BAB 1

BAB II
FUNGSI DAN GRAFIK
A. PENGERTIAN DAN NOTASI
Definisi : Fungsi f dari himpunan A ke B adalah aturan
pengawanan yang menghubungkan tiap x  A
dengan tunggal y  B .
Fungsi f dari himpunan A ke B melibatkan tiga unsur :
1. Himpunan A = daerah asal (domain definisi – D f ),
2. Himpunan B = daerah kawan (ko-domain) dan
3. Aturan pengawanan (rumus hubungan antara x dan y ).
Walaupun tiap anggota A di kawankan tunggal di B ,
mungkin tidak semua anggota B menjadi kawan di A .
Himpunan anggota-anggota B yang menjadi kawan di A disebut
daerah hasil (range - R f ). Oleh karenanya fungsi disebut pemetaan, sebab setiap x  A hanya mempunyai satu peta y  B .
f
A
B
x
y  f (x)
Rf
Dari f : x  A  y  B , y disebut bayangan dari x di tulis
y  f (x) dan di sebut nilai fungsi
Contoh :
Misalkan y  2 x  3 y = 2x – 3, atau f ( x)  2 x  3 maka :
Untuk: x  0 , nilai fungsinya y  f (0)  2.0  3  3
x  1 , nilai fungsinya y  f (1)  2.1  3  1
x  11 , nilai fungsinya y  f (11)  2.11  3  18 ; dll.
Kalkulus-1:12
Hubungan antara x dan y seperti y  2 x  3 ini, di sebut rumus
fungsi.
Karena nilai y tergantung pada x , maka x disebut variabel
bebas dan y variabel tidak bebas. Pasangan urut ( x, y ) atau
x, f ( x) menunjukkan koordinat suatu titik, oleh karenanya
sangat mungkin melukis grafik fungsi pada sistem koordinat.
B. MACAM-MACAM FUNGSI
1. Di tinjau dari letak variabel suatu fungsi dibedakan atas :
fungsi implisit dan fungsi eksplisit. Dikatakan implisit bila
antara x dan y berada pada satu ruas misalnya 2 x  y  3  0 .
Eksplisit bila antara x dan y terpisah pada dua ruas misalnya
y  2x  3 .
2. Di tinjau dari sifat operasi, dibedakan: fungsi aljabar dan
fungsi transenden.
a. Fungsi aljabar: (1). rasional bulat, (2). rasional pecah,
dan (3). irasional.
(1). Fungsi rasional bulat (polinonial)
Bentuk umum:
y  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 1 x  an atau
y  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an 1 x n 1  an x n
Contoh : y  3 x  7 , 3x  4 y  12  fungsi linier
y  x 2 , y  3x 2  4 x  7 fungsi kuadrat
y  2 x3  4 x 2  x  5  fungsi kubik; dll
(2). Fungsi rasional pecah.
2
m
Bentuk umum : y = a0  a1 x  a2 x  ...  an x
Contoh :
b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n
y = 2 2x  5
x  4x  7
(3) Fungsi irasional
Contoh : y =
3x  2 ,
y=
x 2  3x  4
5  6x
Fungsi dan Grafik:13
b. Fungsi transenden: (1).eksponensiil, (2).trigonometri,
(3).siklometri, (4).logaritma, dan (5).hiperbolik.
Contoh : fungsi eksponensiil : y = 2x, y = 52x – 3
fungsi trigonometri : y = 2cos x – 3 Sin x
fungsi siklometri : y = arc sin x, y = arc cos x
fungsi logaritma : y = a log (3x2-2x+6)
fungsi hiperbolik : y = Sinh (3x-4), dlsb
3. Fungsi dalam bentuk parameter. Seringkali antara x dan
y dihubungkan oleh variabel ketiga yang di sebut parameter
(seperti t, , , , dll). Atas dasar tersebut, maka fungsi dapat
di tulis dalam bentuk parameter.
Contoh : x = a cos , y = a sin  , 0    2 adalah bentuk
