Materi 2_ Aliran inviscid incompressible_pers

ALIRAN INVISCID DAN INCOMPRESSIBLE,
PERSAMAAN MOMENTUM, PERSAMAAN EULER
DAN PERSAMAAN BERNOULLI
Dosen: Novi Indah Riani, S.Pd., MT.
PERSAMAAN KONTINUITAS
Apabila suatu fluida mengalir dalam sebuah pipa dengan
luas penampang A dan kecepatan aliran fluidanya v, maka
banyaknya fluida (volume) yang mengalir melalui
penampang tersebut tiap satuan waktu dinamakan debit.
Dalam bentuk persamaan debit dinyatakan sebagai berikut:
Q Av
dan
V
Q
t
Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan
usaha. Suatu benda dikatakan memiliki energi jika benda
tersebut dapat melakukan usaha.
h
Ep = m g h
Berdasarkan Hukum II Newton, diketahui bahwa
percepatan berbanding lurus dengan gaya dan
berbanding terbalik dengan massa.
Maka usaha yang dilakukan pada benda adalah
W = F . s
jika
F= m.a
maka
F = gaya (N)
s = perpindahan (m)
m = massa benda (kg)
a = percepatan benda (m/s2)
W = m . a . S
Jika gaya F bekerja pada benda, benda tersebut akan
bergerak berubah beraturan (GLBB), sehingga berlaku
atau
dengan,
V0 = kecepatan awal benda (m/s)
Vt = kecepatan akhir benda (m/s)
a = percepatan benda (m/s2)
s = perpindahan (m)
Sehingga persamaan usaha pada benda menjadi
Dengan demikian, didapat hubungan usaha dan energi
kinetik, yaitu
Hukum Kekekalan Energi
HUKUM KEKEKALAN ENERGI : Energi tidak dapat diciptakan
dan juga tidak dapat dimusnahkan, tetapi hanya dapat diubah
dari satu bentuk ke bentuk yang lain.
Usaha yang dilakukan pada benda sama dengan negatif
perubahan energi potensial
Usaha yang dilakukan pada benda sama dengan
perubahan energi kinetik
Dari kedua persamaan di atas, diperoleh:
atau dapat ditulis sebagai berikut:
Jumlah energi potensial dengan energi kinetik disebut energi mekanik (Em).
Oleh karena itu, persamaan di atas dinamakan hukum kekekalan energi
mekanik (Em)
Dari rumus tersebut didapat bahwa jumlah energi kinetik dan energi
potensial suatu benda bernilai tetap jika gaya-gaya yang bekerja pada
benda bersifat konservatif.
6.1. Persamaan Momentum untuk Aliran
Tanpa Gesekan (Persamaan EULER)
Persamaan EULER




  p ˆ p ˆ p ˆ   V
V
V
V 
 g   i  j  k      u  v  w 
z   t
x
y
z 
 x y
 u
p
u
u
u 
arah x   g x      u
 v  w 
x
x
y
z 
 t
Untuk komponen-komponennya:
arah y   g y 
 v
p
v
v
v 
    u  v  w 
y
x
y
z 
 t
 w
p
w
w
w 

arah z   g z    
u
v
 w 
z
x
y
z 
 t
Secara umum Pers. EULER:


DV
 g  p  
Dt
Sehingga Pers. EULER:


DV
 g  p    g kˆ  p  
Dt
atau :

DV
  g z  p  
Dt


1
DV
 g z 
p 
a

Dt
z 1 p  u
u
u
u 
g 
   u  v  w   a x
x  x  t
x
y
z 
z 1 p  v
v
v
v 
g 
   u  v  w   a y
y  y  t
x
y
z 
z 1 p  w
w
w
w 
g 
 
u
v
 w   a z
z  z  t
x
y
z 
Komponen-komponennya
dalam koordinat Rectangular:
6.2. Persamaan EULER dalam Koordinat Streamline (S, n)
Bagaimana Persamaan EULER
dalam Koordinat STREAMLINE?
Koordinat Streamline :
S menyinggung streamline
n ^ streamline
Hukum Newton II sepanjang Streamline (S) :
dFs  dm .a s

