BAB I BILANGAN I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN

BAB I
BILANGAN
I.
SKEMA HIERARKIS BILANGAN
Bilangan non prima
Bilangan asli
Bilangan prima
Bilangan Bulat
Rasional
Bilangan Real
Bilangan Cacah
Irasional
Bilangan Bulat
Bilangan Nul (Nol)
Bilanan Kompleks
Bilangan Imajiner
II.
PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN
Bilangan kompleks
: Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganReal
dan imajiner
Bilangan Real
: Bilangan yang nyata .. (0.02, -V3) macam-macam bilangan
Bilangan Imajiner
: Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative
Contoh
: V-2, V-0,05, V-3
Simbolnya (xi)
Bilangan Rasional
: Bilangan yang terbentuk dalam p/q
(Dimana P & Q adalah bilangan bulat), dan bilangan
desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 (berulang)
Bilangan Irasional
: Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak
rasional
Misalnya
: V2
V3 Tak berulang
V
Atau disebut juga bilangan berbentuk akar
1
Bilangan Bulat
: terdiri dari B.B + & B.B –
Misal
: -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3
Bilangan Cacah
: disebut juga sebagai bilangan bulat positif
Bilangan Asli
: yang terdiri 1,2,3 dst
Bilangan Prima
: bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu
sendiri
Bilangan Non Prima
III.
: bilangan yang bukan bilangan prima
OPERASI HITUNG PADA REAL & TURUNANNYA
1) Penjumlahan
= (+)
2+3
2) Penguranngan = (-)
2-3
3) Perkalian
= (X 3 . )
2*2*2 = 2+1+1 = 23
4) Pembagian
= (: ; . . .)
24 = 2 4-1 = 2 3
2
Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya :
1. Hukum Komulatif
2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2
Tapi 2-3 # 3-2
2. Hukum Asosiatif
(2+3) +4 = 2+ (3+4)
(2.3) . 4 = (2.3) . 4
3. Hukum Distributif
2 (3+4) = (2.3) + (2.4)
2 (3-4) = (2.3) – (2.4)
A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, & PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL
PENJUMLAHAN
2
i) Va + Va = 2 Va
Contoh :
1. V3 + V3 = 2 V3
2. V7 + V7 = 2 V7
ii) Va + Vb = Va + Vb
( Tetap karena bilangan pokoknya berbeda )
Contoh :
V2 + V3 = V2 + V3
iii) a Vb + c Vb = (a+c) Vb
Contoh :
3 V5 + 2 V5 = (3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional
PENGURANGAN
i) Va – Va = 0
Note : Va – Va = (1-1) Va
= 0 Va = 0
Contoh :
1. V2 – V2 = 0
2. V5 – V5 = 0
ii) Va – Vb = Va – Vb
Contoh :
1. V3 – V5 = V3 – V5
2. V7 – V3 = V7 – V3
iii) aVb – cVb = (a-c) Vb
contoh :
1. 5V7 – 2V7 = (5-2) V7
Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional
3
PERKALIAN
i) Va x Va = a
Contoh :
Note : Va x Va
= Va.a = Va2
V2 x V2 = 2
= (a2) ½
V5 x V5 = 5
= a 2/2 = a1 = a
ii) Va x Vb = Vab
Contoh :
1. V3 . V5 = V15
2. V5 . V7 = V35
iii) aVb x cVb = (a.x) Vb b
= (ac) (b2) ½
= (ac) b 2/2
= acb atau abc
Kesimpulannya :
pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias
rasional/irsaional.
PEMBAGIAN
I) a (Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional)
Vb
Note :
a = a x vb
vb vb
vb
= a vb = a vb
b
b
contoh :
1. 1
V2
= 1 x V2
V2 V2
4
= 1 V2 = 1 V2
2
2. V3
2
= V3 x V5
V5
V2
V2
= V15 = 1 V15
5
II)
1
=
Va + Vb
5
1
x Va + Vb
Va – Vb
Va+Vb
= 1 ( Va – Vb )
( Va + Vb ) ( Va – Vb )
= 1 ( Va – Vb )
a ( Vab + V ab )
= Va = Vb
( Sudah Rasional )
a–b
contoh :
1
=
Va + Vb
1
x V3 + V5
V3+V5
V4 – V5
= V3 + V5
V3 . V3 – V5 V5
MENYEDERHANAKAN ANGKA
1. V20
= V4 . V5
= 2 V5
2. V32
= V16 . V2
= 4 V2
3. V200
= V100 . V2
= 10 V2
Contoh soal :
1. 2 V2 + V8 + V32 + 2 V3 + V12
= 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3
= (2+2+4) V2 + (2+2) V3
= 8 V2 + 4 V3
5
2. (1+3+V2) = (4-V50) + V243
= 1 + 3V2 – (4-5 V2) + 9 V3
= 1 – 4 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3
= -3 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3
= -3 + 8 V2 + 9 V3
3. V11 – V13
= V11 – V13 x V11 – V13
= V11 – V13 x V11 – V13
= (V11 – V13) (V11 – V13)
= (V11 + V13) (V11 – V13)
= 11 – V143 + V143 + 13
11 – V143 – V143 – 13
= 11 – V143 – V143 + 3
11 – 3
= 11 – 2 V143 + 13
11 – 13
= 24 – 2 V143
11 – 13
= 24 – 2 V14
-2
= -12 + 2 V143
4. 3 V2 – 2 V3
2 V3 – 3V2
= 3 V2 – 2 V3 x 2 V3 + 3 V2
2 V3 – 3 v2
2 V3 + 3 V2
= 6 V6 + 9 V4 – 4 V9 – 6 V6
4 V9 – 9 V4
= 9 V4 – 9 V9
= 9.2 – 4.3
4 V9 – 9 V4
4.3 – 9.2
= 18 – 12
12 – 18
= 6/-6 = .1
5. (V10 – V8)2
= (V10 – V8) (V10 – V8)
= 10 – V80 – V80 + 8
= 18 – 2 V180
6
B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR
Ditulis : a x b ; a + b atau ab (maksudnya a kali b) biasanya berbentuk symbol huruf (a … z)
jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut
koefisien dari symbol.
