PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1

05-May-14
PENYELESAIAN PERSAMAAN
DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
1. Pendahuluan
Pengertian Persamaan Diferensial
Metoda Penyelesaian
Contoh-contoh Aplikasi
1
05-May-14
1.1. Pengertian Persamaan Differensial
• Secara Garis Besar Persamaan Differensial dibagi menjadi
2 yaitu :
PD Biasa
PD Parsial
Persamaan Differensial Biasa mempunyai satu variabel bebas ,
sedangkan Persamaan Differensial Parsial mempunyai Variabel
Bebas lebih dari satu
Contoh
• 𝑦 ′ = cos 𝑥
• 𝑦 ′′ + 4 𝑦 = 0
2 ′′′ ′
𝑥 ′′
2
• 𝑥 𝑦 𝑦 + 2𝑒 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑦
•
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= −𝑘 𝐴
2
PD Biasa
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥 2
PD Parsial
2
05-May-14
• Persamaan Differensial Biasa atau Parsial mempunyai orde
dimana orde menunjukan elemen turunan yang paling tinggi
dalam suatu Persamaan Differensial.
• Persamaan Differensial Biasa atau Parsial dapat
mempunyai satu sifat yaitu Linier atau non linier.
• Persamaan Differensial dapat muncul dibanyak bidang
teknik atau yang lain
Contoh
Contoh jika suatu populasi (mis : manusia, bakteri, hewan dll)
𝑑𝑦
tumbuh pada laju 𝑦 ′ =
sama dengan jumlah populasi
𝑑𝑡
sekarang, maka model populasinya dapat dituliskan sebagai
berikut :
𝑦′ = 𝑦
Dan kalau diselesaikan model ini akan mendapatkan
persamaan
𝑦 = 𝑐𝑒 𝑡
3
05-May-14
Beberapa penerapan Persamaan Differensial :
• Benda Jatuh Bebas : 𝑦 ′′ = 𝑔 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛.
• Aliran Fluida keluar tangki : ℎ′ = −𝑘 ℎ.
• Rangkaian listrik LCR : 𝐿𝐼 ′′ + 𝑅𝐼 ′ +
1
𝐶
𝐼 = 𝐸′
• Vibrasi suatu masa pada pegas : 𝑚𝑦 ′′ + 𝑘𝑦 = 0
Dalam materi ini, PD orde 1 mengandung hanya y’ dan
mungkin mengandung y dan fungsi yang dibentuk oleh x,
sehingga dapat dituliskan sbb :
• 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ = 0 atau dapat dituliskan sbb:
• y’ = f(x,y)
4
05-May-14
Penyelesaian Persamaan Differensial
1. Penyelesaian secara analitik (exact)
2. Penyelesaian secara Numerik (Iteratif)
2. Penyelesaian Persamaan Differensial secara Analitik
Konsep Penyelesaian :
• Penyelesaian PD orde 1 yang diberikan pada interval
terbuka a < x < b adalah fungsi y = h(x) yang mempunyai
turunan y’ = h’(x) dan memenuhi definisi untuk semua x
didalam interval.
5
05-May-14
Contoh
Verifikasi bahwa y = x2 adalah solusi dari PD xy’ = 2y untuk
semua x.
y = x2 maka y’ = 2x
Substitusi y’ = 2 x dalam PD
xy’ = 2y,
x(2x) = 2y
2x2 = 2y
y = x2
Kadang-kadang suatu penyelesaian PD akan membentuk sebagai
suatu fungsi implisit, secara implisit diberikan dalam bentuk :
𝐻 𝑥, 𝑦 = 0
Contoh.
Fungsi y dari x secara implisit dituliskan sebagai
x2 + y2 -1 = 0, (y > 0),
yang merepresentasikan setengah lingkaran pada setengah
bidang, adalah suatu penyelesaian implisit dari PD yy’ = -x, pada
interval -1 < x < 1
6
05-May-14
• Suatu PD mungkin akan mempunyai banyak solusi. Hal ini
seharusnya tidak mengherankan karena kita mengetahui
bahwa dari calculus bahwa integrasi memberikan konstanta
sembarang.
Contoh
Persamaan y’ = cos x dapat diselesaikan dengan calculus.
Integrasi memberikan kurva sinus : y = sin x + c dengan nilai c
adalah sembarang.
a. Metoda Pemisahan Variabel
Banyak Persamaan Differensial Biasa (PDB) orde 1 dengan manipulasi
secara aljabar dapat disederhanakan bentuknya menjadi :
g(y)y’ = f(x)
Karena y’ = dy/dx, kita dapat menuliskan lebih sesuai dalam bentuk
g(y) dy = f(x)dx
Bentuk ini dikatakan sebagai bentuk persamaan yang sudah dipisahkan
variabelnya.
