ruang hasil kali dalam

RUANG HASIL KALI DALAM
Kania Evita Dewi
•Hasil Kali Titik
Definisi
•
Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor
dinyatakan
Vektor-vektor
dan
yang
Didefinisikan sebagai hasil-kali antara besar
dan dan cosinus θ antara keduanya.
Perhatikan bahwa
adalah sebuah skalar dan bukan vektor
•Hasil Kali Titik
Hukum-hukum berikut berlaku:
•Hasil Kali Titik
Contoh
•
Misal
•
dan
Tentukan
b. Tentukan sudut yang terbentuk antara vektor
c. Tentukan nilai
dengan menggunakan sudut yang
diperoleh dinomor b.
•Hasil Kali Silang atau Vektor
Definisi
•
Hasil kali silang dari dan • adalah sebuah vektor
Besarnya
didefinisikan sebahai hasil kali antara besarnya
dan sinus sudut θ antara keduanya. Arah vektor
tegaklurus pada bidang yang memuat
Sedemikian rupa sehingga
Membentuk sebuah sistem tangan kanan.
•Hasil Kali Dalam
Definisi dalam bentuk matematika
dimana
Adalah vektor satuan yang menunjukan arah dari
•Hasil Kali Silang
Berlaku hukum-hukum berikut:
•Hasil Kali Silang
Contoh
•
Misalkan
•
Tentukan:
•Ruang Hasil Kali Dalam
Definisi
•
Hasil kali dalam dinotasikan <. , .> adalah fungsi yang
mengaitkan setiap vektor di ruang vektor V dengan suatu
bilangan riil dan memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah
ruang vektor,
,α suatu skalar, maka berlaku:
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut
ruang hasil kali dalam
•Ruang Hasil Kali Dalam
Contoh
•
Misal
dan
adalah vektor-vektor pada R2.
Tunjukkan bahwa ruang berikut merupakan ruang hasil kali dalam
•Ruang Hasil Kali Dalam
Sifat-sifat
•
Jika
adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam rill
dan k sebarang skalar, maka:
•Ruang Hail Kali Dalam
Panjang dan Sudut diruang Hasil Kali Dalam
•
Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma
(panjang) vektor
dinyatakan oleh
•
dan
Jarak antara 2 vektor
•
Jika θ adalah sudut antara
dan
dinyatakan oleh
dan
, maka
•Ruang Hasil Kali Dalam
Contoh panjang dan sudut
•
Misal
dan
dan
maka
•Ruang Hasil Kali Dalam
Definis ortogonal
Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor dan
Dinamakan ortogonal jika
.
Selanjutnya, jika
ortogonal terhadap setiap
vektor pada himpunan W, maka kita katakan
bahwa ortogonal terhadap W.
•Ruang Hasil Kali Dalam
Contoh
•
Tentukanlah apakah vektor yang diberikan pada bagian berikut
ortogonal terhadap hasil kali dalam.
•Ruang Hasil Kali Dalam
Basis Ortonormal
•
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan ortogonal jika semua pasang vektor-vektor yang
berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah
himpunan ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap
vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.
•Ruang Hasil Kali Dalam
Contoh
Tentukan himpunan vektor dibawah ini yang merupakan
himpungan ortonormal.
•Ruang Hasil Kali Dalam
Teorema
•
Jika
Kali dalam V, dan
Adalah basis ortonormal untuk ruang hasil
adalah sebarang vektor dalam V, maka
•Ruang Hasil Kali Dalam
Teorema
Misalkan W adalah subruang berdimensi terhingga dari suatu
ruang hasil kali dalam V
a. Jika
adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan
adalah sebarang vektor dalam V maka
•
b.
Jika
adalah suatu basis ortogonal untuk W dan
adalah sebarang vektor dalam V maka
•Ruang Hasil Kali Dalam
Komponen u yang ortogonal terhadap W
•
Jika
maka
dimana
Adalah komponen u yang ortogonal terhadap W
•Ruang Hasil Kali Dalam
Contoh
•
W adalah subruang yang dibangun oleh
ortonormal, misal
a. Tentukan proyeksi ortogonal dari
b. Tentukan komponen
Vektor-vektor
pada W
yang ortogonal terhadap W
•Ruang Hasil Kali Dalam
Proses Gram Schimdt
•
•
Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk
mengubah himpunan vektor yang bebas linier menjadi
himpunan vektor ortogonal.
Misalkan diketahui
adalah himpunan vektor
yang bebas linier, maka U dapat diubah menjadi himpunan
yang ortogonal dengan cara:
•Ruang Hasil Kali Dalam
Proses Gram-Schimdt
•Ruang Hasil Kali Dalam
Contoh
•
Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis
ke dalam basis ortonormal.
•
Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis
kedalam basis ortonormal
Ada Pertanyaan???