ → ℂ yang
sedemikian sehingga
untuk semua bilangan bulat positif . Himpunan semua titik
orbitnya terhadap pemetaan
dinotasikan dengan
yang
yang terbatas disebut himpunan Julia penuh, dan
( ). Batas dari himpunan Julia penuh tersebut yang ke-
mudian disebut himpunan Julia dan dinotasikan dengan ( ).
Dimensi himpunan Julia dihitung dengan menggunakan sifat invarian terhadap suatu pemetaan kontraksi : ℝ → ℝ , = 1, 2, …
dengan
di ruang metrik ( , )
adalah konstanta kontraksi untuk . Himpunan Julia bersifat invarian
terhadap
sehingga dim ( ) =
memenuhi ∑
( )=
untuk tertentu dan dengan
= 1.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan dimensi fraktal?
2. Bagaimana menghitung dimensi hitung kotak dan dimensi Hausdorff ?
3. Bagaimana menghitung dimensi fraktal pada himpunan Julia?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan skripsi ini hanya akan dibahas dimensi fraktal. Penulis
tidak akan membahas mengenai komputasi tentang dimensi fraktal. Penulis hanya
akan menggunakan dua metode untuk menghitung dimensi fraktal, yaitu dimensi
Hausdorff dan dimensi hitung kotak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
D. TUJUAN PENULISAN
Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari dimensi fraktal, khususnya dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat
memahami dimensi fraktal dan mengetahui langkah penghitungan dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku dan karangan-karangan yang berkaitan dengan topik
skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II. RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL
A. Ruang Metrik
B. Ruang Fraktal
C. Ukuran Lebesgue
D. Fungsi Kompleks
E. Sistem Fungsi Iterasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB III. DIMENSI FRAKTAL
A. Ukuran Hausdorff
B. Dimensi Hausdorff
C. Dimensi Hitung Kotak
BAB IV. DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA.
A. Himpunan Julia
B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL
Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran
Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi.
A. Ruang Metrik
Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, kekontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik
ke titik
, ditulis
( , ), adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang
dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan
oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep himpunan terbuka, himpunan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan
dalam ruang metrik.
Definisi 2.1.1
Misalkan
real :
×
adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada
adalah fungsi bernilai
→ ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:
1.
( , ) ≥ 0, ∀ ,
.
2.
( , )=0↔
= ,∀ ,
3.
( , ) = ( , ), ∀ ,
4.
( , ) ≤ ( , ) + ( , ), ∀ , ,
Sebuah metrik
.
(Simetri).
juga disebut
dilengkapi dengan sebuah metrik
(Ketaksamaan segitiga).
fungsi jarak. Himpunan takkosong
pada
yang
disebut ruang metrik, ditulis ( , ). Ang-
gota-anggota dari himpunan , yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Contoh 2.1.1
Akan dibuktikan bahwa fungsi : ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan sebagai berikut:
( , )=| − |
merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real ℝ.
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa
( , ) merupakan metrik pada himpunan ℝ cukup
dibuktikan bahwa ( , ) memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1.
(1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu
( , ) = | − | ≥ 0, ∀ ,
ℝ.
( , ) = 0, ∀ ,
ℝ⇔
| − | = 0, ∀ ,
ℝ⇔
(2)
−
= 0, ∀ ,
ℝ⇔
= ,∀ ,
ℝ
( , ) = | − |, ∀ ,
(3)
ℝ
= |− + |, ∀ ,
(4)
ℝ
= | − |, ∀ ,
ℝ
= ( , ), ∀ ,
ℝ
( , ) = | − |, ∀ ,
ℝ
= | − + − |, ∀ , ,
ℝ
≤ | − | + | − |, ∀ , ,
ℝ
≤ ( , ) + ( , ), ∀ , ,
ℝ
Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa ( , ) merupakan metrik pada himpunan ℝ, dan disebut metrik biasa pada ℝ.
Contoh 2.1.2
Misalkan
=ℝ ,
=( ,
) dan
=( ,
). Jarak Euclides ( , ) yang diberi-
kan oleh
( , )=
(
−
) +(
−
) ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
adalah metrik dan disebut metrik biasa pada ℝ .
Definisi 2.1.2
Misal
adalah metrik pada ,
adalah titik di , dan
∈
song dari . Jarak antara titik
adalah subhimpunan takko-
dengan subhimpunan
( , )=
didefinisikan:
{ ( , ): ∈ }.
Contoh 2.1.3
= { ∈ ℝ: 0 <
Misalkan
≤ 1} dan
adalah metrik biasa pada ℝ. Jarak
(0, ) =
{ (0, ): 0 <
≤ 1}
(0, ) =
{|0 − |: 0 <
≤ 1}
(0, ) =
{ :0 <
≤ 1} = 0
Definisi 2.1.3
Misal
adalah metrik pada , dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong
dan
dari ruang metrik ( , ). Jarak antara dua subhimpunan takkosong
dari
didefinisikan ( , ) = sup{ ( , ):
dan
∈ }.
Definisi 2.1.4
Misal
adalah metrik pada
. Diameter dari
subhimpunan takkosong dari
didefinisikan:
( )=
Bila ( ) < ∞, maka diameter
ter
{ ( , ): ,
∈ }.
dikatakan berhingga. Bila ( ) = ∞, maka diame-
dikatakan takhingga. Selanjutnya (∅) didefinisikan sama dengan −∞.
Definisi 2.1.5
Suatu metrik
real
pada himpunan takkosong
> 0 sedemikian sehingga
dikatakan terbatas jika terdapat bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
( , ) ≤ ,∀ ,
∈ .
Ruang metrik ( , ) dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas.
Definisi 2.1.6
Diketahui ( , ) suatu ruang metrik,
dan jari-jari
∈
> 0. Bola terbuka dengan pusat
dan
didefinisikan
( )={ ∈ : ( , )< }
Himpunan
[ ]={ ∈ : ( , )≤ }
disebut bola tertutup dengan pusat
dan jari-jari
Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa
> 0. Himpunan kosong dan
jari-jari
= 0 dan jari-jari
.
( )⊂
[ ], untuk setiap
∈
dan
dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan
= ∞. Dalam ruang metrik (ℝ, ), bola terbuka
merupakan selang terbuka ( − , + ), sedangkan bola tertutup
( )
[ ] merupakan
selang tertutup [ − , + ].
Dalam ruang diskret ( , ), bola terbuka
( )=
( ) dapat didefinisikan seperti berikut:
{ } jika 0 < ≤ 1
jika > 1.
Dan bola tertutup didefinisikan
[ ]=
{ } jika 0 < < 1
jik
≥ 1.
Definisi 2.1.7
Misalkan ( , ) adalah sebuah ruang metrik dan
∈ . Subhimpunan
sebut kitar dari titik
jika terdapat sebuah bola terbuka
termuat di
( )⊆
, yaitu
untuk suatu
> 0.
Contoh 2.1.4
Setiap bola terbuka merupakan kitar dari setiap titiknya.
dari
di-
( ) yang berpusat di
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
( ) bola terbuka dan ambil sebarang
Misalkan
∈
( )⊆
( ), yaitu
( ) kitar dari . Jika
∈
( ). Jika
= , maka
≠ , untuk menunjukkan bahwa
( ) merupakan kitar dari , harus ditunjukkan bahwa terdapat
> 0 sedemikian
sehingga
( )⊆
bil sebarang ∈
( ), maka ( , ) < . Diambil
∈
Diketahui bahwa
( ).
( ) , maka ( , ) <
=
−
( , ) > 0. Am-
, sehingga dengan menggunakan ke-taksa-
maan segitiga diperoleh
( , )≤ ( , )+ ( , ) <
Diperoleh bahwa ( , ) < , berarti
∈
+ ( , )= .
( ). Jadi
( )⊆
( ), yaitu
( )
kitar dari .
Definisi 2.1.8
Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan
∈
subhimpunan takkosong dari
disebut titik interior dari subhimpunan
hingga
jika terdapat
. Titik
> 0 sedemikian se-
( )⊂ .
Definisi 2.1.9
Subhimpunan
di
disebut himpunan terbuka jika semua titik dari
interior. Dengan kata lain, subhimpunan
terbuka di
tuk setiap
terhadap metrik
∈ , terdapat
jika
adalah titik
dari suatu ruang metrik ( , ) dikatakan
merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu un-
> 0 sedemikian sehingga
( )⊂ .
Teorema 2.1.1
Setiap bola terbuka
( ) adalah himpunan terbuka.
Bukti:
Diketahui
( ) bola terbuka yang berpusat di . Ambil sebarang ∈
( , ) < . Misalkan
( ) , maka
= − ( , ) > 0 adalah jari-jari bola terbuka dengan pusat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
, yaitu
( ). Ambil sebarang
( ), maka ( , ) < . Dengan menggunakan
∈
sifat ketaksamaan segitiga diperoleh
( , ) ≤ ( , )+ ( , )< + ( , )= .
( , ) < , yang menunjukkan bahwa
Jadi
∈
( ). Maka
( )⊆
( ). Ter-
( ) merupakan himpunan terbuka.
bukti bahwa bola terbuka
∎
Teorema 2.1.2
Dalam setiap ruang metrik ( , )
(1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka
(2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka.
Bukti:
(1) Diberikan
sebarang himpunan dan
terbuka. Akan dibuktikan bahwa
∈ , maka terdapat
∈
∈
dengan
=⋃
∈
adalah keluarga himpunan
adalah terbuka. Ambil sebarang
. Maka
( )⊆⋃
∈
= . Jadi terbukti
(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka
tikan
=⋂
terbuka. Ambil sebarang
= 1, 2, 3, … , . Diketahui
> 0 sedemikian sehingga
Jika diambil
Himpunan
,
terbuka.
,
∈ , maka
,…,
. Akan dibuk-
∈
, untuk setiap
adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat
( )⊆
= min { , , , … ,
untuk setiap = 1, 2, 3, … , . Maka
terbuka.
.
> 0, sedemikian sehingga
merupakan himpunan terbuka, maka terdapat
( )⊆
∈
sedemikian sehingga
, untuk masing-masing
= 1, 2, 3, … , .
}, maka
> 0 dan
( )⊆
⊆⋂
= . Terbukti bahwa
( )⊆
adalah
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.1.10
Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan
∈
subhimpunan takkosong dari
disebut titik limit dari subhimpunan
jika untuk setiap
. Titik
> 0 berlaku
( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅.
Definisi 2.1.11
Himpunan
di
disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota
dari .
Lema 2.1.1
Misalkan ( , ) ruang metrik. Himpunan kosong ∅ dan
adalah himpunan terbuka.
Bukti:
Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi “jika
∈ ∅,
adalah titik interior dari ∅” adalah pernyataan yang benar untuk setiap
∈ .
maka
Jadi ∅ adalah himpunan terbuka.
Selanjutnya, ambil sebarang
Terbukti
∈ . Dipilih
= 1, maka
( )⊆ .
∎
terbuka.
Teorema 2.1.3
Himpunan
dalam ruang metrik ( , ) adalah tertutup jika dan hanya jika
ter-
buka.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa jika
nan
tertutup. Jika
rang
∈
limit
, sehingga ada
, berarti
Terbukti bahwa
=
tertutup, maka
−
= ∅, maka
∉ . Diketahui bahwa
terbuka. Diberikan sebarang himputerbuka. Jika
himpunan tertutup, maka
> 0 sedemikian sehingga
terbuka.
≠ ∅, diambil seba-
( )∩
= ∅. Jadi
bukan titik
( )⊆
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Sebaliknya, diberikan himpunan
∈ . Andaikan
. Akan dibuktikan
kian sehingga
terbuka. Ambil sebarang
( )⊆
( )∩
. Maka
Hal ini kontradiksi karena
∉ , yaitu
titik limit
∈
∈
, maka ada
= ∅. Akibatnya
∈ . Terbukti
. Jadi
dan
titik limit
> 0 sedemi-
bukan titik limit
.
∎
tertutup.
Teorema 2.1.4
Dalam setiap ruang metrik ( , )
(1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
(2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
Bukti:
(1) Misalkan ℱ = { ,
∈ Λ} adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hu-
kum De Morgan diperoleh
=
∈
Menurut Teorema 2.1.3, jika
.
∈
tertutup, maka
terbuka. Himpunan
lah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, ⋃
buka. Jadi (⋃
) =⋂
∈
∈
ada-
adalah ter-
∈
adalah tertutup karena komplemen himpunan
terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3.
(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup
=⋃
dan misalkan
,
=
adalah himpunan tertutup untuk setiap
=⋂
Terbukti bahwa
=⋃
}
.
= 1, 2, 3, … , . Jadi
terbuka untuk setiap = 1, 2, 3, … , . Dengan Teorema 2.1.2, maka ⋂
buka. Jadi
,…,
. Dengan hukum De Morgan diperoleh
=
Himpunan
={
terbuka. Karena
tertutup.
terbuka, maka
ter-
tertutup.
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Teorema 2.1.5
Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup.
