Bilangan Euler(e)

1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Bilangan Euler(e)
Rukmono Budi Utomo
30115301
Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat
March 5, 2016
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
1
1. Bilangan Euler
2
2. Asal-Usul Bilangan e
3
3. Identitas Euler
4
4. Referensi
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu
konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma
Natural.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu
konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma
Natural.
Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,
seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan
konsep logaritma untuk pertama kali.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Asal Usul Bilangan Euler e
Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu
konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma
Natural.
Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier,
seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan
konsep logaritma untuk pertama kali.
Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan e
adalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakan
bilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsi
1
f (x) = (1 + x) x atau secara matematis dapat dituliskan
sebagai
1 x
e = lim 1 +
x→∞
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Asa-Usul Bilangan e
Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada
tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan
Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Asa-Usul Bilangan e
Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada
tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan
Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma
Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah
hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha
merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola
persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Asa-Usul Bilangan e
Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada
tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan
Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma
Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah
hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha
merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola
persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.
Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola
persegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secara
eksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjang
hiperbola yx = 1 dan logaritma.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa
sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1
sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut
merupakan cikal bakal munculnya bilangan e
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa
sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1
sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut
merupakan cikal bakal munculnya bilangan e
Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bunga
majemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukan
batas dari suatu fungsi f (x) = (1 + x1 )x untuk x cenderung
membesar dan menuju tak hingga
1 x
e = lim 1 +
x→∞
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan
bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2
dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e
pertama kalinya
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan
bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2
dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e
pertama kalinya
Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali
memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi
eksponensial.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan
bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2
dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e
pertama kalinya
Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali
memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi
eksponensial.
Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens dan
memberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitian
Huygens yakni b (dan bukan e)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai
akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah
surat Euler kepada Goldbach.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai
akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah
surat Euler kepada Goldbach.
Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karya
fenomenalnya yang berjudul Introductio di analysin
infinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa
e =1+
1
1
1
+ + + ···
1! 2! 3!
atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai
1 x
e = lim 1 +
x→∞
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan
simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan
simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.
Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh
Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga
yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh
Euler merupakan singkatan dari eksponensial.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan
simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.
Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh
Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga
yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh
Euler merupakan singkatan dari eksponensial.
Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik
karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya
kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama
kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio
di analysin infinitorum miliknya
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan
simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.
Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh
Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga
yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh
Euler merupakan singkatan dari eksponensial.
Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik
karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya
kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama
kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio
di analysin infinitorum miliknya
Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan John
Napieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanya
memperkenalkan konsep logaritma pertama kali.
