PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2
Model persamaan diferensial orde 2 terdiri dari 4 type, yaitu :

d2y
Tipe 2 = f ( x )
dx

Tipe

d2y
dy
Tipe a . 2 + b . + c . y = 0
dx
dx

Tipe a
dy
d2y
)
2 = f ( x,
dx
dx
d2y
dy
+ cy = f ( x )
2 +b
dx
dx
d2y
A. PD Orde 2 Tipe
= f ( x)
dx 2
Contoh
:
carilah jawaban umum persamaan deferensial
d2y
3
2
2 = 4 x + 3x + x
dx
d2y
3
2
Jawab :
2 = 4 x + 3x + x
dx
dy
= ∫ 4 x 3 + 3 x 2 + xdx
dx
dy
1
= x 4 + x 3 + x 2 + c1
dx
2
y = ∫ x4 + x3 +
y=
1 2
x + c1 dx
2
1 5 1 4 1 3
x + x + x + c1 x + c2
5
4
6
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal 1
B. PD Orde 2 Tipe
Contoh
dy
d2y
)
2 = f ( x,
dx
dx
d 2 y dy
+x=0
: x. 2 +
dx
dx
 Carilah jawaban umumnya.
Penyelesaian :
misal
dy
dp d 2 y
=
: p=
dx maka dx dx 2 ...................(1)
apabila persamaan (1) dimasukkan ke soal
x.
dp
+ p.+ x = 0
dx
x.
dp
+ p = −x
dx
ingat rumus
................................(2)
d ( x. p )
dp
dx
= x. + p.
dx
dx
dx
d ( x. p )
dp
= x + p.1 ........(3)
dx
dx
Jika persamaan (2) = persamaan (3) maka
d ( xp)
= −x
dx
Kemudian kedua ruas diintegralkan
xp = ∫ − x dx
xp = − 1 2 x 2 + c1
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal 2
dy
p
=
Dari persamaan (1) diketahui bahwa
dx maka harga p dapat diganti
dy
dengan
menjadi
dx
x
dy
= − 1 2 x 2 + c1
dx
kemudian semua ruas dibagi x
c
dy
= − 12 x + 1
dx
x
y = ∫ − 12 x +
c1
x
y = − 1 4 x 2 + c1 .n x + c2
d2y
dy
+ c. y = 0
C. PD Orde 2 Yang Berbentuk a . 2 + b .
dx
dx
Persamaan tersebut, jika harga
d2y
2 dy
=
m
, = mdan y = 1, sehingga persamaannya menjadi :
dx
dx 2
am 2 + bm + c = 0 → disebut persamaan karakteristik.
m = m1 dan m = m2
Dimana m = akar-akar penyelesaian
 Jika m1 ≠ m2 maka harga :
y = A e m1 x + B e m2 x
A dan B = Konstanta (atau c1 dan c2)
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal 3
 Jika m1 = m2 maka
Y = e m1 x ( A + B x )
 Jika keduanya (akar-akar penyelesaiannya tersebut kompleks),
atau m = a + b j, atau m = a + bi
Y = e a x [ A cos β x + B sin β .x ]
Contoh soal :
1. Carilah penyelesaian Persamaan Deferensial berikut ini.
d2y
dy
3
+
+ 2y = 0
dx
dx 2
Jawab :
d2y
dy
jika 2 = m 2 ,
= m dan y = 1, maka
dx
dx
Persamaan karakteristiknya :
1 m2 + 3 m + 2 = 0
(m+1)(m+2)=0
sehingga : m = -1; m = -2. (m1≠m2)
Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah :
Y = A . e − x + B . e −2 x
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal 4
2.
d2y
dy
6
+
+ 9y = 0
Carilah penyelesaian PD berikut:
dx 2
dx
Jawab :
m 2 + 6m + 9 = 0
(m + 3)(m + 3) = 0 ⇒ m = −3 akar kembar sehingga
Y = e −3 x ( A + B x )
3.
d2y
dy
4
+
+ 9y = 0
Carilah penyelesaian PD berikut:
dx 2
dx
Jawab :
m 2 + 4m + 9 = 0
Dengan menggunakan rumus ABC didapat
m=
− 4 ± 16 − 36
2
m=
− 4 ± − 1. 4 . 5
− 4 ± j.2. 5
m
=
⇔
2
2
⇔ m=
− 4 ± − 20
2
m = −2 ± j 5
Sehingga a=-2 dan β = 5
Dan akhirnya memberikan
Y = e a x [ A cos β x + B sin β .x ]
[
Y = e −2x A cos 5 x + B sin 5 x
Persamaan Diferensial Orde 2
]
Hal 5
d2y
dy
+ cy = f ( x )
D. PD Orde 2 Yang Berbentuk a 2 + b
dx
dx
Pada persamaan deferensial bentuk ini dikenal dua istilah, yaitu :
1). FUNGSI KOMPLEMENTER : diperoleh dengan memecahkan
persamaan bila f(x)=0, seperti dalam bagian program sebelum ini.
Adapun pemecahannya, jika f(x)=0, adalah :
 Untuk akar yang berbeda Y = A e
 Untuk akar kembar
m1 x
+ B e m2 x
Y = e m1 x ( A + B x )
[
]
Y = e A cos β x + Bsin β .x
 Untuk akar imaginer
2). INTEGRAL KHUSUS : Diperoleh dengan menggunakan bentuk umum
ax
dari fungsi ruas kanan persamaan yang diberikan, yaitu dengan
mensubtitusikan bentuk umum tersebut ke dalam persamaannya dan
kemudian menyamakan koefisien-koefisiennya.
 Jika ruas kanan adalah fungsi berderajat dua, bentuk umum nya :
Y = C x2 + D x + E
 Jika ruas kanan berderajat satu, maka persamaan umumnya :
Y= Cx + D.
3). Jawaban yang sesungguhnya = jawaban fungsi komplemerter + integral
khusus.
Contoh :
d2y
dy
+ 6y = x 2
Selesaikan persamaan deferensial dari
2 −5
dx
dx
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal 6
Jawab :
1). Fungsi Komplementer, pemecahannya dengan persamaan kiri = 0, yaitu :
d2y
dy
− 5 + 6 y = 0 yang memberikan
2
dx
dx
m2 - 5m + 6 = 0
(m - 2)(m - 3)= 0
m = 2 atau m = 3
Jawaban fungsi komplementer :
Y = A e 2 x + B e 3x
2). Integral khusus :
Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (x2)sehingga bentuk umum
persamaan berderajat dua adalah :
Y = C x2 + D x + E
maka
dy
= 2C x + D
dx
d2y
= 2C
dx 2
dy
d2y
harga y,
dx dan dx 2 dimasukkan ke persamaan semula (soal) , yaitu :
d2y
dy
+ 6y = x 2
2 −5
dx
dx
2C - 5 (2 Cx + D) + 6 (Cx2 + Dx+ E) = x2
2C - 10 Cx - 5D + 6Cx2 + 6Dx+6 E = x2
6Cx2 + (6D - 10 C)x+ (2C- 5D+ 6E) = x2
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal 7
bentuk tersebut bisa ditulis :
6 Cx2 + (6D - 10C)x + (2C-5D + 6E) =1x2 + 0x + 0
dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, kita dapatkan :
x2 ⇒ 6c = 1
c=
1
6
x ⇒ 6 D -10 c = 0
5
1
6 D − 10 . = 0 ⇒ D =
18
6
0 ⇒ 2c − 5D + 6 E = 0
1
5
2 . − 5. + 6 . E = 0
6
18
E=
19
108
Jadi Integral khususnya adalah :
Y = cx 2 + Dx + E
=
1 2 5
19
x + x+
6
18
108
Sehingga jawaban yang sebenarnya adalah :
Y = Fungsi Komplementer + Integral Khusus
1 2 5
19
x
+
x
+
= Ae + Be +
6
18
108
2x
3x
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal 8