KLPK. 2 Persamaan Differensial Variabel Terpisah

Tugas Aljabar Linier & Persamaan Diferensial
MAKALAH PRESENTASI
1.
I Putu Adhitya Pinandita Sukmana
(1404105018)
2.
I Gede Sukarya
(1404105021)
3.
Nyoman Sukearsana
(1404105027)
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS UDAYANA
2015
1. Persamaan Differensial Variabel Terpisah (Separable)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial variable
terpisah jika bentuk umum tersebut dapat dinyatakan dengan f(x) dx + g(y) dy = 0. Dengan
kata lain masing-masing differensial dalam persamaan berpasangan dengan variabel yang
sejenis.
Contoh:
1. x dx + 2 y dy = 0
2. y2 dx – x dy = 0

dx dy
- 2 =0
x
y
3. y’ = y 1  2 x 2
 1  2 x 2 dx -
dy
=0
y
4. x dx – sin y dy = 0
Karena tanda differensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable
yang sejenis, maka untuk menentukan selesaian umum persamaan cukup dengan
mengintegralkan masing masing bagian.
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini!
Tentukan selesaian umum persamaan diffrensial:
1. x dx + 2 y dy = 0


x dx +

2y dy = C

1 2
x + y2 = C
2

x2 + 2y2 = C
(primitive, persamaan keluarga kurva, SUPD)
Contoh Soal
dx
dy
-3
=0
x
y
1.
 x dx – 3y dy = 0




1 2 3 2
x - y =C
2
2
x dx -
3y dy = C
 x2 – 3y2 = C
2. 3y dx + 2x dy = 0
3


dx
dy
+ 2 =0
x
y
3
dx
+
x

2
dy
=C
y
 3 Ln │x │+ 2 Ln │ y │= C
 Ln │x3y2 │= C
 x3y2 = C
3. x dx + 2 y dy = 0



1 2
x + y2 = C
2
x dx +

2 y dy = C
 x2 + 2y2 = C
4. sin x dx + (1-y) dy = 0 dengan y(  ) = 1


sin x dx +

(1-y) dy = C
 - cos x + y -
1 2
y =C
2
 - 2 cos x + 2y - y2 = C
Karena y(  ) = 1 maka diperoleh C = 3, sehingga selesaian khusus persamaan adalah -2
cos x + 2y – y2 = 3
Catatan
Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri
spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable sejenis berkumpul
dengan
differensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x) dx + g(y) dy
= 0.
2. Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel
Terpisah
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat
dikategorikan sebagai persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi persamaan
differensial variable terpisah jika bentuk umum
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
 f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0

f1 ( x)
g ( y)
dx + 2
dy = 0
f 2 ( x)
g1 ( y )
 F(x) dx + G(y) dy = 0.
Untuk selanjutnya bentuk pembagian
1
disebut faktor integrasi. Selesaian
f 2 ( x) g 2 ( x)
umum persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah
dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang
sejenis dikelompokkan dengan differensialnya.
Contoh:
Tentukan selesaian umum persamaan dibawah ini:
1. 2(y+3) dx – xy dy = 0
2
dx
ydy
=0
x
y3


2
dx
x



2
dx
x

ydy
=C
y3
( 1-
3
) dy = C
y3


2
dx
x

1 dy +
3
dy = C
y3

 2 Ln │x │- y + 3 Ln │y+3│= C
 Ln │x2(y+3)3│ = C + y
 x2(y+3)3 = e(C + y) = cey
 x2(y+3)3 = cey
2.
4y
dy
=
dx
x( y  3)
 x(y-3) dy = 4y dx
 4y dx - x(y-3) dy = 0
4


dx y  3
dy = 0
x
y
4
dx
x

y 3
dy = C
y
 4 Ln │x│– y + 3 Ln │y│= C
 x4y3 = ec+y = cey
3. xy dy = (y+1)(1-x) dx dengan y(1) = 0
 ( y  1)(1  x)dx - xy dy = 0

1 x
y
dx dy = 0
x
y 1

dx
dy
- dx – dy +
=0
x
y 1


dx
x

dx –

dy +

dy
=C
y 1
 Ln │x│ - x – y + Ln │y + 1│= C
 Ln │x(y+1)│ = C + x + y
 x(y+1) = ec+x+y
Karena y(1) = 0 maka 1(0+1) = ec+1+0. Diperleh c = -1 sehingga diperoleh selesaian
khusus persamaan x(y+1) = ex+y-1.
3. Persamaan Differensial Eksak (PDE)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 disebut
persamaan differensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat:
N ( x, y )
M ( x, y )
=
x
y
Contoh
1. (x+y) dx + (x-y) dy = 0 adalah PD eksak karena
M(x,y) = (x+y) 
N ( x, y )
M ( x, y )
= 1 dan N(x,y) = (x-y) 
=1
x
y
2. ( x + y Cos x) dx + Sin x dy = 0, adalah PD eksak karena
M(x,y) = x + y Cos x 
N(x,y) = Sin x 
M ( x, y)
= Cos x
y
N ( x, y )
= Cos x
x
1. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan differensial eksak,
M(x,y) = xy – 2y2 
N(x,y) = -x2 
M ( x, y )
= x – 4y
y
N ( x, y )
=
x
N ( x, y )
M ( x, y )

