diktat kuliah - elista:.

Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
8.1 Deret Taylor Dengan Order Lebih Tinggi
Setelah mengetahui kesalahan yang terjadi pada metode Euler, dapat disimpulkan
bahwa metode tersebut dapat diperbaiki dengan memperhitungkan lebih banyak suku
dari deret Taylor (dengan deret Taylor order yang lebih tinggi).
Deret Taylor orde dua mempunyai bentuk:
Δx
Δx 2
yi  1  yi  f ( xi , yi )
 f ' ( xi , yi )
1!
2!
(8.12)
Persamaan (8.12) akan memberikan hasil yang lebih baik dari persamaan (8.5), tetapi
penyelesaian menjadi lebih sulit karena harus memperhitungkan turunan pertama
f ' ( xi , yi ) , terutama bila fungsi sulit untuk diturunkan.
8.2 Metode Heun
Metode Heun merupakan modifikasi dari metode Euler. Modifikasi dilakukan dalam
memperkirakan kemiringan . Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval,
yaitu pada ujung awal dan akhir. Kedua turunan tesebut kemudian diratakan untuk
mendapatkan perkiraan kemiringan yang lebih baik (Gambar 8.4).
Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval adalah:
yi'  f ( xi , yi )
(8.13)
Kemiringan tesebut digunakan untuk menghitung nilai yi + 1 dengan ekstrapolasi linier
sehingga:
yi0 1  yi  f ( xi , yi ) Δx
(8.14)
Gambar 8.4. Metode Heun
Nilai yi0 1 dari persamaan (8.14) tersebut kemudian digunakan untuk memperkirakan
kemiringan pada ujung akhir interval, yaitu:
yi'  1  f ( xi  1 , yi0 1 )
(8.15)
Kedua kemiringan yang diberikan oleh persamaan (8.13) dan persamaan (8.15),
kemudian diratakan untuk memperoleh kemiringan pada interval, yaitu:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
101
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
y' 
yi'  yi0 1
2

f ( x i  1 , yi0 1 )
2
Kemiringan rerata tersebut kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari yi ke yi + 1
dengan menggunakan metode Euler:
yi  1  yi 
f ( xi , yi )  f ( x i  1 , yi0 1 )
2
Δx
(8.16)
Metode Heun ini disebut juga metode prediktor-korektor. Persamaan (8.14) disebut
dengan persamaan prediktor, sedang persamaan (8.16) disebut dengan persamaan
korektor.
Contoh soal:
Selesaikan persamaan berikut:
dy
 f (t , y )   y 2
dt
y ( 0)  1
(c.1)
(c.2)
dengan menggunakan metode Heun dan t = 0,1.
Penyelesaian:
1
1 t
Penyelesaian numerik dengan menggunakan metode Heun.
Persamaan (c.1) dapat ditulis dalam bentuk:
Penyelesaian eksak dari persamaan diatas adalah: y 
yi  1  yi  f (ti , yi ) Δt  yi  yi2 Δt
(c.3)
Untuk i = 0, persamaan (c.3) menjadi:
y1  y 0  y 02  t
Kemiringan fungsi di titik ( t0 , y0 ) adalah:
f (t0 , y0 )   y02   (12 )   1.
Perkiraan nilai awal dari y di titik i = 1 adalah:
y10  1  (1 0,1)  0,9.
Kemiringan fungsi di titik i = 1 adalah:
y1'  f (t1 , y10 )   y12   (0,92 )   0,81.
Kemiringan rerata:
y0'  y1' (1)  (0,81)
y' 

  0,905.
2
2
Perkiraan nilai y dititik i = 1 adalah:
y1  1 ( 0,905  0,1)  0,9095.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
102
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Untuk i = 1, persamaan (3) menjadi:
y2  y1  y12 Δt
Kemiringan fungsi di titik ( t1, y1 ) adalah:
f (ti , yi )   y12  (0,90952 )   0,82719.
Perkiraan nilai awal dari y di titik i = 1 adalah:
y20  0,9095  (0,827191 0,1)  0,82678.
Kemiringan fungsi dititik i = 2 adalah:
y2'  f (t 2 , y20 )   y2   (0,826782 )   0,68357.
2
Kemiringan rerata:
y1'  y2' (0,82719)  (0,68357)
y' 