Contoh : 5 koef x dari 5x
Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga
Contoh : 5q adalah koefisien x3 dari 5 qx3
Penjumlahan pada aljabar :
Contoh
= (a+b+c) + (a+b+c)
= (a+b) + (b+b) + (c+)
Atau
A+b+c
A+b+c
2a + 2b +2c
Pengurangan pada aljabar
Contoh :
(-a – b + c) – (a + b – c) = samakan variable yang sama
Perkalian pada bilangan aljabar
Hitunglah :
a.b2 x a2b3 = a1+2b2+3 = a3b5 (lihat sifat pada bilangan eksponen)
latihan :
1. Hitunglah 2a – 3b + 4c +2 (a-b)
2. Sederhanakanlah 3 (2-3 (2a + 4)) – 4a
3. Hitunglah : 22 . b2 aVb : untuk a = 2 : b 3
7
C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN
Pecahan
1 & 3 dinamakan pembilang
4 dinamakan penyebut
Berbentuk
a semakin besar penyebut
b semakin kecil nilai pecahan itu
pecahan-pecahan yang senilai
1 =5
2
didepan
10
1x5=5
2 x 5 = 10
3 =9
3x3=9
4
4 x 3 = 12
12
Membandingkan 2 pecahan
7
dengan
6
8
8
Caranya samakan penyebut dulu
7x7
6x8
8x7
7x8
49
>
48
56
56
7
<
6
8
7
Pecahan campuran
Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran
5=5+1=11
5
5
5
5
8
7=4+6=13
4
4
4
4
Hanya pecahan yang nilainya >1
Mencari bilangan antara dua pecahan
Tentukan bilangan antara 2/5 dan 5/11
Jawab :
2 dan
5
2x4………5x5
5
11
5 x 11
11 x 1
Penjumlahan :
a. 5 + 1 = 5 + 1 = 6
2
2
b. 3 + 1
4
2
bukan 6
2
samakan penyebut
3x4
4
9 + 4 = 13
12 12 12
Pengurangan
a. 5 – 1 = 5 – 1 = 4
2
2
2
2
b. 3 x 3 – 1 samakan penyebut
4x3 3
9 –4=5
12 12 12
Perkalian
2x1=2x1=2
5
3
5x3
15
5x1=5x1=5
3
1x3
3
2 x -1 = 2 x -1 = -2
3
1x 2
-2
2 x 1 = 2 x -1 = 2 = 1
2
1x 2
2
9
= 22 . 33 . 25 . 25
55 55 55 15
Pembagian
a. 1 : 1 = 1 x (kebalikan dari 1 = 2)
2
2
1
=1x2
1
=1x2=2
b. 2 : 1 = 2 x 2
4 2
4 1
c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = 3
3 9
3 1
3
Pecahan Desimal
Berasal dari kata decimus (bahasa latin) yang berarti persepuluh milsanya :
= 1 = 0,1 :
10
1 = 0,01
100
Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh :
2 / 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal
2 = 2 x 2 = 4 = 0,4
5
5 2
10
4 = 4 x 125 = 29 375 = 0,375
8
8 x 125 = 40 1000
Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10
Pecahan persen
Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100
Conoh : 25 / 100 : 25%
Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya
10
Contoh :
4  persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50%
8
8:4
2
2  persen = 2 x 100 = 200%
7
7
1
35%  pecahan biasa (sama juga dengan menyederhanakan bilangan)
35% : 5 = 7
100 : 5
10
Pecahan campuran pada bilangan persen contoh =
22 (1) % = 25 x 1 1
2
2
100
= 25 /100
D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT
1. Penjumlahan
a. 5 + 1 = 6
b. 2 + 3 = 5
c. -2 + 3 = 1
d. -3 + 4 = 1
2. Pengurangan
a. 8 – 3 = 5
b. 7 – 3 = 10
c. 6 – 7 = -1
d. 7 + (-10) = 7 – 10 = 3
e. -6 – 3 = -9
f. -6 – (-3) = -6 + 3 = -3
11
3. Perkalian
a. 2 x 3 = 6
-x-=+
b. -2 x -3 = 6
-x-=-
c. 2 x -3 = -6
-x+=-
d. -2 x 3 = -6
4. Pembagian
a. 10 : 5 : 10/2 = 2
b. -10 : 5 – 10/5 = -2
c. 10 – 2 10/5 = -10/5 = -2
I. PERBANDINGAN (RATIO)
Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan
Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya
perwira dari seluru crew?
Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 10/25
II. PROPORSI
Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan
ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua (::)
Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40
5 : 10 :: 20 : 40
Atau
5 : 10 = 20 : 40
5 = 20
10 40
A. INVERSE PROPORSI (BERBALIK HARGA)
Ditulis : a/b = c/d
Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga sebaliknya
12
Contoh 1 :
25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18
orang
Jawab :
Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat (“kecil”)
Banyaknya pekerja
lama mengerjarkan (hari)
25
54
18
x
25/18 = x/54
X = 125 hari (catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang)
B. DIRECT PROPORSI
10 : 20 = 25 : 50 = ½
a/b = c/d
artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya
contoh 2 :
Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp. 17.000 berapa upah yang diterima jika
bekerja 7 jam.
Jawab :
Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya (senilai)
Banyaknya jam bekerja
besarnya upah (Rp)
4
17.000
7
x
4 = 17000
7
x
4.x = 17000 x 7
4
Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut
13
Contoh 3 :
Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat
diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin
Jawab :
Banyaknya pekerja
banyaknya mesin yang dirakit
banyaknya hari
8
2
18
12
5
?
Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat
dirakit (direct proporsi) kemudian dengan banyaknya hari (inverseproportion)
8 . 5=x
12
2 10
40 = x
24
18
24.x = 40 . 18
X = ….. hari
III. VARIASI
Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut,
saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling
ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat
menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi
untuk variasi adalah ( : = )
A=B
A = Konstant
B
Direct Proporsi
A1 = A2
B1

B2
A=1
B
A1B1 = A2B2
 Inverse proporsi
14
Contoh :
Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan
luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan
suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm ?
