latihan aljabar linier (1)

Latihan
:
1. Carilah persamaan karakteristik dari matriks-matriks berikut :
3 0
a. [
]
8 −1
10 −9
b. [
]
4 −1
0 3
c. [
]
4 0
2. Carilah eigenvalue dari matriks-matriks berikut :
4 0 1
a. P = [−2 1 0]
−2 0 1
0 0
2 0
1
0
1 0]
b. Q =[
0 1 −2
0
0 0
0 1
3. Carilah basis untuk ruang eigen matriks :
5 0 1
H = [ 1 1 0]
−7 1 0
Penyelesaian :
1. Carilah persamaan karakteristik dari matrik – matriks berikut :
3 0
a. [
]
8 −1
Penyelesaian :
A=[
3 0
]
8 −1
𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 [
1 0
3 0
]−[
]
0 1
8 −1
𝜆−3 0
= [
]
−8 𝜆
Dan det (𝜆𝐼 − 𝐴) = [
𝜆−3
−8
0
]=0
𝜆
= ((𝜆 − 3)(𝜆)) − ((0)(−8)) = 0
= 𝜆2 − 3𝜆 + 0 = 0
Persamaan karakteristiknya :
𝜆2 − 3𝜆 + 0 = 0
b.
[
10 −9
]
4 −1
penyelesaian :
10
A=[
4
−9
]
−1
𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 [
=[
1 0
10 −9
]−[
]
0 1
4 −1
𝜆 − 10 9
]
−4
𝜆
Dan det (𝜆𝐼 − 𝐴) = [
𝜆 − 10
−4
9
]
𝜆
= ((𝜆 − 10)(𝜆)) − ((9)(−4)) = 0
= 𝜆2 − 10𝜆 + 36 = 0
Persamaan karakteristiknya :
= 𝜆2 − 10𝜆 + 36 = 0
c. [
0 3
]
4 0
Penyelesaian :
0
A=[
4
3
]
0
1 0
0 3
𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 [
]−[
]
0 1
4 0
𝜆 −3
= [
]
−4 𝜆
𝜆 −3
Dan det (𝜆𝐼 − 𝐴) = [
]
−4 𝜆
= ((𝜆)(𝜆))— ((−3)(−4)) = 0
= 𝜆2 − 12 = 0
Persamaan karakteristiknya :
=𝜆2 − 12 = 0
2. Carillah eigenvalue dari matriks - matriks berikut :
4 0 1
a. P = [−2 1 0]
−2 0 1
Penyelesaian :
1 0 0
4 0 1
𝜆−4
𝜆𝐼 − 𝑃 = 𝜆 [0 1 0] − [−2 1 0] = [ 2
0 0 1
−2 0 1
2
0
𝜆−1
0
−1
0 ]=0
𝜆−1
𝜆−4
0
−1
Dan det (𝜆𝐼 − 𝑃) = [ 2
𝜆−1
0 ]=0
2
0
𝜆−1
2
0
𝜆−1
0
2 𝜆−1
= 𝜆 − 4[
]− 0[
]−[
]
2 𝜆−1
0
𝜆−1
2
0
= 𝜆 − 4((𝜆 − 1)(𝜆 − 1) − 0) − (0 − (𝜆 − 1)(2))
= 𝜆 − 4(𝜆2 − 2𝜆 + 1) − (2𝜆 − 2)
= (𝜆3 − 2𝜆2 + 𝜆 − 4𝜆2 + 8𝜆2 − 4) − (2𝜆 − 2)
= (𝜆3 + 2𝜆2 − 𝜆 − 2) = 0
Persamaan karakteristiknya :
= (𝜆3 + 2𝜆2 − 𝜆 − 2) = 0
Sehingga eigenvalue dari P adalah
0 0
2
1
b. Q =[1 0
0 1 −2
0 0
0
Penyelesaian :
0
0]
0
1
1 0
𝜆𝐼 − 𝑄 = 𝜆 [0 1
0 0
0 0
𝜆 0
= [−1 𝜆
0 −1
0 0
0
0
1
0
0
0 0
2
0] − [1 0
1
0
0 1 −2
1
0 0
0
−2 0
−1 0 ]
𝜆−2
0
0
𝜆−1
0
0]
0
1
3. Carilah basis untuk ruang eigen matriks :
5 0 1
H = [ 1 1 0]
−7 1 0
Penyelesaian :