Bukti:
[ ] sebarang bola tertutup di ruang metrik ( , ). Akan dibuktikan
Diberikan
[ ] terbuka. Ambil sebarang
bahwa
( , ) > . Misalkan
( , )<
∈
[ ] , maka
[ ]. Hal ini berarti
∉
= ( , ) − > 0. Ambil sebarang
∈
( ), maka
, sehingga
( , )< ( , )−
< ( , )− ( , )
< ( , )+ ( , )− ( , )
< ( , ).
Karena
( , ) > , maka
ngan demikian
∉
[ ], yaitu
∈
[ ] . Jadi
( )⊂
[ ] . De-
[ ] terbuka.
∎
Definisi 2.1.12
Misal ( , ) adalah ruang metrik dan
ngan dari
⊆ . Penutup dari , ditulis ̅, adalah gabu-
dengan himpunan semua titik limitnya. Jadi ̅ =
∪ ′, dengan ′ ada-
lah himpunan semua titik limit .
Contoh 2.1.5
Misal (ℚ, ) ruang metrik dengan metrik biasa dan
anggota himpunan
=
=
:
∈ ℕ ⊂ ℚ. Semua titik
bukan titik limit. Satu-satunya titik limit
adalah nol. Jadi
∪ {0}.
Teorema 2.1.6
Misalkan
(1)
dan
tertutup.
adalah sebarang himpunan dari ruang metrik ( , ). Maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
(2) Jika
⊆ , maka ̅ ⊆ .
=
jika dan hanya jika
(3)
tertutup.
(4) ̅ adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat .
(5) ̅ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat .
(6)
∪
= ̅∪ .
(7)
∩
⊆ ̅∩ .
Bukti:
(1) Untuk membuktikan bahwa ̅ tertutup, akan dibuktikan bahwa
∈ ̅ ada
untuk setiap
maka
∉
sebarang
∈
̅ ≠ ∅, ambil sebarang
∉ ′. Maka ada
dan
( ), maka ( , ) <
∈ ̅ , maka
( ). Jadi
∈
= ∅, yang berarti
= ∅. Ambil
− ( , ). Ambil sebarang
=
. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
( , )≤ ( , )+ ( , )< −
sehingga
̅ = ∅,
∉ ̅, sehingga
( )∩
> 0 sedemikian sehingga
( ), maka ( , ) < . Misal
∈
( ) ⊆ ̅ . Jika
> 0 sedemikian sehingga
̅ terbuka. Jika
̅ terbuka, yaitu
( )⊆
∉
( ). Karena
∉ ′, yaitu
dan
+
=
( )∩
( )∩
= ∅, maka
∉ ̅, sehingga
∈ ̅ . Maka
( ) ⊆ ̅ Jadi ̅ terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti ̅ tertutup.
(2) Ambil sebarang
( )∩
∈ ̅, maka
≠ ∅. Jadi
(3) Akan dibuktikan jika
tertutup. Karena
tup, maka
( )∩
≠ ∅, ∀ > 0. Karena
∈ , sehingga terbukti ̅ ⊆ .
= ̅, maka
= ̅, jadi
tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa
tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika
= ̅. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa
⊇ ̅. Berdasarkan definisi penutup , yaitu ̅ =
Kemudian diambil sebarang
⊇ ̅. Jika
⊆ , maka
∈ ′, maka
. Jadi terbukti
∈ ̅, maka
titik limit
∈
∪ ′, maka
atau
⊇ ̅. Dengan demikian terbukti bahwa
tertu-
⊆ ̅ dan
⊆ ̅.
∈ ′. Jika
. Diketahui bahwa
∈ , maka
tertutup, maka
= ̅.
̅
∈
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
(4) Misalkan
adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat
⊆ . Dengan menggunakan (2) dan (3)
merupakan himpunan tertutup dan
̅⊆
diperoleh
=
karena
̅ ⊆ . Selanjutnya
tertutup. Jadi
himpunan tertutup yang memuat . Himpunan
̅ merupakan
adalah irisan dari semua himpu-
⊆ ̅. Terbukti
nan tertutup yang memuat . Jadi
. Jadi
(5) Akibat dari bukti (4), maka ̅ ⊆ . Penutup dari
= ̅.
merupakan himpunan tertutup
yang memuat . Jadi ̅ merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat .
(6) Karena
⊆
⊆
∪
∪ . Jadi
∪ , maka dengan (2) diperoleh
⊆
dan
̅∪
⊆
∈
∪ . Andaikan
∉ , sehingga terdapat bola terbuka
min { , }. Bola terbuka
tidak benar. Jadi
(7) Karena
∩
∩
⊆
⊆ . Jadi
∉ ̅ ∪ . Maka
dan
∪
⊆
∉ ̅ dan
( ) yang tidak memuat titik di , dan
( ) yang tidak memuat titik di
terdapat bola terbuka
∈
∪
∪ . Kemudian, harus dibuktikan bahwa
̅ ∪ . Diambil sebarang
kontradiksi karena
̅⊆
=
. Misalkan
( ) tidak memuat titik-titik dari
∪ . Hal ini
∉ ̅∪
∪ . Dengan demikian pengandaian bahwa
⊆ ̅∪ .
∪
⊆ , maka dengan (2) diperoleh
∩
dan
⊆ ̅ dan
∩
⊆ ̅∩ .
∩
∎
Teorema 2.1.7
Misalkan ( , ) ruang metrik dan
⊂ , maka
̅={ ∈ :
( )∩
≠ ∅, ∀ > 0}
Bukti:
Ambil sebarang
( )∩
hingga
∈ ̅, maka
≠ ∅, ∀ > 0. Jika
( )∩
atau
∈ ′, maka
∈ ′. Jika
∉ , maka
=
( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅, ∀
∈
∈ , maka jelas bahwa
( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅, ∀ > 0, se-
≠ ∅, ∀ > 0. Terbukti ̅ ⊆ { ∈ :
Selanjutnya, ambil sebarang
Misalkan
∈
( )∩
sedemikian sehingga
− { }. Diketahui bahwa
> 0, yaitu
∈ ′. Jadi
∈
( )∩
atau
≠ ∅, ∀ > 0}.
( )∩
≠ ∅, ∀ > 0.
≠ ∅, ∀
> 0, maka
∈ ′, yaitu
∈ ̅.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
̅⊇{ ∈ :
Terbukti
( )∩
≠ ∅, ∀ > 0}.
Dengan demikian terbukti ̅ = { ∈ :
( )∩
≠ ∅, ∀ > 0}.
∎
Definisi 2.1.13
Misalkan ( , ) suatu ruang metrik. Barisan {
∈
titik
(
lim
=
→
≥
sedemikian sehingga
disebut limit barisan {
. Titik
} dan ditulis
→ . Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan
atau
perkataan lain, barisan {
} di
dikatakan konvergen ke suatu titik
( ) yang berpusat di
hanya jika untuk sebarang bola terbuka
positif
dikatakan konvergen ke suatu
> 0 terdapat bilangan positif
jika untuk setiap
, ) < , untuk setiap
} di
sedemikian sehingga
∈
( ) untuk semua
≥
∈
jika dan
terdapat bilangan
.
Teorema 2.1.8
Jika ( , ) adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di
yang konvergen akan
konvergen ke satu titik.
Bukti:
Diberikan barisan {
} yang konvergen. Andaikan barisan {
dan titik
yang berbeda. Ambil sebarang
> 0, maka ada
sehingga
(
dan
Ambil
, )<
= max {
untuk setiap
,
}, maka untuk
( , )≤ ( ,
Jadi untuk setiap
≥
> 0 berlaku
≥
)+ (
(
, )<
} konvergen ke titik
,
∈ ℕ sedemikian
untuk setiap
≥
.
berlaku
, )<
2
( , ) < . Ini berarti
+
2
= .
= . Terbukti bahwa bari∎
san konvergen ke satu titik.
Definisi 2.1.14
Sebuah barisan {
setiap
} dalam ruang metrik ( , ) disebut barisan Cauchy jika untuk
> 0 terdapat bilangan bulat positif
untuk setiap ,
>
.
sedemikian sehingga
(
,
)< ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Teorema 2.1.9
Setiap barisan {
} yang konvergen di ruang metrik ( , ) adalah barisan Cauchy.
Bukti:
Diberikan ruang metrik ( , ) dan barisan {
ngan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap
(
, )<
berlaku (
>
untuk setiap
,
)≤ (
} di ( , ) yang konvergen ke . De> 0 terdapat
sedemikian sehingga
,
. Dengan ketaksamaan segitiga, untuk
, )+ ( ,
) < + = . Jadi {
≥
} merupakan barisan
∎
Cauchy.
Contoh 2.1. 6
Diberikan barisan {
real dan
}=
di ruang metrik ( , ) dengan
adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan {
= (0, 1] pada garis
} merupakan barisan
Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ .
Penyelesaian:
Diberikan
dimisalkan
> 0, terdapat
≥
< . Untuk setiap
≥
≥
dan
dan
berlaku
(
Barisan {
sehingga
,
1 1
1 1
1
1
,
= −
< ≤ < .
)=
} merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉
.
Definisi 2.1.15
Misalkan {
} adalah barisan di ruang metrik ( , ). Barisan {
langan bulat positif dengan
san dari {
}.
<
<
< ⋯, maka barisan
} adalah barisan bidisebut subbari-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Korolari 2.1.1
Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik ( , ) memuat subbarisan yang
konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya.
Bukti:
Diberi {
} barisan Cauchy di
positif
sedemikian sehingga
> 0, terdapat bilangan bulat
. Maka untuk setiap
(
)<
,
adalah subbarisan yang konvergen ke . Karena {
,
positif yang bersifat naik, maka
( ,
Untuk
)≤
→ ∞, maka
,
<
+
,
≥
. Misalkan
} adalah barisan bilangan
,
untuk
<
→ 0, sehingga ( ,
,
,
untuk setiap
≥
. Diperoleh
,
+ .
)< .
∎
Definisi 2.1.16
Suatu ruang metrik ( , ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam
kon-
vergen ke suatu titik di .
Contoh 2.1.7
Ruang ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap.
Diberikan {
} barisan Cauchy di ℝ, maka untuk
sehingga |
−
|<
untuk semua
sedemikian sehingga|
−
,
, dan misalkan
=
kian sehingga |
−
dan diperoleh barisan {
=
=
dan misalkan
≥
. Misal
sedemikian sehingga |
>
. Kemudian dipilih
|<
,
∈ ℕ sedemikian
= , maka terdapat
. Dipilih
| < , untuk semua
= , maka terdapat
Kemudian dipilih
≥
> 0 terdapat
, maka terdapat
>
=
−
.
|<
sedemi-
. Langkah di atas terus berlanjut
} sedemikian sehingga
|
−
|=
−
< , untuk
|
−
|=
−
<
, untuk
>
>
.
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
|
|=
−
−
<
, untuk
>
.
⋮
Karena
−
|
−
=
−
|
Diperoleh |
|=
+
−
|=
−
| < . Jadi {
−
terbukti bahwa {
−
<
+
|
, untuk
−⋯−
}=
.
, maka
|<
−
>
2
= .
2
konvergen ke
. Dengan Korolari 2.1.1,
} barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16,
ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap.
Contoh 2.1.8
= { ∈ ℝ|0 <
Himpunan
≤ 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik ti-
= . Dalam Contoh 2.1.6 sudah dibuktikan bahwa {
dak lengkap. Diberikan
adalah barisan Cauchy yang konvergen ke 0. Ruang metrik
terdapat barisan Cauchy di
}
tidak lengkap karena
yang tidak konvergen.
Definisi 2.1.17
Misal ( ,
∈
) dan ( ,
jika untuk setiap
untuk setiap
Jika
) adalah ruang metrik . Fungsi :
> 0 terdapat
yang memenuhi
→
dikatakan kontinu di
( ), ( ) <
> 0 sedemikian sehingga
( , )< .
kontinu di setiap titik di , maka
dikatakan kontinu pada .
Contoh 2.1.9
Jika ( ,
) dan ( ,
) ruang metrik, maka fungsi konstan :
→
kontinu.
Penyelesaian:
Diberikan
>0
( ), ( ) =
dan
∈ .
( , )=0<
Untuk
fungsi
untuk setiap
konstan
∈ .
( )= ,
berlaku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Contoh 2.1.10
Diketahui ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Diberikan fungsi : ℝ → ℝ dengan
definisi ( ) =
untuk semua
∈ ℝ. Tunjukkan bahwa
kontinu.
Penyelesaian:
∈ ℝ. Diberikan
Diambil sebarang
∈ ℝ yang memenuhi | − | <
untuk setiap
Jika
> 0, harus dicari
> 0 sedemikian sehingga
berlaku | ( ) − ( )| < .
