persamaan diferensial (pd)

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2
Model persamaan diferensial orde 2 terdiri dari 4 type, yaitu :
d2y
 Tipe
 f ( x)
dx 2
d2y
dy
 Tipe
)
2  f ( x,
dx
dx
 Tipe a .
 Tipe a
d2y
dy
 c. y  0
2  b.
dx
dx
d2y
dy
 cy  f ( x)
2 b
dx
dx
d2y
A. PD Orde 2 Tipe
 f ( x)
dx 2
Contoh
:
carilah jawaban umum persamaan deferensial
d2y
3
2
2  4 x  3x  x
dx
Jawab
d2y
  4 x 3  3x 2  xdx
:
2
dx
dy
1
 x 4  x 3  x 2  c1
dx
2
y   x4  x3 
Persamaan Diferensial Orde 2
1 2
x  c1 dx
2
Hal
62
y
1 5 1 4 1 3
x  x  x  c1 x  c2
5
4
6
B. PD Orde 2 Tipe
Contoh
d2y
dy
)
2  f ( x,
dx
dx
d 2 y dy
x0
: x. 2 
dx
dx
 Carilah jawaban
umumnya.
Penyelesaian :
misal
dy
dp d 2 y

: p
dx maka dx dx 2 ...................(1)
apabila persamaan (1) dimasukkan ke soal
x.
dp
 p. x  0
dx
x.
dp
 p  x
dx
ingat rumus
................................(2)
d ( x. p)
dp
dx
 x.  p.
dx
dx
dx
d ( x. p)
dp
 x  p.1 ........(3)
dx
dx
Jika persamaan (2) = persamaan (3) maka
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
63
d ( xp)
 x
dx
Kemudian kedua ruas diintegralkan
xp    x dx
xp   12 x 2  c1
Dari persamaan (1) diketahui bahwa p 
dy
dx maka harga p dapat
dy
menjadi
dx
diganti dengan
x
dy
  1 2 x 2  c1
dx
kemudian semua ruas dibagi x
c
dy
  12 x  1
dx
x
y    12 x 
c1
x
y   14 x 2  c1 .n x  c2
d2y
dy
 c. y  0
C. PD Orde 2 Yang Berbentuk a . 2  b .
dx
dx
Persamaan tersebut, jika harga
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
64
d2y
dy
 m 2 ,  mdan y  1, sehingga persamaannya menjadi :
2
dx
dx
2
am  bm  c  0  disebut persamaan karakteristik.
m  m1 dan m  m2
Dimana m = akar-akar penyelesaian
 Jika m1 ≠ m2 maka harga :
y  A e m1 x  B e m2 x
A dan B = Konstanta (atau c1 dan c2)
 Jika m1 = m2 maka
Y  e m1 x ( A  B x)
 Jika keduanya (akar-akar penyelesaiannya tersebut kompleks),
atau m = a + b j, atau m = a + bi
Y  e ax A cos  x  Bsin.x
Contoh soal :
1. Carilah penyelesaian Persamaan Deferensial berikut ini.
d2y
dy
1 2  3  2y  0
dx
dx
Jawab :
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
65
d2y
dy
jika 2  m2 ,
 m dan y  1, maka
dx
dx
Persamaan karakteristiknya :
1 m2 + 3 m + 2 = 0
(m+1)(m+2)=0
sehingga : m = -1; m = -2. (m1≠m2)
Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah :
Y  A . e  x  B . e 2 x
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
66
2.
d2y
dy
1

6
 9y  0
Carilah penyelesaian PD berikut:
dx
dx 2
Jawab :
m2  6m  9  0
(m  3)(m  3)  0  m  3 akar kembar sehingga
Y  e 3x ( A  B x)
d2y
dy
 cy  f ( x)
D. PD Orde 2 Yang Berbentuk a 2  b
dx
dx
Pada persamaan deferensial bentuk ini dikenal dua istilah, yaitu :
1). FUNGSI KOMPLEMENTER : diperoleh dengan memecahkan
persamaan bila f(x)=0, seperti dalam bagian program sebelum
ini.
Adapun pemecahannya, jika f(x)=0, adalah :
 Untuk akar yang berbeda Y  A e
 Untuk akar kembar
m1 x
 B e m2 x
Y  e m1 x ( A  B x)

Y  e A cos  x  Bsin.x
 Untuk akar imaginer
2). INTEGRAL KHUSUS : Diperoleh dengan menggunakan
ax

bentuk umum dari fungsi ruas kanan persamaan yang diberikan,
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
67
yaitu dengan mensubtitusikan bentuk umum tersebut ke dalam
persamaannya dan kemudian menyamakan koefisienkoefisiennya.
 Jika ruas kanan adalah fungsi berderajat dua, bentuk umum
nya :
Y  C x2  D x  E
 Jika ruas kanan berderajat satu, maka persamaan umumnya :
Y= Cx + D.
3). Jawaban yang sesungguhnya = jawaban fungsi komplemerter
+ integral khusus.
Contoh :
d2y
dy
 6y  x 2
Selesaikan persamaan deferensial dari
2 5
dx
dx
Jawab :
1). Fungsi Komplementer, pemecahannya dengan persamaan kiri =
0, yaitu :
d2y
dy
 5  6 y  0 yang memberikan
2
dx
dx
m2 - 5m + 6 = 0
(m - 2)(m - 3)= 0
m = 2 atau m = 3
Jawaban fungsi komplementer :
Y  A e 2 x  B e 3x
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
68
2). Integral khusus :
Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (x2)sehingga
bentuk umum persamaan berderajat dua adalah :
Y  C x2  D x  E
dy
 2C x  D
dx
maka
d2y
 2C
dx 2
dy
d2y
harga y,
dx dan dx 2 dimasukkan ke persamaan semula (soal) ,
yaitu :
d2y
dy
 6y  x 2
2 5
dx
dx
2C - 5 (2 Cx + D) + 6 (Cx2 + Dx+ E) = x2
2C - 10 Cx - 5D + 6Cx2 + 6Dx+6 E = x2
6Cx2 + (6D - 10 C)x+ (2C- 5D+ 6E) = x2
bentuk ini bisa ditulis :
6 Cx2 + (6D - 10C)x + (2x-5D + 6E) =1x2 + 0x + 0
dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, kita
dapatkan :
x2  6c = 1
c=
1
6
x  6 D -10 c = 0
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
69
1
5
6 D  10 .  0  D 
6
18
0  2c  5D  6E  0
1
5
2 .  5.  6 . E  0
6
18
E
19
108
Jadi Integral khususnya adalah :
Y  cx 2  Dx  E

1 2 5
19
x  x
6
18
108
Persamaan Diferensial Orde 2
Hal
70
Sehingga jawaban yang sebenarnya adalah :
Y = Fungsi Komplementer + Integral Khusus
 Ae 2 x  Be3 x +
Persamaan Diferensial Orde 2
1 2 5
19
x  x
6
18
108
Hal
71