dimana : dm  ρ dV  ρ dn ds dx

 p ds 
 p ds 
 p
dn
dx


 p
 dn dx  g sin  dn ds dx    dn ds dx  as
 s 2 
 s 2 
p
 dn ds dx   g sin  dn ds dx    dn ds dx  as
s
Atau
1 p
z

g
 as
 s
s
Persamaan EULER sepanjang
Streamline (s)

p
z
 g
  as
s
s
Note:
DVs Vs
Vs
as 

 Vs
Dt
t
s
Sepanjang Streamline (s)  Vs = Vs (s, t)
Sehingga:
1 p
z V
V

g

V
 s
s t
s
z
g 0
s
Untuk aliran steady:
V
0
t
bila gaya body
diabaikan
1 p
z
V

g
V
 s
s
s
1 p
V
 V
 s
s
artinya: bila kecepatan menurun
mengakibatkan tekanan naik
Hukum Newton II untuk garis ^ stream line (garis n)
dFn  dm .an
p
z

 g
  an
n
n
Atau
 p dn 
 p dn 
 p
 ds dx   p 
 ds dx  g cos  dn ds dx    dn ds dx  an
 n 2 
 n 2 
p
 dn ds dx   g cos  dn ds dx    dn ds dx  an
n
1 p
z

g
 an
 n
n
Persamaan EULER sepanjang garis n
(^ streamline)
Note: - an = adalah percepatan normal yang
arah (+) bila menuju titik pusat (>< n)
- ac = percepatan centripetal yang (+)
meninggalkan titik pusat.
Untuk gerak melingkar beraturan:
Maka:
1 p
z
V2

g

 n
n
R
Note:
Untuk gerak melingkar tidak beraturan (unsteady)
Didapat:
Vs
Vn
an  

R
t
2
V2
V2
an  ac 
 an  
R
R
Diskusi untuk persamaan EULER:
1 p
z
V

g

 n
n
R
2
Bila lintasan MELENGKUNG pd posisi VERTIKAL:
Berlaku:
1 p
V2
z


g
 n
R
n
Note: perubahan tekanan terjadi bila:
- ketinggian berubah
- kelengkungan berubah
p1  p2
Bila lintasan MELENGKUNG pd posisi HORIZONTAL:
Sehingga:
z1  z 2
z
 g
0
n
1 p
V


 n
R
2
Note: - perubahan tekanan terjadi
hanya karena garis
kelengkungan (R) berubah.
p1  p2
R  p
karena V   R
Bila lintasan LURUS pd posisi HORIZONTAL:
Sehingga berlaku:
Horizontal:
z1  z 2
1 p

0
 n
z
 g
0
n
Note:
Lurus:
V2
R 
0
R
pada lintasan lurus
tidak terjadi perubahan
tekanan sepanjang
penampang saluran
p1  p2  p3  p4  p5
Anggapan-anggapan untuk Menurunkan Persamaan
Bernoulli
1.
2.
3.
4.
Zat cair adalah ideal, tidak punya kekentalan
Zat cair adalah homogen & tidak termampatkan
Aliran adalah kontinyu & sepanjang garis arus
Kecepatan aliran adalah merata dalam suatu
penampang
5. Gaya yang bekerja hanya gaya berat & tekanan
6.3. Persamaan BERNOULLI
(Integrasi dari persamaan Euler sepanjang stream line untuk aliran steady)
Persamaan Euler untuk Aliran Steady sepanjang streamline (s):
1 p
z
V

g
V
 s
s
s
X ds
1 p
z
V

ds  g
ds  V
ds
 s
s
s
Dimana:
p
ds  dp  perubahan tekanan sepanjang s
s
z
ds  dz  perubahan ketinggian sepanjang s
s
V
ds  dV  perubahan kecepatan sepanjang s
s
dp
dz
dV
Atau:
Sehingga:

dp

dp
 ρ   V dV   gdz   0
 gdz  V dV
dp V 2
 ρ  2  gz  konstan
Untuk aliran inkompresibel (ρ = konstan) :
V2

