vektor dalam ruang berdimensi dua dan tiga

07/11/2015
VEKTOR DALAM RUANG
BERDIMENSI DUA DAN TIGA
Yang dibahas…..
1. Norma suatu vektor; Aritmetika vektor
2. Hasil kali titik; proyeksi
3. Hasil kali silang
4. Persamaan garis dan bidang
Definisi:
Vektor: Besaran yang mempunyai arah
Notasi:
 a1 
u  a1 i  a 2 j  a 3 k   a 2   a1 , a 2 , a 3 
 
 a 3 
1
07/11/2015
Operasi Vektor:
1.
2.
Penjumlahan antar vektor (pd ruang yang sama)
Perkalian vektor:
a. dengan skalar
b. dengan vektor lain:
- Perkalian titik (Dot product)
- Perkalian silang (Cross product)
2
07/11/2015
3
07/11/2015
Norma suatu vektor; aritmetika vektor
Sifat-sifat operasi vektor:
Teorema 1
Jika u,v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang
berdimensi 2 dan k,l adalah skalar, maka hubungan
berikut ini berlaku:
(a). u+v=v+u
(e). k(lu)=(kl)u
(b). (u+v)+w=u+(v+w)
(f). k(u+v)=ku+kv
(c). u+0=0+u=u
(g). (k+l)u=ku+kl
(d). u+(-u)=0
(h). 1u=u
4
07/11/2015
Norma (panjang) suatu vektor
Dari teorema Pythagoras didapat
norma suatu vektor u  u1 , u 2  :
u  u12  u 22
Norma dari vektor u  u1 , u 2 , u 3  :
u  u12  u 22  u32
Vektor satuan: vektor dengan norma
sama dengan satu.
HASIL KALI TITIK
Definisi 1.
Jika u dan v vektor dalam dimensi 2 atau 3 dan  adalah
sudut antara u dan v, maka hasil kali titik didefinisikan:
 u v cos  , u  0 dan v  0
uv  
, u  0 atau v  0
0
5
07/11/2015
Proyeksi Ortogonal
Teorema
Jika u suatu vektor dan
, maka
a0
(komponen u // a
u  aatau proyeksi
Proy a u 
a
2
a ortogonal u pd a)
(komponen u  a)
u  Proy a u  u 
ua
a
2
a
3.HASIL KALI SILANG
Definisi
Jika u  (u1 , u 2 , u3 ) dan v  v1 , v2 , v3  , maka hasil kali
silang dapat disajikan dlm bentuk:
i
j
k
u x v  u1
u2
u3
v1
v2
v3
6
07/11/2015
7
07/11/2015
Contoh:
Diketahui:
u  1,5,4 , v  (3,3,3), a  1,0,0 
Ditanyakan: a). Norma u b).
c).
d). Proyeksi ortogonal u thd a
uv
u xv
Penyelesaian:
a).
u  12   5   4 2  42
2
b).
i
j
uxv  1 5
3
3
k
4  27 i  9 j  18 k
3
8
07/11/2015
c).
u  v  1(3)  ( 5)3  4(3)  0
d). Proy u 
a
ua
a
2
a
1(1)  ( 5)0  4(0)
1,0,0 
1
 (1,0,0)
9