diktat kuliah - elista:.

Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
BAB 8
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam tergantung pada jumlah
variabel bebas. Apabila persamaan tersebut mengandung hanya satu variabel bebas,
persamaan disebut dengan persamaan diferensial parsial. Derajat (order) dari persamaan
ditentukan oleh derajat tertinggi dari turunannya.
Sebagai contoh persamaan diferensial biasa di bawah ini adalah berorder satu, karena
turunan tertingginya adalah turunan pertama.
x
dy
 y 3
dx
Sedang persamaan diferensial biasa berorder dua mengandung turunan kedua sebagai
turunan tertingginya, seperti bentuk di bawah ini:
d2y
dx
 3  2y  0
2
dx
dy
Contoh persamaan diferensial parsial dengan variabel bebas x dan t adalah:
 y 2 y

 t x 2
Penyelesaian persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan
diferensial dan juga memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut. Di
dalam penyelesaian persamaan diferensial secara analitis, biasanya dicari penyelesaian
umum yang mengandung konstanta sembarang dan kemudian mengevaluasi konstanta
tersebut sedemikian sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal. Metode penyelesaian
persamaan diferensial secara analitis terbatas pada persamaan-persamaan dengan bentuk
tertentu, dan biasanya hanya untuk menyelesaikan persamaan linier dengan koefisien
konstan.
Misalkan suatu persamaan diferensial biasa berorder satu, sebagai berikut:
dy
y
dx
(8.1)
Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah:
y  C ex
(8.2)
yang memberikan banyak fungsi untuk berbagai nilai koefisien C. Gambar 8.1,
menunjukkan beberapa kemungkinan dari penyelesaian persamaan (8.2), yang tergantung
pada nilai C.
Untuk mendapatkan penyelesaian tunggal diperlukan informasi tambahan, misalnya nilai y
(x) dan atau turunannya pada nilai x tertentu. Untuk persamaan order n biasanya diperlukan
n kondisi untuk mendapatkan penyelesaian tunggal y (x). Apabila semua n kondisi
diberikan pada nilai x yang sama (misalnya x0), maka permasalahan disebut dengan
problem nilai awal. Apabila dilibatkan lebih dari satu nilai x, permasalahan disebut dengan
problem nilai batas. Misalnya persamaan (8.1), disertai kondisi awal yaitu x = 0, nilai y = 1
atau:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
95
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
y ( x  0)  1
(8.3)
Substitusikan persamaan (8.3) ke dalam persamaan (8.2) memberikan:
1  C e0
atau
C=1
Dengan demikian penyelesaian tunggal yang memenuhi persamaan:
dy
y
dx
y ( x  0)  1
adalah:
y  ex
Gambar 8.1. Penyelesaian persamaan
dy
y
dx
Metode penyelesaian numerik tidak ada batasan mengenai bentuk persamaan diferensial.
Penyelesaian berupa tabel nilai-nilai numerik dari fungsi untuk berbagai variabel bebas.
Penyelesaian suatu persamaan diferensial dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara
berurutan. Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti maka jarak (interval) antara titik-titik
yang berurutan tersebut dibuat semakin kecil.
Penyelesaian persamaan (8.1) dan persamaan (8.3) adalah mencari nilai y sebagai fungsi
dari x. Persamaan diferensial memberikan kemiringan kurve pada setiap titik sebagai
fungsi x dan y. Hitungan dimulai dari nilai awal yang diketahui, misalnya di titik (x0, y0).
Kemudian dihitung kemiringan kurve (garis singgung) di titik tersebut. Berdasar nilai y0 di
titik x0 dan kemiringan fungsi di titik-titik tersebut dapat dihitung nilai y1 di titik x1 yang
berjarak x dari x0. Selanjutnya titik (x1, y1) yang telah diperoleh tersebut digunakan untuk
menghitung nilai y2 di titik x2 yang berjarak x dari x1. Prosedur hitungan tersebut diulangi
lagi untuk mendapatkan nilai y selanjutnya, seperti pada Gambar 8.2.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
96
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Gambar 8.2. Penyelesaian numerik persamaan diferensial
8.1 Metode Satu Langkah
Akan diselesaikan persamaan diferensial biasa dengan bentuk sebagai berikut:
dy
 f ( x, y )
dx
Persamaan tersebut dapat didekati dengan bentuk berikut:
dy Δ y yi  1  yi


 f ( x, y )
dx Δ x xi  1  xi
atau
yi  1  yi  f ( x, y )( xi  1  xi )
atau
yi  1  yi  Φ Δx
(8.4)
dengan  adalah perkiraan kemiringan yang digunakan untuk ekstrapolasi dari nilai yi
ke yi + 1 yang berjarak x yaitu selisih antara x = xi + 1  xi.
