Ortogonal

Ortogonal
Yang dibahas :
• Ortogonal
• Basis ortogonal
• Ortonormal
• Matrik ortogonal
• Komplemen ortogonal
• Proyeksi ortogonal
• Faktorisasi QR
Ortogonal
• Himpunan vektor {v1, v2, ….., vk} dalam Rn disebut
himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam
himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika :
vi . vj = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k
• Basis standar {e1, e2, ….., en} dalam Rn adalah
himpunan ortogonal.
Contoh :
Tunjukkan bahwa {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal
dalam R3 jika :
 2
0 
 1
v1   1 , v2  1  , v3  -1
-1
1 
 1
Jawab :
Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal
v1 . v2 = 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0
v2 . v3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0
v1 . v2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0
Kesimpulan : {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal
Teori 1. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan vektor
bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor
tersebut adalah bebas linier.
Bukti :
Jika c1, c2, …., ck adalah skalar sehingga : c1v1+ …+ ckvk=0
kemudian (c1v1+ …+ ckvk) . vi = 0 . vi = 0
Atau hal yang sama :
c1(v1. vi)+ ….. +ci(vi. vi)+ ……+ ck(vk. vi) = 0
Karena {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan ortogonal,
semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol
kecuali (vi. vi), sehingga persamaan dapat diringkas
menjadi : ci(vi. vi) = 0
Dengan hipotesa : vi ≠ 0 sehingga vi. vi ≠ 0, oleh karena
itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci. Hal ini juga
berlaku untuk semua i = 1, ….. k, sehingga disimpulkan
bahwa {v1, v2, ….., vk} adalah bebas linier.
Basis Ortogonal
Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rn
adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal.
Contoh soal :
Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu :
 x 

 

W   y  : x  y  2 z  0
 z 

 

Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari
persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri
dari vektor dengan bentuk :
 y  2z 
 y 


 z 
Jadi vektor u =
1 
1  dan
 
 0 
1 
-2




y 1   z  0 
0
 1 
v
 -2 
=  0  adalah basis
 1 
W, namun tidak
ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan
vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah
satu vektor tersebut.
x 
Anggap w   y  adalah vektor dalam W yang ortogonal
 z 
dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka
u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0.
Dengan menyelesaikan SPL :
x-y+2z = 0
x+y
=0
Didapatkan : x = -z dan y = z
Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk :
- z 


w z
 z 
-1
Jika diambil w   1  dengan mudah dapat dibuktikan
 1 
bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W ,
sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=2.
Teori 2. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah basis ortogonal dari
subruang W dari Rn dan w merupakan vektor
dalam W, maka skalar unik c1,…., ck dapat
ditulis : w = c1v1+ …+ ckvk
w.vi
Menghasilkan : ci 
vi .vi
untuk i = 1, ……, k
1 
Contoh soal :
 2  yang menjadi basis ortogonal
w

Carilah koordinat
 
3 
 2
0 
 1
 1 , v  1  , v  -1
v

dari B = {v1, v2, v3} dengan 1   2   3  
-1
w.v1 2  2  3 1


Jawab : c1 
v1.v1 4  1  1 6
w.v2 0  2  3 5
c2 


v2 .v2 0  1  1 2
w.v3 1  2  3 2
c3 


v3 .v3 1  1  1 3
1 
 1
Jadi : w = c1v1+ c2v2 + c3v3 = 1/6 v1 + 5/2 v2+ 2/3 v3
Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B
adalah :
 wB
 
5
 2
3
2
1
6
Ortonormal
Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan
ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari
vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari
Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan
ortonormal.
Catatan : Jika S= {q1,….., qk} adalah himpunan vektor
ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan qi  1
Kenyataannya bahwa setiap qi merupakan vektor satuan
dengan kata lain : qi . qi = 1.
Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika :
0
qi .q j  
1
jika i  j
jika i  j
Contoh soal :
Tunjukkan bahwa S = {q1,q2} adalah himpunan
ortonormal dalam R3 jika :
 1 3
1
 1 
2
q1  - 3  dan q2  
 1 
1
3