Jawab :
R adalah resistan tali
R1
= 2 ohm
L adalah luas tali
L1
= 0,0001 m L2 = 0,00005 m
P adalah panjang tali
P1
= 100 m
P2 = 250 m
Ditanya R2
Penyelesaiannya :
Karena :
1) R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L
R1 = R2
L1
L2
2) R berbanding terbalik dengan luasnya, maka :
R = 1/P
R1P1 = R2P2
L1
L2
Coba anda cari nila R2
Bentuk baku Notasi Ilmiah
Perhatikan bentuk decimal
0, 1 : 0,0 : 0 , 000
1. 10 – 1
0. 1 = 1
1. 10-2
1 x 10-4
10
1/a = _ a-n
Banyaknya bilangan dibelakang koma
0,0075
= 75 x 10-4
:::
= 7,5 x 10-3
123
Pertidak samaan bilangan
15
10-1
“ ditandai dengan tanda pertidaksamaan
Contoh :
Symbol-symbol pertidaksamaan
<, >, <, >
A & b adalah dua bilangan bulat
A=b
a sama dengan b
A>b
dibaca a lebih dari b
A<b
dibaca a kurang dari b
Sedangkan :
A>b
dibaca a lebih dari satu sama dengan b
A<b
dibaca a kurang dari atau sama dengan b
Contoh 1 :
2<2
-4 < 0
-1 > -3
1. Carilah nilai x yang memenuhi
X+2<3
x anggota bilangan real
Jawab :
X<=3–2
X<1
Hp = (1,2,3….)
Contoh 2 :
I. Pertidaksamaan linear
( pangkat terendah x1 )
3x > 5
3x – 5 > 5
3x>5
X > 5/3
Garis bilangan
16
Hp ( X > 5/3 )
Apabila x > 5/3
Maka garis bilangannya
HP { x > 5/3 }
1. -2x + 5 > 0
-2x > -5
x (-)
2x < 5
X < 5/2
HP { x < 5/2 }
II. Pertidaksamaan Irasional
1. V5x + 2 > 4
Syarat Va > 0
Solusi
V5 x + 2 > 4 (dikali 2)
= 5x + 2 > 42
= 5x + 2 > 16
= 5x > 14
= x > 14/5
= x > 2 4/5
Syarat Va > 0
= V5x + 2 > 0
5x + 2 > 0
5x > -2
X > -2/5
Garis bilangan
Hp { x > 2 2/4 }
2. V7x + 3 < v3 + 7
Va
Vb
= (7x + 3) < (3x + 7)
7x – 3x < 7 – 3
4x < 4
X<1
17
Syarat
Va > 0
V7x + 3 > 0
7x + 3 > 0
7x > -3/7
X > -3/7
Vb > 0
V3x + 7 > 0
3x + 7 > 0
3x > -7
3 > -3/7
Garis bilangan
__________________
Hp {-3/7 < x < 1}
Notes dalam penulisan Hp :
1 > x > -3/7
7/3 > x
salah x
-2 < x
3. Pertidaksamaan nasional dan irasionak
15x + 3 < 0
dan
V7x + 5 > 0
15x < -3
7x + 5 > 0
X < -3/15
7x > -5
X > -5/7
18
III.PERBANDINGAN FUNGSI KUADRAD
1. –x2 + 5x + 14 > 0 ( - )
Menjadi :
X2 – 5x -14 < 0
(x + 2) (x – 7) <
X1 = -2
X2 = 7
HP {-2 < x < 7}
2. X2 – 3x < 4 dan x2 – 2x > 8
X2 – 3x – 4 <0
x2 – 2x – 8 > 0
(x + 2) (x – 4)
(x + 2) (x – 4)
X1 = 1
x3 = -2
X2 = 4
x4 = 4
Hp {x < -2 atau -1 < x atau x > 4}
3. (x – 2) (x2 + 3x – 18) >
X2 – 25
(x – 2) (x – 3) (x + 6) > 0
(x + 5) (x – 5)
X1 = 2
x4 = -5
X2 = 3
x5 = 5
X3 = 06
HP {-6 < x < -5 atau x > 5}
4. X2 < 81
X2 – 81 < 0
(x +9) (x-9)
X1 = -9
HP (-9 < x < 9)
X2 = 9
19
IV.
X = -10
x = 10
(-10 + 9)
10 + 9
= -1
= 19
= 10 – 9
10 – 9
= -19
=1
-19 * -1
19 * 1
=19
= 19
NILAI MUTLAK
|X|<a
-a < x < a
|X|>a
x < -a atau x > a
(x + 1) > 3
X + 1 < -3
x+1>3
X < -3 –
x>2
X<-4
Absolut : membuat hal-hal menjadi +
Contoh :
1. |x| < 5
-2 < x – 3 < 2
2. |x – 3| < 3
-2 < x – 3 < 2
= -2 + 3 < x < 2 + 3
= -1 < x < 5
3. |x| > 5/2
Nilai absolut
x < - 5/2 atau x > 5/2
(x + 1) > 3
X + 1 < -3 / x + 1 > 3
4. |2x – 5| < 1
(dikuadratkan karena ada koefisiennnya 3)
= (2x – 5)2 < 12
= (1x – 5)2 – 12 < 0
= ( (2x -5) - 1) (2x -5) + 1)< 0
Font note :
(2x -5)2 +(2x -5) – (2x) -5) -12
20
= (2x – 6) (2x -4) < 0
X1 < -3
x = <-2
X1 = 3
x2 = 2
Hp {2 < x < 3}
5. (3x -2) > 4
(3x – 2)2 > 42
((3x – 2) – 4) ((3x – 2) + 4 ) > 0
(3x -6) (3x + 2) > 0
X1 = 2
x2 = -2/3
Hp {x < -2/3 atau x > 2}
(x2 – 4) (x2 – 2 x -2) < 0
(x + 2) (x – 2) (x + 1) (x – 3) < 0
X1 = -2
x3 = -1
X2 = 2
x4 = 3
Hp {(-2 < x < -1) atau (2 < x < 3)}
X = -3 x -2
-3 + 1
X + 2 -3 – 2 – 2
3 + 2 -5 – 3 – 3
-1
-6
=5
=12
0
X = -1 1/2
-1 ½ - 2
-1 ½ + 1
-1 ½ -3
-1 ½ + 2
= -3 ½
=-½
= -4 ½
0=½
Aritmatika
Dalam bentuk social
Contoh :
21
Pada suatu ruang muatan yang terdiri dari mobil-mobil yang akan dikirim ke daerah
A jika mobil itu dibeli dengan harga Rp. 100.000.000 dan pemilik menghendaki
untung Rp. 800.000 berapa harga jualnya ?
