INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK

INTEGRASI DAN
DIFERENSIASI NUMERIK
1. APROKSIMASI DERIVATIF
2. APROKSIMASI INTEGRAL
STRATEGI APROKSIMASI
1.
2.
3.
Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial
interpolasi P.
Derivatif polinomial P diambil sbg
aproksimasi derivatif fungsi f.
Integral polinomial P diambil sbg
aproksimasi integral fungsi f.
BAGAIMANA KESALAHAN APROKSIMASINYA ?
Menentukan nilai aproksimasi lebih mudah daripada memperkirakan resiko
kesalahan yang mungkin terjadi akibat aproksimasi tersebut.
Kesalahan aproksimasi dengan
interpolasi
Misalkan
titik-titik berlainan di dalam
dan
Jika P adalah polinomial interpolasi maka terdapat ξ(x) ∈ (a, b) sehingga
berlaku:
approksimasi
kesalahannya
CONTOH: Misalkan fungsi f(x) = ex diaproksimasi oleh polinomial interpolasi
didalam interval [0, 1]. Berikan estimasi kesalahan aproksimasinya.
PENYELESAIAN : Misalkan
titik interpolasi dan asumsikan
berjarak sama, yaitu h. Jadi xj+1- xj = h untuk setiap j.
x0
0
xj
xj+1
h
xn
1
Ambil sebarang x didalam [0, 1], kita akan menyelidiki kesalahan mutlak
| f(x) - P(x) |. Pastilah ada indeks j sehingga xj ≤ x ≤ xj+1. Berdasarkan teorema di atas, terdapatlah ξ(x) di dalam (0, 1) dan berlaku:
Karena
maka diperoleh:
dan
Diperhatikan fungsi
mencapai ekstrim di
tengah interval [xj, xj+1], yaitu di xm = (j+0.5)h. Jadi maksimumnya
Akhirnya diperoleh:
Bila diinginkan kesalahan aproksimasi tidak melebihi 10-6 maka
haruslah
yang mengharuskan
.
Karena banyaknya sub interval n = (1-0)/h harus bulat maka
diambil h = 0.001.
APROKSIMASI DERIVATIF

Derivatif f di titik x0 adalah:
y = f(x)
f(x0+h)
f(x0+h) – f(x0)
f(x0)
h
x0
Sederhananya, aproksimasi derivatif f’(x0)
adalah
dengan mengambil h cukup kecil.
x0+h
Untuk mengetahui kesalahan aproksimasinya, diperhatikan dua titik x0 dan x0+h,
dibentuk polinomial interpolasi derajat satu yang melalui kedua titik ini, diperoleh:
f ( x)  f [ x0 ]  f [ x0 , x1 ]( x  x0 )  R
dimana R =
. Selanjutnya, diambil derivatifnya dan didapat
Untuk x = x0 maka diperoleh: f ( x0 ) 
diambil:
f ( x0 ) 
f ( x0  h)  f ( x) h
 f ( ). Akhirnya,
h
2
h
f ( x0  h)  f ( x)
f ( )
dengan kesalahan (error): E  
2
h
Untuk h>0, formula ini disebut aproksimasi selisih maju (forward-difference). Untuk
h<0, diperoleh aproksimasi selisih mundur (backward-difference).
f ( x0 ) 
h
f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( )
dengan kesalahan (error): E 
2
h


CONTOH : Tentukan aproksimasi derivatif fungsi f(x) = ln x di x0=1.8.
Gunakan formula selisih maju dengan h = 0.1, 0.01 dan 0.001 dan
berikan analisis kesalahannya.
PENYELESAIAN : formula selisih maju diberikan oleh
dengan error