Jawab : q1.q2 
1

18
2

18
1
18
q1.q1  13  13  13  1
q2 .q2  16  4 6  1 6  1


6

6
6
0
ortonormal
Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah
ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap
vektor himpunan ortogonal tersebut.
Contoh soal:
Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor :
 2
0 
 1
v1   1 , v2  1  , v3  -1
-1
1 
 1
Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v1, v2,
dan v3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap
vektor diperoleh :
0 0 
2  2 
 
1
1   
q1 
v1 
1  

v1
6
-1 
 1 
1
1   
q3 
v3 
-1  
v3
3
 1 

 

1
1   1
q

v

1  
, 2
2
6

v2
2

1   1

6

3

3

3
6
1
1
1
1
1
Jadi {q1, q2, q3} merupakan basis ortonormal untuk R3

2

2
Teori 3. Jika {q1, q2 .….., qk} basis ortonormal dari subruang
W dari Rn dan w adalah vektor dalam W, maka :
w = (w. q1 )q1 + (w. q2 )q2 +………+ (w. qk ) qk
Matrik ortogonal
Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom
berbentuk himpunan ortonormal disebut:
matrik ortogonal.
Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk
himpunan ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In
Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan
hanya jika Q-1 = QT
Contoh soal :
Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah
ortogonal dan carilah matrik inversnya !
0 1 0 
cos   sin 


A  0 0 1  dan B  

sin

cos



1 0 0 
Jawab :
Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar
dari R3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah
ortogonal dan
 0 0 1
A1  AT  1 0 0 
 0 1 0 
Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut :
 cos
B B
 sin
T
sin   cos 
cos  sin 
 cos 2   sin 2 

  sin  cos   cos  sin 
1

0
0
1

1
 sin 
cos 
 cos  sin   sin  cos  

2
2
sin   cos 

Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan
 cos
B B 
 sin
1
T
sin  
cos 
Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut
ini memiliki arti yang sama :
a. Q adalah ortogonal.
b. Qx  x untuk setiap x dalam Rn
c. Qx.Qy  x. y untuk setiap x dan y dalam R n
Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen

baris merupakan himpunan
ortonormal.
Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal.
a. Q-1 adalah ortogonal
b. det Q = 1
c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka   1
d. Jika Q1 dan Q2 adalah matrik ortogonal nxn,
maka demikian juga untuk Q1Q2
Komplemen ortogonal
Definisi : Ambil W subruang dari Rn. Sebuah vektor v
dalam Rn ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan
setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang
ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari
W ditulis sebagai: W 
W  = {v dalam Rn: v.w = 0 untuk semua w dalam W}
v
W
w
l

W
l =
dan W =l 
Teori 9. Ambil W subruang dari Rn.
a. W  adalah subruang dari Rn.
b. ( W  )  W
c. W W  = {0}
d. Jika W = span (w1, ……, wk), maka v berada dalam W 
jika dan hanya jika v. wi untuk semua i= 1, …….,k
Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang
baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal
dari ruang kolom A adalah ruang null AT
(baris( A))  null ( A) dan (kolom( A))   null ( AT )
Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang :
 baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari Rn
 kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari Rm
Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n
null (A)
null (AT)
0
0
TA
baris (A)
Rn
kolom (A)
Rm
Contoh soal :
1. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari :
1
2
A
-3

4
1 3 1 6
-1 0 1 -1
2 1 -2 1

1 6 1 3
dan buktikan bahwa :
(baris( A))  null ( A) dan (kolom( A))   null ( AT )
Jawab :
Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :


R



1 0 1 0 -1
0 1 2 0 3 
0 0 0 1 4

0 0 0 0 0
baris (A) = baris (R)
Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan :
r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4}
Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0
diperoleh :
x
 1  - s  t 
 -1 
 1
 x   -2s-3t 
 -2 
 -3 
 2 

 
 
x   x3    s   s  1   t  0   su  tv
  

 
 
 x4   -4t 
 0
 -4 
 x5   t

 0 
 1 
 
Null (A) = span (u, v) dengan :
 1
 -1 
 -3 
 -2 
 
 
u =  1  dan v =  0 
 
 
-4 
0

 
 1 
 0 
Untuk menunjukkan (baris( A))  null ( A) cukup dengan
menunjukkan setiap vektor r ortogonal dengan u dan v.
Selanjutnya, dapat dilihat bahwa :
r3 = r1 + 2r2 dan r5 = -r1 + 3r2 + 4r4
Dengan demikian r3 dan r5 tidak memberikan kontribusi
apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r1, r2
dan r4 adalah bebas linier dan merupakan vektor
satuan. Jadi basis kolom A = span{a1, a2, a3} dengan :
 1
 1
 1
 2
-1
 1
a1    , a2    , a3   
-3
 2
-2 
 