Jawab :
Harga beli
Rp. 100.000.000
Untung
Rp. 800.000
Harga jual
Rp. ?
U=J–B
800.000 = J – 100.000.000
100.000.000 + 800.000 = 100.800.000
Harga spare part tipe A Rp. 210.000 dan dijual oleh si empunya Rp. 250.000
berapakah % keutungannya ?
Jawab :
Harga beli
Rp. 210.000
Harga jual
Rp. 250.000
Laba (untung)
Rp. 250.000 – Rp. 210.000 Rp. 40.000
Persen keuntungan = 40.000/250.000 x 100% = 10%
Untuk jika
J>B
Rugi jika
J>B
Limpas jika
J=B
Untung jika
J–B
Rugi kita
B–J
Persen keuntungan
= U/B x 100%
Persen kerugian
= R/B x 100%
Persen keuntungan dari harga jual
22
= U/J x 100%
Latihan BAB I
Hitunglah
1. X4 . x2 . x3 =
2. 2a . -5a3 . 3a4 =
3. -4 . 3xy . 2x 3y5 =
4. 3x5 y . 15 x 2y =
-9x 3y
5. a. 3V2 + V12 – V72 + V50
b. 1 / V23 . 1/V2+3
c. V2 + V3 / V2 – V3
d. (22 – V5)2
6. 18 – (-15) – 3
7. (18 – 8 ) – 4
8. 20 – (4 – 3)
9. 13 – (8 – 4)
10. Pada musim dingin disebuah kota A suhu siang hari (pkl. 12.00) = 18 0C 15 suhu
pada malam hari (23.00) adalah -30C, berapa derajat penurunan suhu
11. – 108 : 9
12. 4 – x + -2 . 8
11 – (-5)
Sederhanakanlah
13. 4/6 =
14. 12/18 =
15. 7/35 =
16. 36/56 =
Gunakan tanda > , < atau =
17. 6/5 … 6/4
18. 3/15 … 4/22
19. 3/16 ,,, 1/5
23
BAB II
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
a) Bentuk umum persamaa linear : Determinan persamaan kalimat matematika yang ditandai
dengan tanda (*=*) dengan 1 variabel / symbol 1. Ax + b = 0. Dengan ketentuan a tidak boleh
o. a dan b adalah konstanta
Contoh :
1) 4x + 5 = 0
4x = -5
X = -5/4
2) 3 / 5x + 2 = 4 / 2x – 2
= 3 (2x – 2) = 4 (5x + 2)
= 6x – 6
= 6x – 20x = 8 + 6
= -14x = 14
X = 14/-144 = -1
3) 2x – 8 = 15
2x = 15 + 8
= 23
X = 23/2 = 11 ½
4) 5x + 6 = -2x – 8
5x + 2x = -8 – 6
7x = -14
X = -14/7 = -2
5) 3x + 7 = 0
3x = -7
X = -7/3
24
6) A memiliki $20 lebih dari B, tetapi nilainya ½ dari C, jika jumlah ketiganya adalah = $80 ,
berapa masing-masing uang mereka
Jawab :
Mis : uang B = $ x mata uang A = $20 + x dan A = ½ C atau C = 2A
Jumlah A + B + C = 20 + x + x + 2 (20 + x) = 80
60 + 2x + 4x = 80 – 80 4x = 20
X= 5
Jadi B = 15$
A = 25$
C = 36$
b) System persamaan linear dengan 2 peubah (variable) bentuk umum dari (P,S,L dengan 2
peubah adalah :
1. A1x + b1y + c1 = 0
a1x + b1y = -c1
2. A2x + b27 + c2 = 0
a2x + b2y = -c2
- C1 a1, b1, c1, a2, b2, c2 = R
- C2
Persamaan 1 a 1 / b1 boleh ( 0 ) tetapi tidak boleh kedua-duanya 0, demikian juga pada persamaan
ke 2. Persamaan tersebut diatas adalah persamaan garis lurus. Sehingga penyelesaian dari system
penyelesaian diatas dapat ditentukan sebagai koordinat titik potong antara 2 buah garis lurus (x, y)
dan himpunan penyesuaiannya (x,y) untuk menentukan penyelesaian tersebut dapat dilakukan
beberapa cara :
a) Metode grafik
b) Metode subtitusi
c) Metode eliminasi
d) Metode determinan
a. METODE GRAFIK
Dengan metode ini, setiap garis pada persamaan linear tersebut diatas kita gambar grafiknya
pada system koordinat cartesius. Yaitu koordinat titik potong antara ke 2 garis yang hasilnya akan
sama dengan cara hitung metode subtitusi dan metode eliminasi.
Contoh :
25
Tentukan : Hp dari s. persamaan I = x + y = 4
II = x – y = 16
Dengan metode grafik
Solusi jawaban

X+y=4
Untuk x = 0
x+y=4
0+y=4
Y = 4 x,y = (0,4)
Untuk y = 0
x+y=4
X+0=4
X = 4 x.y = (4,0)

X – 2y = 16
Untuk x = 0 x – 2y = 16
0 – 2y = 16
-2y = 16
Y = y =16/-2 = -8 x,y = (0, -8)
Untuk y = 0
x – 2y = 16
X – 0 = 16
X = 16 x,y = (16,0)
Model grafiknya :
26
b. MODEL SUBTISUSI
Subtitusi artinya : menggantikan / memasukan nilainya. Metode ini lebih tepat dipergunakan
apabila pada system persamaan linear dengan 2 perubah / variable. Terdapat persamaan
dengan salah satukoefisiend dari salah satu perubahan variablernya adalah satu.
