PERSAMAAN NON –LINIER Pengantar dan - E

PERSAMAAN NON –LINIER
Pengantar dan permasalahan
persamaan Non-Linier
Sumarni Adi
S1 Teknik Informatika STMIK Amikom Yogyakarta
2014
Pengantar
1.
2.
3.
4.
5.
Persamaan linier sudah kita kenal sejak SMP. Contoh kasus :
Ongkos naik taksi diberlakukan dengan sistem biaya buka pintu Rp.10.000 dan
biaya jarak tempuh dgn tarif Rp. 5.000 setiap kilometernya. Bila seseorang naik
taksi menghabiskan 50.000. berapa kilometer jarak yg ditempuh org tsb ?
Kasus ini dpt diselesaikan dgn persamaan linier satu variabel, dgn X sbg jarak
tempuh ( dlm Km), menjadi :
5000x + 10000 = 50000 ; x = 40000 / 5000 = 8 Km.
Jadi nilai x yg memenuhi persamaan ini disebut penyelesaian atau akar
persamaan.
Persamaan yg bentuknya SELAIN dari persamaan pd kasus di atas disebut
persamaan NON – LINIER
Contoh persamaan Non-linier diantaranya persamaan kuadrat, persamaan
trigonometri dan persamaan logaritma atau eksponen
Persamaan non-linier merupakan operasi matematik yang terdiri dari angka
dan variabel dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0. dengan kata lain, akar
persamaan f(x) adalah titik potong antar kurfa f(x) dan sumbu X
Contoh persamaan non-linier :
◦ 2x-3 = 0
◦ x²-4x-5 = 0
◦ Sin x – 2 = 0
1. Persamaan kuadrat

Jika ada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0
yang agak rumit mencari akar-akarnya maka
bisa menggunakan rumus ABC :
X₁₂ =

Tapi bagaimana ketika ada persamaan seperti
ini dan diminta mencari akar-akarnya :

Dari permasalahan ini kemudian perlu
adanya metode numerik untuk
menyelesaikannya
2. Metode Bisection (Metode Bagidua)
Metode bisection merupakan cara yg paling
sederhana untuk mengaproksimasi akar
persamaan Non-Linier. Caranya :
1. Metode ini dimulai pd suatu interval yg
memuat akar, kemudian membagi menjadi 2
bagian yg sama panjang,
2. kemudian mempertahanakan subinterval yg
memuat akar dan membuang subinterval yg
tdk memuat akar.
3. proses ini dilakuakan terus menerus sampai
subinterval menjadi sangat sempit dan
diperoleh barisan interval bersarang yg
kesemuanya memuat akar

2. Metode Bisection (Metode Bagidua)
Bila f (p1) = 0 maka akarnya adalah p1 tapi
bila f (p1) ≠ 0 maka f (p1) memunyai tanda
positif atau negatif
 Karena f(a1) ≠ 0 maka pasti berlaku salah
satu, yaitu :
1. f (p1) f(a1) < 0 maka akrnya pasti terletak
pd subinterval [a1,p1], sehingga harus
diambil a2 = a1 dan b2 = p1
2. f (p1) f(a1) > 0 maka akarnya pasti
terletak pd subinterval [p1,b1], sehingga
harus diambil a2 = p1 dan b2 = b1