dimana
Diperoleh tabel:
Bandingkan dengan error sesungguhnya dimana derivatif eksaknya
f’(1.8) = 0.55555 . . .
FORMULA SELISIH TERPUSAT
dimana
adalah
f ( x0 ) 
terletak diantara
f ( x0  h)  f ( x0  h)
2h
dan
Jadi aproksimasinya
dengan error E =
•Diperhatikan jika h diperkecil, maka suku h2 lebih cepat menuju nol dari
pada suku h. Error aproksimasi yang memuat suku hp disebut mempunyai
order aproksimasi p, dan ditulis dengan O(hp).
•Formula selisih terpusat ini disebut juga formula tiga titik, karena melibat
kan tiga titik x0-h, x0 dan x0+h. Formula tiga titik lainnya melibatkan titik
x0, x0+h, x0+2h, yaitu
dimana ξ0 diantara x0 dan x0+2h.
FORMULA LIMA TITIK
1.
dimana ξ diantara x0-2h dan x0+2h.
2.
dimana ξ diantara x0 dan x0+4h.
Order kesalahan aproksimasi :
1. Formula 2 titik (selisih maju, selisih mundur) mempunyai order 1.
2. Formula 3 titik mempunyai order 2.
3. Formula 5 titik mempunyai order 4.
Semakin tinggi order aproksimasi semakin akurat aproksimasi yang dihasilkan.
CONTOH : Beberapa nilai dari f(x) = x ex diberikan pada tabel berikut.
Karena f’(x) = (x+1)ex maka nilai eksak derivatif f di x=0.2
adalah f’(2.0) = 22.167168.
Gunakan berbagai macam formula untuk menghitung
aproksimasi derivatifnya. Banding errornya dan formula
mana yang paling akurat.
PENYELESAIAN: Gunakan h = 0.1, terapkan dua formula 2 titik (selisih maju dan
selisih mundur), dua formula 3 titik dan dua formula 5 titik.
APROKSIMASI DERIVATIF KEDUA

Fungsi f diekspansi dalam deret Taylor disekitar x0, kemudian dievaluasi
di titik x0+h dan x0-h diperoleh:
dan
dimana
diperoleh:

Kedua bentuk ini dijumlahkan,
Berdasarkan teorema nilai antara, terdapat ξ diantara ξ0 dan ξ-1
sehingga
Aproksimasi derivatif kedua (Lanjutan)

Diperoleh:
≈ f’’(x0)


Error
CONTOH: Kembali perhatikan fungsi f(x) = xex. Fungsi ini mempunyai
derivatif kedua f’’(x) = (x+2)ex. Untuk x0=2.0 diperoleh derivatif eksak
adalah f’’(2.0) = 29.556224. Hitunglah aproksimasi derivatif kedua dengan
menggunakan h=0.1 dan h=0.2.
PENYELESIAN :

h = 0.1 

h = 0.2 

Error masing-masing adalah
.
APROKSIMASI INTEGRAL
 FORMULA QUADRATURE SEDERHANA



METODA TITIK TENGAH
METODA TRAPESIUM
METODA SIMPSON
 FORMULA QUADRATURE BERSUSUN
 INTEGRASI GAUSS.
FORMULA SEDERHANA
 Diperhatikan integral
jumlahan
yaitu
. Formula qudrature berbentuk
digunakan sebagai aproksimasi untuk integral,
≈
xi disebut koordinat dan ai disebut bobot.
 Seperti pada aproksimasi, fungsi f terlebih dahulu diaproksimasi oleh
polinomial interpolasi, kemudian integral dari polinomial ini diambil
sebagai aproksimasi integral fungsi f.
1. METODA TITIK TENGAH (MIDPOINT)
y = f(x)
Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial
derajat nol (fungsi konstan):
f(c)
f(b)
f(x) ≈ P(x) = c,
f(a)
kemudian diintegralkan, diperoleh:
a
c = (a+b)/2
b
b

a
2. METODA TRAPESIUM
y = f(x)
f(b)
f(a)
 ab
f ( x) dx  (b  a) f 

 2 
Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi derajat satu pada titik x0:=a dan x1:= b,
f (b)  f (a)
f ( x)  f (a) 
( x  a)
ba
Diintegralkan, diperoleh :
a
b

a
ba
 f (a)  f (b)
f ( x) dx 
2
b
3. METODA SIMPSON
y = P(x)
y = f(x)
f(b)
f(a)
Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial
interpolasi derajat dua di titik-titik
x0= a, x1= c:= (a+b)/2 dan x3 = b, yaitu
a
c
b
b
Diperoleh

f ( x) dx 
a
f ( x)  f (a)  f [a, c]( x  a)  f [a, c, b]( x  a)( x  c)
ba
 f (a)  4 f ( a2b )  f (b)
6
CONTOH : Terapakan metoda midpoint, trapesium dan Simpson untuk
menghitung integral :
2
 f ( x) dx
0
1
, 1  x 2 , sin x, e x
dimana f adalah beberapa fungsi dasar f ( x)  x 2 , x 4 ,
x 1
Metoda manakah yang paling akurat?
PENYELESAIAN:
untuk f(x) = x2, eksaknya adalah

2
0
x 2 dx  13 (23  03 ) = 2.667.
1. Midpoint M = (2-0)f(1) = 2.000,
2. Trapesium T = (2-0)/2 [f(0)+f(2)] = 4.000,
3. Simpson S = (1/3)[f(0) + 4 f(1) + f(2)] = 2.667.
Untuk SOAL lainnya diselesaikan sendiri !
ESTIMASI ERRORNYA ?