- Bina Darma e

MATA KULIAH
KALKULUS III (4 sks)
DOSEN : Ir.RENILAILI, MT
MINGGU KE 3
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Pengertian
Persamaan Differensial adalah hubungan antara variabel bebas x,
variabel tak bebas y, dan satu atau lebih koefisien differensial y
terhadap x.
Persamaan differensial menyatakan hubungan dinamik, maksudnya
hubungan tersebut memuat besaran-besaran yang berubah dan
karena itu persamaan differensial sering muncul dalam persoalanpersoalan ilmu pengetahuan dan teknik. Orde suatu persamaan
differensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam
persamaan tersebut.
Contoh persamaan differensial
untuk orde I ,II dan III
dy
2
x.
 y 0
dx
d2y
2
xy

y
sin x  0
2
dx
3
d y
dy
2x

y

e
0
3
dx
dx
Pembentukan Persamaan Differensial
Dalam prakteknya, persamaan differensial dapat dibentuk
dari pengkajian persoalan fisis yang dinyatakannya. Secara
matematis persamaan differensial muncul bila ada konstanta
sembarang dieleminasikan dari suatu fungsi tertentu yang
diberikan.
Contoh 1 :
y  A sin x  B cos x, A dan B adalah kons tan ta
dy
 A cos x  B sin x
dx
d2y
 A sin x  B cos x
2
dx
setelah dua kali differensial ternyata persamaan diatas tepat sama dengan persamaan semula
hanya tandanya yang berlawanan.
Jadi
d2y
d2y
  y  2  y  0  persamaan orde 2.
2
dx
dx
CONTOH 2.
Diketahui : fungsi
y  Ax 2  Bx
Ditanya : Bentuklah persamaan differensial dari fungsi
diatas
Penyelesaian :
y  A x  B x  i
Substitusi persamaan ii dan iv
2
dy
 2 Ax  B  ii
dx
d2y
 2 A  iii
2
dx
1 d2y
A
 iv
2
2 dx
dy
 2 Ax  B
dx
1 d2y
dy
B
 2 x 
2 
dx
2
 dx 
dy
d2y
x 2 B
dx
dx
dy d 2 y
B 

 v
dx dx 2
PEMECAHAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Untuk memecahkan differensial, kita harus mencari fungsi yang memenuhi
persamaan itu artinya yang membuat persamaan itu benar.
Hal ini berarti kita harus mengolah persamaan tersebut sedemikian rupa
sehingga semua koefisien differensialnya hilang dan tinggallah hubungan
antara y dan x. Ada 2 cara yang dapat dilakukan yaitu:
1. Dengan Integral langsung
x
dy
 5x 3 
dx
dy
 5x 2 
dx

y    5x 2

5 3
y 
x
3
4
4
x

4
 dx
x
 4 ln x  c
2. Dengan pemisahan variabel
dy
 f  x, y 
dx
Jika persamaan yang diberikan berbentuk
, maka variabel y yang muncul diruas kanan mencegah kita
memecahkannya dengan integrasi langsung. Karena itu kita harus
mencari cara pemecahan yang lain misalkan kita tinjau persamaan
dy
 f  x  f  y 
dalam bentuk :
dx
f x 

dan dalam bentuk dy
yaitu persamaan yang ruas
dx
f y
kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian
fungsi x dan fungsi y, f (y). dy  f x 
dx
Contoh 1
dy
 1  x  1  y 
dx
pada contoh tersebut kita ubh dulu menjadi :
1
dy
 1  x 
1  y  dx
kemudian integrasikan kedua ruasnya terhadap x :
1
dy
 dx 
1  y  dx

1
dy 
1  y 
 1 
 1 
ln 1  y   x 
x  dx
x  dx
1
x2  c
2
Contoh 2
dy
x
 y  xy
dx
x.dy  y  xy dx
x.dy  y 1  x  dx

1  x
dy

dx
y
x
dy
dx
 y   x   dx
ln y  ln x  x  c
LATIHAN SOAL-SOAL
dy
y
1.

dx
x
2.
dy

dx
y
3. cos 2 x
 2  x  1
dy
 y  3
dx
4.
dy
 xy  y
dx
5.
sin x dy
 cos x
1  y  dx