bab ii landasan teori - Repository UIN SUSKA

BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
Distribusi Peluang
Definisi 2.1 (Walpole dan Myers, 1995) Jika X adalah suatu variabel random
kontinu, maka fungsi densitas peluangnya adalah suatu fungsi yang memenuhi
kondisi:
≥ 0; untuk x ∈(-∞,∞)
i.
ii.
≤
iii.
≤
= 1
=
(2.1)
Definisi 2.2 (Walpole & Myers, 1989) Fungsi distribusi kumulatif variabel
dinotasikan sebagai
yang riil. Jika
2.2
=
dan didefinisikan sebagai
adalah kontinu, maka :
=
≤
untuk seluruh
( )
(2.2)
Fungsi Quantil
Definisi 2.3: Misalkan F fungsi distribusi dari suatu distribusi probabilitas pada
himpunan bilangan real R jika ∈ (0,1) maka terdapat dengan tunggal
sehingga
.
notasi
=
∈
maka disebut kuantil- dari F.Kuantil- dari F digunakan
Fungsi kuantil dari F didefinisikan sebagai:
= inf{ ∣ ( ) ≥
dengan ∈ (0,1) artinya
}
adalah nilai terkecil dari
dengan ( ) ≥
Misalkan x mempunyai distribusi F dan fungsi distribusi dari
dapat dinyatakan sebagai:
=
−
∈ ,
=
+
.
, maka
> 0
Sehingga fungsi quantil itu sering dikenal dengan istilah invers dari kumulatif.
II-1
2.3
Diskrit Binomial
Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut:
a.
b.
Percobaannya terdiri atas ulangan.
Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil “ ” atau
gagal “ ” .
c.
Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan , untuk setiap ulangan adalah
sama, tidak berubah-ubah.
d.
Ulangan-ulangan itu bersifat bebas.
Definisi 2.4 (Ari Pani Desvina, M.Sc, 2012) Jika suatu ulangan binomial
mempunyai peluang keberhasilan
dan peluang gagal
peluang bagi peubah acak binomial
= 1−
, maka sebaran
, yaitu banyaknya keberhasilan dalam
ulangan yang bebas, adalah:
2.4
; ,
=
,
Distribusi Peluang Kontinu
= 0,1,2, … ,
2.4.1 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diambil dari nama seorang fisikawan yang berasal dari
Swedia bernama Waloddi Weibull pada Tahun 1939. Distribusi Weibull
merupakan distribusi yang sering digunakan karena menggambarkan keseluruhan
data secara jelas terutama dalam pengujian dan memodelkan data, sehingga
distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk pemodelan antara lain pemodelan
dibidang teknologi, kecepatan angin, unsur-unsur kimia dan juga dibidang
hidrologi. Karakteristik dari distribusi Weibull yaitu dicirikan oleh dua parameter
yaitu
dan
, dimana
> 0 dan
> 0 (Rinne, 2009).
Distribusi Weibull termasuk distribusi acak kontinu yang juga mempunyai
fungsi densitas peluang sebagai berikut :
=
(2.3)
sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah :
= 1−
(
)
(2.4)
II-2
2.4.2 Distribusi Peluang gamma
Difinisi 2.5 (Rado Yendra, M.Sc, 2008) Variabel acak Y dikatakan memiliki
distribusi gamma dengan parameter   0 dan   0 jika dan hanya jika fungsi
densitas dari Y adalah
  1  y
y e
,
0 y
f y   






untuk yang lainya
 0,
DimanaГ
Kuantitas Г
=
dikenal dengan fungsi gamma. Integral secara langsung akan
bahwaГ 1 = 1.Dan
menghasilkan
menghasilkan bahwa
=
Г
secara
− 1 Г
terus-menerus
− 1 > 1,Г
integral
=
akan
− 1 !
dan juga yang dihasilkan jika n adalah bilangan bulat. Hal di atas dapat
ditunjukkan seperti berikut:
Г
=
=−
=
− 1
∞
+
0
− 1
=
− 1 Г
− 1
Contoh2.1 : Tentukan Г 6 = 6 − 1 ! = 5x 4 x 3 x 2 x 1=120.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa fungsi densitas peluang distribusi gamma
akan ditunjukkan memenuhi sifat distribusi peluang kontinu, seperti berikut :
=
Г
=
Г
=
Г
=
Г
Г
= 1
II-3
Grafik fungsi densitas gamma untuk   1,2 dan 4 serta   1 , diberikan pada
gambar berikut:
f(y)
1
 1
 2
 4
Gambar 2.1 GrafikFungsiDensitas Gamma
y
Gambar 2.1 menunjukkan bentuk dari densitas gamma berbeda untuk nilai  yang
berbeda. Untuk alasan ini kadang-kadang alpa disebut dengan parameter bentuk
yang dihubungakan dengan distribusi gamma. Parameter  secara umum disebut
dengan parameter skala, karena mengalikan sebuah variabel acak yang
didistribusikan dengan gamma dengan bilangan positif ( dengan demikian
mengubah skala pada pengukuran dibuat) menghasilkan variabel acak yang juga
mempunyai distribusi gamma dengan nilai  yang sama tetapi nilai parameter 
berubah.
Pada kasus tertentu ketika  adalah bilangan bulat, distribusi fungsi dari
variabel acak yang didistribusikan secara gamma dapat digambarkan sebagai
jumlah dari peluang poisson tertentu. Jika  tidak bilangan bulat dan
0  c  d  , tidak memungkinkan untuk memberikan gambaran yang tepat
untuk
Г
Teorema 2.1 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Jika Y mempunyai distribusi gamma
dengan parameter  dan  , maka
  E Y    dan  2  V Y    2
II-4
Bukti : Seperti yang diketahui bahwa
  1  y 
y e 
E Y    yf  y  dy   y  
 dy