Bentuk penyelesaiannya :
𝑔 𝑦 𝑑𝑦 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
7
05-May-14
Contoh
Selesaikan PD berikut :
9yy’ + 4x = 0
Dengan memisahkan variabel-variabelnya maka menjadi :
9y dy = -4x dx
Dengan mengintegrasikan pada kedua sisinya kita
mendapatkan :
9
2
𝑦 2 = −2𝑥 2 + 𝑐 maka
𝑥2
9
+
𝑦2
4
=𝑐
Contoh
Selesaikan PD berikut :
y’ = 1 + y2
Dengan memisahkan variabel dan mengintegralkan kita
mendapatkan :
𝑑𝑦
= 𝑑𝑥
1 + 𝑦2
𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 = 𝑥 + 𝑐
y = tan (x + c)
8
05-May-14
 dx  x  C
x n 1
 x dx  n  1
 cos ax
 sin axdx  a  C
sin ax
 cos axdx  a  C
n
 sec xdx  tan x  C
 sec x tan xdx  sec x  C
 csc x cot xdx   csc x  C
 csc xdx   cot x  C
2
kx
 e dx 
e kx
C
k
dx
 ln x  C
x
dx
 1  x 2  arcsin x  C
dx
 1  x 2  arctan x  C
dx
 x x 2  1  arcsec x  C

2
Contoh permasalahan Nilai awal
Selesaikan permasalahan PD dengan nilai awal sbb :
y’ + 5x4y2 = 0
y(0) = 1
Penyelesaian :
𝑑𝑦
𝑦2
-
1
𝑦
= −5𝑥 4 𝑑𝑥
= −𝑥 5 + 𝑐
𝑦=
1
𝑥 5 −𝑐
9
05-May-14
Lanjutan
Dari hasil ini dan nilai awal kita mendapatkan :
𝑦 0 =
1
−𝑐
= 1,
c = -1
Dengan melakukan pengujian :
5𝑥 4
′
4 2
𝑦 + 5𝑥 𝑦 = − 5
𝑥 +1
maka 𝑦 =
+ 5𝑥 4
2
1
𝑥 5 +1
1
𝑥2 + 1
2
=0
Contoh
Selesaikan PD berikut
𝑦′ =
𝑥
𝑦
y(1) = 3
Penyelesaian dengan pemisahan dan integrasi dan
penggunaan kondisi nilai awal memberikan :
y dy = x dx
½ y2 = ½ x2 + c
½ . 32 = ½ . 12 + c
dan c = 4
Maka y2 – x2 = 8
10
05-May-14
b. Metoda Penyederhanaan pemisahan variabel.
PD orde 1 tertentu tidak dapat dipisahkan tetapi dapat dibuat
terpisah dengan suatu perubahan variabel yang sederhana.
Membentuk PD orde 1 menjadi :
𝑦
𝑦′ = 𝑔
𝑥
Dimana g adalah suatu fungsi dari y/x.
Contoh (y/x)3, sin (y/x) dll.
Bentuk persamaan menyarankan kepada kita untuk
menyusun persamaan sbb :
𝑦
=𝑢
𝑥
Lanjutan
Maka
y = xu.
Hasil penurunan total memberikan :
y’ = u + xu’ dimana u’ = du/dx
Dari persamaan ini disubtitusikan ke persamaan g menjadi
u + xu’ = g(u),
sekarang kita dapat memisahkan variabel u dan x, mendapatkan:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑔 𝑢 −𝑢
𝑥
11
05-May-14
Integrasi pada kedua sisi dan dalam hasilnya menggantikan u
dengan y/x, kita mendapatkan solusi umum
Contoh
Selesaikan 2xyy’ – y2 +x2 = 0
Dengan membagi dg x2, kita mendapatkan
𝑦
𝑦 2
2 𝑦, −
+1 = 0
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
2 𝑦, −
𝑥
𝑥
2
+1 = 0
Jika mengatur u = y/x dan menggunakan nilai turunannya,
persamaan tersebut menjadi :
2𝑢 𝑢 + 𝑢′ 𝑥 − 𝑢2 + 1 = 0
Maka
2𝑥𝑢𝑢′ + 𝑢2 + 1 = 0
12
05-May-14
Dengan memisahkan variabel, kita mendapatkan :
2𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−
1 + 𝑢2
𝑥
Dengan pengintegrasian
𝑙𝑛 1 + 𝑢2 = −𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐 ∗
Jadi 1 + 𝑢2 =
𝑐
𝑥
Dengan menggantikan u dengan y/x, di dapatkan:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐𝑥,
Contoh
Selesaikan PDB dengan nilai awal
𝑦′ =
𝑦
𝑥
+
2𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 2
𝑦
dan 𝑦
𝜋 =0
Penyelesaian :
Kita mengatur u = y/x. Maka y =ux, y’ = xu’ + u, dan persamaan
menjadi :
2𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 2
𝑥𝑢′ + 𝑢 = 𝑢 +
𝑢
Kita menyederhanakan secara aljabar dan mengintegrasikan :
𝑢𝑢′ = 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 2 ,
1 2
𝑢
2
= 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 + 𝑐
13
05-May-14
Lanjutan
Karena u = y/x, inimemberikan
𝑦 = 𝑢𝑥 = 𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 2 + 2𝑐
Karena sinπ = 0, kondisi awal menghasilkan c = 0. Maka
jawabannya adalah
𝑦 = 𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 2
Kadang-kadang dari suatu bentuk persamaan differensial
menyarankan pensubtitusian sederhana yang lain, seperti
contoh berikut mengilustrasikannya :
Contoh 3 :
2𝑥 − 4𝑦 + 5 𝑦 ′ + 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
Penyelesaian : Kita mengatur x – 2y = v. Maka
1
𝑦′=
1 − 𝑣′
2
dan persamaan tersebut menjadi bentuk
14
05-May-14
2𝑣 + 5 𝑣 ′ = 4𝑣 + 11
Dengan memisahkan variabel dan dengan mengintegrasikan, kita
mendapatkan :
1
1 −
𝑑𝑣 = 2𝑑𝑥
4𝑣 + 11
dan
𝑣 −
1
𝑙𝑛 4𝑣 + 11 = 2𝑥 + 𝑐 ∗
4
Karena v = x – 2y, persamaan ini akan dituliskan
4𝑥 + 8𝑦 + 𝑙𝑛 4𝑥 − 8𝑦 + 11 = 𝑐
15