Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 Tujuan pembelajaran: Setelah mempelajari bab Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Orde 1 diharapkan mahasiswa mampu: Menjelaskan konsep penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial biasa secara numerik menggunakan metode Euler, modifikasi Euler, implisit Euler dan Runge Kutta dan mengimplementasikannya dalam bahasa pemrograman Pada bab ini akan dibahas perumuman untuk penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial biasa dengan n persamaan dengan bentuk umum 𝐲̇ = 𝐟(𝑡, 𝐲), 𝐲(𝑡0 ) = 𝐲0 Dimana 𝐲 = (𝑦1, 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 )T dan 𝐟 = (𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 )T . Sebagai ilustrasi akan dibahas untuk system persamaan diferensial dengan dua persamaan. 1.1 Metode Euler Tinjau sistem persamaan diferensial biasa orde 1 𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦) 𝑥̇ [ ]=[ 1 ], 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 𝑦̇ 𝑓2 (𝑡, 𝑥, 𝑦) 𝑥0 𝑥 (𝑎 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ] = [𝑦 ]. Di sini 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) dan 𝑥̇ = , 𝑦̇ = . Deret Dengan syarat awal [ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦 (𝑎 ) 0 Taylor hingga suku pertama di 𝑡 = 𝑡𝑖 + ℎ diberikan oleh 𝑥 (𝑡𝑖 + ℎ) = 𝑥 (𝑡𝑖 ) + 𝑥̇ (𝑡𝑖 )ℎ + 𝐸 (ℎ2 ) Dimana E menyatakan galat pemotongan dan ℎ = 𝑏−𝑎 𝑁 , N menyatakan banyaknya partisi untuk peubah 𝑡. Misalkan 𝑥𝑖 = 𝑥 (𝑡𝑖 ) sehingga 𝑥𝑖+1 = 𝑥 (𝑡𝑖 + ℎ). Skema iterasi metode Euler untuk sistem persamaan diferensial orde 1 diberikan oleh 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ𝑥̇ (𝑡𝑖 ) = 𝑥𝑖 + ℎ𝑓1 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑦̇ (𝑡𝑖 ) = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓2 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) Contoh: Selesaikan masalah nilai awal berikut dengan metode Euler, untuk 𝑁 = 5. 𝑑𝑥 𝑦 [ 𝑑𝑡 ] = [ ] , 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑥 (0) = 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, 𝑦(0) = 0 Dari persamaan diferensial diperoleh 𝑓1 (𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝑦 dan 𝑓2 (𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝑥. Untuk 𝑁 = 5 maka ℎ = 1−0 5 = 0.2. Sedangkan dari syarat awal diperoleh 𝑥0 = 1 dan 𝑦0 = 0 Maka Iterasi 1 (𝑖 = 0) : 𝑡1 = 𝑡0 + ℎ = 0 + 0.2 = 0.2 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ𝑓1 (𝑡0, 𝑥0 , 𝑦0 ) = 1 + 0.2𝑓1 (0,1,0) = 1 + 0.2(0) = 1 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓2 (𝑡0 , 𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 + 0.2𝑓2 (0,1,0) = 0.2(1) = 0.2 Iterasi 2 (𝑖 = 1) : 𝑡2 = 𝑡1 + ℎ = 0.2 + 0.2 = 0.4 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ𝑓1 (𝑡1, 𝑥1 , 𝑦1 ) = 1 + 0.2𝑓1(0.2,1,0.2) = 1 + 0.2(0.2) = 1.04 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓2 (𝑡1 , 𝑥1 , 𝑦1 ) = 0.2 + 0.2𝑓2 (0.2,1,0.2) = 0.2 + 0.2(1) = 0.4 Iterasi 3 (𝑖 = 2) : 𝑡3 = 𝑡2 + ℎ = 0.4 + 0.2 = 0.6 𝑥3 = 𝑥2 + ℎ𝑓1(𝑡2 , 𝑥2 , 𝑦2 ) = 1.04 + 0.2𝑓1 (0.4,1.04,0.4) = 1.04 + 0.2(0.4) = 1.12 𝑦3 = 𝑦2 + ℎ𝑓2 (𝑡2 , 𝑥2 , 𝑦2 ) = 0.4 + 0.2𝑓2 (0.4,1.04,0.4) = 0.4 + 0.2(1.04) = 0.608 Dan seterusnya. 