 gz  konstan

2
p
Persamaan Bernoulli
…. A
- aliran steady
- aliran inkompresibel
- aliran tanpa gesekan
- aliran sepanjang streamline
AZAS BERNOULLI
Tekanan fluida di tempat yang kecepatannya
besar lebih kecil daripada tekanan fluida di
tempat yang kecepatan-nya kecil.
p   g h  12  v 2  konstan
Keterangan:
p = tekanan (N/m2)
 = massa jenis fluida (kg/m3)
g = percepatan gravitasi (m/s2)
h = ketinggian fluida dari titik acuan (m)
v = kecepatan fluida (m/s)
Penurunan pers. Bernoulli utk
aliran sepanjang garis arus
didasarkan pada hukum
Newton II utk gerak F = M a
Pers. Bernoulli dapat digunakan utk menentukkan garis
tekanan dan tenaga
p
V2
H  z


2g
Aplikasi pers. Bernoulli utk kedua titik di dalam medan aliran
zA 
pA

VA2
pB
VB2

 zB 

  h f   he
2g

2g
Ket :
z : elevasi (tinggi tempat)
: tinggi kecepatan
: tinggi tekanan
∑hf : jumlah kehilangan tenaga primer
(krn gesekan) sepanjang pengaliran
∑he : jumlah kehilangan tenaga
sekunder (perubahan tampang aliran)
sepanjang pengaliran
L V2
hf  f
atau
D 2g
8 fL
2
hf 
Q
g 2 D 5
Apabila diketahui jenis aliran dari nilai
bilangan Reynolds, maka nilai
kehilangan tenaga karena gesekan
menjadi :
32vVL
hf 
gD 2
Dimana :
hf = kehilangan tenaga krn gesekan
L = Panjang pipa
D = diameter pipa
V = kecepatan aliran
Q = debit
f = gesekan
v merupakan
kekentalan kinematik
Aplikasi Persamaan Bernoulli:
2
2
2
p3
V3
p1 V1
p2
V2

 gz1 

 gz2 

 gz3
ρ
2
ρ
2
ρ
2
6.4. Tekanan Statis, Stagnasi dan Dinamis
Persamaan Bernoulli
2
p V

 gz  konstan
ρ
2
Tekanan statis (tekanan termodinamik)
…. (A)
Tekanan STATIS (p):
Tekanan yang diukur dengan alat ukur yang
bergerak bersama-sama aliran
Jadi tidak ada kecepatan relatif antara alat ukur dan
aliran (sulit dilaksanakan)
Mengukur tekanan statis untuk
Streamline lurus:
Mengukur tekanan statis untuk streamline melengkung:
Tekanan STAGNASI (po)  Tekanan TOTAL
(untuk aliran inkompresibel):
Tekanan yang diukur dengan cara memperlambat
aliran hingga berhenti dengan proses tanpa
gesekan
Tekanan DINAMIS:
adalah merupakan selisih antara tekanan stagnasi dan tekanan statis
karena titik o adalah titik stagnasi  Vo = 0
2
2
2
po
Vo
p A VA

 gz A 

 gzo
ρ
2
ρ
2
ZA = Z o
po
pA VA


ρ
2
ρ
Sehingga
1
2
ρV A  po  p A
2
Note:
tekanan statis
tekanan stagnasi
tekanan dinamis
Dimana tekanan Stagnasi dan tekanan Statis
dapat
diukur
bersama-sama
dengan
menggunakan alat ukur :
untuk streamline lurus :
“Gabungan Total Head Tube dan Wall Static Tab”
Atau
VA 
Jadi dengan mengukur tekanan Stagnasi (po)
dan tekanan Statis (pA) dapat ditentukan
kecepatan aliran (VA).
2  po  p A 

untuk streamline lurus & lengkung :
“PITOT-STATIC TUBE”
Gabungan Total Head tube & Wall Static tap
Pitot-Static Tube
6.5. Hubungan antara Hukum Termodinamika I dengan
Pers. Bernoulli
Persamaan Dasar Energi
=0 (1)
=0 (2)
=0 (3)

Q  W s  W shear  W others 
t
=0 (4)

CV
 
e ρdV   e  pv  ρV  dA
CS
V2
dimana : e  u 
 gz
2
  0 ; (2). W


asumsi : (1). W
s
shear  0; (3). Wothers  0
(4). aliran steady
(5). aliran uniform
Sehingga

