PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1

05-May-14
PENYELESAIAN PERSAMAAN
DIFFERENSIAL ORDE 1 - II
c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact)
Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial
yang sifatnya kontinyu, turunan pasti atau total adalah :
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Dari turunan total ini mengatakan jika u(x,y) = c = kontan, maka
du = 0.
Untuk contoh, jika 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 3 = 𝑐, maka
𝑑𝑢 = 1 + 2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
Atau
1 + 2𝑥𝑦 3
𝑦 =−
3𝑥 2 𝑦 2
′
1
05-May-14
Suatu persamaan differensial yang mana kita dapat
menyelesaikannya dengan bergerak kebelakang.
Suatu persamaan differensial orde satu dengan bentuk :
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
(1)
Dikatakan pasti jika sisi sebelah kirinya adalah turunan total atau
yang bersifat pasti:
𝑑𝑢 =
𝜕𝑢
𝑑𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑦
(2)
Dari beberapa fungsi u(x,y). Maka PD dapat ditulis
du = 0
Lanjutan
Dengan integrasi, kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat
umum dalam bentuk :
u(x,y) = c
(3)
Dengan membandingkan 2 persamaan diatas ((1) dan (2)), kita
melihat bahwa persamaan (1) bersifat pasti jika ada beberapa
fungsi u(x,y) sehingga :
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑀,
𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=𝑁
(b)
(4)
Seandainya bahwa M dan N terdefinisi dan turunan pertama
parsial yang bersifat kontinyu dalam suatu daerah bidang x-y yang
mana mempunyai batas suatu kurva tertutup tidak mempunyai
perpotongan.
2
05-May-14
Lanjutan
Maka daripersamaan (4):
𝜕𝑀
𝜕2𝑢
=
𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑁
𝜕2𝑢
=
𝜕𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
Dengan asumsi kekontinuan dua turunan keduanya adalah sama :
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
(5)
Kondisi ini sifatnya tidak hanya perlu tetapi juga mencukupi untuk
Mdx + Ndy untuk menjadi turunan yang sifatnya pasti.
Jika persamaan (1) sifatnya adalah pasti, fungsi u(x,y) dapat
diperoleh dengan menduga atau dalam dalam cara yang
sistematik berikut :
Dari (4.a) dengan mengintegrasikan thd x kita mempunyai :
u(x,y)=
𝑀𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦)
(6)
3
05-May-14
Lanjutan
Dalam integrasi ini, y dipandang sebagai suatu konstanta
k(y) menentukan nilai konstanta dari proses integrasi.
𝜕𝑢
Untuk menentukan k(y), kita menurunkan 𝜕𝑦 dari persamaan (6)
menggunakan persamaan (4.b) untuk mendapatkan dk/dy, dan
mengintegrasikan dk/dy untuk mendapatkan k.
Formula (6) telah diperoleh dari (4.b). Kemudian menggantikan (6) kita
mempunyai :
u(x,y)=
𝑁𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)
(6*)
𝜕𝑢
Untuk menentukan l(x) kita menurunkan 𝜕𝑥 dari (6*), menggunakan (4.a)
untuk mendapatkan dl/dx, dan mengintegrasikan.
Contoh
Selesaikan :
𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 + 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 𝑑𝑦 = 0
(7)
Penyelesaian :
Tahap 1. menguji untuk kepastian.
Persamaan tersebut adalah dalam bentuk persamaan (1) dengan :
𝑀 = 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 , 𝑁 = 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 maka
𝜕𝑀
𝜕𝑁
= 6𝑥𝑦,
= 6𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Dari persamaan ini dan persamaan (5), kita melihat bahwa persamaan
(7) bersifat pasti
4
05-May-14
Lanjutan
Tahap 2. Penyelesaian implisit.
Dari persamaan (6):
𝑢=
𝑀𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 =
1
𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 = 4 𝑥 4 +
3 2 2
𝑥 𝑦
2
+ 𝑘(𝑦) (8)
Untuk mendapatkan k(y), kita menurunkan formula ini terhadap y dan dengan
menggunakan formula (4.b), mendapatkan :
𝜕𝑢
𝑑𝑘
= 3𝑥 2 𝑦 +
= 𝑁 = 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3
𝜕𝑦
𝑑𝑦
Maka dk/dy = 𝑦 3 , sehingga 𝑘 =
persamaan (8)
𝑢 𝑥, 𝑦 =
𝑦4
4
+ 𝑐. Dengan menyisipkan nilai dalam
1 4
𝑥 + 6𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 + 𝑐
4
Lanjutan
Tahap 3. Pengujian.