1.2 Metode Modifikasi Euler Metode ini diturunkan dengan cara mengintegralkan kedua ruas pada bentuk umum sistem persamaan diferensial pada interval [𝑡𝑖 , 𝑡𝑖+1 ] yaitu ∫ 𝑡𝑖+1 𝑡𝑖 𝑡 𝐲|𝑡𝑖+1 𝑖 𝑡𝑖+1 𝐲̇ 𝑑𝑡 = ∫ 𝐟(𝑡, 𝐲) 𝑑𝑡 𝑡𝑖 𝑡𝑖+1 = 𝐲(𝑡𝑖+1 ) − 𝐲(𝑡𝑖 ) = ∫ 𝐟(𝑡, 𝐲) 𝑑𝑡 𝑡𝑖 Dengan menggunakan metode trapezoidal pada integral di ruas kanan maka diperoleh ℎ 𝐲(𝑡𝑖+1 ) = 𝐲(𝑡𝑖 ) + (𝐟(𝑡𝑖 , 𝐲(𝑡𝑖 )) + 𝐟(𝑡𝑖+1 , 𝐲(𝑡𝑖+1 ))) 2 Nilai 𝐲(𝑡𝑖+1 ) di ruas kanan dihampiri dengan metode Euler maka diperoleh ℎ 𝐲(𝑡𝑖+1 ) = 𝐲(𝑡𝑖 ) + [𝐟(𝑡𝑖 , 𝐲(𝑡𝑖 )) + 𝐟(𝑡𝑖 + ℎ, 𝐲(𝑡𝑖 ) + ℎ𝐟(𝑡𝑖 , 𝐲(𝑡𝑖 )))] 2 Atau ℎ 𝐲𝑖+1 = 𝐲𝑖 + [𝐟(𝑡𝑖 , 𝐲𝑖 ) + 𝐟(𝑡𝑖 + ℎ, 𝐲𝑖 + ℎ𝐟(𝑡𝑖 , 𝐲𝑖 ))] 2 Dengan demikian skema iterasi metode modifikasi Euler untuk sistem persamaan diferensial orde 1 dengan dua persamaan adalah ℎ 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + (𝑘11 + 𝑘21 ) 2 ℎ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑘12 + 𝑘22 ) 2 Dengan ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛, 𝑘11 = 𝑓1 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑘12 = 𝑓2 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑘21 = 𝑓1 (𝑡𝑖 + ℎ, 𝑥𝑖 + ℎ𝑘11 , 𝑦𝑖 + ℎ𝑘12 ), 𝑘22 = 𝑓2 (𝑡𝑖 + ℎ, 𝑥𝑖 + ℎ𝑘11 , 𝑦𝑖 + ℎ𝑘12 ) 1.3 Metode Implisit Euler Skema iterasi metode Implisit Euler untuk sistem persmaan diferensial orde 1 adalah ∗ 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + (ℎ/2) ∗ 𝑓1 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) ∗ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (ℎ/2) ∗ 𝑓2 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) ℎ ∗ ∗ ) 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ ∗ 𝑓1 (𝑡𝑖 + ( ) , 𝑥𝑖+1 , 𝑦𝑖+1 2 ℎ ∗ ∗ ) 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ ∗ 𝑓2 (𝑡𝑖 + ( ) , 𝑥𝑖+1 , 𝑦𝑖+1 2 1.4 Metode Runge Kutta Skema iterasi metode Runge Kutta orde 4 diperoleh dengan menghampiri integral di ruas kanan melalui metode Simpson yaitu: 𝑡𝑖+1 ∫ 𝑡𝑖 Dengan ℎ′ = 𝑡𝑖+1 −𝑡𝑖 2 . 𝐟(𝑡, 𝐲) 𝑑𝑡 ≅ 1 ℎ′ 𝑖 [𝐟 + 4𝐟 𝑖+2 + 𝐟 𝑖+1 ] 3 Untuk sistem persamaan diferensial orde 1 dengan 2 persamaan skema iterasinya adalah ℎ 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + [𝑘11 + 2𝑘21 + 2𝑘31 + 𝑘41 ] 6 ℎ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + [𝑘12 + 2𝑘22 + 2𝑘32 + 𝑘42 ] 6 ℎ Dengan ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑁. 𝑘11 = 𝑓1 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑘12 = 𝑓2 (𝑡𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑘21 = 𝑓1 (𝑡𝑖 + 2 , 𝑥𝑖 + ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑘 , 𝑦 + 2 𝑘12 ), 𝑘22 = 𝑓2 (𝑡𝑖 + 2 , 𝑥𝑖 + 2 𝑘11 , 𝑦𝑖 + 2 𝑘12 ), 𝑘31 = 𝑓1 (𝑡𝑖 + 2 , 𝑥𝑖 + 2 𝑘21 , 𝑦𝑖 + 2 11 𝑖 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑘 ), 𝑘32 = 𝑓2 (𝑡𝑖 + 2 , 𝑥𝑖 + 2 𝑘21 , 𝑦𝑖 + 2 𝑘22 ), 𝑘41 = 𝑓1 (𝑡𝑖 + ℎ, 𝑥𝑖 + ℎ𝑘31 , 𝑦𝑖 + ℎ𝑘32 ) dan 2 22 𝑘42 = 𝑓2 (𝑡𝑖 + ℎ, 𝑥𝑖 + ℎ𝑘31 , 𝑦𝑖 + ℎ𝑘32 )