Contoh :
1. 3x + y =1
(I)
2x – 3y = 8
(Z)
Persamaan I 3x + y = 1
Y = 1 – 3x (3)
Subs (masukkan) y = 1 – 3 x ke pers (z)
2x – 3x = 8
untuk x = 1 subs ke pers (3)
2x – 3 (1 – 3x) = 8
y=1–3x
2x – 3 + 9x = 8
y = 1 – 3 (1)
=1–3
11x = 11
X = 11/11
y=-2
Hp ( 1, -2 )
2. 2x + 3x = 20
3x – y = -3
Jawab : Pres (2) = 3x – y = 3
-y = -3 -3x (x) –
Y = 3 + 3x ….. (x)
Y = 3+ 3x subs ke pers (1)
2x + 3y = 20
11x = 11
2x + 3 (3 + 3x) = 20
x=1
X = 1 sub ke pers (3) y = 3 + 3 (I)
Y = 6 hp (1,6)
27
c. METODE ELIMINASI
Eliminasi artinya menghilangkan salah satu unsure / variable, sehinggga dari 2 variabel semua
menjadi hanya 1 variabel. System p.s tersebut dapat diselesaikan, cara menghilangkan salah
satu variable tersebut adalah, dengen menyamakan koefisiens dari variable tersebut.
Kemudian dikurangkan apabila tanda-tandanya berlawanan / berbeda.
Contoh :
Tentukan Hp. Dengan eliminasi
1. 3x + y = 1
(1)
2x – 3y = 8
(2)
Jawab :
3x + y = 1
x2
6x + 2y = 2
2x – 3y = 8
x3
6x – 9y = 24
11y = -22
Y = -22/11
Mencari y
y = -2
3x + y =1
x3
9x + 3y = 3
2x – 3y = 8
x1
2x – 3y = 8
11x = -22
X = 11/11
Mencari x
1=1
Jadi Hp = (1, -2)
d. PENGGABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI
1. 3x + y = 1… … (1)
2x – 3y = 8 … …(2)
Cara eliminasi :
3x + y = 1
.2 6x + 2y = 2
2x – 3y = 8
.3 6x – 9y = 24
11y = -22
Y = -2
Cara subtitusi
28
Y = -2 sub ke persamaan (1)
3x + y = 1
3x + y – 2 = 1
3x – 1 + 2
X=1
a. Yang lebih umum untuk dipergunakan adalah metode eliminasi yang digabungkan
dengan subtitsi.
b. Metode subtitusi lebih tepat digunakan apabila salah satu koefisien darisalah satu
variabbel itu adalah 1
c. Metode grafik lebih tepat dipergunakan untuk memperkirakan/mengecek hasil
penyelesaian dengan metode sustitusi / eliminasi dengan cara menggambarkan grafik
garis-garis pada system persamaan tersebut dan menentukan titik potongnya.
e. METODE DETERMINAN (S)
Persamaan dengan 2 variabel
1. Ax + by = k … … (I)
Cx + dy = I … … (II)
Untuk met x dan y
X = Sy/S
y = Sy/y
S=a b
= ad – bc
c d
= kd – bl
Sx = K b
L
d
= al – kc
Sy = ak
Cl
X = kd – bl
Ad
bc
y = al – kc
ad – bc
29
Contoh :
1. X + y = 7
D.M Det
X – y = 19
Solusi
= 1. ( 1) – 1 (1)
S=1 1
1 -1
-1
Sx
=7
-1 2
1
19 -1
Sy = 1
1
7
= 7 (-1) -1 (19)
-7
-19
= -26
= 19 – 7 = 12
19
Jadi x = 26 / -2
= 13
Y = 12 / -2
Hp ( 13, 6)
2. 2x + y = 5
2x + 3y = -1
S= 2
1
2
3
Sx = 5
1
-1
3
Sy = 2
5
2
=6–2=4
= 15 – (-1) = 16
= -2 – 10 = 12
-1
X = 16 / 4 = 4
Y = -12 / 4 = 3
METODE DETERMINAN DENGAN 3 VARIABEL
1. Persamaan dengan 3 variabel / peubah adalah
A1x + b1y = ciz
= k(I)
A2x + b2y = c2z = I ( II )
A3x + b3y = c3z = m ( III )
30
Karena memiliki 3 variabel maka harus memiliki 3 persamaan
X = sx / s
Sy
Sz
y = sy / s
z = sz / s
= c1
a1
k
c1
a1
C2
a2
I
c2
a2
C3
a3
m
c3
a3
= A1
b1
k
a1
b1
A2
b2
I
a2
b2
A3
b3
m
a3
b3
X = sx / s = ** / *
Y = sz / s = **** / *
HP ( X, Y, Z )
Z = sz / s = **** / *
A1x + b1y = ciz
=0(I)
A2x + b2y = c2z = 0 ( II )
A3x + b3y = c3z = 0 ( III )
Eliminasi pers .
( I ) & ( II )
A1x + b1y + c1z = 0 x pers (2) …
A2x + b2y + c2z = 0 x pers (1) …
Menjadi (a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 …. (IV)
Eliminasi pers II dan III
A2x + b2y + c2z = 0 x pers (2) …
A3x + b3y + c3z = 0 x pers (1) …
Menjadi (a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0 …. (IV)
Pada * dan ** yang dicoret harus z agar mendapatkan nilai x dan y lebih mudah.
