KALKULUS VARIASI

KALKULUS VARIASI
• Kalkulus variasi digunakan untuk memecahkan permasalahan
extremum (maksimum dan minimum) yang tidak dapat
diselesaikan menggunakan kalkulus elementer
• Integral dengan integran suatu fungsi dari x, y dan turunan pertama
y’(x) = dy/dx
digunakan untuk menentukan y(x) sehingga integral I memiliki
nilai terkecil yang mungkin (stasioner)
• Perbedaannya dengan kalkulus diferensial (elementer) adalah
dalam kalkulus variasi fungsi y(x) tidak diketahui.
Persamaan Euler
• Jika y(x) adalah kurva yang menghubungkan dua titik (x1 , y1) dan (x2 ,
y2) dan memberikan I bernilai minimum, maka kurva lainnya di sekitar
y(x) akan memberikan pertambahan pada I.
• Fungsi untuk kurva-kurva yang lainnya:
dengan
= fungsi tak tentu = 0 pada x1 dan x2
= parameter tak tentu (bernilai kecil)
adalah ekstermal yang dicari yang melalui (x1, y1) dan (x2, y2).
Integral I menjadi fungsi dari parameter
agar I bernilai minimum, pada
extremum untuk
.
. Dengan kata lain I bernilai
• I bernilai extremum jika
untuk semua nilai
0
y’ = konstan, kemiringan y(x) = konstan, maka y(x) garis lurus.
Persamaan Euler
(Persamaan Euler-Lagrange)
• Kegunaan kalkulus variasi:
- menentukan lintasan terpendek yang
menghubungkan dua titik yang berdekatan pada
suatu permukaan
geodesi permukaan
- menentukan lintasan yang menghubungkan dua
titik dengan waktu tersingkat
brachistochrone
• Andaikan suatu partikel
bermassa m terkendala
dalam medan gravitasi.
Partikel bergerak dari keadaan
diam pada P1 ke tempat yang
lebih rendah P2
• Bagaimanakah bentuk lintasan gerak partikel dari P1 ke P2
dengan waktu tersingkat?
• Jika O dan P tidak terlalu jauh, maka medan gravitasi konstan
dan jika tidak ada gesekan maka energi total partikel konstan.
• Untuk titik P(x,y):
- energi kinetik =
- energi potensial =
energi total awal:
• Waktu yang diperlukan partikel untuk bergerak dari P1 ke P2:
maka,
• Waktu tersingkat diperoleh dengan meminimumkan integral I
menggunakan persamaan Euler
penyederhanaan:
Bentuk lintasan cycloid
Contoh:
Penentuan geodesi pada bidang menggunakan persamaan Euler.
𝑥2
𝑥2
1 + 𝑦 ′ 2 𝑑𝑥
𝐼 = න 𝑑𝑠 = න
𝑥1
Persamaan Euler
𝑥1
𝑑 𝐹
𝐹
−
=0
𝑑𝑥 𝑦 ′ 𝑦
2
Dalam kasus ini, integran F(x, y, y’) = 1 + 𝑦 ′ .
Integral I akan stasioner, jika memenuhi Persamaan Euler.
𝐹
=
𝑦 ′
𝑦′
1 + 𝑦 ′2.
,
𝐹
= 0.
𝑦
Persamaan Euler menghasilkan,
𝑑
𝑑𝑥
𝑦′
1 + 𝑦 ′2
=0
𝑦′
1 + 𝑦 ′2
=𝐶
𝑦′
2
1 + 𝑦 ′2
′
𝑦 =
= 𝐶2
𝐶2
1 − 𝐶2
𝐶2
න𝑑𝑦 = න
𝑑𝑥,
1 − 𝐶2
2
𝑦′ 1 − 𝐶2 = 𝐶2
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝐶2
1 − 𝐶2
𝐶2
andaikan
=𝑚
1 − 𝐶2
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘, dengan k adalah konstanta
Dengan demikian geodesi pada bidang berupa garis lurus.
Soal latihan
Selesaikanlah persamaan Euler agar integral berikut stasioner
𝑥2
1. න 𝑥 𝑑𝑠
𝑥1
𝑥
2. ‫ 𝑥׬‬2 𝑥 1 − 𝑦 ′ 2 𝑑x
1
Jawaban
𝑥2
1.
𝑥2
2
න 𝑥 𝑑𝑠 = න 𝑥 1 + 𝑦 ′ 𝑑𝑥
𝑥1
𝑥1
F(x, y, y’) = 𝑥 1 +
∂𝐹
=
𝜕𝑦 ′
𝑦 ′2
𝑥𝑦 ′
,
1 + 𝑦 ′2.
𝜕𝐹
=0
∂𝑦
Persamaan Euler:
𝑥𝑦 ′
𝑑
𝑑𝑥
𝑦′ =
1 + 𝑦 ′2.
𝐶
𝑥2 − 𝐶2
𝑥𝑦 ′
=0
=𝐶
2
𝑦′ 𝑥2 − 𝐶2 = 𝐶2
1 + 𝑦 ′2.