Perlu diingat bahwa metoda ini memberikan solusi dalam bentuk implisit, u(x,y)
= c, tidak dalam bentuk explisit, y = f(x). Untuk menguji, kita dapat menurunkan
u(x,y)=c secara implisit dan melihat apakah penurunan ini menghasilkan
𝑑𝑦
𝑀
= − 𝑁 atau 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦 = 0.
𝑑𝑥
Dalam kasus ini, dengan mendifferensiasikan persamaan (9) secara implisit
terhadap x, kita mendapatkan :
1
4𝑥 3 + 12𝑥𝑦 2 + 12𝑥 2 𝑦𝑦 ′ + 4𝑦 3 𝑦′ = 0
4
Dengan mengelompokan komponen-komponennya, kita melihat bahwa ini
sama dengan M + Ny’ = 0 dengan M dan N seperti pada persamaan (7)
5
05-May-14
Contoh
Selesaikan PDB berikut
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 𝑑𝑦 = 0
IC
(10)
: y(0) = 0
Penyelesaian :
Kita dapat memverifikasikan bahwa persamaan adalah bersifat pasti. Dari persamaan
(6), kita mendapatkan :
𝑢=
Dari hasil ini,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 + 𝑘 𝑦 .
= −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 +
𝑑𝑘
.
𝑑𝑦
.
Lanjutan
Maka dk/dy = 0, dan k = konstanta. Penyelesaian umum
adalah :
u = konstanta, yang mana, cosxcoshy = c. Kondisi awal
memberikan cos0 cosh0 =1 = c.
Maka jawabnya adalah y = 1
Pengujian.
(cosx coshy)’ = -sinx coshy + cosx (sinhy)y’ = 0 yang mana
memberikan persamaan (10)
6
05-May-14
d. Metoda Faktor Pengintegrasi
Kadang-kadang mempunyai suatu persamaan :
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
(1)
Yang sifatnya tidak pasti, tetapi jika mengalikannya dengan suatu
fungsi yang sesuai F(x,y), persamaan baru
FPdx + FQdy =0
(2)
Adalah bersifat pasti,  dapat diselesaikan dengan metoda
sebelumnya.
Fungsi F(x,y) disebut dengan faktor pengintegrasi dari persamaan
(1)
Lanjutan
Contoh 1.
Tunjukan bahwa PDB : ydx – xdy = 0 adalah tidak bersifat
pasti, tetapi mempunyai faktor pengintegrasi, dengan nama
1
𝐹 = 2 . Kita mendapatkan persamaan yang bersifat pasti.
𝑥
FP dx + FQ dy =
𝑦𝑑𝑥 −𝑥𝑑𝑦
𝑥2
= −𝑑
Penyelesaiannya adalah :
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
=0
=𝑐
7
05-May-14
Lanjutan
Fungsi adalah fungsi garis lurus y = cx melalui titik (0,0).
Faktor-faktor pengintegrasi yang lain adalah :
1
𝑦2
,
1
𝑥𝑦
,
1
𝑥2 + 𝑦2
karena
𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦
𝑥
=
𝑑
,
𝑦2
𝑦
𝑦𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
𝑦𝑑𝑥 −𝑥𝑑𝑦
𝑥2+ 𝑦2
= 𝑑 𝑙𝑛
𝑥
𝑦
,
= −𝑑 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
Lanjutan
Contoh 3.
Verifikasi bahwa𝐹(𝑥) = 𝑥 3 adalah suatu faktor pengintegrasi
dari PDB berikut :
2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 dx + xy cos 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
Dan kemudian dapatkan penyelesaian umum.