0 





Dari sifat yang telah dibuktikan sebelumnya diketahui bahwa


0
y  1e  y 
dy  1
   
Karena itu

y
 1

e
y

dy     
0
Sehingga
  1  y 
y


1
y e 


E Y    y  
 dy       y e dy
0      
0
2


1
  
 
  1  1 
 
 
  



Selanjutnya untuk menentukan variansi distribusi gamma, tentukan terlebih
dahulu nilai harapan berikut:
 
E Y2
  1  y 
y


e 
1
2y
 1

y  
dy  
y e dy
   
   0
0


1
 2   1 
 2
 
   2  
    1 2
 
  



Sehingga variansi distribusi gamma dapat ditentukan sebagai
 
V Y   E Y 2  E Y 
2
    1 2      2
2
II-5
2.4.3 DistribusiPeluang Beta
Fungsi densitas beta fungsi densitas berparameter dua didefinisikan pada
interval tutup 0  y  1 . Ini sering digunakan sebagai model untuk proporsi,
seperti proporsi ketakmurnian produk kimia atau proporsi waktu sebuah mesin
diwaktu perbaikan.
Definisi 2.6 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Variabel acak Y dikatakan mempunyai
distribusi peluang beta dengan parameter   0 dan   0 , jika dan hanya jika
fungsi densitas dari Y adalah
 y  1 1  y  1

,
f  y    B ,  

0,
0  y 1
untuk lainnya
Dimana
1
B ,     y  1 1  y 
 1
dy 
0
  
   
Grafik fungsi densitas beta mengasumsikan perbedaan yang lebar dari bentuk
untuk berbagai nilai dari dua parameter  dan  . Beberapa diantaranya akan
digambarkan seperti pada gambar dibawah.
Sebagai catatan mendefinisikan y pada interval 0  y  1 tidak membatasi
penggunaan
distribusi
beta.
Jika
c yd,
maka
y    y  c  d  c 
mendefinisikan variabel baru sehingga 0  y   1 . Jadi fungsi densitas beta dapat
dipakai untuk variabel acak yang didefinisikan pada interval c  y  d dengan
translasi dan pertukaran skala.
Fungsi distribusi kumulatif untuk variabel acak beta lazim disebut fungsi beta
taklengkap dan dinotasikan dengan
t  1 1  t 
F y  
B ,  
0
y
 1
dt  I y  ,  
II-6
f(y)
 3
 3
 5
 3
 2
 2
0
1
y
Gambar 2.2 Grafik Fungsi Densitas Beta
Jika  dan  kedua-duanya bilangan bulat positif, I y  ,   dihubungkan dengan
fungsi peluang binomial. Integral dengan mempartisi dapat digunakan untuk
menunjukkan bahwa untuk 0  y  1 dan kedua-duanya bilangan bulat
t  1 1  t 
B ,  
0
 1
y
F y  
n
n
n i
dt     y i 1  y 
i   i 
Dimana n      1 . Catat bahwa jumlah sisi sebelah kanan dari gambaran di
atas hanya menjumlahkan peluang yang dihubungkan dengan variabel acak
binomial dengan n      1 dan p  y
Teorema 2.2 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Jika Y adalah variabel acak yang
didistribusikan dengan parameter   0 dan   0 maka   E Y  
 2  V Y  

dan
 

        1
2
II-7
Bukti : Dengan definisi
EY  

 yf  y

y  1 1  y 
y
B ,  
0
 1
1
dy
1
1
 1

y  1  y  dy

B ,   0
B  1,  
B ,  
      1 


       1
   
  