x
y
-2x
Persamaan differensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y) = C.
Menurut definisi differensial total untuk F(x,y) = C, diperoleh:
d(C) = dF(x,y)+ dF(x,y)
0=
F ( x, y )
F ( x, y )
dx +
dy.
x
y
Berdasarkan bentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dan
0=
F ( x, y )
F ( x, y )
dx +
dy
x
y
F ( x, y )
F ( x, y )
= M(x,y) dan
= N(x,y)
x
y
Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan
differensial eksak yang berbentuk F(x,y) = C dapat dilakukan dengan dua cara.
Cara I
F ( x, y )
F ( x, y )
= M(x,y) dan
= N(x,y)
x
y
Dari kesamaan di atas diperoleh
F ( x, y )
= M(x,y)  F(x,y) =
x

M(x,y) dx
x
=
F ( x, y )
= N(x,y) 
y

y

y
 M ( x, y) dx + G(y)
x
 M ( x, y) dx + G(y) = N(x,y)
x
 M ( x, y) dx + G’(y) = N(x,y)

G’(y) = N(x,y) y
x
 M ( x, y) dx

G(y) =

y
(N(x,y) -
x
 M ( x, y) dx ) dy
`
x
Substitusikan G(y) dalam F(x,y) =
 M ( x, y) dx + G(y) yang merupakan selesaian umum
persamaan differensial
Cara II
F ( x, y )
F ( x, y)
= N(x,y) dan
= M(x,y)
x
y
Dari kesamaan di atas di peroleh
F ( x, y )
= N(x,y)  F(x,y) =
y

N(x,y) dy
y

=
F ( x, y )

= M(x,y) 
x
x

x
N(x,y) dy + F(x)
y

N(x,y) dy + F(x) = M(x,y)
y

N(x,y) dy + F’(x) = M(x,y)

F’(x) = M(x,y) x
F(x) =  ( M(x,y) -

x
y

N(x,y) dy
x

N(x,y) dy ) dx
y
Substitusikan F(x) ke dalam F(x,y) =
umumnya.

N(x,y) dy + F(x) yang merupakan selesaian
Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan differensial eksak berikut ini:
(2x +3y+4) dx + (3x+4y+5) dy = 0.
Jawab
M(x,y) = (2x+3y+4) 
M ( x, y )
= 3 dan
y
N(x,y) = (3x+4y+5) 
N ( x, y )
=3
x
Berarti persamaan di atas adalah eksak.
Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y) = C dapat
digunakan kesamaan
F ( x, y)
= N(x,y) dan
y

F ( x, y )
= M(x,y).
x
F ( x, y)
= (3x+4y+5)
y
 F(x,y) =  (3x  4 y  5)dy
= 3xy + 2y2 + 5y + F(x)
F ( x, y )
= M(x,y).
x


( 3xy + 2y2 + 5y + F(x)) = (2x +3y +4)
x
 3y + F’(x) = 2x + 3y + 4
 F’(x) = 2x + 4
 F(x) = x2 + 4x + C
Primitif persamaan adalah F(x,y) = 3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x + C
2. (x + y Cos x) dx + sin x dy = 0
Jawab
M(x,y) = x + y Cos x 
N(x,y) = sin x 
M ( x, y)
= Cos x dan
y
N ( x, y )
= Cos x
x
Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak. Sehingga selesaiannya
dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y) = C digunakan
kesamaan
F ( x, y )
F ( x, y )
= M(x,y) dan
= N(x,y)
x
y
F ( x, y )
= x + y Cos x  F(x,y) =
x
=

(x + y Cos x) dx
1 2
x + y Sin x + G(y)
2
F ( x, y )
= sin x
y

 1 2
( x + y Sin x + G(y) ) = sin x
y 2
 Sin x + G’(y) = sin x
 g’(y) = 0
 g(y) = C
Diperoleh selesaian umum persamaan F(x,y) =
 x2 + 2y Sin x = C
1 2
x + y Sin x + C
2
4. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu.
𝑑𝑦
Bentuk umumnya : 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Cara mandapatkan Penyelesaian umumnya : Gandakan Persamaan Differensial dengan
𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