lain dari persamaan lingkaran x2 + y2 = a 2 . Oleh
karenanya x = a cos , y = a sin  di sebut persamaan
parameter lingkaran .
C. MENGENAL BEBERAPA GRAFIK
Sebelum membicarakan grafik fungsi perlu di ketahui perbedaan
antara persamaan dan fungsi. Perhatikan ilustrasi berikut :
 Misal f : x  A  y  B di rumuskan y  2 x  3 atau
f ( x)  2 x  3 . Apabila semua nilai ( x, y ) di gambar pada
sistem koordinat diperoleh grafik berupa garis lurus. Dengan
kata lain grafik fungsi linier berupa garis lurus. y  2 x  3
di sebut persamaan garis.
 Misal f : x  A  y  B di rumuskan y  2 x 2  3x  5
atau f ( x)  2 x 2  3x  5 .
Apabila seluruh nilai pasangan ( x, y ) digambar pada sistem
koordinat diperoleh grafik parabola. Dengan kata lain grafik
fungsi kuadrat berupa parabola.
y  2 x 2  3x  5 disebut persamaan parabola.
Kalkulus-1:14
Mengingat banyaknya jenis fungsi, maka tidak semua fungsi
dapat digambar dengan mudah. Beberapa di antaranya adalah
sebagai berikut :
1. Fungsi linier
Bentuk umum: y = mx + n atau ax + by + c = 0. Grafik
fungsi linier berupa garis lurus. Kofaktor dari x yakni m
disebut gradien - merupakan ukuran kecondongan garis.
Sedangkan n ordinat titik potong garis dengan sumbu y.
Dari persamaan y = mx + n ada beberapa kemungkinan:
 Bila m > 0 (positif), garisnya condong ke kanan/naik
 Bila m < 0 (negatif), garisnya condong ke kiri/turun
 Bila m = 0, garisnya sejajar sumbu X
 Bila garisnya sejajar sumbu Y, gradien m tak terdefinisi
 Bila n > 0, garis memotong sumbu Y di atas titik asal
 Bila n < 0, memotong sumbu Y di bawah titik asal
 Bila n= 0, garis melalui titik asal
Contoh -1: Gambarlah grafik 2x + 3y = 12
 Titik potong dengan sumbu X : y = 0  x = 6  (6,0)
 Titik potong dengan sumbu Y : x = 0  y = 4  (0,4)
Y
0,4
6,0
X
Contoh -2 : gambarlah y = |x|
Menurut definisi : y = |x| = + x bila x  0
y = |x| = - x bila x < 0,
maka grafik y = |x| adalah
Y
y x
X
Fungsi dan Grafik:15
a.
Persamaan sederhana garis:
x = a , persamaan garis sejajar sumbu y sejauh a dari O
x = 0 , persamaan sumbu y
y = b , persamaan garis sejajar sumbu x sejauh b dari O
y = 0 , persamaan sumbu x
y = x , persamaan garis bagi kuadran I/III
y = -x , persamaan garis bagi kuadran II/IV
b. Rumus umum persamaan garis
Garis melalui titik asal gradien m, y = mx
Garis gradien m memotong sumbu y sejauh n : y = mx + n
Garis melalui (x 1 ,y 1 ) gradien m : y – y 1 = m ( x – x 1 )
Garis melalui dua titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) :
y  y1
x  x1
=
y2  y1
x2  x1
Garis yang diketahui panjang potongannya dengan
sumbu-sumbu koordinat :
y
x
+
=1
b
a
b
a
2. Fungsi kuadrat
Bentuk umum : y = ax 2 + bx + c ; a  0. Grafik fungsi
kuadrat berupa parabola.
a. Cara menggambar parabola : y = ax 2 + bx + c
 Cari titik potong dg sumbu x ( bila ada) , syarat y = 0
 Cari titik potong dg sumbu y : x = 0  y = c  (0,c)
selalu ada
Kalkulus-1:16
D
b
,
) ; D = b 2 -4ac
2a  4a
b
Sumbu simetrinya garis x =
2a