𝑑𝑦
𝐶
=
𝑑𝑥
𝑥2 − 𝐶2
න𝑑𝑦 = න
Penyelesaian persamaan Euler menghasilkan fungsi
𝐶
𝑥2 − 𝐶2
𝑦=𝐾
𝑑𝑥
cosh−1
𝑥
𝐶
Persamaan Euler untuk Variabel Lain
• Koordinat polar (r, )
F = F(r, ,  ’), untuk meminimumkan (stasioner)
 F(r, ,  ’) dr dengan  ’= d/dr
digunakan persamaan Euler:
• Variabel (x, t)
F = F(t, x, x’), untuk meminimumkan (stasioner)
 F(t, x, x’) dt dengan x’ = dx/dt
digunakan persamaan Euler:
• Koordinat polar (r ,  )
Contoh:
Penentuan lintasan cahaya dalam medium dengan indeks bias n yang
sebanding dengan r-2.
Prinsip Fermat
Kecepatan cahaya dalam medium dengan indeks bias n adalah
𝑑𝑠 𝑐
𝑣=
=
𝑑𝑡 𝑛
Waktu yang diperlukan untuk merambat dari titik A ke titik B adalah
𝐵
1 𝐵
𝑡 = න 𝑑𝑡 = න 𝑛 𝑑𝑠
𝑐 𝐴
𝐴
t stasioner.
Untuk n ~ r-2,
න𝑛 𝑑𝑠
atau
න𝑟 −2 𝑑𝑠
2
න𝑟 −2 𝑑𝑠 = න𝑟 −2 𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑2 = න 𝑟 −2 1 + 𝑟 2 𝜃 ′ 𝑑𝑟
F= 𝑟 −2 1 + 𝑟 2  ′ 2
𝜕𝐹
𝑟 −2 𝑟 2 𝜃 ′
=
𝜕𝜃 ′
1 + 𝑟2𝜃 ′2
Persamaan Euler
𝑑
𝑑𝑟
𝜃′
1 + 𝑟2𝜃 ′2
𝑟 −2 𝑟 2 𝜃 ′
1+
=𝐾
𝑟2𝜃 ′2
𝜕𝐹
=0
∂𝜃
=0
2
2
𝜃 ′ = 𝐾 2 (1 + 𝑟 2 𝜃 ′ ൯
𝜃′ =
𝑑𝜃
𝐾
=
𝑑𝑟
1 − 𝐾 2𝑟2
𝑑𝜃 = න
𝐾
1−
𝐾 2𝑟2
𝜃 = sin−1 𝐾𝑟 + 𝐶
𝑑𝑟
Soal latihan
1. Carilah geodesi pada permukaan menggunakan koordinat polar!
2. Carilah lintasan cahaya yang melalui medium dengan indeks bias
sebanding ey !
Integral pertama Persamaan Euler
Pada beberapa kasus, integran F dalam integral I tidak mengandung y,
𝑥2
𝐼 = න 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) 𝑑𝑥
sehingga,
𝑥1
𝐹
= 0.
𝑦
Persamaan Euler menjadi
𝑑 𝐹
=0
𝑑𝑥 𝑦 ′
𝐹
= konstanta
𝑦′
Persamaan Euler dapat diselesaikan dengan integrasi satu kali dan
disebut integral pertama persamaan Euler
Soal latihan
Sederhanakan persamaan Euler untuk integral berikut dan carilah
integral pertamanya!
1.
2.
𝑥2
න
1 + 𝑦 2 𝑦 ′ 2 𝑑𝑥
𝑥1
𝜃2
න
𝜃1
𝑟 ′ 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃
Jawaban
1.
𝑥2
1 + 𝑦 2 𝑦 ′ 2 𝑑𝑥
න
𝑥1
1 + 𝑦 2 𝑦 ′ 2 tidak mengandung 𝑥, maka
𝐹=
1 + 𝑦 2 𝑦 ′ 2 𝑑𝑥 =
𝑦2
න
1 + 𝑦 2 𝑦 ′ 2 𝑥 ′ 𝑑𝑦 =
𝑥 ′ 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦
𝑥′
∂𝐹
=0
∂𝑥
𝑥 ′ 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦
𝑦1
𝐹=
𝑥
′2
+ 𝑦2
𝜕𝐹
=
𝜕𝑥
𝑑
𝑑𝑦
,
𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 .
𝑥′
𝑥 ′2 + 𝑦 ′2.
=0
Integral pertama dari persamaan Euler adalah
𝑥′
=𝐾
𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 .
Penyelesainnya adalah
2
𝑥 ′ 1 − 𝐾 2 = 𝐾 2𝑦2
𝑥′ =
𝐾𝑦
1 − 𝐾2
න𝑑𝑥 = න
𝑥=
𝐾𝑦
1
− 𝐾2
𝐾
2 1 − 𝐾2
𝑑𝑦
𝑦2 + 𝐶
•
Koordinat silinder (r, , z)
• Koordinat bola (r, ,  )
Soal latihan:
1. Carilah geodesi pada permukaan bola yang memiliki jari-jari a
konstan!
2. Carilah geodesi pada silinder dengan r = 1 + cos !