   
V2
0    u 
 gz  p   V  dA  Q
2

cs 
………………………persamaan (1)
2


V1
0   u1 
 gz1  p11   1V1 A1 
2


2


V2
  u 2 
 gz 2  p2 2  2V2 A2  Q
2



0
t
 
  dV    V  dA
0=(4)
cv
cs
maka :
sedangkan
didapat:
dari
persamaan
Kontinuitas
0   1V1 A1    2V2 A2 
atau :
  1V1 A1   2V2 A2
m
Sementara
Q Q dm Q


Q


m
dt dm dt dm
Sehingga pers. (1) menjadi
2
2

 

V2
V1
Q 





   u 2  u1 

0   p2 2 
 gz 2    p11 
 gz1  m
m
2
2
dm 


 



atau
2
2

 
 
V1
V2
Q 
 p11 




gz

p



gz

u

u



1  2 2
2
2
1

2
2
dm


 
 
Untuk aliran inkompresibel  v1 = v2 = 1/ρ , maka
V1
p2 V2
Q 


 gz1 

 gz2   u2  u1 


2

2
dm 

p1
2
2
………………………persamaan (2)
Bila
Q 

 u2  u1 
0
dm


maka pesamaan (ii) menjadi
persamaan Bernoulli. Maka asumsi tambahannya
menjadi:
(6).
Aliran Incompressible: v1 = v2 = 1/
(7).
Q 

 u2  u1 
0
dm


Pers. (2) berubah menjadi
 p1 V12
  p2 V2 2

 



gz


gz
1
2

  

2
2

 

Atau
 p V2


 ρ  2  gz 
  konstan


…. (B)
Note:
1. Pers. Bernoulli (A) dibangun dari persamaan Momentum (NavierStokes), untuk kondisi aliran: steady, incompressble, tanpa
gesekan & sepanjang streamline.
2.
Pers. Bernoulli (B) dibangun dari persamaan Energi (Hk
Termodinamika I), untuk kondisi aliran seperti asumsi 1 s/d 7
diatas.
Bila
Q 

 u2  u1 
0
dm 

u2  u1   0 & Q  0
tidak ada perpan & tidak ada perubahan energi dalam dari fluida
u2  u1   Q
betul untuk aliran incompressible tanpa gesekan
dm
dm
 p V2


 ρ  2  gz 
  konstan


x 1/g
 p

V2




z
 ρg 2g
 C


p
ρg
head akibat tekanan statis lokal
V2
2g
head akibat tekanan dinamis lokal
EGL  C  Head Total
 p


HGL  
 z

ρ
g


Z
head akibat ketinggian lokal
C
head TOTAL
V2
Head Dinamis 
 EGL  HGL
2g
Untuk Aliran Incompressibe &Tanpa
Gesekan,
Berlaku Persamaan Bernoulli:
 p V2



 z   C
 ρg 2g

2
2
2
2
p
V
p1 V1
p
V
p
V

 z1  2  2  z 2  3  3  z 3  4  4  z 4
ρg 2g
ρg 2g
ρg 2g
ρg 2g
DUCTING
SYSTEM
Rectangul
ar Elbow
900
Contoh kasus Pengukuran
Debit Aliran Melintasi
Rectangular Elbow 900
Flow
Diection
Bagaimana bisa kita mengetahui satu titik dengan titik lainnya (pipa) terjadi
kehilangan energi dan tekanan, caranya yakni dibantu dengan garis khayal HGL
(hydraulic grade line) dan EGL (energy grade line). Garis kemiringan hidraulik
(garis kemiringan tekanan) atau HGL adalah garis yang menunjukan tinggi
tekanan (pressure head) sepanjang pipa. Di dalam pipa dengan penampang
seragam, tinggi kecepatan adalah konstan dan garis kemiringan enersi adalah
sejajar dengan garis kemiringan tekanan (EGL // HGL). Sedangkan garis gradien
energi (EGL) adalah garis yang menghubungkan sederetan titik-titik yang
menggambarkan energi tersedia untuk tiap titik sepanjang pipa sebagai ordinat,
yang digambar terhadap jarak sepanjang pipa sebagai absis.