            

Untuk menentukan variansi dari distribusi beta, pertama sekali tentukan nilai
harapan dari bentuk berikut

    y f y
EY
2
2

1
  y2
0
y  1 1  y 
B ,  
 1
dy
1
1
 1

y  1 1  y  dy

B ,   0
B  2,  
B ,  
      2 


       2
  1  
   
   1



       1           1   

Sehingga variansi dari distribusi beta adalah
 
V Y   E Y 2  E Y 
2
  
   1





2
    1                1
2
II-8
2.5
StatistikBerurut
Secara formal, misal Y1,Y2, . . . ,Yn variabel acak kontinu yang saling bebas
dengan fungsi distribusi komulatif F(y) dan fungsi densitas f(y). Notasi variabel
acak yang terurut Yi yaitu Y(1),Y(2),. . .,Y(n) dimana Y(1) ≤Y(2) ≤. . .≤ Y(n)
Y(1) = min (Y1,Y2, . . . ,Yn)
Adalah variabel acak minimum dari Yi
Y(n) = max (Y1,Y2, . . . ,Yn)
Adalah variabel acak maksimum dari Yi
Fungsi densitas peluang untuk Yi dan Yn dapat ditentukan dengan menggunakan
metoda fungsi distribusi kumulatif. Pertama sekali kita akan menentukan fungsi
densitas dari Yn. Karena Yn adalah maksimum dari Y1,Y2, . . .,Yn, Maka peristiwa
(Y(n) ≤ y) akan terjadi jika dan hanya jika (Yi ≤ y) terjadi, untuk setiap i = 1,2,. .
.,n, yakni
P Yn   y   P Y1  y, Y2  y,  , Yn  y 
Karena Yi adalah saling bebas dan PYi  y   F  y  untuk i  1,2,, n , hal ini
menyatakan bahwa fungsi distribusi kumulatif dari Y(n) diberikan oleh
FYn  y   PYn  y   PY1  y PY2  y  PYn  y   F  y 
n
Misal gn(y) notasi fungsi densitas dariY(n) dengan menurunkan fungsi distribusi kumulatif
di atas akan ditentukan
g n   y   nF  y 
n 1
f y
Dengan cara yang sama kita dapat menentukan fungsi densitas untuk Y(1) sebagai berikut:
FY1  y   P Y1  y   1  P Y1  y 
Karena Y(1) adalah minimum dari Y1,Y2,…,Yn, hal ini menyatakan bahwa peristiwa
(Y(1)> y) terjadi jika dan hanya jika peristiwa (Yi> y) terjadi untuk i = 1,2,…,n. Karena Yi
saling bebas dan P (Yi> y) = 1 – F(y) untuk i = 1,2,3,. . .,n, kita lihat bahwa
II-9
FY1  P Y1  y   1  P Y1  y 
 1  PY1  y, Y2  y,  , Yn  y 
 1  PY1  y PY2  y  PYn  y 
 1  1  F  y 
n
Misalg(1) (y) adalah fungsi densitas dari Y(1) , dengan menurunkan fungsi distribusi
kumulatif akan diperoleh
g 1  y   n1  F  y 
n 1
f y
Contoh 2.2.
Komponen-komponen elektronik dari tipe tertentu mempunyai panjang hidup Y,
dengan densitas peluang diberikan oleh
 1  y 100
e
,
y0

f  y   100
0, untuk yang lainnya
Andaikan bahwa dua komponen dioperasikan secara bebas dan system dirangkai
secara seri (karena system gagal ketika komponen lain gagal). Tentukan fungsi
densitas untuk X.
Penyelesaian:
Karena system gagal pada komponen utama gagal X = min (Y1,Y2) dimana Y1 dan
Y2 adalah variabel acak dengan diberikan fungsi densitas. Karena
F  y   1  e  y 100 , untuk y  0
f X  y   g 1  y   n1  F  y 
n 1
f y
2e  y 100 1 100e  y 100 , y  0

0, untuk yang lainnya
Dan itu menyatakan secara sederhana bahwa
 1   y 50
,
y0
 e
f X  y    50 
0, untuk yang lainnya

II-10
Contoh 2.3.
Andaikan komponen di rangkai secara parallel (karena system tidak akan gagal
sampai kedua komponen gagal). Tentukan fungsi densitas untuk X.
Penyelesaian :
Sekarang X = max (Y1,Y2) dan
f X  y   g 2   y   nF  y 
n 1

f y

2 1  e  y 100 1 100 e  y 100 , y  0

0, untuk yang lainnya
dan oleh sebab itu
 1   y 100
 e  y 50 , y  0
  e
f X  y    50 
0, untuk yang lainnya