2. Metode Bisection (Metode Bagidua)

Skema Metode Bagidua
a1
akar eksak
a2
a3
p1 = 1/2(a1+b1)
p2 = 1/2(a2+b2)
p3 = 1/2(a3+b3)
a4
a5
b3 = b
p4 = 1/2(a4+b4)
b5
b2 = b
b4= b
b1 = b
Algoritma Metode Bisection
1.
2.
3.
Mulailah dgn interval yg memuat akar
(a,b)
Ambil a1 : = a dan b1 : = b
Untuk n = 1, 2,…, bangunlah barisan (pn),
(an+1) dan (bn+2) sbb:
pn = 1/2(an+bn) dan
an+1 = an, bn+1 = pn bila f(an) f (bn) < 0
an+1 = pn, bn+1 = bn bila f(an) f (bn) > 0
Contoh
3x³+ 2x + 2
Caranya :
1.
Tentukan niali a dan b yg memuat akar.perhatikan interval (1,2) diperoleh :
f(1) = 3.(1)³ + 2.1 +2 = 7 > 0
f(-2) = 3.(-2)³ + 2.(-2) +2 = -24 < 0
(Nilai 1 dan -2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya
bernilai negatif )
2.
3.
Aproksimasi 1 :
ambil a1 = 1 dan b1 = -2 dan p1 = -1/2
f(p1) = 3.(-1/2)³+2.(-1/2)+2 = 0,625 >0
karena f(a1).f(p1) > 0 maka a2 = p1 = -1/2 dan b2 = b1 = -2
Lakukan aproksimasi berikutnya seperti langkah 2 sampai
mendapatkan nilai yang mendekati 0
Contoh :
Tentukan akar dari X² - 4sinx = 0
Intervalnya : [1;2]
f(1) = (1)² - 4 sin 1 = -2,3659 < 0
f(2) = (2)² - 4 sin 2 = 0,3628> 0
(Nilai 1 dan 2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif )
Aproksimasi 1 :
Langkah 1 : ambil a1 = 1 dan b1 = 2 dan p1 = (1+2)/2 = 1,5
Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,5)= (1,5)² - 4sin 1,5 = -1,7400 <0
karena f(a1)f(p1) > 0 maka yang menjadi a2 = p1 dan b2 = b1
Langkah 3 : tetapkan interval a2 = 1,5 dan b2 = 2
Aproksimasi 2 :
Langkah 1 : ambil a2 = 1,5 dan b2 = 2 dan p2 = (1,5+2)/2 = 1,75
Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,75)= (1,75)² - 4sin 1,75 = -0,8734 <0
karena f(a2)f(p2) > 0 maka yang menjadi a3 = p2 dan b3 = b2
Langkah 3 : tetapkan interval a3 = 1,75 dan b3 = 2
Dilanjutkan terus sampai mendekati 0 yaitu pada kasus ini terdapat pada
aproksomasi ke 6 (Hasilnya ditunjukkan pada tabel)
akar dari X² - 4sinx = 0
n
an
Bn
Pn
f(pn)
f(an)
f(an)f(pn)
1
1,0000 2,0000
1,5000
-1,7400
-2,3659
+
2
1,5000
2,000
1,7500
-0,8734
-1,7400
+
3
1,7500 2,0000
1,8750
-0,3007
-0,8734
+
4
1,8750 2,0000
1,9375
-0,0198
-0,3007
-
5
1,8750 1,9375
1,9063
-0,1433
-0,3007
+
6
1,9063 1,9375
1,9219
-0,0624
-0,1433
+
Disini kita ambil p6 = 1,9219 sebagai aproksimasi akarnya, karena
f(p6) = -0,0624 yang cukup dekat dengan Nol
2. Metode Regulasi Falsi

1.
2.
3.
Cara kerja metode ini hampir sama dengan metode bisection,
langkahnya :
Mulailah dengan interval [a, b] yg memuat akar f(x) = 0
Ambil a1 : = a dan b1 : = b
Untuk n = 1, 2,…, bangunlah barisan (pn), (an+1) dan (bn+2) sbb:
dan
an+1 = an, bn+1 = pn bila f(an) f (bn) < 0
an+1 = pn, bn+1 = bn bila f(an) f (bn) > 0
Contoh :
Tentukan akar dari (X³-4x²+x+1)sin 3x = 0
Intervalnya : [2;3]
f(2) = (2³-4.2²+2+1) sin 3.2 = 1,3971 > 0
f(3) = (3³-4.3²+3+1) sin 3.3 = -2,0606 < 0
(Nilai 2 dan 3 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif )
Aproksimasi 1 :
ambil a1 = 2, b1 = 3, f(a1) = 1,3971 , dan f(b1) = -2,0606
Diperoleh p1 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 3 – (-2,0606.(3-2))
f(b2) – f(a2)
-2,0606 - 1,3971
= 2,4041
P1 = 2,4041
Aproksimasi 2 : cek posisi akar
Karena f(p1) = f(2,4041) = -4,6616 maka f(a1)f(p1) = 1,3971. (-4,6616) < 0 jadi akarnya
adalah a2 = a1 = 2 dan b2 = p1 = 2,4041
P2 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 2,4041 – (-4,6616 .(2,4041 -2))
= 2,0932
f(b2) – f(a2)
-4,6616 - 1,3971
P2 = 2,0932
Pada aproksimasi kedua, akar sudah cukup akurat karena f(p2) = 0,0191
Mari kita bandingkan kinerja metode
bisection dgn regulasi falsi
X² - 4sin x = 0
(

