Ruang vektor real

Kania Evita Dewi
Sebuah vektro w dinamakan kombinasi linier
vektor-vektor dari v1, v2, …, vr jika vektor
tersebut dapat ditulis dalam bentuk
w  k1v1  k2v2  ...  kr vr
dimana k1, k2, …, kr adalah skalar
1
Tentukanlah kombinasi linier u   1 dan
 3 
3
a. 3
3
1
c. 5
6
 4
b. 2
6
0 
d . 0
0
 2
v  4
0
Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor pada
ruang vektor V dan jika masing-masing vektor
pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier v1, v2, …, vr maka dapat dikatakan
vektor-vektor ini merentang.
Tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan
dibawah ini merentang R3.
1
 2
 3
 3
2
5
1
a. v1  1, v2  2, v3  0
c. v1  1 , v2   3, v3   2, v4   4 
1
0
0
4
 5 
 9 
 1
2
 4
8
1
1 
1 
6 
b. v1   1, v2  1 , v3   1 d . v1  3, v2  3, v3  4, v4  2
 
 
 
 
 3 
2
 8 
3
4
3
1 
Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan
vektor, maka persamaan vektor
k1v1  k2v2  ...  kr vr  0
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan,
yakni
k1  0, k2  0, ..., kr  0
Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S
dinamakan himpunan bebas linier. Tetapi jika
ada solusi lain maka S dikatakan hhimpunan tak
bebas linier.
Himpunan S dengan dua vektor atau lebih
adalah
a. Tak bebas linier jika dan hanya jika paling
tidak satu diantara vektor S dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
vektor S lainnya.
b. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada
vektor S yang dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier dalam vektor S lainnya.
a.
b.
Jika sebuah himpunan mengandung vektor
nol, maka himpunan itu tak bebas linier.
Sebuah himpunan yang mempunyai persis
dua vektor takbebas linier jika dan hanya
jika salah satu vektor adalah perkalian
vektor lainnya dengan skalar.
Yang manakah diantara himpunan-himpunan
vektor berikut pada R3 berbentuk tak bebas
linier?
 2   3  2 
a.  1, 6,  10 
 4  2  4
3  2   4 
b. 1,  1,  0 
1  5   3
 6  1 
c.  0 , 1 
 1 4
1 0 5  7 
d . 3, 1, 6,  2 
3 4 3  1
Jika V adalah sebarang ruang vektor dan
S = {v1, v2, …,vr} merupakan himpunan
berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S
dinamakan basis untuk V jika
a. S bebas linier
b. S merentang V
Jelaskan mengapa himpunan-himpunan vektor
dibawah ini bukan merupakan basis untuk
ruangan yang ditunjukkan.
1 
0 
 2
a. u1   , u 2   , u3   , untuk R 2
2
 3
7 
 1
6 
b. u1   3 , u 2  1, untuk R 3
 2 
1
 1 1
 6 0
3 0
c. A  
B
C



2 3
 1 4
1 7 
5 1 
7 1 
D
E
untuk M 2x2


4 2
 2 9
Dimensi adalah ruang vektor V yang
berdimensi berhingga didefinisikan sebagai
banyaknya vektor pada basis untuk V.
Catatan: Ruang vektor nol mempunyai dimensi
nol
a.
b.
Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah sebuah
himpunan n vektor bebas linier pada
sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S
adalah sebuah basis untuk V.
Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah sebuah
himpunan n yang merentang ruang V yang
berdimensi n, maka S adalah sebuah basis
untuk V.
Tentukanlah dimensi dan basis untuk ruang
pemecahan sistem berikut.
x1  x2  x3  0
3a  b  c  d  0
1.  2 x1  x2  2 x3  0
2.
5a  b  c  d  0
 x1  x3  0
x yz 0
3.
a  4b  3c  d  0
2a  8b  6c  2d  0
4.
3x  2 y  2 z  0
4x  3y  z  0
6x  5 y  z  0