  0,75538.
2
2
Perkiraan nilai y dititik i = 2 adalah:
y1 = 0,9095 – (0,75538  0,1) = 0,83396.
Hitungan selanjutnya dilakukan dengan prosedur diatas dan hasilnya diberikan dalam
Tabel 8.2.
Tabel 8.2. Hasil hitungan dengan metode Heun
ti
y eksak
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
1,000000
0,909090
0,833333
0,769231
0,714286
0,666666
y perkiraan  t (%)
1,00000
0,90950
0,83396
0,76977
0,71507
0,66746
0,05
0,08
0,1
0,11
0,12
8.6 Metode Poligon
Metode Poligon dapat juga disebut sebagai modifikasi dari metode Euler. Metode Euler
digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah interval. Untuk itu
pertama kali dihitung nilai yi + 1/2 berikut ini. Gambar 8.5 adalah penjelasan dari metode
tersebut.
Δx
y 1  yi  f ( xi , yi )
i
2
2
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
103
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Gambar 8.5. Metode Euler yang dimodifikasi (Poligon)
Kemudian nilai tersebut digunakan untuk mengestimasi kemiringan pada titik tengah
interval, yaitu :
y'
i
1
2
 f (x
i
1
2
,y
i
1
2
(8.17)
)
Kemiringan tersebut merupakan perkiraan dari kemiringan rerata pada interval, yang
kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari xi ke xi + 1 dengan menggunakan
metode Euler:
yi  1  yi  f ( x
i
1
2
,y
i
1
2
) Δx
(8.18)
Contoh soal:
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Poligon untuk x = 0,1.
dy
 f ( x, y )  e x
dt
y ( 0)  1
(c.1)
(c.2)
Penyelesaian:
Persamaan (c.1) dapat ditulis dalam bentuk:
yi  1  yi  f ( xi , yi ) Δx  yi  e xi Δx
(c.3)
Perkiraan nilai y pada titik tengah interval adalah:
y 1  y0  e 0
2
Δx
0,1
 1  (1 )  1,05.
2
2
Kemiringan fungsi pada titik tengah interval adalah:
y 1'  f ( x 1 , y 1 )  e 0, 05  1,051271.
2
2
2
Perkiraan nilai y di titik i = 1 adalah:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
104
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
y1  y0  f ( x1 , y 1 ) Δx  1  (1,051271 0,1)  1,105127.
2
2
Prosedur hitungan tersebut diatas diulangi lagi untuk langkah-langkah berikutnya, dan
hasilnya diberikan dalam Tabel 8.3.
Tabel 8.3. Hasil hitungan dengan metode Poligon
xi
y eksak
y perkiraan
 t (%)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1,000000
1,105171
1,221403
1,349859
1,491825
1,648721
1,00000
1,105127
1,221310
1,349713
1,491619
1,648452
0,004
0,008
0,011
0,014
0,016
8.7 Metode Runge-Kutta
Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan hasil
yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau
dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak
menguntungkan. Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih
tinggi dari fungsi nilai y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu
hitungan lebih panjang.
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak
memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:
yi  1  yi  Φ ( xi , y i , Δx) Δx
(8.19)
dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata
pada interval.
Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:
Φ  a1k1  a2k2  ...  an kn
(8.20)
dengan a adalah konstanta dan k adalah:
k1 = f (xi, yi)
k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x)
k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x)

kn = f (xi + pn – 1x, yi + qn – 1, 1 k1x + qn – 1, 2 k2x + + qn – 1, n – 1 kn – 1x)
(8.21a)
(8.21b)
(8.21c)
(8.21d)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.
Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam
persamaan untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini
membuat metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.
Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan.
Untuk n = 1, yang disebut Runge-Kutta order satu, persamaan (8.20) menjadi:
Φ  a1k1  a1 f ( xi , yi )
Untuk a1 = 1 maka persamaan (8.19) menjadi:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
105
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
yi  1  yi  f ( x i , yi ) Δx
yang sama dengan metode Euler.
Di dalam metode Runge-Kutta, setelah nilai n ditetapkan, kemudian nilai a, p dan q
dicari dengan menyamakan persamaan (8.19) dengan suku-suku dari deret Taylor.
1) Metode Runge-Kutta order 2
Metode Runge-Kutta order 2 mempunyai bentuk:
yi  1  yi  (a1k1  a2 k 2 )Δx
(8.22a)
k1  f ( xi , yi )
(8.22b)
k2  f ( xi  p1Δx, yi  q11k1Δx)
(8.22c)
dengan:
Nilai a1, a2, p1 dan q11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan (8.22a) dengan
deret Taylor order 2, yang mempunyai bentuk:
yi  1  yi  f ( xi , yi )
Δx
Δx
 f ' ( xi , yi )
1
2
(8.23)
dengan f ' ( xi , yi ) dapat ditentukan dari hukum berantai (chain rule) berikut:
f ' ( xi , yi ) 
f f dy