Persamaan (IV) dan (V) dapat dengan cara subtitsi / eliminasi
(a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0
dapat ditentukan variabelnya
31
(a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0
x dan y dengan cara subtitusi/eliminasi
Subtitusi ke salah satu persamaan awal (1) (2) dan (3) maka didapatkan hp (X,Y,Z)
Contoh soal
1. 2x – y – 2z = 15 … (I)
3x + 2y + z = 17 … (II)
X + 4y – 3z = 29 … (III)
Eliminasi pers I dan II
2x – y – 2z = 5 x 1 = 2x – y – 2z = 5
3x + 2y + z = 17 x 2 = 6x + 2z
= 34
= 39 ….. (IV)
8x + 3y
Eliminasi pers II dan III
3x + 2y + z = 17 x 3
9x + 6y + 3z = 51
3x + 2y + z = 17 x 2
x + 4z - 3/z = 29
10x + 10y = 80
= 80 … (IV)
X+y
Pers (4 dan 5) dapat dikerjakan dengan cara eliminasi / subtitusi. Sustitusi apabila pada
persamaan 4 dan 5 terdapat 1 koefisien (apabila tidak ada maka harus dengan eliminasi)
8x + 3y = 39 … (IV)
X + y = 8 … (V)
M AB = m BP satu garis
Y2 – y1
= y – y2
X2 – x1
x – x1
y2 – y1
= x2 – x1 … (4)
y – y2
x – x2
Y – y1
= x – x1
Y2 – y1
x2 – x1
32
LATIHAN :
1. Carilah hambatan parallel untuk R1 = 2V3 ohm dan R3 = V12 ohm
2. Diketahui suatu rangkain listrik parael terdiri dari 3 hambatan yang dipasang secara prarel :
jika R total = 0,5 ohm : R1 = 2 ohm : R2 = 1 ½ ohm dan R3 = x – 2 ohm, carilah nilai x itu
3. Jumlah dari dua bilangan A dan B adalah 16, sedangkan selisih dua bilangan tersebut
adalah 4, berapakah bilangan-bilangan itu?
4. Carilah nilai x dan y dari system persamaan dibawah ini :
2x / 3 – 3y / 5 = ¾
dan x / 2 – y / 4 = 13 / 16
5. Hitunglah nilai a, b, dan c dari system persamaan linear dibawah ini :
3a + 2b – c = 4
2a + b + c = 7
A–b+c=2
6. Dua buah kapal adalah 99 nautical mil jaraknya steaming pada kecepatan yang berbeda,
jika dua kapal tersebut mengadakan perjalanan langsung kedepan bersama-sama mereka
akan bertemu dalam waktu 3 jam. Jika mereka steaming dalam arah yang sama pada
tempat yang sama mereka akan bertemu dalam waktu 49 ½ jam. Berapakah kecepatan
kedua kapal tersebut masing-masing
7. Hokum wiliam mengenai hubungan antara konsumsi uap dan tenanga yang dikembangkan
oleh sebuah steam engine dalam kondisi tertentu dapat dijelaskan
M = a + bP
Dimana m adalah mass uap yang digunakan perjam
P adalah tenaga yang dikembangkan
A dan b adalah konstanta
Jika apda suatu ketika pada mesin itu m = 2025 kg/jam saat P = 250 kw dan m = 1515
kg/jam saat P = 175kw
a. Carilah besarnya konstanta a dan b
b. Berapa kg/jam nilai m saat p = 200kw
33
BAB III
PERSAMAAN KUADRAT
a. PENGERTIAN
Ialah suatu bentuk persamaan dengan variable x yang mempunyai pangkat tertinggi misalnya :
X2 – 3x – 2 = 0
2x2 = 3x
2x2 + 3 = 0
b. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum :
ax + bx + c = 0 ; a,b,c, E R,
A F o ( sebab bila a = o bentuk tsb menjadi bx + c = 0 yakni persamaan
linear)
c. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT
Ialah nilai – nilai x yang memenuhi bentuk suatu persamaan kuadrat misalnya : x2 – 5x + 4 =
0, akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 4, sebab 12 – 5,1 + 4 = 0 demikian pula 42 – 5,4 + 4 = 0
sedangkan x = 3 bukan persamaan itu, sebab 32+ - 5,3 + 4 # 0 bagaimana cara mencarinya :
d. MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Dengan faktorisasi
4x2 – 9 = 0
4x2 = 9
X2 = 9/4
X = (3/2)1/2
X = I v3/2
X2 . ½ = (9/4)1/2
X1 = 3.2
x2 = -3 / 2
HP (3/2, -3/2)
Note :
Tentukan akar dapat dengan faktorisasi
Cara : (a – b) a2 – b2 = (a + b)
34
(a – b)2 = (a – b) (a + b)a2 – 2ab + b2
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
a2 + 2ab + b2
Rumus Abc
Ax2 + bx + c = 0
Ax2 + bx = -c
:a
(x + b/a)2 : -c / a
x2 + bx : -c
a:a
Note :
(x + b/a)2
X2 + 2 . b/a . x + (b/a)2
(x + b/a)2 = -c/a + 4 b/a
(x - b/a)2 = -c/a + 4 b/a
X – b/a = + V-c/a + 4 b/a
X1 = -b/a + V-c + 4ab
A
X12 = -b + vb2 + 4ac = -b + V d/2a
2a
Contoh soal :
Tentukan hp dengan rumus abc dari :
1. 6x2 – 11x – 10 = 0
= -b + Vb2 – 4 ac
2a
= 11 + V121 + 4 (60)
= 11 + V361
12
X1 = 11 + 19 = 30 = 5/2
12
12
X2 = 11 – 19 = -8 = -2/3
12
12
35
36
37
38
39
40
41
42
43
Luas bidang datar satuannya dalam pangkat 2 : m 2 , cm2
1. PERSEGI PANJANG
L = P x L : Kel = 2 (P + I)
2. PERSEGI
L = Sisi x sisi : Kel = 4 x sisi
3. LINGKARAN
L = rr2 : Kel = 2rr
44
4. JAJAR GENJANG
L=PxL
5. TRAPESIUM
L = Jumlah Garis sejajar x t/2
6. SEGITIGA
L = Alas x T/2
Volume = satuannya dalam pangkat 3 : m3 , cm 3
7. KUBUS
Volume = a x a x a
45
8. BALOK
Volume = P X I X I
9. PRISMA
Volume = L alas x tinggi
10. PIRAMID
Volume = 1/3 x luas alas x tinggi
11. SILINDER
Volume = rr2t
46
12. KERUCUT
Volume = 1/3 rr2t
Contoh :
1. Sebuah ruangan penyimpanan barang ukurannya adalah 6.4 m x 4.5 m. carilah luasnya
dalam satuan feet (1m = 3.28m)
2. Sebuah persegi panjang tingginya 1 meter. Suatu segitiga yang alasnya sama memiliki luas
sama dengan 2/3 luas persegi panjang. Carilah tinggi segitiga itu
3. Sebuah tank alasnya berukuran 20 x 15 m dan sisinya tegak. Jika berisi iar 2400m3 air
berapakah tinggi tersebut ?
