RUANG VEKTOR

1
RUANG VEKTOR
Nurdinintya Athari
(NDT)
RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan
• Ruang Vektor Umum
• Subruang
• Basis dan Dimensi
• Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
•
•
•
•
Beberapa metode optimasi
Sistem kontrol
Operation Research
dan lain-lain
Ruang Vektor Umum
Misalkan u , v , w  V dan k, l  Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap u , v  V maka u  v  V
2. u  v  v  u
3. u  v  w   u  v   w
4. Terdapat 0  V sehingga untuk setiap u V
berlaku u  0  0  u  u
5. Untuk setiap u  V terdapat  u  sehingga u   u    u   u  0
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap u  V dan k  Riil maka k u  V
7. k u  v   ku  kv
8.
k  l  u  ku  lu
9. k l u   l k u   kl  u
10. 1. u  u
Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi
penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
• R : Bilangan real
• R2 : Vektor di bidang
• R3 : Vektor di ruang tiga dimensi
2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi
standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan
skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
• Penjumlahan
u  v  u1  v1 , u 2  v 2 , ..., u n  v n 
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
ku  ku1 , ku 2 ,..., ku n 
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u  v  u1v1  u 2 v 2  ...  u n v n
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
u  u  u 
1
2
2
2
 u1  u 2  ...  u n
2
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
d u , v   u  v

u1  v1 2  u 2  v 2 2  ...  u n  v n 2
Contoh :
Diketahui u  1, 1, 2, 3 dan v  2 , 2 , 1, 1
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
u  u  u 
1
2
 12  12  2 2  32  15
Jarak kedua vektor
v  2 2  2 2  12  12  10
d u , v   u  v


1  22  1  22  2  12  3  12
 12   12  12  22
 7
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V.
W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang
vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W  { }
2. W  V
3. Jika u , v W maka u  v  W
4. Jika u  W dan k  Riil maka k u  W
Contoh 1:
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde
2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan
subruang dari ruang vektor matriks 2x2
Jawab :
0 0
  W maka W 
1. O  
0
0


2. Jelas bahwa W  M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B  W
 0 b1 
 0 a1 
 dan B  

Tulis A  
 a2 0 
 b2 0 
Perhatikan bahwa :
 0 a1   0 b1 
  

A  B  
b
a
0
0
 2
  2

a1  b1 
 0

 
a
b

0
2

 2
Ini menunjukan bahwa A  B  W
4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil, maka
 0
kA  
 ka2
ka1 
  W
0 
Ini menunjukan bahwa
kA W
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
Contoh 2
Apakah W sub ruang dari ruang vektor R3 jika W didefinisikan
sebagai {(a,b,c) dimana a.b.c = 0}
Jawab
W = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c  R}
Vektor (0,0,0)  W
W ≠ { } dan W  R3
Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W
c = a + b = (2,2,2)
c bukan vector di W
karena 2.2.2 = 8 ≠ 0
W bukan sub
ruang di R3
* Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwa
W sub ruang dari R3
Contoh 3:
Periksa apakah himpunan W yang berisi semua matriks orde
2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang
vektor M2x2
Jawab :
 a b 

a b 
W= 
 det 
  0, a, b, c, d  R 
c d 
 c d 

0 0 
1. 
  W , maka W   
0 0 
2. Jelas bahwa W  M 22
3. Misalkan ambil sembarang matriks A, B  W. Pilih a ≠ b :
 a b  , jelas bahwa det (A) = 0

A  
 0 0
 0 0  , jelas bahwa det (B) = 0

B  
b a
A B
a b

= 
b a
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi W bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Contoh 4
Tunjukkan bahwa W : garis yang berasal dari titik pusat di bidang
adalah sub ruang dari ruang vektor R2
Jawab
W = {(x,y) | ax + by = 0, a,b  R}
W≠{}
1. Garis x + y = 0 dan x – y = 0  W
2. Misalkan Garis1: a1x + b1y = 0 dan Garis2 : a2x + b2y = 0
adalah garis di W
W  R2
3. Garis3 = Garis1+Garis2 = (a1+a2)x + (b1+b2)y = 0 ada di W
4. k Garis1= ka1x + kb1y = 0 ada di W
Maka, W sub ruang di R2
Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor
v1, v2 , … , vn
jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
u  k1v1  k 2v2  ...  k n vn
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar riil.
Contoh
Misal u  (2, 4, 0) dan v  (1, – 1, 3) adalah vektor-vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari
vektor-vektor di atas
a. a  (4, 2, 6)
b. b  (1, 5, 6)
c. c  (0, 0, 0)
Jawab :
a. Tulis k1u  k 2 v  a
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
 4 
 1 
 2 






k1  4   k 2  - 1    2 
 6 
 3 
 0 






Ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 


4
1


 0 3 


 k1 
 4 





2




 k 
 6 


 2
dengan OBE, diperoleh:
 2 1

 4 -1
 0 3

4   1 12
 
2 ~ 0 1
6   0 0
2  1 0
 
2 ~ 0 1
0   0 0
1

2
0 
Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2
a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v
atau
 

a  u  2v
b. Tulis :

