Matematika Ekonomi FUNGSI Definisi FUNGSI Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Y = a + bx INDEPENDENT VARIABLE Notasi Fungsi Y = f(x) Y = 5 + 0.8 x f(x) = 5 + 0.8 x 5 0.8 X Y Konstanta Koef. Variable x Variabel bebas Variabel terikat Jenis-jenis Fungsi • Fungsi Polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn • Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu). y = a0 + a1x a1 ≠ 0 • Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0 • Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata). y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn an ≠ 0 • Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. y = xn n = bilangan nyata bukan nol. • Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. y = nx n>0 (pehatikan n dan x pada kedua jenis fungsi tsb.) • Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. y = nlog x • Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik. persamaan trigonometrik y = sin x persamaan hiperbolik y = arc cos x Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya, fungsi dibedakan menjadi 2 jenis: Fungsi Umum Linier Kuadrat Kubik Bentuk Eksplisit y = f(x) y = a0 + a1x y = a0 + a1x + a2x2 y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 Bentuk Implisit f(x, y) = 0 a0 + a1x – y = 0 a0 + a1x + a2x2 – y = 0 a0 + a1x + a2x2 + a3x3 – y = 0 Penggambaran Fungsi Linier FUNGSI LINIER Fungsi Linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. bentuk umum persamaan linear y = a + bx a : adalah penggal garisnya pada sumbu vertical -y b : adalah koefisien arah atau lereng garis yang bersangkutan. Penggal dan Lereng Garis Lurus a: penggal garis y= a + bx, yakni nilai y pada x = 0 b: lereng garis, yakni y / x pada x = 0, y / x b pada x = 1, y / x b pada x = 2, y / x b lereng fungsi linear selalu konstan y x=c y = a berupa garis lurus sejajar sumbu horizontal x, besar kecilnya nilai x tidak mempengaruhi nilai y a 0 y=a c x x = c berupa garis lurus sejajar subu vertikal y, besar kecilnya nilai y tidak mempengaruhi nilai x Pembentukan Persamaan Linier Cara Dwi- Koordinat • Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing- masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan linearnya adalah: y y1 y2 y1 = x x1 x2 x1 Cara Koordinat- Lereng Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah: y – y1 = b (x – x1) b = lereng garis Cara Penggal- Lereng • Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. y = a + bx (a= penggal, b= lereng) Cara Dwi-Penggal • Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu, penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0) penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0). • Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada sumbusumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah : a y a x c a = penggal vertikal b = penggal horizontal y Y = 2 + 0,5 x B 5 4 3,5 b 3 P A 2 a 1 x -4 0 c 1 2 3 4 5 6 Hubungan Dua Garis Lurus • Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yang : – – – – berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus. Berimpit : y1 = ny2 a1 = na2 b1 = nb2 Sejajar : a1 ≠ a2 b1 = b2 Berpotongan : b1 ≠ b2 Tegak Lurus : b1 = - 1/b2 PENCARIAN AKAR- AKAR PERSAMAAN LINEAR Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan anu dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penyelesaian persamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapat dilakukan melalui tiga macam cara : • cara substituís • cara eliminasi • cara determinan Cara Substitusi Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21, 25 = 5y, y = 5 x = ? Cara Eliminasi • Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain. 2 x 3 y 21 1 2 x 3 y 21 x 4 y 23 2 2 x 8 y 46 -5 y 25, y5 Cara Determinan • Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang jumlahnya banyak. • Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi determinan derajad 2 a d b e ae - db determinan derajad 3 a d g b c e h f aei bf g chd gec dbi af h i • Ada 2 persamaan : ax + by = c dx + ey = f • Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : c b Dx f e ce fb x a b ae db D d e a c Dy d f af dc y a b ae db D d e Determinan • Contoh : 2x + 3y = 21 dx + 4y = 23 • Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : 21 3 23 4 15 Dx x 3 2 3 D 5 1 4 2 21 1 23 Dy 25 y 5 2 3 D 5 1 4 TIME TO PEMBAGIAN KELOMPOK KELOMPOK 1 2 3 4 5 6 7 8 ANGGOTA 001 002 004 009 033 036 038 043 006 007 012 017 020 023 024 025 019 030 031 046 047 051 049 037 011 013 022 034 045 041 048 044 008 010 016 021 026 032 039 040 029 054 Tentukan penggal x dan penggal y dari persamaan-persamaan: 5x - 10y – 20 = 0 Gambarkan persamaan fungsi linier di bawah ini (dengan metode subtitusi): a). Y = 3x + 1 b). Y = 3x c). Y = -2x + 10 Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut: a). (-1, 4) dan (1, 0) b). (-1, -2) dan (-5, -2) c). (0, 0) dan (1, 5) d). (1, 4)dan (2, 3) Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui titik (-1, 3) danmempunyai koefisien arah atau lereng sebesar : a). -1 b). 2 c ). 5 D). 0 Tentukan titik potong dari pasangan garisgaris berikut : a). y = -2 + 4x dan y = 2 + 2x b). y = -2 + 4x dan y = 6 C). y = 6 dan y = 10 – 2x d). y = 2 + 2x dan y = 10 – 2x MINUTE PAPERS Hal saja yanganda masih belum Apaapa yang sudah pelajari anda pahami? hari ini? TERIMAKASIH SELAMAT BELAJAR