Cari titik balik P(

Cari titik-titik lain, bila perlu.
Contoh : Fungsi f : x  f(x) di rumuskan oleh
f(x) = x 2 - 2x - 3 atau y = x 2 -2x – 3.
1) Gambarlah grafik fungsi bila domain definisinya
D f = { x| -2  x  4, x  R }.
2) Tentukan pula daerah hasil atau range - R f .
Jawab : 1). Fungsi y = x 2 -2x – 3.
 Titik potong dengan sumbu X :
y = 0 x 2 -2x – 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0  x = 3  (3,0)
x = -1  (-1,0)
 Titik potong dengan sumbu Y :
x = 0  y = -3
 (0,-3)

(
2
) =1;
 Titik balik :  b =
2 .1
2a

2
D = (2)  4.1.(3) = -4  P(1,-4)
 4.1
 4a
Titik lain: untuk x = -2 y = f(-2) = 4+4-3 = 5  (-2,5)
untuk x = 4  y = f(4) = 16-8-3 = 5  (4,5)
y
5
x
 2 1
0
1
3 4
1,4
Fungsi dan Grafik:17
 R }.
y  R }.
2). Domain D f = { x | -2  x  4, x
Range R f = { y | -4  y 5,
b. Beberapa kemungkinan grafik fungsi kuadrat.
Secara skematik grafik fungsi kuadrat : y = ax 2 + bx + c
ditentukan oleh nilai a dan determinan D = b 2 -4ac
sebagai berikut :
a0
D0
a0
a0
D0
D0
a0
a0
a0
D0
D0
D0
3. Fungsi kubik.
Bentuk umum : f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Contoh : f(x) = x 3
y
y  x3
x
0
Bila:
R f = { y | -27  y 
Kalkulus-1:18
 R} maka
27 , y  R }
D f = { x | -3  x  3 , x
4. Fungsi rasional pecah/hiperbola
Contoh : y =
8
,
x
5. Fungsi eksponensiil
Contoh : y = 2 x ; y = 2  x
y  2x
y  2x
6. Fungsi Trigonometri
1
y  sin x

0
y  cos x
2
0
2

2

2
1
1 : y  tan x
2 : y  cot x

0
2

2
Fungsi dan Grafik:19
7. Fungsi Siklometri
Grafik f(x) = arc sin x ; y = arc sin x  x = sin y
y  arcsin x
yx
y  sin x
y = arc sin x dan y = sin x simetri terhadap garis y = x
8. Fungsi logaritma
Grafik f(x) = 2 log x ;
y = 2 log x  x = 2 y
y  2x
y  2 log x
1
1
Grafik y = 2 log x dan y = 2 x simetri terhadap garis y = x
9. Fungsi hiperbolik
Fungsi-fungsi hiperbolik : f(x) = sinh x ; f(x) = cosh x
definisikan : sinh x =
e x  e x
2
; cosh x =
sinh x
cosh x
; coth x =
,
cosh x
sinh x
1
1
sech x =
; cosech x =
cosh x
sinh x
tanh x =
Kalkulus-1:20
e x  e x
2
y  tanh x
y  cosh x
y  coth x
y  sinh x
y  sec hx
y  cos echx
10. Fungsi-fungsi dalam persamaan parameter
a. Lingkaran pusat O jari-jari = a : x = a cos  , y = a sin
 ; 0    2. Apabila parameter  di eliminir terdapat
persamaan lingkaran : x 2 + y 2 = a 2
b. Elips pusat O, sumbu panjang 2a dan sumbu pendek 2b :
x = a cos  , y = b sin  ; 0    2;  parameter.
Dengan meng eliminir  di peroleh persamaan elips :
x2 y2