2.6

Peluang Moment Berbobot (PMB)
Definisi2.7 (Greenwood dan Kawan-kawan, 1979) Peluang moment berbobot di
defenisikan sebagai:
, ,
=
1−
Dimana
=
1−
(2.5)
= fungsi kuantil atau invers distribusi
, ,
= distribusi fungsi kumulatif
= bilangan real.
Untuknilai =
= 0 dan
adalah bilangan bulat tidak negatif,maka berdasarkan
defenisi 2.10 dapat ditulis sebagai:
, ,
=
=
Atau dikenalsebagai moment ke – suatu distribusi, dan jika
= 1 maka bentuk
diatas adalah moment ke -1 atau rata-rata suatu distribusi fungsi, dengan bentuk
seperti:
, ,
=
=
II-11
,
Untuk statistik berurut
,…
dengan sampel berukuran .
kumulatif untuk ke
= ∑
,
,…,
1−
,
,…,
(2.6)
adalah bentuk fungsi peluang binomial
Bentuk yang muncul setelah tanda∑
tepat ke– untuk
,diketahui distribusi fungsi
. David (1970) telah menghasilkan hubungan
diantara penjumlahan binomial dan fungsi beta taklengkap.
=
,
Dimana
,
, −
=
,
1−
Oleh sebabitu:
Maka
,
=
,
=
,
Karena
(2.7)
adalah fungsi beta taklengkap, sedangkan
,
= + 1
adalah fungsi beta untuk > 0,
> 0
,
=
Г
!
Г
!
!
Г
1−
!
=
!
(2.8)
!
Seterusnya ambil turunan dari persamaan (2.13), yang merupakan fungsi densitas
peluang dari
=
,
,
=
,
:
!
!
!
!
!
!
Berikutnya nilai ekspektasi dari
,
,
=
=
!
!
,
!
1−
,
1−
dapatditulis:
1−
.
(2.9)
. (2.10)
II-12
Dimana
=
,0 ≤
≤ 1
Dengan menggunakan bentuk ini, maka moment ke – untuk urutan ke
dari
sampel berukuran , dapat dihitung
=
,
!
!
1−
!
(2.11)
Oleh sebab itu moment ke – untuk urutan ke - + 1 dari ukuran sampel +
dapat dihitung:
=
,
!
! !
1−
+ 1
(2.12)
Dari bentuk diatas maka bentuk peluang moment berbobot untuk statistik berurut,
dapat dibentuk seperti:
! !
=
, ,
(2.13)
,
!
Dua bentuk peluang moment berbobot yang sangat perlu diperhatikan adalah
untuk = 1,2, = 0,1,2,3,dan
, ,
, ,
2.7
=
,
=
,
= 0. Dua bentuk ini dapat ditentukan seperti:
= 0,1,2, …
= 0,1,2, …
Penentuan Perkiraan Untuk
, ,
,
Andaikan data untuk statistik berurut dari kecil kebesar
dimana
,…,
(2.14)
(2.15)
,…
,
adalah data yang terbesar. Total jumlah pemilihan sampel bagian
urutan + 1 dari
=
adalah:
+ 1
(2.16)
Jumlah sampel bagian berukuran
data terbesar, maksudnya
+ 1 dipilih dari
sebagai
adalah anggota dari subsampel dan anggota lain
harus dipilih dari data yang lebih kecil,
subsampel yang memuat
yang memuat
,
,…,
. Oleh sebab itu jumlah
sebagai anggota terbesar adalah:
II-13
− 1
=
(2.17)
Seterusnya dapat dibentuk
=
(2.18)
Maka dapat dihasilkan, rumus moment ke – untuk statistik berurut ke
+ 1 yang dipilih dari
subsampel berukuran
=
= ∑
,
adalah
+ 1 dari
(2.19)
Berdasarkan bentuk diatas dapat dihasilkan bentuk umum peluang moment
berbobot untuk sampel adalah:
=
, ,
,
∑
=
!
!
= ∑
= ∑
=
=
, ,
!
!
!
∑
∑
!
!
!
!
!
, ,
=
=
!
!
!
!
!
.
Selanjutnya untuk membuktikan
nilainya menjadi:
dimana
!
!
!
=
!
! !
(2.20)
, ,
, dari persamaan 2.20, sehingga
∑
∑
II-14
Kemudian dari persamaan (2.11),
=
, ,
= ∑
Jika =
, ,
−
= ∑
=
, ,
∑
!
=
!
!
!
! !
!
!
− 1dan,sehingga, =
= ∑
!
!
−
∑
!
− 1
1
!
−
!
!
+
!
+ 1:
1−
1−
1−
− 1
.
1−
1−
.
II-15