= 1, maka untuk | − | < 1 berlaku
| + | = | − + 2 | ≤ | − | + |2 | < 1 + |2 |
Dengan demikian jika dipilih
| − |<
untuk = 1 ≤
|
Terbukti
|
|
−
|
| ( ) − ( )| = |
=
1,
|
|
, maka untuk
yang memenuhi
berlaku
| ( ) − ( )| = |
untuk
= min
| = | − || + | < (1 + |2 |) ≤
|
|
|
|
(1 + |2 |) = ,
, dan
−
| = | − || + | < ( + |2 |) ≤
(1 + |2 |) =
,
< 1.
kontinu di .
Contoh 2.1.11
Diberikan fungsi : ℝ → ℝ yang didefinsikan oleh
( ) = sin
di ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Fungsi
merupakan fungsi yang kontinu.
Himpunan terbuka (0, 2 ) di ℝ dipetakan ke himpunan tertutup [−1,1] di ℝ.
Teorema 2.1.10
Diketahui ( ,
) dan ( ,
) ruang metrik. Fungsi :
jika untuk setiap himpunan terbuka
Bukti:
di ,
→
kontinu jika dan hanya
( ) adalah himpunan terbuka di .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Misalkan
kontinu dan
adalah sebarang subhimpunan terbuka di
( ) = { ∈ : ( ) ∈ } terbuka di
ditunjukkan
( ) terbuka. Jika
Diketahui bahwa
( ) ≠ ∅, ambil sebarang
terbuka, maka terdapat bola terbuka
( ) ⊆ . Karena
hingga
( ) ⊆
kian sehingga
( ) = ∅, maka
. Jika
∈
( ), maka
( )⊆
( )∈ .
( ) sedemikian se-
kontinu, maka terdapat bola terbuka
( ) ⊆ . Jadi
. Akan
( ) sedemi-
( ) sehingga
( )
terbuka.
( ) terbuka untuk setiap himpunan terbuka
Berikutnya akan dibuktikan jika
, maka :
→
( )
himpunan terbuka di , maka
Karena
∈
kontinu. Ambil sebarang
( ) . Jadi
( ) ⊆
> 0. Bola
( ) adalah
juga terbuka.
( ) , maka terdapat
∈
dan
di
> 0 sedemikian sehingga
( ) . Terbukti bahwa
( )⊆
kontinu di setiap titik
∎
dari .
Teorema 2.1.11
Diketahui ( ,
) dan ( ,
) ruang metrik. Fungsi :
jika untuk setiap subhimpunan tertutup
di ,
→
kontinu jika dan hanya
( ) tertutup di .
Bukti:
Diberikan :
→
kontinu dan
terbuka sehingga
(
himpunan tertutup di . Karena
) terbuka. Karena
( ) tertutup. Jadi terbukti bahwa
Sebaliknya, misalkan
Maka
=
terbuka di
)=
( )
terbuka, maka
( ) tertutup di .
( ) tertutup di
dan
(
tertutup, maka
( )
ngan Teorema 2.1.10 terbukti bahwa fungsi
untuk setiap subhimpunan tertutup
=
(
kontinu.
)=
di .
( ) terbuka di . De∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.1.18
Misalkan ( ,
) dan ( ,
) adalah dua ruang metrik. Fungsi :
> 0 ada
kontinu seragam jika untuk setiap
( ), ( ) <
untuk setiap ,
∈
→
dikatakan
> 0 sedemikian sehingga
( , )< .
yang memenuhi
Contoh 2.1.12
Fungsi : (0, 1) → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) = tidak kontinu seragam.
Ambil
= dan sebarang
> 0. Dipilih
=
dan
=
1
1
+1
< .
di mana
Maka
( , )=| − |=
=
tetapi
−
1
1
< <
( + 1)
( ), ( ) = | − ( + 1)| = 1 > .
Contoh 2.1.13
Fungsi : [0, 1] → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) =
tinu seragam. Diberikan
> 0 dan dipilih
merupakan fungsi yang kon-
= . Untuk sebarang
,
∈ [0, 1] yang
memenuhi | − | < , berlaku
| ( ) − ( )| = |
−
|
= | + || − | ≤ 2| − | < .
Terbukti bahwa fungsi
kontinu seragam pada interval [0, 1].
Definisi 2.1.19
Misal ( , ) adalah ruang metrik. Keluarga subhimpunan
sebut selimut dari subhimpunan
Jika setiap
terbuka di , maka
di
jika
={
:
⊆⋃
∈
={
:
∈ } di
.
∈ } disebut selimut terbuka dari .
di-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Jika ℋ merupakan selimut terbuka dari
dan ℋ ⊂ , maka ℋ disebut subselimut
terbuka dari .
Definisi 2.1.20
dari ruang metrik ( , ) dikatakan kompak jika setiap selimut ter-
Subhimpunan
buka dari
memuat subselimut berhingga, yaitu untuk setiap keluarga himpunan ter-
={
buka
,
,
∈ } dengan
:
,…,
⊆⋃
,
∈
sedemikian sehingga
terdapat subkeluarga berhingga
⊆⋃
.
Contoh 2.1.14
Ruang metrik ( , ) dengan
Misalkan
⊆⋃
∈
∈
={ ,
,
himpunan berhingga adalah himpunan kompak.
}, dan
…,
. Untuk
sedemikian sehingga
kian sehingga
∈
, ada
∈
∈
={
:
∈ } selimut terbuka untuk , yaitu
∈
sedemikian sehingga
, dan seterusnya, untuk
. Diperoleh ℋ =
,
,
,…,
berhingga dari
yang merupakan subselimut dari , maka
hingga ℋ. Jadi
kompak.
, untuk
ada
∈
ada
sedemi-
adalah subkeluarga
memuat subselimut ber-
Teorema 2.1.12
Setiap subhimpunan tertutup dari ruang metrik yang kompak merupakan himpunan
yang kompak.
Bukti:
Misalkan ( , ) ruang metrik yang kompak, dan
adalah sebarang subhimpunan
takkosong dan tertutup dari . Akan ditunjukkan bahwa
Misalkan
⋃
∈
bahwa
kompak.
={
. Jika
:
kompak.
∈ } keluarga himpunan-himpunan terbuka di
= (⋃
∈
kompak, maka
)∪
, maka
selimut terbuka dari
dan
⊆
. Diketahui
memiliki subselimut berhingga yang memuat
. Jadi
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Contoh 2.1.15
Ruang metrik ℝ dengan metrik biasa bukan merupakan ruang yang kompak. Selimut
– ,
terbuka
:
(− , ) = ℝ tidak memiliki subselimut ber-
∈ ℕ dengan ⋃
hingga. Jadi ℝ tidak kompak.
Definisi 2.1.21
Himpunan
> 0 sedemikian sehingga
dikatakan terbatas jika terdapa bilangan
untuk setiap ,
berlaku ( , ) <
∈
.
Teorema 2.1.13
Setiap subhimpunan
yang kompak di ruang metrik ( , ) adalah himpunan yang
tertutup dan terbatas.
Bukti :
Diketahui
subhimpunan yang kompak. Untuk membuktikan bahwa
dibuktikan
∈
terbuka. Diambil sebarang
sehingga dapat dibuat bola terbuka
( )( ) ∩
dari
,
( ) = ∅. Koleksi
⊆⋃
, yaitu
,
,…,
∈
=
dan
∈ . Misal
=
( , )>0
( ) dan
( ) sedemikian sehingga
( ): ∈
merupakan selimut terbuka
( ). Diketahui bahwa
sedemikian sehingga
tertutup, akan
⊆⋃
kompak, maka ada
( ). Misal
=⋂
( ).
Dengan Teorema 2.1.2 (2), yaitu irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka
adalah terbuka, maka
( )∩
( ) = ∅, ∀ = 1,2,3, … , maka
( )∩ ⋂
Karena
merupakan himpunan yang terbuka yang memuat . Karena
⊆⋃
( ) =
( )∩
( ), maka
( )∩
= ∅. Sehingga ⋃
∩
= ∅. Jadi
⊆
. Karena
= ∅.
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
⋃
, maka dengan Teorema 2.1.2 (1)
∈
bukti bahwa
tertutup.
adalah himpunan terbatas. Misalkan {
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
adalah selimut dari
,
,
terbuka. Dengan Teorema 2.1.3 ter-
,…,
= max
sedemikian
,
∈
kompak, maka terdapat
. Ambil sebarang ,
( ) dan
( ).
Misalkan
∈ , maka ada
dan
⊆⋃
sehingga
,1 ≤ < ≤
sedemikian sehingga
( ). Karena
⊆⋃
, yaitu
∈
( )}
. Dengan ketaksamaan segitiga
diperoleh
( , )≤ ( ,
Terbukti bahwa
)+
,
+
,
≤1+
+1= 2+
.
∎
terbatas.
B. Ruang Fraktal
Diberikan ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Misalkan ℋ( ) adalah keluarga
subhimpunan takkosong yang kompak dari , yaitu
ℋ( ) = { :
⊂ ,
≠ ∅,
kompak}.
Definisi 2.2.1
Misal ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Jarak Hausdorff antara
dan
di ℋ ( )
adalah
ℎ( , ) = max{ ( , ), ( , )}.
Teorema 2.2.1
ℎ adalah sebuah metrik pada ℋ( ).
Bukti:
Untuk menunjukkan bahwa ℎ adalah metrik, maka harus dibuktikan bahwa ℎ memenuhi sifat-sifat metrik.
(1) ℎ( , ) = max { ( , ), ( , )}. Jika ℎ( , ) = ( , ), maka
ℎ( , ) = ( , ) = sup{ ( , ):
∈ }
= sup inf{ ( , ): ∈ } :
∈
≥ 0,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
karena
adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥ 0.
Jika ℎ( , ) = ( , ), maka
ℎ( , ) = ( , ) = sup{ ( , ):
∈ }
= sup inf{ ( , ):
karena
(2) Jika
∈ }: ∈
≥ 0,
adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥ 0.
= , maka untuk ∀ ∈
memenuhi ( , ) = 0 dan ∀ ∈
memenuhi
( , ) = 0. Dengan Definisi 2.2.1, maka
ℎ( , ) = max{ ( , ), ( , )}
= max sup{ ( , ):
∈ }, sup{ ( , ): ∈ }
=0
Selanjutnya, jika ℎ( , ) = 0, maka max{ ( , ), ( , )} = 0 sehingga
( , ) = 0 dan ( , ) = 0. Karena
} = 0 sehingga ∀ ∈
( , ) = 0, maka sup { ( , ):
berlaku inf{ ( , ): ∈ } = 0. Ambil sebarang
maka inf{ ( , ): ∈ } = 0. Jadi terdapat
( , ) = 0, yaitu
Begitu juga untuk
= . Jadi
( , ) = 0. Karena
} = 0 sehingga ∀ ∈
maka inf{ ( , ):
( , ) = 0, yaitu
maka
∈ , maka
sedemikian sehingga
( , ) = 0, maka sup { ( , ): ∈
berlaku inf{ ( , ):
Jadi
∈ ,
⊆ .
∈ } = 0. Ambil sebarang
∈ } = 0. Jadi terdapat
=
∈
∈
∈ , maka
∈
∈ ,
sedemikian sehingga
⊆ . Terbukti jika ℎ( , ) = 0,
= . Dengan demikian terbukti bahwa ℎ( , ) = 0 jika dan hanya jika
= .
(3) ℎ( , ) = max { ( , ), ( , )} = max { ( , ), ( , ) } = ℎ( , ).
(4) ℎ( , ) = max { ( , ), ( , )}
≤ max{ ( , ) + ( , ), ( , ) + ( , )}
≤ max{ ( , ), ( , )} + max{ ( , ), ( , )}
≤ ℎ ( , ) + ℎ( , )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Dari (1), (2), (3) dan (4) terbukti bahwa ℎ adalah metrik pada ℋ ( ).
∎
C. Ukuran Lebesgue
Sebelum pembahasan yang lebih lanjut, berikut ini adalah kesepakatan-kesepakatan yang akan digunakan dalam pembahasan Teori Ukuran:
(1) Jika
∈ ℝ, maka −∞ <
(2) Jika
∈ ℝ, maka
< ∞.
+ ∞ = ∞,
− ∞ = −∞, ∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞, ∞ −
∞ = tidak terdefinisi.
(3) Jika
∈ ℝ dan
> 0, maka
× ∞ = ∞.
(4) Jika
∈ ℝ dan
< 0, maka
× ∞ = −∞, × (−∞) = ∞.
(5) Jika
= 0 ∈ ℝ, maka
× ∞ = 0.
Definisi 2.3.1
Panjang interval-interval ( , ), ( , ], [ , ), [ , ] adalah
ℓ( ) =
− .
Definisi 2.3.2
Misalkan
, , , … adalah interval-interval yang saling asing. Maka
ℓ( ∪
∪
∪ … ) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯.
Berdasarkan definisi di atas jelas bahwa panjang dari gabungan interval-interval
yang saling asing adalah jumlah panjang interval-interval tersebut.
Definisi 2.3.3
Panjang dari himpunan terbuka
=⋃
, dengan
adalah interval-interval ter-
buka yang saling asing, adalah
ℓ( ) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯ =
Panjang dari himpunan kosong adalah
ℓ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
ℓ(∅ ) = 0.
