BAB 1
LIMIT DAN KEKONTINUAN
A. Pengertian
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel pada fungsi tersebut
mendekati suatu nilai tertentu.
Suatu fungsi f(x) mempuntai limit L apabila variabel x terus menerus berkembang mendekati nilai tertentu a
Hubungan ini ditulis dengan notasi : Lim f (x ) = L
x →a
Dibaca : ”Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”.
Yang perlu diperhatikan :
- x → a ditafsirkan sebagai x mendekati a
(x ≠ a)
- Lim f(x) = L ditafsirkan sebagai L adalah limit fungsi f(x).
( f(x) ≠ L )
B. Limit Kiri dan Limit Kanan
Ingat pada sebuah garis bilangan :
- Dari arah kiri ke kanan, bilangan dari kecil semakin besar
- Dari arah kanan ke kiri, bilangan dari besar semakin kecil
a. Limit kiri sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati
limitnya dari arah kiri.
Lim− f (x ) = L
Notasi :
nilai a didekati dari arah kiri
x →a
b. Limit kanan sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati
limitnya dari arah kanan.
Lim+ f (x ) = L
Notasi :
nilai a didekati dari arah kanan
x →a
c. Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit kiri dan kanan ada dan sama.
Lim− f (x ) = Lim+ f (x ) = Lim f (x )
x →a
x →a
x →a
Contoh 1 :
x2 −4
periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 2 !
x −2
Jika kita substitusikan langsung nilai x = 2 ke dalam fungsi f(x) maka
Jika f(x) =
f(2) =
22 − 4 4 − 4 0
=
=
2−2
0
0
diperoleh nilai tak tentu(tak terdefinisi)
Limit kiri dari f(x) adalah Lim−
x→2
x2 −4
= ...
x −2
Lengkapi tabel berikut dari kiri
x
0
1
1,2
f(x) =
x2 −4
x −2
2
3
3,2
1,3
1,5
...
...
1,7
1,8
1,9
1,999
x→2–
...
...
...
...
...
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
x 2 −4
= ....
Hal ini berarti Lim−
x →2
x −2
1
Limit kanan dari f(x) yaitu Lim+
x →2
x2 −4
= ...
x −2
Lengkapi tabel berikut dari kanan
x
x→2+ 2,001 2,1
f(x) =
2
x −4
x −2
...
...
2,2
...
...
2,4
...
2,5
2,7
2,9
3
4
...
...
4,9
5
6
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
x2 −4
= ....
Hal ini berarti Lim+
x →2
x −2
Ternyata limit kiri sama dengan limit kanan yaitu ... sehingga dikatakan limitnya ada/terdefinisi. Atau
x 2 −4
x2 − 4
= ....
mempunyai limit pada x = 2 yaitu .... Ditulis Lim
x→ 2 x − 2
x −2
juga bisa dikatakan fungsi f(x) =
Contoh 2 :
Jika f(x) =
3
periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 0 !
x
Jika kita substitusikan langsung nilai x = 0 ke dalam fungsi f(x) maka
f(0) =
3
=∞
0
Perhatikan lebih teliti lagi dengan mencari limit kiri dan kanan.
Limit kiri dari f(x) adalah Lim −
x →0
3
x
= ...
Lengkapi tabel berikut dari kiri
x
–1
–0,5 –0,2
f(x) =
3
x
–3
–6
–0,1
–15
–0,01
...
-0,001
-0,0001
-0,00000001
x→0–
...
...
...
...
...
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
Hal ini berarti Lim −
x →0
3
= ....
x
Limit kanan dari f(x) yaitu Lim +
x →0
3
x
= ...
Lengkapi tabel berikut dari kanan
x
x→0+ 0,000000000001 0,00001 0,0001
f(x) =
3
x
...
...
...
...
0,1
0,3
0,6
1
...
10
5
3
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
3
= ....
x
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka dikatakan limitnya tidak ada/tak terdefinisi.