Penyelesaian : Perkalikan dengan𝐹(𝑥) = 𝑥 3 memberikan
persaman baru :
2 𝑥 3 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 dx + 𝑥 4 y cos 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
Persamaan ini adalah persamaan yang sifatnya pasti karena :
8
05-May-14
Lanjutan
•
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥 3 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2
= 4𝑥 3 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑦 2 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑥 4 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑦 2
• Kita menyelesaikan persamaan ini dengan metoda exact
untuk memperoleh 𝑥 4 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 = 𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛
Bagaimana Mendapatkan faktor Pengintegrasi
• Dalam kasus-kasus yang lebih sederhana, faktor
pengintegrasi dapat diperoleh dengan pemeriksaan atau
mungkin setelah beberapa percobaan. Dalam kasus yang
umum, idenya adalah sebagaiberikut :
• Persamaan (2) adalah𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑀 = 𝐹𝑃, 𝑁 =
𝐹𝑄 , dan adalah bersifat pasti oleh definisi dari faktor
pengintegrasi. Maka kriteria kepastian yang ditulis dalam
bab sebelumnya sekarang dapat dituliskan sbb :
9
05-May-14
Lanjutan
𝜕
𝜕𝑦
𝐹𝑃 =
𝜕
𝜕𝑥
𝐹𝑄
(5)
Yang mana dapat dituliskan :
𝐹𝑦 𝑃 + 𝐹𝑃𝑦 = 𝐹𝑥 𝑄 + 𝐹𝑄𝑥
Maka kita melihat bahwa faktor pengitegrasi bergantung
hanya pada 1 variabel, bila F = F(x). Maka Fy = 0 dan Fx = F’
= dF/dx, sehingga persamaan (5) menjadi :
𝐹𝑃𝑦 = 𝐹𝑥 𝑄 + 𝐹𝑄𝑥
Dengan membaginya dengan FQ kita mendapatkan :
Lanjutan
1 𝑑𝐹
𝐹 𝑑𝑥
=
1
𝜕𝑃
𝑄
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑥
(6)
Teori 1. FaktorPengintegrasi F(x)
Jika persamaan (1) adalah seperti pada sisi kanan dari
persamaan (6), menyebutnya R, hanya bergantung pada x,
maka persamaan (1) mempunyai suatu faktor pengintegrasi F
= F(x), yang mana diperoleh dengan mengintegrasikan pers
(6) dan menjadikan exponen pada kedua sisinya.
10
05-May-14
lanjutan
𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝑅 𝑥 𝑑𝑥
(7)
Dengan cara yang sama jika F = F(y), maka menggantikan pers (6)
kita mendapatkan :
1 𝑑𝐹
𝐹 𝑑𝑦
=
1
𝑃
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
(8)
Teori 2. Faktor Pengintegasi F(y)
Jika persamaan (1) adalah seperti sisi kanan dari persamaan (8)
hanya bergantung pada y, maka persamaan (1) mempunyai faktor
pengintegrasi F = F(y), yang mana diperoleh dari persamaan (8)
dalam bentuk
Lanjutan
𝐹 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑅 𝑦 𝑑𝑦
(9)
Contoh 3.
Selesaikan PDB berikut dengan teori 1.
PDB : 2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 dx + xy cos 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
Penyelesaian : Kita mempunyai P = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 ,
Q = xy cos 𝑦 2 , maka dalam pers (6) pada sisi kanan adalah
1
3
2
2
𝑅=
4𝑦
cos
𝑦
−
𝑦
cos
𝑦
=
𝑥
xy cos 𝑦 2
Maka : 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝
3
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 3
11
05-May-14
Lanjutan
Contoh 4.Aplikasiteori 1 dan 2
Selesaikan PDB dengan kondisi awal berikut :
2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 4𝑦 + 3𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 y(0.2) = -1.5
Penyelesaian : Disini P = 2xy, Q = 4y + 3x2, Persamaan adalah
tidak bersifat pasti, sisi kanan persamaan (6) bergantung pada x
dan y, tetapi sisi kanan dari persamaan (8) adalah :
𝑅=
1
2𝑥𝑦
6𝑥 − 2𝑥 =
2
𝑦
maka F(y) = y2.
Adalah suatu faktor pengintegrasi persamaan (9)
Lanjutan
• Perkalian dengan y2 memberikan persamaan yang bersifat
pasti.
2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + 4𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
Yang mana kita dapat menuliskan sebagai :
4𝑦 3 𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
Dan menyelesaikannya dengan pemeriksaan atau dengan
metoda dalam bagian sebelumnya untuk mendapatkan
𝑦 4 + 𝑥 2 𝑦 3 = 𝑐 dari persamaan ini kita memperoleh :
𝑦 4 + 𝑥 2 𝑦 3 = 4.9275
12