Contoh 2.3.1
Hitunglah panjang himpunan
1
≤
2
<
1
≤
2
<
1
1
,
2 2
=
=
:
=
:
1
.
2
Penyelesaian:
=
=
, 1), maka ℓ( ) = 1 − ,
=
,
, maka ℓ( ) = − ,
=
,
, maka ℓ( ) = − ,
dan seterusnya sampai ke
−
. Interval
=
dan diperoleh
1
2
yang panjangnya ℓ( ) =
,
adalah interval yang saling asing sehingga
ℓ( ) = ℓ
=∑
ℓ( )
= ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯ + ℓ( ) + ⋯
= 1− + − + − +⋯+
= lim
Jadi panjang himpunan
→
1−
−
+⋯
= 1.
adalah 1.
Definisi 2.3.4
Himpunan
dikatakan terhitung jika
≠ ∅ atau
yang ekivalen dengan himpunan semua bilangan asli.
berhingga atau
tak berhingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Definisi 2.3.5
Koleksi
yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari
disebut aljabar
himpunan jika dan hanya jika memenuhi
(1) ∅,
∈
;
∈
(2) Jika
(3) Jika ,
∈
, maka
∈
;
∪
, maka
∈
.
Definisi 2.3.6
Koleksi
yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari
disebut aljabar- jika
dan hanya jika memenuhi
(1) ∅,
∈
;
(2) Jika
∈
(3) Jika
,
∈
, maka
,
Pasangan ( ,
,… ∈
;
∈
, maka ⋃
.
) disebut ruang terukur.
Definisi 2.3.7
Fungsi :
(1)
(2)
→ ℝ, dengan
suatu aljabar- disebut ukuran pada
( ) ≥ 0 untuk setiap
,
Jika
(⋃
)=∑
Tripel ( ,
,
,… ∈
∈
dan
jika :
;
∩
= ∅ untuk ≠ , maka
( ) (sifat aditif terhitung)
, ) disebut ruang ukuran.
Definisi 2.3.8
Ukuran luar Lebesgue dari suatu himpunan
∗(
= {∑
dengan
⋃
}.
ℓ( ) :
⊆ ℝ adalah bilangan real tak negatif
) = inf
adalah barisan interval sedemikian sehingga
⊆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Barisan interval { }
merupakan selimut dari . Jadi, ukuran luar Lebesgue dari
adalah infimum dari semua panjang selimut yang mungkin untuk
dijamin oleh
. Adanya inf
yang merupakan himpunan takkosong dan merupakan barisan yang
terbatas ke bawah, yaitu oleh nol.
Teorema 2.3.1
Jika
⊆ , maka
∗(
∗(
)≤
).
Bukti:
Misalkan ⊆
. Ambil sebarang barisan { } selimut dari . Maka
Jadi, setiap selimut dari
≤ inf
inf
. Jadi
∗(
⊆
juga merupakan selimut dari , sehingga
∗(
)≤
).
⊆⋃
⊂
.
, maka
∎
Teorema 2.3.2
Ukuran luar
{
∗
bersifat subaditif terhitung, yaitu untuk sebarang barisan himpunan
} berlaku
∗
∗(
≤
).
Bukti:
= 2, yaitu
Pertama akan dibuktikan untuk n = 1 sampai
∗(
∪
∗(
)≤
∗(
)+
).
Akan ditunjukkan
∗(
Ambil
∪
)≤
∗(
)+
∗(
> 0, maka terdapat barisan selimut { } dari
)+ .
dan { } dari
sehingga
ℓ( ) ≤
∗(
)+
ℓ( ) ≤
∗(
)+ .
2
2
sedemikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Mak ∑
ℓ( ) + ∑
∗(
ℓ( ) ≤
Barisan dari interval-interval { ,
∗(
∪
)≤∑
Jika ∑
,
ℓ( ) + ∑
∗(
)+
,
,
)+ .
, … } menyelimuti
,
∪
ℓ( ) . Jadi
∗(
∪
∗(
) = ∞, maka pertidaksamaan benar. Misalkan ∑
)≤
ℓ( ) +
∗(
ℓ( ) ≤
> 0, terdapat barisan selimut { } dari
Untuk setiap
sehingga
ℓ( ) ≤
∗(
)+
2
∗(
)+
)+ .
∗(
) < ∞.
sedemikian sehingga
.
Kemudian diperoleh bahwa
∗(
ℓ( ) ≤
∗(
ℓ( ) ≤
)+
2
)+ <∞
,
Barisan interval { } menyelimuti ⋃
∗
sehingga
∗(
ℓ( ) ≤
≤
) + < ∞.
,
Jadi terbukti bahwa
∗(
⋃
)≤∑
∗(
∎
).
Contoh 2.3.2
Buktikan jika
∗(
∗(
) = 0 maka untuk sebarang himpunan
berlaku
∗(
∪ )=
).
Penyelesaian:
Diketahui
∗(
) = 0. Ambil sebarang himpunan
, maka
rema 2.3.1
∗(
Dengan Teorema 2.3.2
)≤
∗(
∪ ).
⊆
∪ . Dengan Teo-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
∗(
Karena
Jadi
∗(
∗(
)≤
∗(
∗(
)≤
∗(
)+
∪ )≤
∗(
∪ )≤
∗(
).
) = 0, maka
∪ )=
∗(
∗(
).
).
Contoh 2.3.3
∗(
Buktikan jika
∗(
∆ ) = 0, maka
∗(
)=
).
Penyelesaian:
Diketahui bahwa
⊆
Karena
∗(
∆ ) = 0. Himpunan
∪ , maka
∪
=
∪ ( ∆ ).
∪ ( ∆ ). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema
⊆
2.3.2
∗(
Jadi
∗(
Karena
∗(
)≤
⊆
∪
)≤
∗
∪( ∆ ) ≤
∗(
)+
∗(
∆ ).
).
juga, maka
∪ ( ∆ ). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema
⊆
2.3.2
∗(
Jadi
∗(
)≤
Terbukti
∗(
∗(
)=
)≤
∗
∪( ∆ ) ≤
∗(
)+
∗(
∆ ).
).
∗(
).
Definisi 2.3.9
Himpunan
⊆ ℝ dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap
∗(
dan ditulis
)=
∗(
∩ )+
∗(
∩
⊆ ℝ berlaku
),
∈ ℳ, dengan ℳ adalah koleksi semua himpunan yang terukur Lebes-
gue.
Karena
= ( ∩ )∪( ∩
∗(
), maka dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh
∗(
)≤
sehingga untuk membuktikan bahwa
∗(
)≥
∗(
∩ )+
∗(
∩
),
terukur Lebesgue cukup ditunjukkan
∩ )+
∗(
∩
), ∀ ⊆ ℝ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Selanjutnya himpunan yang terukur Lebesgue disebut himpunan terukur.
Teorema 2.3.3
(1) ℝ ∈ ℳ.
(2) Jika
∈ ℳ, maka
∈ ℳ.
(3) Jika
∈ ℳ,
= 1, 2, 3, …, maka ⋃
(4) Jika
∈ ℳ,
= 1, 2, 3, …, maka
∈ ℳ.
∈ ℳ.
Bukti:
∀ ⊆ ℝ.
∗(
∗(
∩ ℝ = , maka
∗(
∩ℝ )=
∗(
⊆ ℝ. Akan dibuktikan
(1) Ambil sebarang
).
∗(
∩ ℝ) +
∗(
∩ ℝ) +
∩ ℝ = ∅, maka
∗(
∩ℝ )=
∈ ℳ dan sebarang
∗(
∗(
)+0 =
⊆ ℝ. Karena
∗(
)
∈ ℳ, maka berlaku
)=
∗(
∩ )+
=
∗(
∩
)+
∗(
∩ )
=
∗(
∩
)+
∗(
∩(
∈ ℳ dan
∩
= ∅. Karena
∗(
)=
∗(
∩
)+
∗(
∩
),
)=
∗(
∩
)+
∗(
∩
)
)
∩
) ).
∈ ℳ.
Terbukti
,
(3) Misalkan
dan karena
∈ ℳ, maka
∈ ℳ, maka
∗(
untuk setiap
⊆ ℝ.
Maka
∗(
∩
∩ ℝ ),
∅) = 0. Maka
∗(
(2) Ambil sebarang
∗(
∩ ℝ) =
∗(
)=
)=
∗
( ∩
=
∗
∩(
=
∗(
∩
+
∗
( ∩
) +
∗
∩(
)∩
∩
)+
∗(
∩(
∪
) ).
)∩
∩
.
) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Jadi
∗(
∗(
)=
∗(
)+
∩
∩
)+
∗(
∗
∩(
∪
) ,
∩(
∪
) ).
∩(
) ).
∪
Dengan sifat subaditif ukuran luar, diperoleh
∗(
∩
∗(
)+
∩
)≥
∪
) +
sehingga
∗(
)≥
∗
∩(
∗(
∪
Hasil di atas cukup untuk menunjukkan bahwa
∈ ℳ.
Selanjutnya
∗(
(
∪
∪
)=
∗
=
∗(
)+
∗(
)+
=
∗(
)+
∗(
)
(
∪
)∩
∗
+
(
∪
)∩
+
∗
(
∪
)∩
)
∅)
= 1, 2.
Terbukti untuk
Sudah dibuktikan bahwa untuk
∗(
untuk setiap
∗(
∗(
)=
∩
dan
yang saling asing berlaku
∗(
)+
∩
∗(
)+
∩(
∪
) )
⊆ ℝ.
= 1, 2, …
Secara umum, untuk
∗(
)=
berlaku
∗(
∩
)+
∗
∩
.
Dari persamaan di atas, maka ketidaksamaan berikut juga berlaku
∗(
Karena
∗ ((
⋃
(⋃
)≥
) ⊆ (⋃
) )≤
∗ ((
∗(
⋃
)≥
∗(
)
∩
)+
maka
∗
∩
menurut
.
Teorema
) ) sehingga
∗(
∩
)+
Dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh
∗
∩
.
2.3.1
berlaku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
∗(
)≥
∩
∗
∩
,
sehingga
∗(
)≥
∩
∗
+
∩
.
∈ ℳ.
Terbukti bahwa ⋃
= 1,2, …, maka menurut Teorema 2.3.3(2)
∈ ℳ,
(4) Diketahui
∗
= 1,2, … sehingga dengan Teorema 2.3.3(3) diperoleh bahwa ⋃
Menurut Teorema 2.3.3(2) maka (⋃
(⋃
) =⋂
(
) =⋂
∈ ℳ,
∈ ℳ.
) ∈ ℳ. Dengan Hukum De Morgan,
∈ ℳ . Jadi, terbukti bahwa irisan dari
himpunan-himpunan di ℳ juga berada di ℳ.
∎
Teorema 2.3.3 menunjukkan bahwa ℳ tertutup terhadap komplemen gabungan
dan irisan koleksi terhitung himpunan.
Definisi 2.3.10
Jika
∈ ℳ, maka
∗(
) ditulis
( ) dan disebut ukuran Lebesgue himpunan .
Teorema 2.3.4
Jika ,
∈ ℳ dan
⊂ , maka
( )≤
( ).
Bukti:
Diketahui
maka
∗(
⊆ , maka menurut Teorema 2.3.1
)=
( ) dan
∗(
)=
( ). Jadi
∗(
)≤
( )≤
∗(
). Karena ,
( ).
∈ ℳ,
∎
Definisi 2.3.11
Misalkan ( , ) ruang metrik. Aljabar- terkecil yang memuat semua himpunan terbuka dalam
disebut Aljabar- Borel . Anggota ℬ disebut himpunan Borel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
D. Fungsi Kompleks
Definisi 2.4.1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
ngan
Jika
dan
=
+
atau
=
+
de-
= −1.
bilangan real dan
+
=
menyatakan sebarang bilangan kompleks, maka
dari , ditulis Re( ), sedangkan
adalah bagian real
adalah bagian imajiner dari , ditulis Im( ).
Himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan ℂ.
Bilangan kompleks
dapat digambarkan secara geometris sebagai titik ( , ) di
+
bidang Cartesius ℝ × ℝ.
Definisi 2.4.2
=
Untuk setiap bilangan kompleks
+
, bilangan kompleks ̅ =
−
disebut
konjugat bilangan .
Definisi 2.4.3
Bilangan kompleks
=
dan
=
=
+
= +
dan
dikatakan sama jika dan hanya jika
. Dengan kata lain, dua bilangan kompleks sama jika dan hanya
jika bagian realnya sama dan bagian imajinernya juga sama.
Definisi 2.4.4
Jika
=
+
dan
= +
adalah dua bilangan kompleks, maka penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian didefinisikan sebagai berikut:
(1) ( +
)+( +
)=( + )+ ( + )
(2) ( +
)−( +
)=( − )+ ( − )
(3) ( +
)×( +
)=(
(4) ( +
)÷( +
)=
−
)+ (
+
+
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Definisi 2.4.5
Modulus dari bilangan kompleks
real taknegatif | | = √
+
=
+
, dinyatakan dengan | |, adalah bilangan
. Modulus dari
juga disebut nilai mutlak dari .