Hal ini berarti Lim +
x →0
Atau juga bisa dikatakan fungsi f(x) =
3
tidak mempunyai limit pada x = 0
x
2
C. Kaidah-kaidah Limit
Beberapa kaidah limit yaitu :
a. Lim k = k
x→a
Contoh :
b.
Lim 6 = 6
x →4
Lim f (x) ± g(a) = Lim f (x) ± Lim g (x)
x→a
x→a
Contoh :
x→a
Lim {( 3x - 2) + (2x + 1)} = Lim 3x - 2 + Lim 2x + 1
x→2
x→2
Lim { 5x - 1} =
x→2
9
c.
=
+
5
9
Lim { f (x) ⋅ g(a)} = Lim f (x) ⋅ Lim g (x)
x→a
x→a
(
Contoh : Lim 4 x
x→3
2
Lim 24x =
648
x→a
4x
→3
(36)
x→ 3
Lim
x→a
2
)(6x ) = Lim
x
3
d.
x→2
4
=
⋅ Lim 6 x
x→3
.
18
648
Lim f (x)
f (x)
= x→a
g (x ) Lim g (x)
Contoh :
x→a
(
3x 2 + 2
3x 2 + 2 Lim
x→2
Lim
=
x→2
x −1
Lim (x - 1 )
)
x→2
14
14
e.
14
=
1
= 14
Lim { f (x) }n = Lim f (x)
x→a
x →a
n
Lim (2x + 1 )2 = Lim (2x + 1 )
Contoh :
x→3
(
)
x →3
2
Lim 4 x + 4 x + 1 = (7 )
x→3
2
2
49 = 49
f.
Jika f(x) = g(x) dan Lim f (x) = L maka Lim g (x) = L juga
x→a
Contoh :
Lim
x→2
Lim
x→2
x→a
2
x + 2x − 3
(x + 3)(x − 1)
= Lim
2
→
x
x −1
(x − 1)
x 2 + 2x − 3
= Lim (x + 3 )
x→2
x −1
5
=
5
D. Limit kasus-kasus khusus
∞
0
Limit suatu fungsi tidak boleh menghasilkan bilangan tak tentu atau
. Oleh karena itu, jika dengan
0
∞
substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka perlu dilakukan perubahan pada bentuk fungsinya.
a. Jika diperoleh
0
0
Faktorkan pembilang dan/atau penyebut dari fungsi tersebut dan sederhanakan
3
Contoh :
x 2 + 3x − 4 1 + 3 − 4 0
=
=
x →1
x −1
1 −1
0
2
x + 3x − 4
(x + 4 )(x − 1)
Lim
= Lim
x →1
x →1
x −1
(x − 1)
= Lim (x + 4 )
1) Lim
(Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
(Pembilang difaktorkan)
(disederhanakan)
x →1
=1+4 = 5
2)
Lim
x → −2
Lim
x → −2
x 2 + 5x + 6 4 − 10 + 6 0
=
=
4−2−2
0
x 2 +x −2
2
x + 5x + 6
(x + 3)(x + 2)
= Lim
2
x + x − 2 x → −2 (x − 1)(x + 2)
(x + 3)
= Lim
x → −2 ( x − 1)
−2 + 3
1
1
=
=−
=
− 2 −1 − 3
3
Latihan
Tentukan limit fungsi berikut :
6x 3
1) Lim
x→0
x
2) Lim
x→5
3) Lim
(disederhanakan)
x +3
x → −3 x − 3x − 18
8x 2
5) Lim
x → 0 4x 3
x 2 + 3x − 8
6) Lim
x → 4 x 2 − 2x − 5
(x − 3)2 − 9
b. Jika diperoleh
(Pembilang dan penyebut difaktorkan)
Lim
4)
x 2 − 25
x −5
x→0
(Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
x
2
∞
∞
Pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pengkat tertinggi
Contoh :
∞+∞ ∞
4x 5 + x 2
(Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
=
=
Lim
x → ∞ 3x 6 − 7 x 3
∞−∞ ∞
4x 5 x 2
+ 6
5
2
6
4x + x
x
x
Lim
= Lim
(pembilang dan penyebut dibagi dengan x6)
x → ∞ 3x 6 − 7 x 3
x → ∞ 3x 6
7x 3
− 6
x6
x
4
= Lim
x→∞
4 1
+
= ∞ ∞
7
3−
∞
x
+
3−
1
x4
(sederhanakan)
7
x3
=
Latihan
Tentukan limit fungsi berikut :
6x 4 + x 2 + 9
1) Lim
x → ∞ 2x 3 + 5x 2 − 4
0+0
0
=
=0
3−0
3
2) Lim
x→∞
5x 4 + 3x 2 − 6
2x
4
4
3
− 7 x + 3x
3) Lim
x→∞
2x + 3x 2 − 8x 5
3x 4 + 9x 3 + 4 x
Cara Ringkas :
Diketahui Lim
x→∞
Jika m > n
ax m + ....