Persamaan diatas dapat digunakan untuk menghitung langkah nilai y secara bertahap.
Semua metode satu langkah dapat ditulis dalam bentuk umum tersebut. Perbedaan dari
beberapa metode yang ada adalah didalam cara mengestimasi kemiringan .
8.2 Metode Euler
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di
banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun
demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah
pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih
teliti.
Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:
yi  1  yi  yi'
Δx
Δx 2
 yi''
 ...
1!
2!
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
97
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah
sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:
yi  1  yi  yi' Δx
(8.5)
Dengan membandingkan persamaan (8.4) dan persamaan (8.5) dapat disimpulkan
bahwa pada metode Euler, kemiringan  = yi' = f (xi , yi), sehingga persamaan (8.5)
dapat ditulis menjadi:
yi  1  yi  f ( xi , yi ) Δ x
(8.6)
dengan i = 1, 2, 3, … Persamaan (8.6) adalah metode Euler, nilai yi + 1 diprediksi
dengan menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan turunan pertama) di titik xi
untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias x. Gambar 8.3, adalah
penjelasan secara grafis dari metode Euler.
Gambar 8.3. Metode Euler
Contoh soal:
Selesaikan persamaan di bawah ini:
dy
 f ( x, y)   2 x 3  12 x 2  20 x  8,5.
dx
y (0)  1.
dari x = 0 sampai x = 4 dengan panjang langkah x = 0,5 dan x = 0,25.
Penyelesaian:
Penyelesaian eksak dari persamaan diatas adalah:
y   0,5 x 4  4 x3  10 x 2  8,5 x  1.
Penyelesaian numerik dilakukan secara bertahap pada beberapa titik yang berurutan.
Dengan menggunakan persamaan (8.6), dihitung nilai yi + 1 yang berjarak x = 0,5 dari
titik awal yaitu x = 0. Untuk i = 0 maka persamaan (8.6), menjadi:
y1  y0  f ( x0 , y0 ) x
Dari kondisi awal, pada x = 0 nilai fungsi y (0) = 1, sehingga:
y (0,5)  y (0)  f (0 ; 1) 0,5.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
98
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Kemiringan garis di titik (x0 ; y0) adalah:
dy
 f (0 ; 1)   2 (0 3 )  12 (0 2 )  20 (0)  8,5  8,5.
dx
sehingga:
y ( 0,5 )  1  8,5 (0,5)  5,25.
Nilai eksak pada titik x = 0,5 adalah:
y (0,5)   0,5 (0,54 )  4 (0,53 )  10 (0,52 )  8,5 (0,5)  1  3,21875.
Jadi kesalahan dengan metode Euler adalah:
t
3,21875  5,25
100 %   63,1%.
3,21875
Pada langkah berikutnya, yaitu untuk i = 1, persamaan (8.6) menjadi:
y2
 y1  f ( x1 , y1 ) Δx
y (1,0 )  y (0,5)  f ( 0,5 ; 5,25 ) 0,5


 5,25   2 (0,53 )  12 (0,52 )  20 (0,5)  8,5 0,5  5,875.
Hitungan dilanjutkan dengan prosedur diatas dan hasilnya diberikan dalam Tabel 8.1,
Untuk x = 0,25, hitungan dilakukan dengan prosedur diatas dan hasilnya juga
diberikan dalam Tabel 8.1. Dalam contoh tersebut dengan nilai x berbeda, dapat
disimpulkan bahwa penggunaan x yang lebih kecil akan memberikan hasil yang lebih
teliti. Tetapi konsekuensinya waktu hitungan menjadi lebih lama.
8.3 Kesalahan Metode Euler
Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan terjadinya dua
tipe kesalahan, yaitu:
1) Kesalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang digunakan
untuk perkiraan nilai y,
2) Kesalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit)
yang digunakan dalam hitungan.
Kesalahan pemotongan terdiri dari dua bagian. Pertama adalah kesalahan pemotongan
lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu langkah. Kedua adalah
kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari perkiraan yang dihasilkan pada
langkah-langkah berikutnya. Gabungan dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan
kesalahan pemotongan global.
Besar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode Euler dapat dijelaskan dari deret
Taylor.
Untuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk:
y '  f ( x, y )
(8.7)
dy
, sedang x dan y adalah variabel bebas dan tak bebas.
dx
Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor:
dengan y ' 
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
99
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
2
n
Δx
' ' Δx
n Δx
yi  1  yi  y
 yi
 ...  yi
 Rn
1!
2!
n!
'
i
(8.8)
Apabila persamaan (8.7) disubstitusikan ke persamaan (8.8), akan menghasilkan:
Δx
Δx 2
Δx 3
yi  1  yi  f ( xi , yi )
 f ' ( xi , yi )
 f ' ' ( xi , yi )
 ...  Rn
1!
2!
3!
(8.9)
Tabel 8.1. Hasil hitungan dengan metode Euler
x
y eksak
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
3,75
4,00
1,00000
2,56055
3,21875
3,27930
3,00000
2,59180
2,21875
1,99805
2,00000
2,24805
2,71875
3,34180
4,00000
4,52930
4,71875
4,31055
3,00000
x = 0,5
y perk
 t (%)
1,00000
5,25000
63,11
5,87500
95,83
5,12500
130,99
4,50000
125,00
4,75000
74,71
5,87500
46,88
7,12500
50,99
7,00000
133,33
x = 0,25
y perk
 t (%)
1,00000
3,12500
22,04
4,17969
29,85
4,49219
36,99
4,34375
44,79
3,96875
53,13
3,55469
60,21
3,24219
62,27
3,12500
56,25
3,25000
44,57
3,61719
33,05
4,17969
25,07
4,84375
21,09
5,46875
20,74
5,86719
24,34
5,80469
34,66
5,00000
66,67
Perbandingan antara persamaan (8.6) dan persamaan (8.9) menunjukkan bahwa metode
Euler hanya memperhitungkan dua suku pertama dari ruas kanan persamaan (8.9).
Kesalahan yang terjadi dari metode Euler adalah karena tidak memperhitungkan sukusuku terakhir dari persamaan (8.9) yaitu sebesar:
 t  f ' ( xi , yi )
Δx 2
Δx 3
 f '' ( xi , yi )
 ...  Rn
2!
3!
(8.10)
dengan  t adalah kesalahan pemotongan lokal eksak. Untuk x yang sangat kecil,
kesalahan seperti yang diberikan oleh persamaan (8.10), adalah berkurang dengan
bertambahnya order (order yang lebih tinggi). Dengan demikian suku yang
mengandung pangkat lebih besar dari dua dapat diabaikan, sehingga persamaan (8.10)
menjadi:
Δx 2
 a  f ' ( xi , yi )
(8.11)
2!
dengan  a adalah perkiraan kesalahan pemotongan lokal.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
100
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Contoh soal:
Hitung kesalahan yang terjadi dari penggunaan metode Euler dalam contoh sebelumnya
pada langkah pertama.
Penyelesaian:
Kesalahan eksak dihitung dengan persamaan (8.10). Oleh karena persamaan yang
diselesaikan adalah polinomial order 3 maka kesalahan yang diperhitungkan hanya
sampai suku ke tiga, karena turunan keempat dari persamaan pangkat tiga adalah nol,
sehingga persamaan (8.10) menjadi:
 t  f ' ( xi , yi )
Δx 2
Δx3
Δx 4
 f '' ( xi , yi )
 f ''' ( xi , yi )
2!
3!
4!
Pada langkah pertama berarti x1 = 0, sehingga nilai turunan pertama, kedua dan ketiga
adalah:
f ' ( xi , yi )   6 x 2  24 x  (20)   6 (0 2 )  24 (0)  20   20.
f '' ( xi , yi )   12 x  24   12 (0)  24  24.
f ''' ( xi , yi )   12.
Dengan demikian kesalahan yang terjadi untuk x = 0,5 adalah:
 t   20
(0,52 )
(0,53 )
(0,54 )
 24
 12
  2,03125.
2
6
24
Sedang x = 0,25 kesalahannya adalah:
 t   20
(0,252 )
(0,253 )
(0,254 )
 24
 12
  0,564453125.
2
6
24
Dengan menggunakan x = 0,25 kesalahan yang terjadi lebih kecil dibanding dengan
penggunaan x = 0,5. Kesalahan tersebut terjadi pada langkah pertama, dan akan
merambat pada langkah-langkah berikutnya, karena nilai perkiraan pada langkah
pertama (yang mempunyai kesalahan) digunakan sebagai dasar hitungan pada langkah
selanjutnya.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
101