Definisi 2.4.6
=
Bilangan
=
yaitu
+
(cos
= cos
dapat dinyatakan dengan rumus Euler
+ sin ) =
+ sin ,
, yang disebut bentuk kutub bilangan kompleks
z.
Definisi 2.4.7
Fungsi
yang terdefinisi pada himpunan semua bilangan kompleks ℂ dikatakan kon∈ ℂ jika untuk setiap
tinu pada titik
tuk
∈ ℂ yang memenuhi | −
Fungsi
|<
dikatakan kontinu pada ℂ jika
> 0 terdapat
> 0 sedemikian sehingga un-
berlaku | ( ) − ( )| < .
kontinu di setiap
∈ ℂ.
Definisi 2.4.8
Fungsi kompleks
lai dari lim
dikatakan terdiferensial di
( )
(
)
→
disebut turunan f di
∈ ℂ jika lim
( )
(
)
→
, dinotasikan dengan
ada. Ni-
( ).
Definisi 2.4.9
Diberikan (ℂ, ) dengan
kan analitik di
∈
metrik biasa¸yaitu ( ,
jika terdapat
)=|
−
> 0 sedemikian sehingga
|. Fungsi
dikata-
( ) ada untuk setiap
( ).
Definisi 2.4. 10
Jika : ℂ → ℂ, maka
adalah komposisi sebanyak n-kali dari
diri, dan disebut iterasi dari .
dengan dirinya sen-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Definisi 2.4.11
Jika
: ℂ → ℂ dan
( ), … disebut orbit
∈ ℂ, maka barisan
= ( ),
,
=
( ), … ,
=
terhadap .
Definisi 2.4.12
Titik
∈ ℂ disebut titik tetap dari fungsi : ℂ → ℂ jika ( ) =
Misalkan
= ′( ), maka titik tetap
.
disebut
(1) Penarik jika | | < 1
(2) Superpenarik jika | | = 0
(3) Penolak jika | | > 1
(4) Netral secara rasional jika | | = 1 dan
=1
(5) Netral secara irasional jika | | = 1 tetapi
≠ 1.
Definisi 2.4.13
Titik
∈ ℂ disebut titik periodik dari fungsi : ℂ → ℂ jika
∈ ℕ. Bilangan
Misalkan
=(
( )=
terkecil yang memenuhi
)′( ), maka titik periodik
( )=
untuk suatu
disebut periode dari
.
disebut
(1) Penarik jika | | < 1
(2) Superpenarik jika | | = 0
(3) Penolak jika | | > 1
(4) Netral secara rasional jika | | = 1 dan
=1
(5) Netral secara irasional jika | | = 1 tetapi
≠ 1.
E. Sistem Fungsi Iterasi
Definisi 2.5.1
Diberikan ( , ) ruang metrik. Suatu pemetaan :
pat
→
disebut kontraksi jika terda-
∈ [0, 1) sedemikian sehingga
( ), ( ) ≤
( , ), ∀ ,
∈ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Bilangan
disebut konstanta kontraksi.
Definisi 2.5.2
Orbit
terhadap pemetaan : ℂ → ℂ dikatakan terbatas jika terdapat
kian sehingga | ( )| <
> 0 sedemi-
.
Teorema 2.5.1
Diberikan ( , ) ruang metrik. Jika :
→
adalah pemetaan kontraksi pada ruang
metrik ( , ) dengan konstanta kontraksi , maka
tuk setiap
( ),
( ) ≤
( , ) un-
= 2,3,4, ….
Bukti:
Teorema tersebut akan dibuktikan dengan induksi matematika. Teorema benar untuk
= 2, sebab
( ),
Andaikan Teorema benar untuk
( ) =
( ) ,
≤
( ), ( )
≤ ∙
( , )=
= , yaitu
( ),
( )
( , )
( ) ≤
( , ).
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Teorema juga benar untuk
( ),
Terbukti bahwa
( ),
( ) =
( ) ≤
( ) ,
=
+1
( )
≤
( ),
( )
≤ ∙
( , )=
( , ) untuk setiap
( , ).
= 2,3,4, ….
∎
Teorema 2.5.2
Diberikan ( , ) ruang metrik lengkap. Pemeteaan kontraksi :
ki satu titik tetap dan setiap orbitnya konvergen ke titik tetap.
→
hanya memili-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Bukti:
Didefinisikan barisan {
},
∈
= (
dengan
∈ [0, 1) sedemikian sehingga ber-
merupakan pemetaan kontraksi, maka terdapat
laku ( ( ), ( )) ≤
(
). Diketahui bahwa
( , ). Maka
)=
,
(
(
), (
,
) ≤
(
).
,
)≤
(
,
)
≤
(
,
)
≤
(
,
)
⋮
( ,
≤
>
Maka untuk
(
)≤ (
,
Untuk setiap
>
)+ (
,
)+⋯+ (
,
( ,
( ,
)+
( ,
) +⋯+
<
( ,
)+
( ,
)+⋯
=(
+
+ ⋯) ( ,
( ,
1−
> 0 dipilih
, maka
(
,
barisan Cauchy. Karena
titik di
,
≤
=
>
)
. Misalkan {
)
)
)
)
( ,
) < . Untuk
) < . Jadi {
} merupakan
≥ 1 sedemikian sehingga
)<
( ,
<
lengkap, maka barisan Cauchy {
} konvergen ke
} konvergen ke suatu
∈ . Akan dibuktikan
adalah titik tetap
dari .
( )=
Akan dibuktikan bahwa
→
= lim (
→
) = lim
→
dikalikan dengan
( , )
= .
hanya memiliki satu titik tetap. Misal
≠ . Maka ( , ) = ( ( ), ( )) ≤
tetap , dengan
bukti bahwa
lim
, maka diperoleh
juga adalah titik
( , ). Jika kedua ruas
≥ 1. Kontradiksi karena
∈ [0, 1). Ter-
hanya memiliki satu titik tetap. Dengan demikian terbukti bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
pemetaan kontraksi hanya memiliki satu titik tetap
dan setiap orbit dari
konver∎
gen ke .
Definisi 2.5.3
Himpunan berhingga dari kontraksi-kontraksi
,
∈ ℕ dalam ruang metrik lengkap
( , ) disebut sistem fungsi iterasi (Iterated Function System-IFS).
Definisi 2.5.4
Diberikan ( , ) ruang metrik. Jika
:
→
( = 1, … ,
) adalah pemetaan-peme-
taan kontraksi pada ruang metrik ( , ) dengan konstanta kontraksi
nan
⊂
disebut invarian dari pemetaan
jika
=⋃
( ).
, maka himpu-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
DIMENSI FRAKTAL
Dimensi digunakan untuk mengukur, mendeskripsikan dan membandingkan suatu objek. Mandelbrot mengatakan bahwa fraktal adalah himpunan yang memiliki dimensi tidak bulat. Gagasan mendasar dari dimensi fraktal adalah menginvestigasi
himpunan-himpunan pada ukuran yang berbeda.
Dalam bab ini akan dibahas dua metode penghitungan dimensi fraktal, yaitu
dimensi Hausdorff dan dimensi kotak. Sebelum membahas lebih dalam tentang dimensi Hausdorff, akan dibahas terlebih dahulu tentang ukuran Hausdorff.
3.1 Ukuran Hausdorff
Definisi 3.1.1
Misalkan (ℝ , ) ruang metrik dengan metrik biasa,
⊂ ℝ , dan
> 0. Jika { }
adalah koleksi terhitung dari himpunan-himpunan yang menyelimuti , yaitu
⊂⋃
, dan 0 < ( ) ≤ , maka { } disebut selimut- dari .
Agar lebih sederhana, untuk sebarang himpunan takkosong
⊂ ℝ , ( ) ditulis | |.
Definisi 3.1.2
Misalkan (ℝ , ) ruang metrik dengan
0,
> 0, didefinisikan ℋ ( ) = inf{∑
metrik biasa. Untuk
⊂ ℝ dan
| | : { } adalah selimut- dari }.
Lema 3.1.1
Misalkan
⊂ ℝ , > 0, dan
> 0. Jika
< , maka
ℋ ( ) ≥ ℋ ( ).
Bukti:
Misalkan { ′ } adalah selimut− ′ dari
>
dan { } adalah selimut− ′ dari .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Karena
< , maka | ′ | ≤
< . Jadi setiap selimut- ′ dari
adalah selimut-
dari . Maka
inf
| ′ | :|
|< ′ ⊂
| | :| | <
| ′ | :|
| < ′ ≥ inf
| | :| | <
ℋ ( ) ≥ ℋ ( ).
∎
Definisi 3.1.3
Untuk himpunan
⊂ ℝ dan
> 0 didefinisikan
ℋ ( ) = lim ℋ ( )
→
yang disebut ukuran Hausdorff dimensi- dari .
Teorema 3.1.1
a) Jika
⊂
, maka ℋ ( ) ≤ ℋ (
) (kemonotonan).
dari himpunan-himpunan di ℝ , ber-
b) Untuk sebarang keluarga terhitung
laku
ℋ
c) Jika
=
∪
∩
, dan
ℋ (
d) Jika
=⋃
≤
ℋ
.
= ∅ maka
) = ℋ ( ) + ℋ ( ).
∪
saling asing, maka ℋ ( ) = ∑
,
ℋ
.
Bukti:
a) Ambil sebarang selimut- {
selimut- untuk
karena
|
| :
} dari
⊂
⊂
. Setiap selimut- dari
⊂⋃
⊂
. Maka
|
| :
⊂
merupakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
|
inf
| :
⊂
|
≤ inf
ℋ (
lim ℋ (
→
)≤ℋ (
) ≤ lim ℋ (
)
→
).
> 0. Untuk setiap dipilih selimut-
hingga untuk
⊂
)
Dengan Definisi 3.1.3 maka ℋ ( ) ≤ ℋ (
b) Diberi
| :
dari
sedemikian se-
> 0 berlaku
≤ℋ
+
2
.
Maka
≤
ℋ
+
≤
ℋ
+
≤
ℋ
+
2
2
,
,
Barisan selimutinf
≤
,
≤
, maka
ℋ
+
,
ℋ ( )≤
ℋ
lim ℋ ( ) ≤ lim
→
→ 0. Jadi terbukti ℋ ⋃
+
ℋ
→
ℋ ( )≤
untuk
=⋃
adalah selimut- dari
+
ℋ
≤∑
ℋ
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
c) Dengan Teorema 3.1.1(b), maka ℋ (
Misal { } adalah selimut- untuk
turut-turut adalah selimut∪
) ≤ℋ ( )+ℋ (
∪
sedangkan {
∪
untuk
dan
juga merupakan selimut- untuk
| |
′
′
+
′′
ℋ ( )+ℋ (
Ambil
dan
+
∪
untuk
′′
| |
≤
| |
)≤ℋ ( )
→ 0 dan diperoleh ℋ ( ) > ℋ ( ) + ℋ (
Dengan demikian terbukti ℋ (
} secara ber-
, maka
≤
′′
+
} dan {
. Karena setiap selimut-
′
⊂
).
).
)= ℋ ( )+ℋ (
).
d) Akan dibuktikan dengan induksi matematis.
Untuk
= 2 telah dibuktikan dalam ( ). Dimisalkan bahwa berlaku
=∑
ℋ ⋃
ku untuk
ℋ
. Akan dibuktikan bahwa sifat tersebut juga berla-
+ 1.
ℋ
=ℋ
∪
+ℋ (
=ℋ
Terbukti ℋ ⋃
=∑
ℋ
=
ℋ
=
ℋ
.
+ℋ (
)
)
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Teorema 3.1.2
Jika
⊂ ℝ dan
tu himpunan
> 0, maka ℋ (
)=
ℋ ( ), di mana
={
: ∈ }, yai-
diskala oleh faktor .
Bukti:
Misalkan { } adalah selimut- dari , maka {
} adalah selimut-
dari
, se-
hingga
ℋ (
)=
=
| |
=
| |
=
| |
=
Untuk
→ 0, maka ℋ (
)=
|
|
ℋ ( )
ℋ ( ).
∎
Lema 3.1.2
Untuk setiap
⊂ ℝ dan setiap , ∈ ℝ dengan >
ℋ ( )≥
> 0 berlaku
ℋ ( ).
Bukti:
Misalkan { } adalah selimut- dari . Untuk setiap berlaku 0 <
| |
| |
≥
≥
| | ≥
| |
| |
| |
|
|
≤ 1, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
| | ≥
| |
Dengan mengambil infimumnya diperoleh ℋ ( ) ≥
ℋ ( ).
∎
Teorema 3.1.3
Untuk sebarang
, ∈ ℝ dengan > , jika ℋ ( ) < ∞, maka ℋ ( ) = 0. Jika
ℋ ( ) > 0, maka ℋ ( ) = ∞.