4. Keliling segitiga sama sisi = 240 m dan alasnya 5 cm, carilah luas
a. L permukaan silinder 2nrr2 x 2nrh
b. Luas permukaan balok 2 p.t + 2pl + 2 lt
c. Luas permukaan limas L Alas + J Luas Segiti sisi tegak
d. L Permukaan kerucut nr2 + nrs
Bola
Memiliki jari-jari = r
Luas permukaan = 4 nr2
Volumenya 4nr2 / 3
Contoh :
1. Luas permukaan bola adalah 616 c,2 berapakah volumenya
2. Diameter sebuah bola adalah 30 cm carilah luas permukaan dan biaya gelindingnya
untuk $1.50 cm2
47
IRREGULAR FIGURES
Simpsons first rule. This method of finding the area of an irregular figure is one of the most useful to
marine enginers nad neval architects. Briefly it is staled :
To the sum of the first and last ordinates, add four times the even ordinates and twice the odd
ordinate, multiply this sum by one thirs the common interval and the result is the area of the figure
An odd number of ordinates, equally spaced, must be used for this rule, step by step, the
producedure is as follow, referring figure.
1. Divide the given figure into an even number of equally spaced parts, this gives and odd
number of ordinates
2. Measure the ordinates and the common distance between them
3. Add together : the first ordinate the last ordinate, four time the event ordinates and twice the
odd ordinates
4. Multiply the aboce sum by one – the third of the third of common distance between the
ordinates.
48
Example
A flat-plate is shaped as shown in fig, the dimension being in millimeters, find its area by simson’s
rule
Working in centimeters and seting out in tabulated form :
Ordinates
simpson’s Multipliers
product
0
1
0
3.5.4
4
14.16
6.32
2
12.64
8.34
4
33.26
9.6
2
19.20
10.2
4
40.80
9.96
2
19.92
8.68
4
37.72
5.8
1
5.80
Sum =
Common interval = length : number of spaces = 320 : 8 = 40 ,, = 4 cm
Luas = 180.6 x 4 / 3 = 240.8 cm2
From the explanation 1.4.1
5
1.4.2.4.1
7
1.4.2.4.2.4.1
9
1.4.2.4.2.4.2.4.1
This rule is often experesed in formula fashion thus :
Area h/3 (a + 4b + 2x + 4c + e)
H being the coming interval a,b,c etc being ordinates
49
180.60
The student, however, is advised to set out the work in tabulated form as in the example shown
because, in work to follow, simpson’s rule is applied in finding first and second moments of irregular
shapes and this is most neatly done by extending the tables as for areas.
The man (average) height of an irregular figure can be obtained by dividing the area its lengtht, or can
be found direct bye simpson’s rule bye dividing the sum of the product of the ordinates and theirs
multipliers, by the total of multipliers
In the foreging example the two methods of obtaining the mean height would be :
(I)
area = 240.8 cm2
Length = 32 cm
Mean height = 240.8 : 32 = 7.525 cm = 75.25 mm
( II )
Sum of product = 180.6
Sum Multipliers = 1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 1 = 24
Mean Height = 180.6 : 245 = 7.525 cm
Example
The ordinates measured art wart ship across a ship at her lad water line are : 0,2 : 9, 15.5 : 20 : 21.5 :
20.5 : 18.5 : 12.5 : and 1.3 meters respectively, and the length is 180 meters. Find the water plane
are
simpson’s Multipliers
Ordinates
Number ordinates =
Number of Spaces =
Commong interval = lengths : no of space
=
Water plane area =
50
product
Latihan
Regularly spaces semi = ordinates measured transverly across at ship the load water line are as
follow : 0,1 : 3,5.8.5 : 7.2 : 8.1: 8.4 : 8.4 : 8.25 :8.1: 7.5 : 6.3 : 3.75 and 0.5 meters respectively and
the length is 150 meters. Find the area of the water plane by simsons rule
51
Dalam mencari luas segitiga pada gambar diatas kita dapat menggunakan rumus :
1. L = s V (s-a) (s-b) (s-c)
Dimana : s = ½ (a + b + c)
2. L = ½ ab sin x
Atau
L = ½ bc sin
Atau
L = ½ ac sin
Contoh :
Dik : dalam segitiga a = 15 : b = 20 : c = 25, carilah luas segitiga itu, jawab
A = 15
B = 20
s = 15+20+25
C = 25
2
= 30
52
V. TRIGONOMETRI
a. Pengertian dan perbandingan trigonometri
< ABC disebut Betha
< BAC disebut Alpha
< BCA disebut Gamma
Nama-nama perbandingan trigonometri
1. Sinus a disingkat sin a
2. Cosines a disingkat cos a
3. Tangent a disingkat tg a
4. Cotangent a disingkat cotg a
5. Secans a disebut sec a
6. Cosecans a disingkat cosec a
Ditinjau dari a dalam segitiga
Siku-siku ABC
Sisi BC = a
Sisi AB = c
Sisi AC = b
1. Sin a = c / a
2. Cos a = b / c
3. Tg a = a / b
4. Cotg a = b / a
5. Sec a = c / b / = 1 / cosa
6. Cosec a = c / a = 1 / sina
53
PENGUKURAN SUDUT
Sudut dapat diukur dalam beberapa cara. Jika sebuah lingkaran dibagi dalam 360 derajat bagian
yang sama yang masing-masing sudut terbentuk disebut = 1 derajat masing-masin sudut dibagi
dalam 60 bagian yang sama disebut minutes .
-
1 minute ditulis 1’ untuk mencegah pengertian dengan minute waktu maka minute waktu
diterjemahkan dalam min of m
-
Masing-masing minute dibagi dalam 60 bagian yang sama yang disebut second diluts 1
bukan 1 secong yang terbiasa digunakan dalam 1 sekon waktu.