1
a2 b2
x  a cos , y  a sin 
a
x, y 
a
x  a cos , y  b sin 
b
x, y 
a
Fungsi dan Grafik:21
c.
Sikloida : x = a ( t – sin t ), y = a( 1 – cos t ), 0  t  2
0
2a
4a
d. Hiposikloida : x  a cos3 t , y  a sin 3 t;0  t  2
a
a
11. Fungsi-fungsi dalam koordinat polar
a. Kordioida
r = a(1+cos ) ; r = a(1 - cos ) ;
r = a(1+sin ) ; r = a(1 - sin )
r  a1 cos 
r  a1 sin  
b. Lemnescate : r 2 = 2a 2 cos 2  ; 0   2
Kalkulus-1:22
D. FUNGSI KOMPOSISI
Perhatikan sketsa berikut :
B
A
x
g
C
f
y  f (x)
z  g ( y)
h
Diketahui fungsi f : x  A  y  B, maka y = f(x)
g : y  B  z  C , maka z = g(y).
Ternyata fungsi h memetakan langsung dari x  A  z  C.
z adalah bayangan x oleh fungsi h maka di tulis : z = h(x).
Padahal z = g(y) = g(f(x)); jadi h(x) = g(f(x)) atau di singkat :
h = gof.
Jadi gof = g(f(x)) ini di sebut fungsi komposisi, karena di
peroleh dari komposisi dua fungsi f dan g.
Himpunan A = D f = daerah asal atau domain dari fungsi f
B = R f = daerah hasil dari f
= domainnya fungsi g = D g
Kesimpulan : Dari dua fungsi f dan g dapat di bentuk fungsi
komposisi gof = g(f(x)) atau fog = f(g(x)) dan
ternyata gof  fog (tidak komutatif).
Contoh –1: Diketahui fungsi f dan g di definisikan oleh f(x) = 2x
– 3 dan g(x) = x 2  2 x  1 . Tentukan gof dan fog.
Jawab :
gof = g(f(x)) = g(2x-3) = (2x-3) 2 + (2x-3) – 1 = 4x 2 - 10x + 6
f og = f(g(x)) = f( x 2  2 x  1 ) = 2( x 2  2 x  1 ) – 3
= 4x 2 +4x – 5.
Ternyata gof  fog
Fungsi dan Grafik:23
Contoh-2 : Ditentukan fungsi f(x) = x dan g(x) = 3x-5.
Tentukan rumus fog dan gof dan tentukan pula
D f , Dg , D fog danDgof
Jawab : fog = f(g(x)) = f(3x-5) = 3x  5
gof = g(f(x)) = g(x) = 3x – 5
D f  { x | x  0 , x R } ;
D fog = { x | x 
5
, x R }
3
Dg = { x | x R } ;
Dgof = { x | x  0 , x  R }
Contoh –3 :
Diketahui f(x) =
3x , x  3 dan g(x) =
x 9
2
2 x . X  0.
Tentukan fog , gof , D fog danDgof .
Jawab :
fog = f(g(x)) = f( 2 x ) =
3x
3x
6x
) = 2 2
=
2
x 9
x 9
x 9
9
= { x | x  0 , x  ,x R }
2
= { x | -3 < x  0 atau x > 3 , x  R }
gof = g(f(x)) = g(
D fog
Dgof
3 2x
2x  9
2
E. FUNGSI INVERS
Fungsi 1-1:
f
A
y  f (x)
x
h f
Kalkulus-1:24
B
1
Fungsi f memetakan tiap x  A ke y  B maka y = f(x),
berarti tiap anggota A di kawankan dengan tunggal di B.
Sekarang adakah fungsi lain (misal h) yang memetakan kembali
tiap y  B ke x  A ? Ini mungkin bila f fungsi 1-1 artinya tiap
anggota B juga di kawankan dengan tunggal di A. Apabila
fungsi h ini ada, maka h di sebut invers dari f dan di tulis f 1 .
Contoh: Fungsi f di rumuskan oleh f(x) = x 2 atau y = x 2 .Untuk
semua x  R jelas f bukan fungsi 1-1 karena walaupun
untuk satu nilai x memperoleh satu nilai y, tapi tidak
berlaku sebaliknya karena untuk satu nilai y di peroleh
dua nilai : x dan –x.
Misal: untuk x = 2 maka y = f(2) = 4 ; tapi sebaliknya
untuk y = 4 atau x 2 = 4 di peroleh x = -2 dan x = 2
Untuk kasus diatas, misal domain definisinya
Df = { x | 0  x  2 , x  R } maka daerah hasilnya :
R f = { y | 0  y  4 , y  R } sehingga f fungsi 1-1
Perlu dicatat bahwa R f juga dapat di tulis :
R f = { x | 0  x  4 , x  R }.
Cara mencari fungsi invers
Apabila diketahui f(x) fungsi 1-1, bagaimana menentukan fungsi
inversnya f 1 (x)
Untuk itu perhatikan lagi fungsi
f(x) = x 2 dengan
Df = { x | 0  x  2 , x  R }
Rf = { x | 0  x  4 , x  R }
y  x2
y
x
adalah fungsi 1-1.
Fungsi dan Grafik:25
Dari x 2 = y  x = y , x adalah balikan dari y atau f 1 (y)
f 1 (y) = y maka f 1 (x) = x
Jadi dari f(x) = x 2 maka fungsi inversnya adalah f 1 (x) = x.
Berarti : D f 1 = { x | 0  x  4, x  R } = R f dan
R f 1 = { x | 0  x  2 , x  R } = D f .
Ternyata grafik f(x) dan f 1 (x) simetri terhadap garis y = x.
Contoh-1 : Diketahui
f ( x) 
1 3
x  1 ; tentukan f
2
1
(x)
Jawab :
1
1 3
x  1 atau y = x 3  1 maka x = 3 2( y  1)
2
2
1
f (y) = 3 2( y  1) , jadi f 1 (x) = 3 2( x  1)
f ( x) 
Contoh-2 : Diketahui f(x) = sin x dan g(x) = , tentukan
a. Rumus fog dan gof
b. f 1 (x) , g 1 (x) , f 1 o g 1 dan g 1 o f 1
a.
( fog )1 dan( gof ) 1 dan simpulkan yang terjadi.
Jawab :
a. fog = f(g(x)) = sin ( 2 log x )
gof = g(f(x)) = 2 log(sin x)
b. f(x) = sin x atau y = sin x maka x = arc sin y
f 1 (y) = arc sin y maka f 1 (x) = arc sin x
g(x) = 2 log x atau y = 2 log x maka x = 2 y
g 1 (y) = 2 y maka g 1 (x) = 2 x