x y dx
(8.24)
Substitusi persamaan (8.24) ke dalam persamaan (8.23) menghasilkan:
yi  1  yi  f ( xi , yi )
Δx
f f dy Δx
( 
)
1
x y dx 2
(8.25)
Dalam metode Runge-Kutta ini dicari nilai a1, a2, p1 dan q11 sedemikian sehingga
persamaan (8.22a) ekivalen dengan persamaan (8.25). Untuk itu digunakan deret
Taylor untuk mengembangkan persamaan (8.22c). Deret Taylor untuk fungsi
dengan dua variabel mempunyai bentuk:
g ( x  r , y  s )  g ( x, y )  r
g
g
s
 ...
x
y
Dengan cara tersebut, persamaan (8.22c) dapat ditulis dalam bentuk:
f ( xi  p1 Δx, yi  q11k1 Δx)  f ( xi , yi )  p1 Δx
f
f
 q11k1 Δx
 0 ( Δx 2 )
x
y
Bentuk diatas dan persamaan (8.22b) disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a)
sehingga menjadi:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
106
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
yi  1  yi  a1 Δx f ( xi , yi )  a2 Δx f ( xi , yi )  a2 p1 Δx 2
 a2 q11Δx 2 f ( xi , yi )
f
x
f
 0( Δx 3 )
x
atau
y1  1  yi  a1 f ( xi , yi )  a2 f ( xi , yi )Δx
f
f 