px n + ....
dan
m adalah pangkat tertinggi pembilang
n adalah pangkat tertinggi penyebut
a>0
maka nilai Limitnya = ....
a<0
maka nilai Limitnya = ....
Jika m = n
maka nilai Limitnya = ....
Jika m < n
maka nilai Limitnya = ....
E. Kesinambungan/Kekontinuan
Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada x = a jika memenuhi :
• f(a) terdefinisi/ada
terdefinisi/ada
• Lim f (x)
x →a
•
Lim f (x) = f(a)
x →a
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval b ≤ x ≤ c atau interval b < x < c jika ia kontinu pada setiap
titik di dalam interval tersebut.
Contoh :
Tunjukkan fungsi f(x) =
x 2 + 2x − 3
kontinu pada titik x = 2
(x − 1)
Jawab :
•
f(2) =
•
Lim
•
x→ 2
2 2 + 2(2) − 3 4 + 4 − 3
=
=5
(2 − 1)
1
x 2 + 2x − 3
=5
(x − 1)
f(2) = Lim f (x)
x→ 2
Jadi f(x) kontinu pada x = 2.
Jika tidak kontinu pada suatu titik dimana x = a, maka dikatakan f(x) diskontinu /asinambung pada x = a
Diskontinu ada 3 kemungkinan/jenis
a. Diskontinu tak berhingga
b. Diskontinu berhingga
c. Diskontinu titik
Penjelasan :
a. Fungsi f(x) diskontinu tak berhingga pada x = a jika
Lim f (x) = f(a) = ∞ atau
Lim f (x) = f(a) = −∞
x →a
Contoh :
x →a
f(x) =
(x
9
− 3)
2
Diperoleh Lim
x →3
pada x = 3
(x
9
− 3)
2
= ∞ = f ( 3)
Secara grafis, terlihat sebagai berikut :
(Grafik fungsi akan bertemu di jauh takhingga)
3
5
b. Fungsi f(x) diskontinu berhingga pada x = a jika
- f(a) terdefinisi/ada
Lim f (x) tak terdefinisi/tak ada
x →a
Contoh :
2x
3x
f(x) =
-
untuk 0 ≤ x < 5
x ≥5
untuk
15
Untuk fungsi ini diperoleh :
f(5) = 15(5) = 75
Lim f (x) = tidak ada / tak terdefinisi
10
x →5
(karena limit kiri = 10 tetapi limit kanan = 15)
Secara grafis terlihat seperti di samping :
5
c. Fungsi f(x) diskontinu titik pada x = a jika
- f(a) tak terdefinisi/tak ada
Lim f (x) terdefinisi/ada
x →a
Contoh :
Lim f (x) =
x →5
x 2 − 25
x −5
Untuk fungsi ini diperoleh :
-
0
tak terdefinisi/tak ada
0
(x + 5)(x − 5)
x 2 − 25
Lim
= Lim
x →5
x →5
(x − 5)
x −5
= Lim (x + 5 ) = 10
f(5) =
10
5
x→5
(terdefinisi/ada)
Secara grafis terlihat seperti di samping :
5
Fungsi kontinu untuk setiap x kecuali pada x = 5,
fungsi tidak terdefinisi.
6