Bukti:
Dengan Lema 3.1.2, maka
ℋ ( )≥
ℋ ( )
ℋ ( )≥ℋ ( )
lim
→
ℋ ( ) ≥ lim ℋ ( )
→
0 ≥ ℋ ( ).
Maka ℋ ( ) = 0.
Selanjutnya,
ℋ ( )≥
lim ℋ ( ) ≥ lim
→
→
ℋ ( )
ℋ ( )=∞
ℋ ( ) = ∞.
Dengan demikian terbukti ℋ ( ) = 0 jika ℋ ( ) < ∞, dan ℋ ( ) = ∞ jika
ℋ ( ) > 0.
∎
Lema 3.1.3
Untuk setiap
⊂ ℝ dan untuk setiap
> , maka
Bukti:
Dengan Lema 3.1.2, untuk
>
berlaku
ℋ ( )≥
ℋ ( )
ℋ ( )≤
ℋ ( )
( ) = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
ℋ ( ) = lim ℋ ( ) ≤ lim
→
Terbukti
ℋ ( ) = 0.
→
( ) = 0 untuk setiap
> .
∎
Teorema 3.1.4
Untuk setiap
⊂ ℝ , terdapat bilangan tunggal
ℋ ( )=
∈ [0, ∞) sedemikian sehingga
+∞ jika <
0 jika > .
Bukti:
= { > 0:
Dengan Lema 3.1.3, himpunan
( ) < +∞} merupakan himpunan tak
kosong dan terbatas ke bawah sehingga himpunan tersebut memiliki infimum. Misalkan infimum dari
adalah
. Selanjutnya dengan Lema 3.1.2 , untuk >
ℋ ( )≥
berlaku
ℋ ( ),
sehingga
ℋ ( ) = lim ℋ ( ) ≤ lim
→
Dan untuk <
ℋ ( ) = 0.
→
berlaku
ℋ ( )≥
ℋ ( ),
sehingga
ℋ ( ) = lim ℋ ( ) ≥ lim
→
ℋ ( ) = lim
→
1
→
ℋ ( ) = +∞.
Dengan demikian terbukti bahwa terdapat bilangan tunggal , yaitu
demikian sehingga ℋ ( ) = 0 untuk >
= inf( ) se-
dan ℋ ( ) = +∞ untuk < .
Teorema 3.1.5
Jika
adalah himpunan terhitung, maka ℋ ( ) = 0.
Bukti:
Diberi
> 0 dan
> 0. Misalkan
tung. Diberikan selimut- dari
= { : = 1,2, … , } adalah himpunan terhi-
yaitu
=
−
,
+
sehingga
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
| |=
+
−
+
2
2
=
2
=
2
.
2
Maka
ℋ ( )≤
| | =
1
=
2
≤
2
Dengan mengambil limit untuk
.
→ 0 diperoleh
ℋ ( ) ≤ lim
= 0.
→
Kemudian, dengan mengambil limit ℋ ( ) untuk
→ 0 diperoleh
lim ℋ ( ) ≤ 0
→
ℋ ( ) ≤ 0.
Jadi ℋ ( ) = 0.
∎
Teorema 3.1.6
Jika : ℝ → ℝ
ℋ ( ).
merupakan suatu kontraksi, maka untuk
⊂ℝ , ℋ
( ) ≤
Bukti:
Ambil
( ).
> 0, misalkan { } adalah selimut- dari
| |=
{ ( , ′) :
, ′ ∈ ( )}
( ), ( ) : ,
=
≤
dan { } adalah selimut- dari
{
=
= | |
Diperoleh bahwa | | ≤ | |, maka
( , ): ,
∈ }
{ ( , ): ,
∈ }
∈
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
| | ≤
| |
ℋ
Dengan mengambil
| |
| |
≤
( ) ≤
ℋ ( ).
( ) ≤
→ 0, maka ℋ
ℋ ( ).
∎
3.2 Dimensi Hausdorff
Berikut akan didefinisikan dimensi Hausdorff dengan berdasarkan Teorema 3.1.4.
Definisi 3.2.1
Untuk setiap
⊂ ℝ , dimensi Hausdorff (dimensi Hausdorff-Besicovitch) dari ,
yaitu dim ( ), adalah bilangan tunggal ≥ 0 sedemikian sehingga
( )=
+∞ jika <
0 jika > .
Teorema 3.2.1
Untuk setiap
⊂ ℝ , dim ( ) = inf{ :
( ) = 0}.
Bukti:
Jika dim ( ) =
( ) = +∞ untuk
, maka dengan Definisi 3.2.1,
<
. Maka inf = { :
Dengan demikian terbukti bahwa
( ) = 0 untuk
( ) = 0} = inf{ : >
= dim ( ) = inf{ :
( ) = 0}.
>
}=
dan
.
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Teorema 3.2.2
a) Jika
⊂ , maka dim ( ) ≤ dim ( ).
b) Jika
=⋃
, maka dim ( ) = sup dim ( ).
Bukti:
⊂ , maka dengan Teorema 3.1.1( ) berlaku ℋ ( ) ≤ ℋ ( ). Jadi
a) Karena
sup{ : ℋ ( ) = ∞} ≤ sup{ : ℋ ( ) = ∞}
dim ( ) ≤ dim ( ).
=⋃
b) Misalkan
, maka
dim ( ) ≤ dim ( ),
⊂
sehingga
untuk setiap
= 1, 2 …. Dengan ( ), maka
sup dim ( ) ≤ dim ( )
untuk
setiap
= 1,2, …
∈ ℝ sedemikian se-
Untuk ketidaksamaan yang sebaliknya, misalkan terdapat
hingga
> sup dim ( ). Dengan Lema 3.1.3, maka
rema 3.1.2, maka ℋ ( ) ≤ ∑
( ) = 0. Dengan Teo-
ℋ ( ) = 0. Jadi ℋ ( ) ≤ 0. Jadi ℋ ( ) = 0.
Dengan Teorema 3.2.1 maka dim ( ) = inf { : ℋ ( ) = 0} ≤ sup dim ( ).
Jadi
dim ( ) ≤ sup dim ( ).
Dengan
demikian
terbukti
sup dim ( ) .
∎
Contoh 3.2.1
dim (ℝ ) = .
Penyelesaian:
Untuk 0 <
<
berlaku
ℋ (ℝ ) ≥
ℋ (ℝ )
lim ℋ (ℝ ) ≥ lim
→
Sedangkan untuk 0 <
<
→
ℋ (ℝ ) = ∞.
berlaku
ℋ (ℝ ) ≥
ℋ (ℝ )
ℋ (ℝ ) ≤
ℋ (ℝ )
lim ℋ (ℝ ) ≤ lim
→
Diperoleh bahwa
dim ( ) =
→
ℋ (ℝ ) = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
∞ untuk <
ℋ (ℝ ) =
0 untuk > .
Jadi dim (ℝ ) = .
(ℝ) = 1,
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa
(ℝ ) = 2,
(ℝ ) = 3, dan seterusnya.
Contoh 3.2.2
Hitung dimensi Hausdorff untuk himpunan Cantor .
Penyelesaian:
Himpunan Cantor
=⋂
merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1] dengan
.
= [0,1]
0
1
0
1
= 0,
∪
,1
0
1
= 0,
∪
,
,
⋮
⋮
⋮
Pada langkah ke- diperoleh himpunan
saling asing dengan panjang interval
=
∑
dan
≥
. Agar
dan
yang terdiri dari 2 interval tertutup dan
. Misal { } adalah selimut- dari
( ) ≤ 1, maka 2
→ 0, maka
,1
⋮
merupakan interval –interval tertutup.
| | =2
untuk
⋮
∪
∪
( ) ≤ 1.
( ) = inf ∑
≤ 1. Diperoleh
≥
dengan
| |
≤
. Jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Akan dibuktikan bahwa
=
adalah dim ( ).
= dim ( ), akan ditunjukkan bahwa
( ) ≤ 1 jika
≥
( ) ≤ 1. Sudah dibuktikan bahwa
≤
. Selanjutnya, akan ditunjukkan ditunjukkan
( ) ≥ . Ka-
kompak, maka terdapat subselimut berhingga yang menyelimuti . Misal { }
rena
adalah selimut berhingga dari . Untuk setiap
selimut
Jika
Untuk membuktikan bahwa
≤| |≤
sehingga
dapat beririsan dengan paling banyak satu interval tertutup penyusun
≥ , maka banyak interval penyusun
nyak 2
berlaku
. Karena
=
, maka 2
yang beririsan dengan
=2 3
=2 3
.
paling ba= 1, sehingga
2 = 3 . Selanjutnya,
2
Karena
=2 2
=2 3
=2 3 3
(
)
≤2 3 | | .
beririsan dengan semua 2 interval penyusun , maka
| |
2 ≤2 3
| | ≥3
=3
Dengan demikian terbukti bahwa s = dim ( ) =
1
= .
2
.
3.3 Dimensi Kotak
Dimensi dimensi kotak adalah salah satu metode penghitungan dimensi yang sering
digunakan karena relatif lebih mudah dalam penghitungan. Metode ini dinilai lebih
mudah diterapkan daripada dimensi Hausdorff. Gagasan mendasar penghitungan dimensi kotak adalah pengukuran pada skala . Objek yang akan dihitung dimensinya
ditempatkan pada jaring-jaring persegi berukuran
, kemudian dihitung banyaknya
kotak yang memuat objek tersebut. Banyaknya kotak yang memuat objek tersebut,
misalnya disimbolkan dengan
, yang tergantung pada skala .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Definisi 3.3.1
Dalam ruang metrik lengkap ℝ dengan metrik biasa, misalkan
( ) adalah jumlah minimum himpunan-himpunan dengan di-
nan takkosong dan
ameter tidak lebih dari
yang dapat menyelimuti .
Dimensi kotak bawah dari
adalah
= lim inf
log ( )
− log
= lim sup
log ( )
.
− log
dim
dan dimensi kotak atas dari
= dım
→
adalah
dım
Jika dim
adalah subhimpu-
→
, maka nilai yang sama itu disebut dimensi kotak dari
dim
= lim
→
log ( )
.
− log
Contoh 3.3.1
Himpunan Cantor
adalah irisan dari keluarga himpunan {
tertutup [0,1] dengan
= [0,1],
kotak dari himpunan Cantor
= 0,
∪
:
∈ ℕ} dalam selang
, 1 dan seterusnya. Hitung dimensi
.
Penyelesaian:
Himpunan Cantor
merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1].
0
1
= [0,1]
0
1
= 0,
∪
,1
0
1
= 0,
∪
,
,
Pada langkah ke- diperoleh himpunan
∪
∪
,1
yang terdiri dari 2 interval tertutup yang
saling asing dan panjang masing-masing interval adalah
. Barisan {
} adalah seli-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
mut dari . Jadi
( ) = 2 dan =
<
. Jika
≤
, maka
hingga
dim ( ) = lim sup
→
log ( )
− log
log 2
≤ lim
1
3
log 2
= lim
→ ( − 1) log 3
→
Jadi dim ( ) ≤
− log
=
log 2
1
lim
log 3 → ( − 1)
=
log 2
log 3
.
<
Selanjutnya, jika
≤
( ) ≥ 2 , sehingga
, maka
dim ( ) = lim inf
→
log 2
≥ lim
→
log ( )
− log
− log
1
3
log 2
= lim
→ ( + 1) log 3
Jadi dim ( ) ≥
Karena lim
→
inf
=
log 2
1
lim
log 3 → ( + 1)
=
log 2
log 3
.
( )
< lim
→
sup
( )
, maka
( ) ≤ 2 , se-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
log 2
log 2
≤ dim ( ) ≤ dim ( ) ≤
log 3
log 3
Dengan demikian dimensi kotak dari himpunan Cantor adalah dim ( ) =
.
Contoh 3.3.2
Hitung dimensi kotak dari persegi satuan.
Penyelesaian:
Misal diberikan
persegi satuan. Persegi
akan diselimuti dengan persegi-persegi
kecil dengan sisi . Jadi dibutuhkan sebanyak
untuk bisa menyelimuti .
Jadi
dim ( ) = lim
→
= lim
→
log ( )
− log
log
1
− log
= lim
log
− log
= lim
−2log
− log
→
→
=2
Jadi dimensi kotak dari persegi satuan adalah 2.
Teorema 3.3.1
a) Jika
⊂ , maka dim
b) Jika
adalah kubus takkosong di ℝ , maka dim
c) Jika
⊂ ℝ adalah himpunan terbatas, maka dım
d) Jika
⊂ ℝ adalah himpunan yang terbuka, maka dim
e) dım ( ∪ ) = max
≤ dim
dım
, dım
dan dım
≤ dım
(monoton).
= .
(kestabilan).
≤ .
= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Bukti:
a) Misalkan
ter
( ) adalah jumlah minimum dari himpunan-himpunan berdiame-
yang menyelimuti
nan-himpunan berdiameter
( )≤
( ) adalah jumlah minimum dari himpu-
, dan
yang menyelimuti
. Karena
⊂ , maka
( ), sehingga
log
( ) ≤ log
( )
log ( ) log ( )
≤
− log
− log
lim inf
→
log ( )
log ( )
≤ lim inf
→
− log
− log
dim
≤ dim
Demikian pula,
lim sup
→
log ( )
log ( )
≥ lim sup
→
− log
− log
dım
b) Misalkan
≥ dım
memiliki panjang sisi , dan
=
. Jelas bahwa
( )=
(2 ) , sehingga
dim
log ( )
log(2 )
= lim
→
→
log
log
2
log ( )
log 2
= lim
= lim
→
→ log − log 2
log
= lim
= lim
→
log
log 2 −
log 2
log 2
1
=
lim
→
=
1
1
=
1
log
log 2 − lim
→
log 2
log 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
⊂ ℝ . Ambil kubus
c) Diketahui himpunan terbatas
⊂ . Dengan ( ) diperoleh dim
hingga
kubus di ℝ , maka dim
dım
e) Akan
≤
dan dım
dım ( ∪ ) ≥ max
dım
⊂ ( ∪ ) dan
, dım
dan dım
menurut ( ).
=
dım
, dım
dan
.
⊂ ( ∪ ), maka dım
≤ dım ( ∪ ) dan
≤ dım ( ∪ ), sehingga dım ( ∪ ) ≥ max
dım
, dım
Selanjutnya, untuk membuktikan dım ( ∪ ) ≤ max
dım
, dım
dım
( ),
dimisalkan
( ) dan
,
( ∪ ) ≤ log 2 max{
log
( ∪ ) ≤ log 2 +max{log
lim
→
( )}
( )}
( ), log
( )}
( ∪ ) log 2 +max{log ( ), log
≤
− log
− log
( )}
log 2 +max{log ( ), log
( ∪ )
≤ lim
→
− log
− log
log
max{log ( ), log
( ∪ )
≤ lim
→
− log
− log
log
( ∪ )
log ( ) log ( )
≤ lim max
,
→
− log
− log
− log
→
lim
( ),
( ),
log
→
lim
( ) ≤ 2 max{
log
log
Jika diambil lim sup untuk
→ 0, maka
,
∪ , yang diameternya
dan
kurang dari . Maka
( )+
.
( ∪ ) berturut-turut adalah jumlah mini-
mum jaring-jaring yang beririsan dengan
( ∪ )≤
≥
= .
dım ( ∪ ) ≤ max
bahwa
di ℝ sedemi-
≥ dim
≥ , sehingga dim
adalah
≤ .
adalah kubus di ℝ , maka dim
dibuktikan
Karena
. Karena
⊂ ℝ . Ambil sebarang kubus
⊂ . Dengan ( ) diperoleh dim
. Karena
di dim
≤ dim
menurut ( ). Jadi dim
=
d) Diketahui himpunan terbuka
kian sehingga
di ℝ sedemikian se-
( )}
( )}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
lim sup
log
→
lim sup
→
log
( ∪ )
log ( ) log ( )
≤ lim sup max
,
→
− log
− log
− log
( ∪ )
log ( )
log ( )
≤ max limsup
, lim sup
→
→
− log
− log
− log
dım ( ∪ ) ≤ max dım
Jadi, terbukti bahwa dım ( ∪ ) = max
dım
, dım
.
, dım
.
∎
Teorema 3.3.2
Untuk setiap
⊂ ℝ , berlaku dim
≤ dim
.
Bukti:
Jika dim
< dim
= 0, maka jelas bahwa dim
, maka
< dim
ℋ ( ) = ∞. Untuk nilai
Himpunan
. Karena
≤ dim
< dim
. Akan ditunjukkan, jika
berakibat lim
→
ℋ ( )=
> 0 yang cukup kecil, maka ℋ ( ) > 1. Ambil
> 1.
( ), yaitu jumlah minimum dari himpunan-
dapat diselimuti oleh
himpunan yang diameternya kurang dari . Maka,
1<ℋ ( )<
( )
log 1 < log ℋ ( ) < log
0 < log ℋ ( ) < log
0 < log
− log
>
s < liminf
→
( )
( )+log
( ) + log
< log
( )
log ( )
−log
log ( )
= dim
−log
Dengan demikian terbukti bahwa dim
≤ dim
.
.
∎
Teorema 3.3.2 menunjukkan adanya hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi
hitung kotak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Teorema 3.3.3
Misal
: ℝ → ℝ ( = 1, . . ,
traksi
. Jika
, maka dim ( ) = dim ( ) =
adalah invarian dari pemetan
memenuhi ∑
dengan
) adalah pemetaan kontraksi dengan konstanta kon-
= 1.
Bukti:
saling asing. Jika
maka
rena
( )+
> 0 sedemikian sehingga
Ambil
( , )=
( )+
,
,
( )+
, …,
( )+
( , ) adalah jumlah minimum jaring-jaring yang memuat
( ( ), ) + ( ( ), ) + ( ( ), ) + ⋯ + (
,
( ), ). Ka-
merupakan pemetaan kontraksi maka dengan konstanta kontraksi , maka
( , )=
( ),
+
=
=(
1
( ),
+
+
+
( ),
+
1
+
+
)
dan
memenuhi ∑
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa dimensi Hausdorff dari
rema 3.1.6, ℋ
( ) =
Karena ∑
dan
( ) =
ℋ ( ).
= 1, maka
ℋ
= 1.
juga .
adalah selimut- dari ( ). Dengan Teo-
ℋ ( ), maka
ℋ
+⋯
+⋯+
+⋯+
adalah selimut- dari
1
1
Dari persamaan di atas, maka dim ( ) =
Misalkan
( ),
( ) = ℋ ( ).
Barisan { } merupakan selimut- dari ( ), maka
| |≤
| | ≤
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
| | ≤
Infimum dari ℋ
.
( ) tidak akan melebihi anggota-anggotanya, maka
ℋ
Dengan mengambil limit untuk
( ) ≤
| | ≤
.
menuju nol diperoleh
lim ℋ
→
( ) ≤ lim
→
= 0.
Sehingga
ℋ ( )=
ℋ
( ) ≤ 0.
Jadi dim ( ) = . Dengan demikian terbukti dim ( ) = dim = .
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA
A. Himpunan Julia
Himpunan Julia, yang pertama kali diselidiki oleh matematikawan Perancis,
Gaston Julia, merupakan salah satu contoh fraktal yang didefinsikan pada bilangan
kompleks. Himpunan Julia dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks dengan dirinya sendiri. Banyak fraktal dari himpunan titik-titik di bidang kompleks didefinisikan dengan fungsi yang sederhana. Salah satu fungsi yang membangun himpunan
=
Julia adalah
+ , dengan
adalah bilangan kompleks. Fungsi tersebut ser-
ing disebut pemetaan kuadratik. Dalam matematika, khususnya Dinamika Kompleks,
himpunan Julia sangat erat kaitannya dengan himpunan Mandelbrot yang ditemukan
oleh Benoit Mandelbrot.
Definisi 4.1.1
: ℂ → ℂ dengan
Diberikan
( )=
+ , ∈ ℂ. Himpunan semua titik di ℂ yang
mempunyai orbit yang terbatas terhadap
, yaitu { ∈ ℂ: {
( )} terbatas} , disebut
himpunan Julia penuh, dan dinotasikan dengan ( ).
Definisi 4.1.2
Misalkan ( , ) ruang metrik dan
nan
jika untuk setiap
anggota
⊂ . Titik
> 0, bola terbuka
∈
disebut titik batas dari himpu-
( ) memuat titik anggota
. Himpunan semua titik batas dari himpunan
dan dinotasikan dengan
dan titik
disebut batas himpunan ,
.
Lema 4.1.1
Misalkan ( , ) ruang metrik dan
nan tertutup.
⊂ . Batas himpunan , yaitu ∂ adalah himpu-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Bukti:
∈ ∂ , maka untuk setiap
Ambil sebarang
∈∂ ,
Jadi sebarang
> 0 berlaku
( )∩(
− { }) ≠ ∅.
merupakan titik limit. Jadi ∂ tertutup.
∎
Definisi 4.1.3
Diberikan
( )=
: ℂ → ℂ dengan
+ . Batas dari himpunan Julia penuh disebut
himpunan Julia, dan dinotasikan dengan ( ).
Definisi 4.1.4
Komplemen dari himpunan Julia, yaitu ( ) = ℂ\ ( ) disebut himpunan Fatou.
Contoh 4.1.1
( )=
Diberikan fungsi
+ . Untuk
=
dan
= 0, maka
( )=
(
( )=
)
( )=
⋮
(
( )=
Orbit
terhadap
adalah
,
(
)
,
→ ∞, nilai
→ 0. Jadi orbit dari
maka untuk
→ ∞, nilai
→ ∞. Jadi orbit dari
maka untuk
→ ∞, nilai
→ 1. Jadi orbit dari
(
)
, …. Jika
< 1,
akan menuju ke 0. Jika
> 1,
akan menuju ∞. Jika
= 1,
, …,
maka untuk
sifat orbit dari
)
lingkaran satuan. Dengan melihat
tersebut dapat diketahui bahwa himpunan Julia dari
( )=
ada-
lah berbentuk lingkaran.
Teorema 4.1.1
Diberikan
: ℂ → ℂ dengan
| | ≥ | | berlaku lim
→
( )=
( ) = ∞.
+ ,
∈ ℂ. Jika | | > 2, maka untuk setiap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Bukti:
Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh | ( )| = |
+ | ≥ | | − | |. Diketahui
| | ≥ | | > 2, maka
| ( )| = |
+ | ≥ | | − | | ≥ | | − | | = | |(| | − 1).
Karena | | > 2, maka terdapat
> 0 sedemikian sehingga | | − 1 = 1 + , sehingga
| ( )| ≥ (1 + )| |.
= 2, maka
Untuk
|
( )| =
( )
≥ (1 + )| ( )|
≥ (1 + )(1 + )| |
= (1 + ) | |.
Dengan perulangan iterasi, diperoleh |
lim
→
|
( )| ≥ lim
→
( )| ≥ (1 + ) | |, sehingga
(1 + ) | | = ∞.
∎
Korolari 4.1.1
Jika | | > max{| |, 2}, maka |
( )| ≥ (1 + ) | | dan lim
→
( ) = ∞.
Bukti :
Jika | | > 2, maka | | > max {| |, 2} = | |, sehingga dengan Teorema 4.1.1 diperoleh lim
( ) = ∞.
→
∎
Korolari 4.1.2
Jika untuk suatu bilangan
∈ ℕ, |
( )| > max {| |, 2}, maka lim
→
( ) = ∞.
Bukti:
Karena |
( )| > max {| |, 2}, maka dengan Korolari 4.1.1 diperoleh
( ) =∞
lim
→
lim
→
lim
→
( )=∞
( )=∞
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Korolari 4.1.3
Jika | | > 2, maka lim
(0) = ∞.
→
Bukti:
Untuk
= 0, maka | (0)| = | | dan |
(0)| = |
+ |>| |−| |=
| |(| | − 1) > 2(| | − 1) > | | + | | − 2 > | | + 2 − 2 = | | = max {| |, 2}.
Maka dengan Korolari 4.1.2 diperoleh lim
(0) = ∞.
→
∎
Teorema 4.1.2
Diberikan fungsi
( )=
+ , , ∈ ℂ. Himpunan Julia penuh ( ) adalah
himpunan tertutup.
Bukti:
( ) tertutup, akan dibuktikan komplemennya, yaitu
Untuk membuktikan
pat
( ), maka |
∈
terbuka. Ambil sebarang
∈ ℕ sedemikian sehingga |
( )| → ∞. Dengan demikian terda-
( )| > max{| |, 2}. Fungsi
merupakan fungsi
> 0 sedemikian sehingga untuk | −
kontinu, maka dapat dicari
( ),
|<
berlaku
0 < | ( ) − ( )| < . Dengan ketaksamaan segitiga
|
|
( )| − |
( )| ≤ |
( )−
( )|
|
( )| − |
( )| ≤ |
( )−
( )|
( )| ≥ |
( )| − |
Dengan Korolari 4.1.2, maka |
pat
( )⊂
( ). Jadi
( )−
( )| > max{| |, 2}
( )| → ∞. Jadi
∈
( ) terbuka. Karena
( ). Dengan demikian terda( ) terbuka, maka
( ) tertu∎
tup.
Korolari 4.1.4
Himpunan Julia ( ) tertutup dan ( ) ⊂
( ).
Bukti:
Karena ( ) =
( ), maka dengan Lema 3.1.1 ( ) tertutup. Selanjutnya, karena
( ) bersifat tertutup, maka semua titik limit
( ) berada di
( ). Akan dibukti-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
( ), maka untuk setiap
∈
( ),
( ),
∈
kan bahwa untuk sebarang
∈
( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅. Jadi untuk sebarang
> 0,
( ). Karena
juga merupakan titik limit
( ). Jadi
titik limitnya berada di
( ). Ambil sebarang
titik limit
( ) tertutup, maka semua
( ) untuk sebarang
∈
( ). Dengan
∈
demikian terbukti bahwa himpunan Julia ( ) tertutup dan ( ) ⊂
( ).