60 secons
= 1 minute
60 = 1’
60 minute
=1
60’ = 1
90
= 1 sudut siku-siku
Dalam sebuah circular measure
Circumference dari sebuah lingkaran adalah 2n sepanjang jari-jari lingkaran. N adalah ratio dan
menggunakan pendekatan 3.1416 kadang kita juga menggunakan 22/7 walaupun itu bukan
pendekatan yang bagus sudut yang dibentuk dari sebuah panjang busur dengan jari-jari disebut
radian itu lah makanya 2nrad terdapat dalam sebuah lingkaran maka :
54
b. Fungsi Trigonometri pada Koordinator
1. Letak dalam kwadran 1 (00 < Q < 900)
2. Letak dalam kewadran II (900 < a < 1800)
55
3. Letak dalam kwadran III (1800 < a < 2700)
4. Letak dalam kwadran IV (2700 < a < 3600)
Rumus – rumus Trigonometri
1. Kwadran I
a. Sin (90 – a)0
= cos a
b. Cos (90 – a)0
= sin a
0
c. Tg (90 – a)
= cotg a
d. Tg a = sin a / cos a
e. Sin2a = cos2 a = 1
56
2. Kwadran II
a. Sin (180 – a)
= sin a
b. Cos (180 – a)
= - cos a
c. Tg (180 – a)
= - tg a
d. Sin (90 + a)0
= cos a
e. Cos (90 – a)0
= - sin a
f. Tg (90 – a)
= - cotg a
3. Kwadran III
a. Sin (180 + a)
= - sin a
b. Cos (180 + a)
= - cos a
c. Tg (180 + a)
= cotg a
0
d. Sin (270 - a)
= - cos a
e. Cos (270 – a)0
= - sin a
f. Tg (270 – a)
= cotg a
4. Kwadran IV
a. Sin (360 - a)
= - cos a
b. Cos (360 - a)
= cos a
c. Tg (360 - a)
= - tg a
d. Sin (270 + a)
= - cos a
e. Cos (270 + a)
= sin a
f. Tg (270 + a)
= - cotg a
5. Sudut-sudut istimewa
Jika G = 300
Sin 300
Cos 30
0
Jika G = 600 maka :
sin 600
=½
0
= ½ V3
= ½ V3
cos 60
Tg 300
= ½ V3
tg 600
= V3
Cotg 300
= V3
cotg 600
= ½ V3
57
=½
BUKTI
58
DAFTAR NILAI TRIGONOMETRI UNTU (SATU) PERIODE DALAM SUDUT ISTIMEWA
Cara menghitung nilai trihonometri jika a > 3600 adalah sebagai berikut :
Sin (360 – a)
= sin a
Cos (360 – a)
= cos a
Tg (360 – a)
= tg a
Cotg (360 – a)
= cotg a
Contoh a = 9600
A = 9600 2x 3600 + 2400 maka
Sin 9600
= sin (2 x 3600) + (2400 + 2400) = sin 2400
Sin 2400
= sin (1800 + 600)
= sin 600 = ½ V3
Cos 9600
= cos (2x3600 +2400) = cos 2400
Cos 2400
= cos (1800 + 600 ) = cos 600 = ½
Tg 9600
= tg (2x3600 + 2400) = tg 2400
Tg 2400
= tg (1800 + 600) = tg 600 = V3
.
59
VI.
SUDUT NEGATIF DAN GRAFIK FUNGSI
A. Sudut Negatif di ukur
B. Grafik fungsi Trigonometri
Untuk menggambar grafik trigonometri penggunaan sistim coordinator sebagai berikut : absisi
titik-titik dari grafik menyatakan besarnya sudut sedangkan ordinatnya merupakan harga
fungsi :
1. Y = sin x
Gambar
60
2. Y = cos x
3. Y = tg x
61
LATIHAN !
1. Cari nilai dari
COS 4900
Sin 6000
Tg 8550
2. Cari nilai dari
Sin – 1350
Cos – 4950
3. Sudut-sudut alas segitiga sama kaki = 450 hitung :
a. Tinggi
b. Alasnya
c. Luasnya
62
DENSITY AND SPECIFIK GRAVITY
DENSITY s the mass per unit volume : lbs/ft3+
kg/dm3+
kg/m3
SPECIFIC GRAVITY is the ration of the mass of a unit volume of a substance to the mass of the
same volume of water at standart temeperatur, usually, 40c
Density of a Subtance
S.G =
Density of Water
BIRITISH SYSTEM
S.G
= Density of Subtance
S.G = Density of Subtance
Density of Water
S.G
Density of Water
= 36.2 lbs/ft3
S.G = 0.58.lbs/ft3
62.4 lbs/ft3
S.G
62.4 lbs/ft3
= 0.52
S.G = 0.58
Notice that in the S.I System the density and specific gravity of a substance are the same in
numerical value with the spesifik gravity having no units.
Although kg/m3 is the base unit of measurement for density the following unit are sometime used :
Desinty of Liquid kg/dm3
Density of passport kg/dm3
To convert from one unitto the other in the S.I. System study the following :
1 kg/dm3 = 1.000 kg/m3
0,0001 kg /dm3 = 1kg/m3
When calculating the specific gravity of a liquid the density of a substance is compared to that of
water. However, when calculating the specific gravity of a vapor the density of the vapor is compared
to that of air (air = 1.0)
Density of water = 1.0 kg/dm3 or 1.000 kg/m3
Density of air = 1.0 kg/dm3
63
64
65
66
67
SOAL :
1. Sebatang bamboo yang panjangnya 6 m tersandar pada tembok rumah sedemikian, sehingga
membentuk sudut 600 dengan tanah :
Hitunglah :
a. Tinggi Ujung atas bambu
b. Jarak ujung bawah bambu dan tembok
2. Suatu kapal berlayar sejauh 24 km kejurusan 2400 kemudian 56 km dengan jurusan 2100.
Berapa jarak selatan dan jarak barat kapal itu titik keberangkatannya
68