PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

1
FUNGSI
P
enerapan fungsi dalam bidang ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang
sangat penting untuk dipelajari. Hal ini dikarenakan bahwa model-model ekonomi
yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Di samping itu
fungsi juga merupakan dasar bagi kita untuk mempelajari mengenai konsep aljabar kalkulus
yaitu konsep diferensial dan integral pada bab selanjutnya. Dalam hal ini jenis fungsi yang
akan diterapkan dalam ekonomi dan bisnis yaitu meliputi fungsi linier dan fungsi non linier
1.1.
Pengertian
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain.
Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur pembentuk fungsi, yaitu variable,
koefisien dan konstanta.
Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor
tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf Latin.
Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu
variabel dalam suatu fungsi.
Adapun konstanta ialah bilangan atau angka yang turut membentuk sebuah fungsi
tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
Notasi sebuah fungsi secara umum : y = f(x)
Matematika Bisnis
1
Contoh 1.1.
Diketahui suatu fungsi : y = f(x) = 5 + 0,8 x
y merupakan dependen variable, 5 adalah konstanta, 0,8 koefisien variasi x dan x
adalah independen variable
1.2.
Jenis-Jenis Fungsi
Fungsi dapat digolong-golongkan menjadi beberapa kelompok. Rincian jenis-jenis
fungsi selengkapnya dapat dilihat dibawah ini :
Fungsi
Fungsi Aljabar
Fungsi Non Aljabar (Transenden)
Fungsi Irrasional
Fungsi Rasional
Fungsi Polinom
Fungsi Linier
Fungsi Kuadrat
Fungsi Kubik
Fungsi Bikuadrat
Fungsi Pangkat
Fungsi Eksponensial
Fungsi Logaritmik
Fungsi Trigonometrik
Fungsi Hiperbolik
1. Fungsi polinom
Fungsi Polinom adalah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam
variabel bebasnya.
y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn
2. Fungsi Linear
Fungsi Linier adalah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu).
y = a0 + a1x
2
, a1 ≠ 0
Fungsi
3. Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.
y = a 0 + a1x + a2x2 , a2 ≠ 0
4. Fungsi berderajat n
Fungsi berderajat n adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat n (n = bilangan nyata).
y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn , an ≠ 0
5. Fungsi Pangkat
Fungsi Pangkat yaitu fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan
nyata bukan nol.
y = xn , n = bilangan nyata bukan nol.
6. Fungsi eksponensial
Fungsi ekponensial adalah fungsi yang variable bebasnya merupakan pangkat dari
suatu konstanta bukan nol.
y = nx n > 0
7. Fungsi logaritmik
Fungsi Logaritmik adalah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel
bebasnya merupakan bilangan logaritmik.
y = nlog x
8. Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Fungsi Trigonomtrik dan fungsi Hiperbolik adalah fungsi yang variabel bebasnya
merupakan bilangan-bilangan goneometrik.
persamaan trigonometrik y = sin x
persamaan hiperbolik y = arc cos x
Matematika Bisnis
3
1.3.
Penggambaran Fungsi Linier
Setiap fungsi linier akan menghasilkan garis lurus jika digambarkan
Contoh 1.2.
Gambarkan grafik fungsi y = 3 + 2x
Penyelesaian :
x
0
1
2
3
4
y
3
5
7
9
11
Grafik fungsi diatas adalah :
y
12
10
8
6
4
2
0
1.4.
1
2
3
4
1
x
1
Penggambaran Fungsi Non Linier
Masing-masing fungsi non linier mempunyai bentuk khas mengenai kurvanya,
sehingga harus diamati kasus demi kasus Sifat-sifat khas kurva non linier meliputi
penggal, simetri, perpanjangan, asimtot dan faktorisasi.
1. Penggal
Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu
koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = o,
sedangkan penggal pada sumbu y dapat dicari dengan memisalkan x = 0.
4
Fungsi
2. Simetri
Dua buah titik dikatakan simetri terhadap sebuah garis apabila garis tersebut
berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis
yang menghubungkannya.
3. Perpanjangan
Dalam menggambarkan kurva dari suatu persamaan f(x,y) = 0, pada umumnya
kita membatasi diri hanya sampai nilai x dan y tertentu. Kita tidak tahu sampai
seberapa jauh ujung-ujung kurva dapat diperpanjang sampai ke nilai x dan y yang
tak terhingga
4. Asimtot
Suatu kurva dikatakan asimtotik terhadap sebuah garis lurus tertentu apabila salah
satu ujung kurva semakin dan semakin mendekati garis yang bersangkutan.
5. Faktorisasi
Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut
menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil.
Contoh 1.3.
Gambarkan grafik fungsi kuadrat parabolic : y = 8 – 4 x + x2
Penyelesaian :
x
0
1
2
3
4
y
8
5
4
5
8
Matematika Bisnis
5
y
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
x
1
4
1
Contoh 1.4.
Gambarkan grafik fungsi kuadat parabolic : x = 8 – 2 y – y2
Penyelesaian :
X
y
-4
0
-3
5
-2
8
-1
9
0
8
1
5
2
0
y
2
0
1
2
3
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
x
1
2
4
6
Fungsi
Contoh 1.5.
Gambarkan grafik fungsi kubik : y = - 2+ 4 x2 – x3
Penyelesaian :
y
4
2
x
Y
-1
3
0
-2
1
1
2
0
1
2
3
4
1
x
1
6
3
7
4
-2
2
1.5.
Soal-Soal Latihan
1. Tentukan penggal – x dan penggal – y dari persamaan-persamaan :
a. 5 x – 10y – 20 = 0
b. x2 – 6x + y + 2 = 0
c. x2 + y2 – 8x - 6y – 11 = 0
2. Selidiki kesimetrian kurva dari persamaan-persamaan berikut terhadap sumbu-x
dan sumbu –y dan titik pangkal.
a. 6x2 + 5x – y = 0
b. x3 + 8 x2y + 3 y = 0
c. x2 – y2 = 0
3. Untuk persamaan x3 – y2 = 9
a. Tentukan penggal pada masing-masing sumbu
b. Selidiki kesimetrian kurvanya
c. Selidiki batas perpanjangan kurvanya
Matematika Bisnis
7
4. Untuk persamaan xy – x – y = 2
a. Tentukan penggal pada masing-masing sumbu
b. Selidiki kesimetrian kurvanya
c. Tentukan asimtot vertical dan atau asimtot horizontal
d. Jelaskan apakah persamaan tersebut dapat difaktorkan
5. Perintah seperti soal 4 untuk x2 – 4x + y = 12
8
Fungsi