 
k1u  k 2 v  b
 2 


k1  4   k 2
 0 


1 
 1 
 


-1    5 
 3
 6 
 


ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 


4
1


 0 3 


 1 

 k1  
    5 
 k2   6 


dengan OBE dapat kita peroleh :
 2

 4
 0

1
-1
3
1 

5 
6 
 1

~ 0
 0

1
2
-3
3
0 

3 ~
6 
 1

 0
 0

1
1
0
2


2 ~
3 
1
2
 1

 0
 0

0
1
0


2 
3 
-1
2
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut
adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis

 
k1u  k 2 v  c
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.
LATIHAN
Misalkan
u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2)
adalah vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari
vektor-vektor di atas
a.
a = (9, 2, 7)
b. b = (4, -1, 8)
c.
c
= (2, 6, 10)
Definisi membangun dan bebas linear
Himpunan vektor
S  v1 , v 2 , ... , v n 
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.
Contoh :
Tentukan apakah
v1 = (1, 1, 2),
v2 = (1, 0, 1), dan
v3 = (2, 1, 3)
membangun V???
Jawab :
Ambil sembarang vektor di R2
misalkan
.
Tulis :
.
 u1 
 
u  u2 
u 
 3
u  k1 v1  k 2 v 2  k 3 v 3
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
1 1 2  k1 
 u1 


1 0 1  k   u 
 2

  2
u 
2 1 3  k3 
 3
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R3
Misalkan S  u1 , u 2 ,..., u n 
adalah himpunan vektor diruang vektor V
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
JIKA SPL homogen :
k1u1  k2u2  ...  kn un  0
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
k1  0, k 2  0, ... , k n  0
Jika solusinya tidak tunggal,
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
(Bergantung linear / linearly dependent)
Contoh :
Diketahui u   1, 3, 2 dan a  1, 1,  1
Apakah saling bebas linear di R3
Jawab :
Tulis

 
k1u  k 2 a  0
atau
 -1 1 

  k1 
1    
 3
 2  1   k2 


 0
 
 0
 0
 
dengan OBE dapat diperoleh :
 -1 1 0 
1



1 0  ~ 0
 3
 2 1 0 
0



 1 0
1 0 0



0
1
0
4 0 ~ 

0 0 0
1 0 


dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
Contoh :
Misalkan
,  1
 
a  3 
 2
 
,
 2 
1
 
 
b   1  c    6
  1
  4
 
 
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Jawab :
Tulis :
0  k1 a  k 2 b  k 3 c
atau
2  k1   0 
 1 1
   

 3 1  6  k 2    0 
 2  1  4  k   0 
 3   

dengan OBE diperoleh :
1
1  1  2



0  ~ 0
0 4
0 1
0
0 


 1  2

1
0 
0
0 
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak
Jadi
a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
1 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0
1 0
0 1
0 0 0
0
0
Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn }
merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka
S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

M 

3 6 
3  6,


 8  1 0 
 0  1  0
 1 0 ,  12  4,  1 2 

 
 
 
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
 0 1
3 6 
 k3

k1 
k
2


1 0 
3  6
atau 
3k1  k 4

 3k1  k 2  12k 3  k 4
 0  8
12  4  k4


 1 0 a b
1 2  c d

 

6k1  k 2  8k 3   a b 


 6k1  4k 3  2k 4   c d 
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL :
0
0
1   k1   a 
 3
 6 1  8 0  k  b 

  2   
 3  1  12  1  k3   c 

    
 6 0  4 2   k 4   d 
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det(MK)  0  SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d
Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det(MK)  0 SPL homogen punya solusi tunggal.
Jadi, M bebas linear.
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.
Ingat…
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :
Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :



1 0 0 1 0 0 0 0 
0 1, 0 0, 1 0, 0 1 
 
 
 

 
juga merupakan basisnya.
Misalkan matriks :
 1  2 1 1 


A 1
2
3 1 
 1

2
2

1


Vektor baris
Vektor kolom
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
  1   1 
    
 1 ,  3  
 1   2  
    
basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan
terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At,
sehingga diperoleh :
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
  1   1  
    
  2   2  
 ,   
  1   3  
 1    1 


Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
Contoh :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s
=0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s
=0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
 2 1 2 2
SPL dapat ditulis dalam bentuk :  1  1 2  1

 1 2  4 1

 3 0
0 3

0

0
0

0 
dengan melakukan OBE diperoleh :
1

0
0

0

0 0  1 0

1  2 0 0
0 0
0 0

0 0
0 0 
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
 p  1  0
     
 q   0  2
 r    0 a   1 b
     
 s  1  0
     
dimana a, b merupakan parameter.
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :






1
 
0
0 ,
 
1
 
0 
 
 2 
1 
 
0 
 
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
Latihan Bab 5
6 3
1.Nyatakanlah matriks 

 0 8
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
 1 2 0
 1 3 , 

 2
1
 4  2
, dan 

4
0  2 
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a. {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b. {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
membangun polinom orde 2 !
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2)
a. {4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b. {– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
5. Misalkan
J  a  bx  cx 2

a 2  b 2  c 2 

merupakan himpunan bagian dari ruang vektor
Polinom orde dua.
Periksa apakah J merupakan sub ruang
dari ruang vektor Polinom orde dua
Jika ya, tentukan basisnya
6. Diberikan SPL homogen :
p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0
p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan)
dan tentukan dimensinya.
7. Tentukan rank dari matriks :
 1  2  1 1 
1

2
3
1



 1
2
2  1