Tugas Aljabar Linier & Persamaan Diferensial MAKALAH PRESENTASI 1. I Putu Adhitya Pinandita Sukmana (1404105018) 2. I Gede Sukarya (1404105021) 3. Nyoman Sukearsana (1404105027) JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS UDAYANA 2015 1. Persamaan Differensial Variabel Terpisah (Separable) Persamaan differensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum tersebut dapat dinyatakan dengan f(x) dx + g(y) dy = 0. Dengan kata lain masing-masing differensial dalam persamaan berpasangan dengan variabel yang sejenis. Contoh: 1. x dx + 2 y dy = 0 2. y2 dx – x dy = 0 dx dy - 2 =0 x y 3. y’ = y 1 2 x 2 1 2 x 2 dx - dy =0 y 4. x dx – sin y dy = 0 Karena tanda differensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable yang sejenis, maka untuk menentukan selesaian umum persamaan cukup dengan mengintegralkan masing masing bagian. Perhatikan beberapa contoh di bawah ini! Tentukan selesaian umum persamaan diffrensial: 1. x dx + 2 y dy = 0 x dx + 2y dy = C 1 2 x + y2 = C 2 x2 + 2y2 = C (primitive, persamaan keluarga kurva, SUPD) Contoh Soal dx dy -3 =0 x y 1. x dx – 3y dy = 0 1 2 3 2 x - y =C 2 2 x dx - 3y dy = C x2 – 3y2 = C 2. 3y dx + 2x dy = 0 3 dx dy + 2 =0 x y 3 dx + x 2 dy =C y 3 Ln │x │+ 2 Ln │ y │= C Ln │x3y2 │= C x3y2 = C 3. x dx + 2 y dy = 0 1 2 x + y2 = C 2 x dx + 2 y dy = C x2 + 2y2 = C 4. sin x dx + (1-y) dy = 0 dengan y( ) = 1 sin x dx + (1-y) dy = C - cos x + y - 1 2 y =C 2 - 2 cos x + 2y - y2 = C Karena y( ) = 1 maka diperoleh C = 3, sehingga selesaian khusus persamaan adalah -2 cos x + 2y – y2 = 3 Catatan Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable sejenis berkumpul dengan differensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x) dx + g(y) dy = 0. 2. Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 f1 ( x) g ( y) dx + 2 dy = 0 f 2 ( x) g1 ( y ) F(x) dx + G(y) dy = 0. Untuk selanjutnya bentuk pembagian 1 disebut faktor integrasi. Selesaian f 2 ( x) g 2 ( x) umum persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan differensialnya. Contoh: Tentukan selesaian umum persamaan dibawah ini: 1. 2(y+3) dx – xy dy = 0 2 dx ydy =0 x y3 2 dx x 2 dx x ydy =C y3 ( 1- 3 ) dy = C y3 2 dx x 1 dy + 3 dy = C y3 2 Ln │x │- y + 3 Ln │y+3│= C Ln │x2(y+3)3│ = C + y x2(y+3)3 = e(C + y) = cey x2(y+3)3 = cey 2. 4y dy = dx x( y 3) x(y-3) dy = 4y dx 4y dx - x(y-3) dy = 0 4 dx y 3 dy = 0 x y 4 dx x y 3 dy = C y 4 Ln │x│– y + 3 Ln │y│= C x4y3 = ec+y = cey 3. xy dy = (y+1)(1-x) dx dengan y(1) = 0 ( y 1)(1 x)dx - xy dy = 0 1 x y dx dy = 0 x y 1 dx dy - dx – dy + =0 x y 1 dx x dx – dy + dy =C y 1 Ln │x│ - x – y + Ln │y + 1│= C Ln │x(y+1)│ = C + x + y x(y+1) = ec+x+y Karena y(1) = 0 maka 1(0+1) = ec+1+0. Diperleh c = -1 sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan x(y+1) = ex+y-1. 3. Persamaan Differensial Eksak (PDE) Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 disebut persamaan differensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat: N ( x, y ) M ( x, y ) = x y Contoh 1. (x+y) dx + (x-y) dy = 0 adalah PD eksak karena M(x,y) = (x+y) N ( x, y ) M ( x, y ) = 1 dan N(x,y) = (x-y) =1 x y 2. ( x + y Cos x) dx + Sin x dy = 0, adalah PD eksak karena M(x,y) = x + y Cos x N(x,y) = Sin x M ( x, y) = Cos x y N ( x, y ) = Cos x x 1. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan differensial eksak, M(x,y) = xy – 2y2 N(x,y) = -x2 M ( x, y ) = x – 4y y N ( x, y ) = x N ( x, y ) M ( x, y ) x y -2x Persamaan differensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y) = C. Menurut definisi differensial total untuk F(x,y) = C, diperoleh: d(C) = dF(x,y)+ dF(x,y) 0= F ( x, y ) F ( x, y ) dx + dy. x y Berdasarkan bentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dan 0= F ( x, y ) F ( x, y ) dx + dy x y F ( x, y ) F ( x, y ) = M(x,y) dan = N(x,y) x y Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan differensial eksak yang berbentuk F(x,y) = C dapat dilakukan dengan dua cara. Cara I F ( x, y ) F ( x, y ) = M(x,y) dan = N(x,y) x y Dari kesamaan di atas diperoleh F ( x, y ) = M(x,y) F(x,y) = x M(x,y) dx x = F ( x, y ) = N(x,y) y y y M ( x, y) dx + G(y) x M ( x, y) dx + G(y) = N(x,y) x M ( x, y) dx + G’(y) = N(x,y) G’(y) = N(x,y) y x M ( x, y) dx G(y) = y (N(x,y) - x M ( x, y) dx ) dy ` x Substitusikan G(y) dalam F(x,y) = M ( x, y) dx + G(y) yang merupakan selesaian umum persamaan differensial Cara II F ( x, y ) F ( x, y) = N(x,y) dan = M(x,y) x y Dari kesamaan di atas di peroleh F ( x, y ) = N(x,y) F(x,y) = y N(x,y) dy y = F ( x, y ) = M(x,y) x x x N(x,y) dy + F(x) y N(x,y) dy + F(x) = M(x,y) y N(x,y) dy + F’(x) = M(x,y) F’(x) = M(x,y) x F(x) = ( M(x,y) - x y N(x,y) dy x N(x,y) dy ) dx y Substitusikan F(x) ke dalam F(x,y) = umumnya. N(x,y) dy + F(x) yang merupakan selesaian Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan differensial eksak berikut ini: (2x +3y+4) dx + (3x+4y+5) dy = 0. Jawab M(x,y) = (2x+3y+4) M ( x, y ) = 3 dan y N(x,y) = (3x+4y+5) N ( x, y ) =3 x Berarti persamaan di atas adalah eksak. Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y) = C dapat digunakan kesamaan F ( x, y) = N(x,y) dan y F ( x, y ) = M(x,y). x F ( x, y) = (3x+4y+5) y F(x,y) = (3x 4 y 5)dy = 3xy + 2y2 + 5y + F(x) F ( x, y ) = M(x,y). x ( 3xy + 2y2 + 5y + F(x)) = (2x +3y +4) x 3y + F’(x) = 2x + 3y + 4 F’(x) = 2x + 4 F(x) = x2 + 4x + C Primitif persamaan adalah F(x,y) = 3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x + C 2. (x + y Cos x) dx + sin x dy = 0 Jawab M(x,y) = x + y Cos x N(x,y) = sin x M ( x, y) = Cos x dan y N ( x, y ) = Cos x x Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y) = C digunakan kesamaan F ( x, y ) F ( x, y ) = M(x,y) dan = N(x,y) x y F ( x, y ) = x + y Cos x F(x,y) = x = (x + y Cos x) dx 1 2 x + y Sin x + G(y) 2 F ( x, y ) = sin x y 1 2 ( x + y Sin x + G(y) ) = sin x y 2 Sin x + G’(y) = sin x g’(y) = 0 g(y) = C Diperoleh selesaian umum persamaan F(x,y) = x2 + 2y Sin x = C 1 2 x + y Sin x + C 2 4. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu. 𝑑𝑦 Bentuk umumnya : 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) Cara mandapatkan Penyelesaian umumnya : Gandakan Persamaan Differensial dengan 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