 
 
 f x  g arcsin x  2
f 1  g 1  f 1 g 1 x   f 1 2 x  arcsin 2 x
g 1  f 1  g 1
Kalkulus-1:26
1
1
arcsin x
c.
fog = sin ( 2 log x ) atau y = sin ( 2 log x ) maka
2
log x = arc sin y
x = 2arcsin y atau ( fog ) 1 (y) = 2arcsin y maka
( fog ) 1 (x) = 2arcsin x
gof = 2 log(sin x) atau y = 2 log(sin x) maka
sin x = 2 y
x = arc sin( 2 y ) atau ( gof ) 1 (y) = arc sin( 2 y )
maka ( gof ) 1 (x) = arc sin( 2 x )
Kesimpulan :
( fog ) 1 = g 1 o f 1 dan
( gof ) 1 = f 1 o g 1
LATIHAN–2
1. Gambarlah sketsa grafik fungsi berikut ini :
4  x2
a. f(x) = 3 x 2  2 x  1
b. g(x) =
c. h(x) = x  3
d. y = arc cos x
e.
 1, jika x  0

f ( x)   x  1, jika 0  x  2
 x 2  1, jika x  2

2. Gambarlah kurva berikut, bila 0    2
a. r = 2a sin  ,
b. r = -a cos ,
c. r = 1 – cos 
3. Bila f(x) =
1
dan g(x) =
2x  5
x  1 , tentukan rumus f  g
dan g  f beserta domain definisinya
Fungsi dan Grafik:27
4. Fungsi f(x) disebut genap bila f(x) = f(-x), fungsi f(x) disebut
ganjil bila f(-x) = -f(x). Apabila tidak memenuhi salah satu maka
f(x) disebut tidak genap dan tidak ganjil. Berdasarkan definisi ini,
selidiki manakah fungsi-fungsi berikut yang genap, ganjil atau
tidak genap dan tidak ganjil :
x 4  6 ; c. f(x) = tg x + cos x
cos x
b. g(x) = tg 2x
; d. g(x) = x 
x
a. f(x) =
5. Tentukan invers fungsi berikut ini beserta domain definisinya;
setelah itu gambarlah f dan f 1 pada satu sistem koordinat.
2x  5
a. f(x) = 3x – 1
b. f(x) =
d. f(x) = cos x
e. f(x) = e x
6. Diketahui f ( x) 
Tentukan  fog 
1
c. f(x) =
2 x  5 dan g ( x)  arc.sin x .
dan  gof 
1
7. Diketahui f ( x) 2 log x dan g ( x)  arc. cos x .
Tentukan  fog 
1
Kalkulus-1:28
x2
,x  0
2
dan  gof 
1