 a2 p1
 a2 q11 f ( xi , yi )  Δx 2  0( Δx 3 )
x
x 

(8.26)
Dengan membandingkan persamaan (8.25) dan persamaan (8.26), dapat
disimpulkan bahwa kedua persamaan akan ekivalen apabila:
a1 + a2 = 1.
a2 p1 =
a2 q11 =
1
.
2
(8.27a)
(8.27b)
1
.
2
(8.27c)
Sistem persamaan diatas yang terdiri dari tiga persamaan mengandung empat
bilangan tak diketahui, sehingga tidak bisa diselesaikan. Untuk itu salah satu
bilangan tak diketahui ditetapkan, dan kemudian dicari ketiga bilangan yang lain.
Dianggap bahwa a2 ditetapkan, sehingga persamaan (8.27a) sampai persamaan
(8.27c) dapat diselesaikan dan menghasilkan:
a1  1  a2
p1  q11 
(8.28a)
1
2a 2
(8.28b)
Karena nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode RungeKutta order 2.
Dibawah ini merupakan 3 metode Runge-Kutta order 2 yang sering digunakan.
a) Metode Heun
1
, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b) dapat
2
diselesaikan dan diperoleh:
1
a1  .
2
p1  q11  1.
Apabila a2 dianggap
Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan
menghasilkan:
1
1
yi  1  yi  ( k1  k 2 ) Δx
(8.29a)
2
2
dengan:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
107
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
k1  f ( xi , yi )
(8.29b)
k2  f ( xi  Δx, yi  k1Δx)
(8.29c)
dimana k1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k2 adalah
kemiringan fungsi pada akhir interval. Dengan demikian metode Runge-Kutta
order 2 adalah sama dengan metode Heun.
b) Metode Poligon (a2 = 1)
Apabila a2 dianggap 1, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b) dapat
diselesaikan dan diperoleh:
a1  0.
1
p1  q11  .
2
Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan
menghasilkan:
yi  1  yi  k 2 Δx
(8.30a)
dengan:
k1  f ( xi , yi )
(8.30b)
1
1
k 2  f ( xi  Δx, yi  k1 Δx)
2
2
(8.30c)
c) Metode Ralston
2
Dengan memilih a2 = , akan menghasilkan kesalahan pemotongan minimum
3
2
untuk metode Runge-Kutta order 2. Dengan a2 = , didapat:
3
1
a1  .
3
3
p1  q11  .
4
sehingga :
1
2
yi  1  yi  ( k1  k 2 ) Δx
3
3
(8.31a)
dengan:
k1  f ( xi , yi )
k 2  f ( xi 
3
3
Δx, yi  k1 Δx)
4
4
(8.31b)
(8.31c)
Contoh soal:
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
108
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan metode Raltson.
dy
  2 x 3  12 x 2  20 x  8,5.
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah x  0,5. Kondisi awal pada
x = 0 adalah y = 1.
Peyelesaian:
Langkah pertama adalah menghitung k1 dan k2 dengan menggunakan persamaan
(8.31b) dan persamaan (8.31c):
k1  f ( x0 , y0 )   2(03 )  12(0 2 )  20(0)  8,5  8,5.
3
3
Δx, yi  k1 Δx)  f (0,375 ; 14,1875).
4
4
3
  2( 0,375 )  12( 0,375 2 )  20(0,375)  8,5  2,58203125.
k 2  f ( xi 
Kemiringan rerata adalah :
Φ
1
2
(8,5)  (2,58203125)  4,5546875.
3
3
Nilai y (0,5) dihitung dengan persamaan (8.31a):
y0,5  y0  Φ Δx  1  4,5546875(0,5)  3,27734375.
2) Metode Runge-Kutta Order 3
Metode Runge-Kutta Order 3 diturunkan dengan cara yang sama dengan order 2
untuk nilai n = 3. Hasilnya adalah 6 persamaan dengan 8 bilangan tak diketahui.
Oleh karena itu 2 bilangan tak diketahui harus ditetapkan untuk mendapatkan 6
bilangan tak diketahui lainnya. Hasil yang biasa digunakan adalah:
yi  1  yi 
1
(k1  4k 2  k3 ) Δx
6
(8.32a)
dengan:
k1  f ( xi , yi )
k 2  f ( xi 
1
1
Δx, yi  k1 Δx)
2
2
k3  f ( xi  Δx, yi  k1Δx  2k2 Δx)
(8.32b)
(8.32c)
(8.32d)
Contoh soal:
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 3.
dy
  2 x 3  12 x 2  20 x  8,5.
dx
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
109
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah x  0,5. Kondisi awal pada
x = 0 adalah y = 1.
Penyelesaian:
Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 3 yaitu menghitung k1, k2 dan k3.
k1   2 (03 )  12(0 2 )  20(0)  8,5  8,5.
k 2   2(0,253 )  12(0,252 )  20(0,25)  8,5  4,21875.
k3   2 (0,53 )  12(0,52 )  20(0,5)  8,5  1,25.
Dengan menggunakan persamaan (8.32a), dihitung nilai y (x):
1
y (0,5)  1  [ (8,5  4(4,21875)  1,25]0,5  3,21875.
6
3) Metode Runge-Kutta Order 4
Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih
tinggi. Metode ini mempunyai bentuk:
y i  1  yi 
1
(k1  2k 2  2k3  k 4 ) Δx
6
(8.33a)
dengan:
k1  f ( xi , yi )
(8.33b)
k 2  f ( xi 
1
1
Δx, yi  k1 Δx)
2
2
(8.33c)
k3  f ( xi 
1
1
Δx, yi  k 2 Δx)
2
2
(8.33d)
k4  f ( xi  Δx, yi  k3Δx)
(8.33e)
Contoh soal:
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dy
  2 x 3  12 x 2  20 x  8,5.
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah x  0,5. Kondisi awal pada
x = 0 adalah y = 1.
Penyelesaian:
Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2, k3 dan
k4.
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
110
Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO
k1   2 (03 )  12(0 2 )  20(0)  8,5  8,5.
k 2   2(0,253 )  12(0,252 )  20(0,25)  8,5  4,21875.
k3   2(0,253 )  12(0,252 )  20(0,25)  8,5  4,21875.
k 4   2 (0,53 )  12(0,52 )  20(0,5)  8,5  1,25.
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):
1
y (0,5)  1  [ (8,5  2(4,21875)  2(4,21875)  1,25]0,5  3,21875.
6
Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode
EULER
I
X
YE
1
0.00
2
HEUN
POLIGON
RALSTON
RUNGE-KUTTA
Y
 t (%)
Y
 t (%)
Y
 t (%)
Y
 t (%)
Y
 t (%)
1.00000
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
0.50
3.21875
5.25000
63.11
3.43750
6.80
3.27734
1.82
3.27734
1.82
3.21875
0.00
3
1.00
3.00000
5.87500
95.83
3.37500
12.50
3.10156
3.39
3.10156
3.39
3.00000
0.00
4
1.50
2.21875
5.12500
130.99
2.68750
21.13
2.34766
5.81
2.34766
5.81
2.21875
0.00
5
2.00
2.00000
4.50000
125.00
2.50000
25.00
2.14063
7.03
2.14063
7.03
2.00000
0.00
6
2.50
2.71875
4.75000
74.71
3.18750
17.24
2.85547
5.03
2.85547
5.03
2.71875
0.00
7
3.00
4.00000
5.87500
46.88
4.37500
9.38
4.11719
2.93
4.11719
2.93
4.00000
0.00
8
3.50
4.71875
7.12500
50.99
4.93750
4.64
4.80078
1.74
4.80078
1.74
4.71875
0.00
9
4.00
3.00000
7.00000
133.33
3.00000
0.00
3.03125
1.04
3.03125
1.04
3.00000
0.00
Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta
111