 
 
4
1
 
 
 1
Perhitungan null(AT) dilakukan dengan reduksi baris :
 AT
1 2 -3
1 -1 2

0   3 0 1

1 1 -2
6 -1 1
4 0
1 0 
6 0

1 0
3 0 
1
0

0

0
0
0 0 1 0
1 0 6 0 
0 1 3 0

0 0 0 0
0 0 0 0 
Jika y didalam null(AT) dengan y1 = - y4, y2 = -6 y4 dan
y3 = -3y4 , maka dapat diperoleh hasil :
 - y 4  
  1  
 



-6y 4  
6  




  span 
null(AT) =  
 3  
 -3y 4  
   


  y 4  
  1 


Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut
ortogonal dengan a1, a2, a3 sehingga terbukti bahwa :
(kolom( A))  null ( AT )
2. Ambil W adalah subruang R5 yang dibangun oleh :
 1
 -1 
 0
 -3
 1
 -1
 
 
 
w1   5  , w2   2  , w3   4 
 
 
 
 0
 -2 
 -1
 5 
 3 
 5 
Tentukan basis dari W 
Jawab : subruang W dibangun oleh w1,w2 dan w3 sama dengan
ruang kolom dari :
1
 -3

A 5

0
 5
-1 0 
1 -1
2 4

-2 -1
3 5 
Teori 10 menyatakan W   (kolom( A))  null ( AT )
Sehingga dapat dihitung :
 1 -3 5 0 5 0 
1 0 0 3 4 0 
 0 1 0 1 3 0
 AT 0  -1 1 2 -2 3 0 




 0 -1 4 -1 5 0
0 0 1 0 2 0
y didalam W jika dan hanya jika :
y1= –3 y4 – 4 y5, y2= – y4 – 3 y5 dan y3= –2 y5
Sehingga diperoleh :

W
  -3y4 - 4y5  
  -3  -4  

  

y
3
y
4
5 

  -1  -3  


   -2y5    span   0   -2  
  


y
  1  0  
4


  0  1  


y5


  

Ada 2 vektor basis untuk W 
Proyeksi ortogonal
Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1, u2 .….., uk}
merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v
dalam Rn, maka proyeksi ortogonal v pada W didefinisikan sebagai :
 uk .v 
 u1.v 
proyw (v)  
 uk
 u1  .....  
 u1.u1 
 uk .uk 
Komponen v ortogonal ke W adalah vektor :
perpw (v)  v  proyw (v)
v
v
perpu(v)
u
u2
proyu(v)
p2
p
p1 W
u1
Contoh soal :
Jika W bidang dalam R3 dengan persamaan x-y+2z=0
 3
dan v   -1 Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan
 2 
komponen v yang ortogonal ke W !
Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk :
 y  2z 
 y 


 z 
1 
-2




y 1   z  0 
0
 1 
Diperoleh vektor basis W :
1 
u1= 1 
 0 
dan
 -1
u2 =  1
 1
Proyeksi ortogonal v pada W adalah :
 u1.v 
 u2 .v 
proyw (v)  
 u1  
 u2
 u1.u1 
 u2 .u2 
5

1
-1
 
 
3
2   2    1 
 1  
1

3



2
3
0 
 1 - 23 
v
perpw(v)
proyw(v)
W
Dan komponen v ortogonal pada W adalah :
5
4



3
 
3
3
 1  4


perpw(v) = v – projw(v)= -1   3   - 3 
 
 2  - 23   83 
Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa projw(v)
berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan
bidang.
Demikian pula halnya dengan perpw(v) adalah
ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari
vektor normal  1  terhadap W.
 -1
 