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Identitas Euler
Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni
e iθ = cos θ + i sin θ
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Identitas Euler
Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni
e iθ = cos θ + i sin θ
Bukti Menurut Euler
e = lim
x→∞
1
1+
x
x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Identitas Euler
Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni
e iθ = cos θ + i sin θ
Bukti Menurut Euler
e = lim
x→∞
1
1+
x
x
Analog dengan hal tersebut
e x = lim
n→∞
1+
x n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Untuk x = z diperoleh
e z = lim
n→∞
1+
z n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Untuk x = z diperoleh
e z = lim
n→∞
1+
z n
n
karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh
bentuk
x + iy n
x+iy
e
= lim 1 +
n→∞
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Untuk x = z diperoleh
e z = lim
n→∞
1+
z n
n
karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh
bentuk
x + iy n
x+iy
e
= lim 1 +
n→∞
n
atau dapat ditulis
e x+iy = lim
n→∞
h
1+
x
y in
+i
· · · (∗1)
n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dari (∗1) dapat diperoleh
x+iy e
= lim
n→∞
r
x
y
1+
+i
n
n
atau dapat dituliskan kembali sebagai
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
n
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dari (∗1) dapat diperoleh
x+iy e
= lim
r
n→∞
x
y
1+
+i
n
n
n
atau dapat dituliskan kembali sebagai
x+iy e
= lim
n→∞
1+
2x
x2 y2
+ 2+ 2
n
n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
n2
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dari (∗1) dapat diperoleh
x+iy e
= lim
r
n→∞
x
y
1+
+i
n
n
n
atau dapat dituliskan kembali sebagai
x+iy e
= lim
n→∞
1+
2x
x2 y2
+ 2+ 2
n
n
n
pada akhirnya akan diperoleh
x+iy lim
e
= e n→∞
n
2
2
2
+ x2 + y2
1+ 2x
n
n
n
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
n2
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dari (∗1) dapat diperoleh
x+iy e
= lim
r
n→∞
x
y
1+
+i
n
n
n
atau dapat dituliskan kembali sebagai
x+iy e
= lim
n→∞
1+
2x
x2 y2
+ 2+ 2
n
n
n
pada akhirnya akan diperoleh
x+iy lim
e
= e n→∞
n
2
2
2
+ x2 + y2
1+ 2x
n
n
n
atau |e x+iy | = e
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
n2
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat kordinat polar z n = r n (cosθ + i sin),
tanθ = yx atau θ = arctan yx dan berdasarkan Teorema De
Moivre diperoleh z n = r n (cos nθ + i sin nθ), dan arg (z n ) = nθ
atau arg (z n ) = n arctan yx
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat kordinat polar z n = r n (cosθ + i sin),
tanθ = yx atau θ = arctan yx dan berdasarkan Teorema De
Moivre diperoleh z n = r n (cos nθ + i sin nθ), dan arg (z n ) = nθ
atau arg (z n ) = n arctan yx
berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan
kembali sebagai
"
#
y
n arg e x+iy = lim n arctan
n→∞
1 + xn
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat kordinat polar z n = r n (cosθ + i sin),
tanθ = yx atau θ = arctan yx dan berdasarkan Teorema De
Moivre diperoleh z n = r n (cos nθ + i sin nθ), dan arg (z n ) = nθ
atau arg (z n ) = n arctan yx
berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan
kembali sebagai
"
#
y
n arg e x+iy = lim n arctan
n→∞
1 + xn
atau
"
arg e
x+iy
= lim n
n→∞
y
arctan n+x
#
y
n+x
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
y
n+x
· · · (∗2)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
karena
"
lim
t→∞
arctan 1t
1
t
#
"
= lim
t→∞
1
1 + t12
yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
#
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
karena
"
lim
t→∞
arctan 1t
1
t
#
"
= lim
t→∞
1
1 + t12
yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh
yn
n→∞ n+x
arg e x+iy = lim
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
#
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
karena
"
lim
t→∞
arctan 1t
1
t
#
"
= lim
t→∞
1
1 + t12
yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh
yn
n→∞ n+x
arg e x+iy = lim
atau dapat dituliskan kembali sebagai
arg e x+iy = y . . . (∗3)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
#
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat bahwa z = r (cosθ + i sin θ) dengan r = |z|
dan θ = arg (z), diperoleh
z = |z|[cos(arg (z) + i sin(arg (z))]...(∗4)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat bahwa z = r (cosθ + i sin θ) dengan r = |z|
dan θ = arg (z), diperoleh
z = |z|[cos(arg (z) + i sin(arg (z))]...(∗4)
ambil z = e x+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali
sebagai z = |e x+iy |[cos(arg (e x+iy ) + i sin(arg (e x+iy ))]...(∗5)
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat bahwa z = r (cosθ + i sin θ) dengan r = |z|
dan θ = arg (z), diperoleh
z = |z|[cos(arg (z) + i sin(arg (z))]...(∗4)
ambil z = e x+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali
sebagai z = |e x+iy |[cos(arg (e x+iy ) + i sin(arg (e x+iy ))]...(∗5)
substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperoleh
e x+iy = e x (cos y + i sin y ) atau e iy = (cos y + i sin y )
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
lanjutan
Dengan mengingat bahwa z = r (cosθ + i sin θ) dengan r = |z|
dan θ = arg (z), diperoleh
z = |z|[cos(arg (z) + i sin(arg (z))]...(∗4)
ambil z = e x+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali
sebagai z = |e x+iy |[cos(arg (e x+iy ) + i sin(arg (e x+iy ))]...(∗5)
substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperoleh
e x+iy = e x (cos y + i sin y ) atau e iy = (cos y + i sin y )
Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperoleh
e iθ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Akibat Identitas Euler
Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan
e iπ + 1 = 0
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Akibat Identitas Euler
Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan
e iπ + 1 = 0
Bukti
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Akibat Identitas Euler
Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan
e iπ + 1 = 0
Bukti
Dari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikut
e iπ = cos π + i sin π
= −1 + 0
= −1
Dengan demikian e iπ + 1 = 0
Q.E.D
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler
2. Asal-Usul Bilangan e
3. Identitas Euler
4. Referensi
Referensi
www.id.wikipedia.org(Bilangan Euler )
Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.15 wib
www.id.wikipedia.org(Identitias Euler )
Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.16 wib
www.mathematics.blogspot.com
Dikutip tanggal 5 maret 2016
Gazali, Wikaria. Penurunan Rumus Euler, makalah
Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)