2. BILANGAN KOMPLEKS

PERTEMUAN MINGGU-2. BILANGAN KOMPLEKS
1.
2.
3.
4.
PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS
OPERASI PADA BILANGAN KOMPLEKS
LATIHAN SOAL
mempelajari fungsi polinomial, trigonometri,
eksponensial dan logaritma
Bilangan Kompleks
• Definisi :
• bilangan kompleks adalah bidang C
bilangan yang berbentuk x + iy, di
mana x dan y adalah bilangan real dan
i adalah satuan imajiner, i2 = -1.
• Jika z = x + iy , maka z= x + iy dapat
ditulis (x, y). Bidang bilangan
kompleks mencakup bidang bilangan
real sebagai subbidang.
i
dst
 1 , i 2   1, i 3   i , i 4  1
sifat bilangan kompleks
z  x  iy
z
z  x  iy
z  z cos(  )  z i . sin(  )
z  z (cos(  )  i . sin(  ))
z  ze
i
 y
  argumen(z)  arctan 
 x
z  modulus kompleks
operasi pada bilangan kompleks
z1  a  ib , z 2  c  id
Penjumlahan
z1  z 2  (a  ib )  (c  id )
 ( a  c )  ( b  d )i
contoh: diketahui dua bilangan kompleks berikut
z1  2  3i
, z 2  3  4i
carilah : z1+z2 !
Jawab : z1  z 2  ( 2  3)  (3  4)i
 5 i
operasi pada bilangan kompleks
z1  a  ib , z 2  c  id
Pengurangan:
z1  z 2  (a  ib )  (c  id )
 ( a  c )  ( b  d )i
contoh: diketahui dua bilangan kompleks berikut
z1  2  3i
carilah : z1-z2 !
Jawab :
, z 2  3  4i
z1  z 2  ( 2  3)  (3  ( 4))i
- 1  7i
operasi pada bilangan kompleks
perkalian
z1 . z 2  (a  ib )(c  id )
z1  a  ib , z 2  c  id
 ac  adi  bci  bdi 2
 ac  adi  bci  bd
 (ac  bd )  (ad  bc )i
contoh: diketahui dua bilangan kompleks berikut
carilah : z1.z2 !
Jawab :
z1 . z 2  ( 2.3  (3.( 4))  ( 2.( 4)  3.3)i
 (6  12)  ( 8  9)i
 18  i
z1  2  3i
, z 2  3  4i
operasi pada bilangan kompleks
z1  a  ib ,
pembagian z1
z1 z 2
z2

.
z2 z2
z 2  c  id
a  ib c  id ( a  ib )( c  id )

.

c  id c  id
c2  d 2
( ac  bd )  ( bc  ad ) i

c2  d 2
contoh: diketahui dua bilangan kompleks berikut
carilah : z1./ z2 !
z1
Jawab :
 ( 2.3  (3.( 4))  (3.3  2.( 4))i
z2
 (6  12)  (9  8)i
 6  17i
z1  2  3i
, z2  3  4i
latihan soal:
Diketahui bilangan kompleks
carilah:
z1
a.
 z3
z2
b . z1 . z 2  z 3
c . z1  z 2 . z 3
d . z1 . z 4
z1  4  3i
, z2  2  5i , z3  5, z4  2i
( x  iy )  ( x  iy ) 1
R( z ) 
 2 (z  z)
2
( x  iy )  ( x  iy )
Im( z ) 
  12 ( z  z )
2
2
z  z (cos( n)  i . sin( n))
n
z   x  iy 
n
n
 n  k n k n k
    x y i
k 0  k 
n
 n  k nk nk
z     x y
i
k0  k 
n
n
contoh. carilah z2
 2  k 2 k 2 k
z     x y i
k 0  k 
 2  0 2 0 2 0  2  1 21 21  2  2 2 2 2 2
   x y i    x y i    x y i
 0
 1
 0
2
2
1
2
 1. x 0 y 2 i 2
 2. xyi
  y 2  2i . xy  x 2
 ( x  y )  2i . xy
2
2
1
 1. x 2 y 0 i 0
contoh. diketahui z=2+3i,
a. carilah z2
b. carilah z3
jawab. a
z  ( x  y )  2i . xy
2
2
2
z 2  ( 2 2  32 )  2i .2.3  5  12i
diketahui z=2+3i,
jawab b 3
z 1
1. x 0 y 3 i 3
 y 3 (-i)
3
3
 3. x 1 y 2 i 2
 3. x 2 y 1 i 1
 1. x 3 y 0 i 0
 3 xy 2 ( 1)
 3. x 2 y i
 1. x 3
  y 3 i  3 xy 2  3 x 2 yi  1x 3
 ( x 3  3 x 2 y )  (3 x 2 y  y 3 )i
z  ( 2  3.2 .3)  (3.2 .3  3 )i
3
3
2
2
 (8  36)  (36  27 )i
 28  9i
1
3
latihan soal:
Diketahui bilangan kompleks
z1  4  3i
carilah:
, z2  2  5i , z3  5  i
a . z
3
1
b . z
2
1
z
c .
z
2
1
2
2
z
d .
z
2
1
2
2



z
2
z
3
z
z
2
1
2
3
•
•
•
•
•
silakan pelajari fungsi :
polinomial
trigonometri
eksponensial
logaritma