 2 
Dekomposisi ortogonal
Teori 11. Jika W merupakan subruang dari Rn dan v
adalah vektor dalam Rn , maka ada vektor-vektor unik w
dalam W dan w  dalam W  dapat dituliskan :
v = w + w
Teori 12. Jika W merupakan subruang dari Rn, maka :
dim W + dim W  = n
Faktorisasi QR
Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki
kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai
QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom
ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang
invertible.
Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a1,…,an adalah
kolom bebas linier dari matrik A dan q1,…,qn adalah vektor
ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan
menggunakan metode Gramm-Schmidt.
Untuk setiap i = 1,…..,n : Wi = span (a1,…,ai ) = span (q1,…,qi )
Sehingga jika terdapat skalar r1i,r2i…,rii dapat dituliskan :
ai = r1iq1 + r2iq2 + …..+riiqi untuk i= 1, ……, n
Diperoleh hasil :
a1 = r11q1
a2 = r12q1 + r22q2
an = r1nq1 + r2nq2 + …..+rnnqn
Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :
 r11 r12 ... r1n 
 0 r ... r 
22
2n 
A   a1 a2 .... an    q1 q2 .... qn  
 QR




 0 0 ... rnn 


Contoh soal :
 -1 1 2 

Cari faktorisasi QR dari : A  
1 2 2
Jawab :
 -1 0 1 


1
1
2


Subruang W dibangun oleh x1,x2 dan x3 sama dengan ruang
kolom dari matrik A. {x1,x2, x3} adalah himpuan bebas linier,
sehingga merupakan basis dari W.
Ambil v1 = x1, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt
dihitung komponen x2 yang ortogonal pada W1= span (v1)
3
2
 1  2 
1 
 -1  3 
 v1.x2 
2   2


v2  perpw1 ( x2 )  x2  
 v1         1 
0 4 -1
 v1.v1 
2


 
 
1
1 
 1  2 
Untuk menghilangkan pecahan pada v2 dilakukan perkalian skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian
 3
v2 dirubah menjadi :
 3
v2  2v2   
1 
 
1 
Selanjutnya dihitung komponen x3 ortogonal pada W2
= span (x1 ,x2) = span (v1 ,v2)= span (v1 , v2 ) menggunakan
basis ortogonal (v1 , v2 )
 2   1
3 - 12 
 2  -1
 3  0 
 v1.x3   v2 .x3 
1    15     



v3  perpw2 ( x3 )  x3  
 v1      v2              1 
1 4 -1  20  1
 v1.v1   v2 .v2 
2
   
   
 2   1
1   1 
Kembali dilakukan penskalaan ulang :
-1
 0
v3  2v3   
 1
 
 2
Akhirnya diperoleh basis ortogonal v1 , v2 , v3 untuk W
Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan
normalisasi setiap vektor
1
 1  2 
 -1  - 1 
 1 
 1    2
q1  
 1
 v1   
 2   -1  - 2 
 v1 
   1
 1  2 
3 5 

10 
3
  

3
5
 

 1 
 1   3 
10

q2  

 v2  


 2 5  1   5
 v2 
   10 
1  

5
 10 
 -1 



 1 
 1   0 
q3  

 v3  

 6   1 
 v3 
 
 2 



6
0 


6
6 

6

3 
6
 12
 1
- 2

q3  
- 1
 2
 1 2
Jadi Q   q1 q2
3 5
3 5
5
5
10
10
10
10
-


0 

6
6

6
6 

6
6
A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan
kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga QTQ = I.
Oleh karena itu : QTA=QTQR = IR=R
Diperoleh hasil akhir :

3
T
RQ A

1
-
2
5
10
6
6
1
3 5
2
10
0
-
1
5
6
2
10
6
1
2 
-1
5 
10 
-1
6 
3
1
1
2 2
2 1

1 2  
 0 5
0 1 
 0 0
1 2


5
2
6 
2 
1
3
2
Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri
Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai
ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik
diagonal D sehingga diperoleh : QTAQ = D
Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal , maka A
adalah matrik simetri
Bukti :
Karena Q-1 = QT diperoleh QTQ = I = QQT sehingga :
QDQT = QQTAQQT = IAI = A
Tetapi juga : AT= (QDQT)T = (QT)T DTQT = QDQT = A
Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri .
Latihan soal :
1. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3
Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1)
2. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + a3b3
W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)}
dan v = (1,2,3)
Tentukan proyeksi ortogonal v pada W