∎
Teorema 4.1.3
Himpunan Julia ( ) bersifat kompak.
Bukti:
Ambil sebarang
∈ ( ), maka
∈ ( ) sehingga lim
≠ ∞. Dipilih
→
= max{| |, 2} sehingga dengan Korolari 4.1.1 berlaku jika lim
| | ≤ . Jadi untuk sebarang
∈ ( ),
∈
→
≠ ∞, maka
(0). Jadi ( ) ⊂
(0). Terbukti
bahwa ( ) terbatas. Selanjutnya dengan Korolari 4.1.4, ( ) tertutup. Dengan
demikian ( ) kompak.
∎
Teorema 4.1.4
Diberikan
= { || | < | |}. Jika (
oleh pemetaan
) ( )={ |
, maka ( ) = ⋂ (
( ) ∈ }, yaitu prapeta dari
) ( ).
Bukti:
Jika
∉⋂
∈ℕ(
) ( ), maka
( )∉
∈ ℕ, yaitu |
untuk suatu
∉
Dengan Korolari 4.1.2 maka orbit dari tidak terbatas. Jadi
Sebaliknya, jika
∈⋂
∈ℕ(
( ) terbatas, sehingga
) ( ), maka
( )∈
( )| ≥ | |.
( ).
untuk setiap
∈ ℕ. Jadi
∈ ( ).
Dengan demikian terbukti ( ) = ⋂
( ).
∎
Definisi 4.1.5
bila ( ) ⊆ .
Himpunan
dikatakan invarian maju terhadap pemetaan
Himpunan
dikatakan invarian mundur terhadap pemetaan
bila
( )⊆ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Himpunan
bila ( ) ⊆
dikatakan invarian lengkap terhadap pemetaan
dan
( )⊆ .
Teorema 4.1.5
Himpunan Julia ( ) bersifat invarian lengkap terhadap
.
Bukti:
( ) ⊆ ( ) dan
Akan dibuktikan bahwa
∈ ( ), maka
Ambil sebarang
merupakan titik batas
dan lim
(
→
hingga untuk |
diberi. Jadi
( ). Maka lim
∈
∈
maka ada
) = ∞. Karena
− |<
( ) ⊆ ( ).
( ) < ∞. Karena
→
( )sedemikian sehingga lim
kontinu, maka dapat dicari
berlaku | (
( ) ∈ ( ) untuk semua
)−
( )| <
=
→
sedemikian se> 0 yang
untuk setiap
∈ ( ). Dengan demikian terbukti bahwa
( ) ⊆ ( ).
Selanjutnya, ambil sebarang
∈ ( ) dan
( ) sehingga ( ) = . Untuk
∈
kian sehingga lim
(
) dan lim
( ) =
( )=
→
→
=
dan
(
(
∈
)=
) = ∞. Karena
( ) dan lim
∈ ( ) diperoleh bahwa
seperti di atas. Ambil sebarang
( ) dapat dicari
(
. Maka
( )=
∈
)=
(
∈ ( ), maka
( ) ≠ ∞. Maka
→
( ) sedemi-
∈ ( ). Terbukti bahwa
Dengan demikian terbukti bahwa ( ) bersifat invarian lengkap.
) =
( )=
∈ ( ). Jadi untuk
( ) ⊆ ( ).
∎
B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia
Himpunan Julia yang akan dihitung dimensinya adalah himpunan Julia untuk parameter
yang besar.
Misal
adalah lingkaran dengan pusat 0 dan berjari-jari | | dan
, yaitu
= { : | | < | |}. Invers dari
hingga gambar dari
( )=
+
adalah
adalah interior dari
( ) = √ − , se-
( ) berbentuk angka delapan yang berpotongan di titik asal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Misalkan
,
:
→
, karena
( ) yang memetakan
subhimpunan dari
ran
( ). Misal
( ) ke , maka
memetakan
dan
ke interior dari masing-masing lingka-
adalah lingkaran di dalam lingkaran
yang berpusat di titik 0
( ). Dipilih
dan memiliki jari-jari minimum sedemikian sehingga memuat
= |2 | . Karena
ran
⊂ , maka
( ) dan
adalah
( ) termuat di masing-masing lingka-
( ).
| ( )−
( )| = (
− ) −(
− )
(
− ) −(
− )
(
− ) +(
− )
=
(
|
=
(
− −
|
Pandang (
− ) +(
−
− )
|
− ) +(
− )
| | − |2 |
− ) +(
| | − |2 |
+ | | − |2 |
2 | | − |2 |
1
2 | | + |2 |
− )
. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
| | − |2 | ≤ | | − | | ≤ |
Jadi untuk (
− )
+ |
− ) +(
=
(
− ) +(
≤|
− | ≤ | | + | | ≤ | | + |2 |
− | ≤ | | + |2 |
.
− ) berlaku
< (
< (
− ) +(
− ) < | | + |2 |
− ) +(
− )
1
<
(
− ) +(
< 2 | | + |2 |
<
− )
+ | | + |2 |
1
2 | | − |2 |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
1
<
| ( )−
| −
( )|
<
|
2 | | + |2 |
|
2 | | − |2 |
|
−
<| ( )−
Pemetaan
|
dan
|<| ( )−
−
( )| <
1
| | − |2 |
2
<1
2 | | − |2 |
>1
| | − |2 |
| | − |2 | −
√
Jadi
√
, sehingga | | >
hingga | | <
√
( ) dan
>
1
2
>
1
4
√
=
√
√
=
√
=
√
|
|
−
< 1, maka
1
> 0.
4
maka pertidaksamaan di atas
0. Penyelesaian pertidaksamaan adalah
1
| | − |2 |
2
| | − |2 |
| | − |2 |
√
|
−
2 | | − |2 |
merupakan kontraksi jika
Misal | | = ,
|
( )| <
2 | | + |2 |
1
| | + |2 |
2
1
>
√
=
√
√
− √2 − >
menjadi
atau
<
√
= 2.47 atau
√
| |>
. Maka
| |<√
√
se-
= 0.25.
( ) merupakan kontraksi jika | | > 2.47 atau 0 ≤ | | < 0.25.
Himpunan Julia yang akan dihitung adalah himpunan Julia dengan | | > 2.47 atau
0 ≤ | | < 0.25.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Karena dan merupakan konstanta kontraksi, maka
nan Julia jika memenuhi ∑
= 1.
adalah dimensi dari himpu-
Maka
1
| | + |2 |
2
=
1=2
1
| | + |2 |
2
1
1
| | + |2 |
=
2
2
1
1
| | + |2 |
log = log
2
2
1
1
log = log
+ log | | + |2 |
2
2
1
1
log = log
− log | | + |2 |
2
2
2
1
1
1
log =
log
− log | | + |2 |
2
2
2
1
log 2
=
1
1
log 2 − 2 log | | + |2 |
− log 2
=
1
−log 2− 2 log | | + |2 |
4 log 2
=
4log 2+2 log | | + |2 |
=
2 log 2
2log 2+ log | | + |2 |
=
2 log 2
log 4 | | + |2 |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Diperoleh nilai
. Jadi dimensi himpunan Julia untuk | | > 2.47
=
| | |
|
atau 0 ≤ | | < 0.25 adalah
.
| | |
Dengan Teorema 3.3.3, dim
|
( ) = dim
( ) =
=
.
| | |
|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dimensi fraktal adalah ukuran sebuah himpunan yang digunakan untuk menggambarkan struktur suatu fraktal serta untuk membandingkan kompleksitas fraktal
yang satu dengan yang lain. Dimensi dari suatu fraktal didekati dengan menggunakan
himpunan-himpunan yang mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Dimensi
Hausdorff dan dimensi kotak sering digunakan untuk mengukur suatu fraktal.
Dimensi Hausdorff bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi , yaitu .
Bilangan adalah dimensi Hausdorff dari suatu himpunan bila adalah dengan adalah infimum atas semua jumlahan selimut-
yang menyelimuti himpunan tersebut Dimensi kotak didasarkan pada pengukuran
skala . Penghitungan dimensi ini dilakukan dengan menghitung banyaknya
perubahan yang terjadi bila skala dari himpunan yang menyelimutinya diubah.
Salah satu contoh fraktal yang terkenal adalah himpunan Julia yang dibangun
oleh . Jika himpunan Julia sifat invarian terhadap pemetaan
kontraksi , maka
!" !# , dengan memenuhi
$%
&' ( dimana adalah konstanta kontraksi dari . Untuk yang memenuhi
)) * +,- atau . )) / +0, !" !# 123 8
.
123456))7))9 :;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
B. Saran
Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas dimensi fraktal yang mengarah
pada dimensi takbulat dan digunakan untuk menghitung dimensi himpunan Julia yang
dibangun dari fungsi , untuk )) * +,- atau . )) / +0. Skripsi ini
masih bisa dikembangkan dengan membahas dimensi himpunan Julia dengan fungsi
pembentuknya berderajat < * +. Selain dimensi Hausdorff dan dimensi kotak, masih
terdapat dimensi lain yang digunakan untuk menghitung dimensi fraktal, misalnya
dimensi Minkowski, dimensi kompas, dimensi Lyapunov, dimensi Renyi dan lainlain.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Arora, Savita dan Malik, S.C. (1992). Mathematical Analysis: (Second Edition). New
Delhi: New Age International(P) Limited Publisher.
Barnsley, M. (1988). Fractals Everywhere. Boston: Academic Press, Inc.
Devaney, Robert L. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical System. (Second
Editon). New York: Addison – Wesley.
________________. (1990). Chaos, Fractals, and Dynamics, Computer Experiments
in Mathematics. New York: Addison – Wesley.
________________.The Complex Dynamics of Quadratic Polynomials.
Diakses
http://www.math.uic.edu/~demarco/math546/Devaney_quadratic.pdf.
tanggal 7 Juni 2010.
________________. (1992). A First Course in Chaotic Dynamical System: Theory
and Experiment. New York: Addison – Wesley.
Edgar, Gerald. (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. (Second Edition).
New York: Springer.
Falconer, K. (1990). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
New York: John Wiley&Sons.
_________.(2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications
Second Edition. New York: John Wiley&Sons.
Fraser, Jonathan. An Introduction to Julia Sets. http://www.neiu.edu/~mgidea/Julia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.
Gamelin, Theodore W. (2000). Complex Analysis. New York: Springer.
Helmberg, Gilbert. (2007).Getting Acquainted with Fractals. Berlin: Walter de Gruyter.
Jaya, Andi Kresna. Analisis Orbit Fraktal Pada Himpunan Julia. http://akademik.unhas.ac.id/proxylib/public_html/files/akresna/Analisis%20orbit%20fractal_Kresn
a.pdf. Diakses tanggal 15 Mei 2010.
Knap, Anthony W. (2005). Basic Real Analysis. Boston: Birkhauser.
Kitchen, Sarah. A Comparison of Three Fractal Dimensions. http://www-users.math.umd.edu/ ~lidador/fractal.pdf. Diakses tanggal 8 September 2009.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Lee, Seong In. Nonstandard Approach to Hausdorff Measure. www.math.uiuc.edu/~
mim2/zzzthesis.pdf. Diakses tanggal 8 Spetember 2009.
Lev, Nir. Hausdorff Dimension. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~levnir/files/
Hausdorff.pdf. Diakses tanggal 9 Desember 2009.
Munkres, James R. (1978). Topology A First Course. New Delhi: Prentice Hall of
India.
Muscat, J. Metric Spaces.http://staff.um.edu.mt/jmus1/metrics.pdf. Diakses tanggal
10 Juni 2009.
Nielsen,Ole A. (1996). An Introduction to Integration and Measure Theory. New
York: John Willey&Sons.
Petersent, Bent. Contraction Mappings. http://people.oregonstate.edu/~peterseb/
Mth614/docs/80-iter-func-systems.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2009.
Schleicher, Dierk. Hausdorff Dimension, Its Properties and Its Surprise.
http://org.uib.no/hcaa/HausdorffMonthly.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.
Searcoid, Michael O. (2007). Metric Spaces. London:Springer.
Solomyak, B. Additional Facts About Julia Set. http://www.itl.nist.gov/div898/
software/dataplot/refman2/ch6/julia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.
Susilo, Dr. F. (1996). “Himpunan Julia dan Klasifikasinya dalam Himpunan Mandelbrot”. Dalam Dr.F.Susilo, SJ dan Drs. St. Susento. [ed]. Sebuah Bunga Rampai.Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.
Soemantri, R. (1998). “Dimensi Tak Utuh: Pendekatan Praktis dan Teoritis”. Dalam:
Frans Susilo S.J, dkk[penyunting]. Tantangan dan Harapan. Yogyakarta:
Penerbit Universitas Sanata Dharma.
Worth, David. Construction of Geometric Outer-Measure and Dimension Theory.
http://www.math.unm.edu/~loring/research/DaveWorthThesis.pdf. Diakses tanggal 26 Sepetember 2009.