=0
3. Metode Newton



Metode ini merupakan metode yg paling
populer,
karena
secara
umum
kekonvergenannya lebih cepat dari metode
lainnya dan implementasinya sederhana
Pada metode ini hanya dibutuhkan satu titik
awal untuk membuat garis tangen
Misalkan p titik awal yg dipilih maka p
diambil sbg absis titik potong garis
singgung kurva y = f(x) dititik (p ,f(p )).
Selanjutnya, melalui titik (p ,f(p )) dibuat
garis singgung untuk mendapatkan p
0
1
0
1
0
1
2
Algoritma metode Newton
1.
2.
Mulailah dgn aproksimasi awal x
sebarang
Untuk n = 1, 2, …, hitunglah nilai f’
(pn-1). Bila f’(pn-1) ≠ 0, maka :
0
Hitunglah aproksimasi akar persamaan X³ + 4X² - 10 = 0 dgn
menggunakan metode newton
f(x) = X³ + 4X² - 10 = 0
f’(x) = 3X² + 8X
Untuk memeriksa akar, kita lihat f(1) < 0 dan f(2) > 0 sehingga f(1)f(2) < 0.
Karena fungsi ini terletak pada interval (1;2) pasti memuat minimal 1
akaranya, mari kita coba p0 = 1,5.
Aproksimasi 1 :
p0 = 1,5 ; f(p0) = 2,375 dan f’(p0) = 18,750, diperoleh aproksimasi
pertamanya adalah :
p1 = 1,5 - 2,375 = 1,3733
18,750
Aproksimasi 2 :
p1 = 1,3733 ; f(p1) = 0,1338 dan f’(p0) = 16,6443, diperoleh :
p2 = 1,3733 - 0,1338 = 1,3653
16,6443
Aproksimasi ketiga dapat dikerjakan sejalan seperti sebelumnya dan akan
diperoleh p3 = 1,3652. aproksimasi ketiga inisudah cukup akurat karena
nilai f(p3) = 0,0004956
4. Metode Secant

Metode secant merupakan perbaikan dari metode
regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua
titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk
garis lurus yang melalui satu titik.
f’ (X) =( f (Xn) – f (Xn-1)) / (Xn – Xn-1)
Xn+1 = Xn – ( (f(Xn) (Xn – Xn-1)) / ( f(Xn) -f(Xn-1) )
Tujuan dan Fungsi
Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan
masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson
yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama
yaitu f‘ (x).
Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar
dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk
memperkirakan kemiringan/slope.
Algoritma Metode Secant
Definisikan fungsi F(x)
2. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi
maksimum (n)
3. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di
antaranya terdapat akar yaitu x0 dan
x1,sebaiknya
gunakan metode tabel atau
grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah
titik pendekatan yang konvergensinya pada akar
persamaan yang diharapkan.
4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)|
Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)
6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir
1.
Hitunglah aproksimasi akar persamaan X3+X2-3X-3 = 0 dimana x1 = 1
dan x2 = 2 dgn menggunakan metode Secant
Jawaban :
X1 = 1 ; f(1) = (1)³+(1)²-3.(1)-3 = -4
X2 = 2 ; f(2) = (2)³+(2)²-3.(2)-3 = 3
Aproksimasi 1 :
Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)
X3 = x2 –f(x2) (x2-x1/f(x2)-f(x1))
= 2- 3(2-1)/3-(-4))
x3= 1,57142
f(1.57142) = -1.36449
Aproksimasi 2 :
X4 = x3 – f(x3) (x3-x2/f(x3)-f(x2))
= 1,57142 – (-1.36449)(1,57142-2)/ -1.36449 – 3
X4 = 1,70540
F(1,70540) = -0.24774
Lanjutkan terus sampai mendapatkan f(xn) = 0 atau mendekati 0.
Untuk kasus ini sampai pada aproksimasi ke -7.berikut ringkasan tabelnya
X3+X2-3X-3 = 0 dimana x1 = 1 dan x2 = 2 dgn menggunakan
metode Secant
n
1
2
3
4
5
6
7
xn
1
2
1,57142
1,70540
1,73514
1,73200
1,073205
f (xn)
-4
3
-1,36449
-0,24774
0,02925
-0,00051
0
xn – xn-1
1
-0,42858
0,13398
0,02974
-0,00314
-
f (xn) – f (xn-1)
7
-4,36449
1,11675
0,27699
-0,02976
-
Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7
Karena nilai f(x7) = 0, sehingga ditemukan salah satu akarnya =
1,073205