PENGENDALIAN dan PENGATURAN OPERASI

Learning Outcomes
• Mahasiswa dapat menyebutkan perbedaan
pengertian non PL dan PL melalui contohcontoh yang diberikan, serta dapat
menyelesaikan masalah-masalah yg ada..
Outline Materi:
•
•
•
•
•
Pengertian Non Linier Programming
Beda PL dan Non PL
Matriks & Hubungannya dgn optimasi.
Fungsi cembung dan cekung.
Contoh kasus..
Pengertian,..
•
Teknik linier programing untuk memecahkan masalah
pemrograman matematika sudah dikenal luas dan
berkembang dengan pesat, karena dpt memberi solusi yg
sangat efisen. Namun tidak semua masalah
pemrograman matematika dapat dinyatakan sebagai
hubungan linier. Beberapa masalah yang dapat
dikategorikan sebagai model masalah pemrograman
matematika yang terdiri dari fungsi tujuan dan kendalakendala, sebagaimana juga linier programming, namun
bila hubungan antar variabel (fungsi) ternyata tidak linier
maka permasalahan seperti itu dinyatakan sebagai
Nonlinier programing.
Solusi dari nonlinier programming ternyata lebih
kompleks dan tidak semudah linier programing karena
cakupan permasalahan yang lebih luas dan
penyelesaiannya seing harus menggunakan
pendekatan numeric atau Calculus.
Bentuk Umum,
Bentuk umum non linier programming sbb:
Maksimumkan (minimumkan) Z = f(X)
Dengan kendala g(X)  0
X0
f(X) atau g(X) adalah fungsi tdk linier
Matriks & Hubungannya dgn Operasi,
Konsep dasar program non linear adalah:
•
Matriks Hessian
•
Kecembungan dan
•
Set cembung
•
Matriks Hessian
Misalkan sebuah fungsi n variabel f(x1,x2,..xn),
kemudian dibuat matriks turunan parsial kedua dari
fungsi sbb:
 f 11
 f 21

 :

 fn 1
f 12
f 22
:
..
..
:
fn 2
..
f 1n 
f 2 n 
: 

fnn 
= (H)
•
•
Maka matriks H dinamakan matriks Hessian.
Untuk matriks (nxn), principal minor ke k (k  n)
adalah suatu submatriks dgn ukuran (kxk) yg
diperoleh dengan menghapus (n-k) baris dan kolom
yg bersesuaian.
Contoh:
1 2 3
4 5 6
(Q)= 

 7 8 9 
Maka principal minor ke-1 adalah elemen diagonal yaitu 1,5,9.
Sehingga principal minor kedua adalah matriks (2x2)
1 2 
4 5


1
7

3
9
5 6
8 9


principal minor ke-3 adalah matriks Q itu sendiri.
Leading principal minor ke-k dari suatu matriks (nxn) didapat
dgn menghapus (n-k) baris terakhir dan kolom yg
bersesuaian.
Untuk contoh Q di atas, mk leading principal minor ke1 adalah 1 & leading minor ke-2 adalah
1
4

2
5
sementara yg ke-3 adalah matriks Q sendiri.
Banyaknya leading principal determinat suatu matriks
(nxn) = n..
Fungsi Cembung & Cekung,
•
•
•
Suatu fungsi f(x), utk x=(x1,x2,..x3) disebut fungsi
cembung jika dan hanya jika dua titik xa dan xb
dengan 0    1, berlaku
f[ xa +(1- ) xb]  f(xa) + (1-)f(xb)
Suatu fungsi f adalah fungsi cembung jika matriks
Hessian fungsi f adalah positif atau semidefinit positif.
Suatu fungsi f adalah cekung jika matriks Hessian dari
fungsi adalah definit negatif atau semidefinit negatif.
Fungsi Cembung & Cekung(2),
Contoh :
f(x1,x2,x3)=3x12+2x22-2x1x3+2x2x3-6x1-4x2- x32
H=
 6
 2

  2
 2
4
2
 2
2 
2 
dengan leading principal determinant H1=6, H2=20
dan H3=16, sehingga H suatu matriks definit positif
 f adalah fungsi cembung..