JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT Jika diperhatikan cara

JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus,
maka jenis-jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b2 – 4ac. Oleh karena itu b2 – 4ac
disebut diskriminan atau pembeda dan biasanya disingkat dengan D dimana D = b2 – 4ac .
Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat:
a. Jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil
yang berbeda;
b. jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering
disebut mempunyai akar kembar;
c. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar riil (akar imajiner);
d. Jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional
yang berlainan.
Contoh
Selidiki jenis akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini tanpa mencari akarnya terlebih
dahulu.
a. x2+ 4x + 4 = 0
c. x2 – 2x – 3 = 0
b. x2 + x + 2 = 0
Jawab
Persamaan x2+ 4x + 4 = 0
a= 1 ; b= 4 ; c=4
D= b2 – 4ac
D = (4)2 – 4.1.4
D = 16 – 16
D=0
Dua akarnya riil dan kembar
Persamaan x2 + x + 2 = 0
a = 1 ; b=1 ; c=2
D= b2 – 4ac
D = (1)2 – 4.1.2
D = 1 -8
D = -7
Akarnya Imaginer
Persamaan x2 – 2x – 3 = 0
a= 1 ; b= -2 ; c=-3
D= b2 – 4ac
D = (-2)2 – 4.1.(-3)
D = 4 + 12
D = 16
dua akarnya riil dan berbeda
Contoh
Tentukan harga k agar persamaan kuadrat x2 + 2 x + k = 0 mempunyai akar kembar dan akar
persamaan kuadratnya.
Jawab:
Dari persamaan a = 1, b = 2, dan c = k
Syarat agar akarnya kembar adalah D = 0
D = b2– 4ac
D = 22 – 4.1.k
0 = 4 – 4k
4k = 4
k=1
maka x + 2 x + 1 = 0
(x + 1)(x + 1) = 0
x + 1 = 0 atau x + 1 = 0
x = -1
x = -1
RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Dari rumus kuadrat, diperoleh akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut
 b  b 2  4.a.c
x1 
2a
atau
Jika keduanya dijumlahkan = x1  x 2  
 b  b 2  4.a.c
x2 
2a
b
dan jika keduanya dikalikan
a
= x1 .x 2 
c
a
Contoh
Jika p dan q akar-akar dari persamaan x2 + 2 x – 3 = 0, tentukanlah
3. p2 + q 2
4. p 2q + pq 2
1. p + q
2. p.q
Jawab
Dari Persamaan diperoleh a= 1 ; b=2 ; c= -3
1.
2.
x1  x 2  
x1 .x 2 
b
= p +q =- 2/1 = -2
a
c
=p.q = -3/1 = -3
a
3. p2 + q 2
= (p+q)2 – 2pq = (-2)2 – 2(-3) =4 + 6 = 10
4. p 2q + pq 2 = pq (p + q) = -3(-2) = 6
CONTOH
Salah satu akar x2+ 3 x + k = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai k.
Jawab:
Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 3, dan c = k. Jika akar-akar tersebut p dan q ,sehingg
p = 2q (salah satu akarnya dua kali akar yang lain).
Dengan rumus, maka
p + q = - 3/1

p = 2q
 p.q = k/1
p + q = -3
= 2(-1)
(-2)(-1) = k
2q+q = -3
= -2
2=k
3q = -3
q = -1
CONTOH
Hitunglah nilai k agar persamaan 2x2 + k x + k = 0 mempunyai akar-akar berikut.
a. Berkebalikan
b. Berlawanan
JAWAB
a. dari persamaan diperoleh
a=2 ; b= k dan c= k.
Misal p dan q akar-akar PK
Sehingga p = 1/q  p.q = 1
p.q = k/2 = 1
k =2
b. Akar-akar berlawanan sehingga p = -q
p + q = - k/2
-q + q = -k/2
0 = - k/2
k=0
MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka persamaan kuadratnya adalah
1. Dengan faktorisasi
(x – p)(x – q) = 0
2. Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
x2 - (p+q)x + pq = 0
CONTOH
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut
a. -2 dan 5
b. 2/3 dan -2
Jawab
a. Dengan faktorisasi (x – p)(x – q) = 0
(x –(-2))(x – 5) = 0
(x+2)(x-5) = 0
X2 +2x -5x -10 =0
X2 -3x -10 = 0
Dengan rumus jumlah dan hasil kali
x2 – (p+q)x + pq = 0
x2 – (-2+5)x + (-2)5 = 0
x2 – 3x-10 = 0
2
b. x – (p+q)x + pq = 0
x2 – (2/3-2)x + (-2)2/3 = 0
x2 – ( - 4/3)x- 4/3 = 0
x2 + 4/3x – 4/3 =0
3x2 +4x – 4 = 0
MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BERDASARKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN
KUADRAT LAIN
Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain,perhatikan
contoh-cotoh soal di bawah ini.
Contoh
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat
X2– 2x – 10 = 0.
Jawab
Misal akar-akar PK : X2– 2x – 10 = 0 adalah p dan q Sehinga
p + q = - (-2)/1 = 2
pq = -10/1 = -10
Misal PK baru yang dicari mempunyai akar-akar  dan  , diperoleh  = 2p dan =2q
sehingga
+ = 2p + 2q = 2(p+q) = 2(2) = 4
 = (2p)(2q) = 4pq = 4(-10) = -40
Maka PK tersebut
X2– (+)x +  = 0
X2 – 4x – 40 = 0