Nilai dan Vektor Eigen-ES

KELOMPOK 3
•
•
•
•
•
•
•
•
Muh. Fadel Ashari
Ridwansyah Burhanuddin
Alfriandi Kansasi Issan
Febry Valentino
Candra Winata
Jimmy Wahyudi
Muh. Rifqi Risqullah Rahmat
Arjat
D021191034
D021191036
D021191037
D021191038
D021191039
D021191044
D021191057
D021171023
Nilai dan Vektor Eigen
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Definisi: Nilai dan Vektor Eigen
Definisi:
Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen
dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga
Av = λv.
λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan λ .
Syarat perlu: v ≠ 0
(1) λ ≥ 1
(2) 0 ≤ λ ≤ 1
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
(3) -1 ≤ λ ≤ 0
(4) λ ≤ - 1
Masalah Vektor Eigen
Diberikan matriks persegi A,
A
x
A
x
sejajar
=
x
λ x
Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax
adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x).
atau
Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx
untuk suatu skalar λ
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Nilai Eigen
Diberikan matriks persegi A.
A x
=
λ x
x vektor tak nol
Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu
vektor tak nol x.
atau
Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan
Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Pernyataan-pernyataan ekuivalen
Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen
1.  nilai eigen A
2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x
3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)
4.  adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0
Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian
persamaan det(I-A) = 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Persamaan Karakteristik
Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ,
p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik
Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut
persamaan karakteristik
A
det A-λI
-
λI
=
A-λI
•persamaan
karakteristik
= λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0
Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi
matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh
2 0
Mencari semua nilai eigen A=  4 1 


Mencari semua penyelesaian persamaan det
2-λ
0
4
1-λ
=0
Mencari penyelesaian persamaan karakteristik (2 - λ )(1 - λ ) = 0
1  2,
Nilai eigen A adalah
2  1
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Prosedur: menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi A.
Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:
1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0
tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ
2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan
sukubanyak karakteristik:
λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen
merupakan penyelesaian persamaan tersebut.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: Menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi
 1 1 1
A   0 3 3
 2 1 1
1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0
1
1 
1  
det( A   I )  det  0
3
3 
 2
1
1   
(1   )2 (3   )  6  2(3   )  3(1   )  0
2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:
3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen
(1   )2 (3   )  (3   )  0
 (  2)(3   )  0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai-nilai eigen A:
λ1 = 0
λ2 = 2
λ3 = 3
Nilai eigen matriks diagonal
Diberikan matriks diagonal
2
0
A
0

0
0 0 0
5 0 0 
0 6 0

0 0 1
0
0
0 
2  
 0

5


0
0

A  I  
 0
0
6
0 


0
0
1  
 0
•Persamaan karakteristik: (2   )(5   )(6   )(1   )  0
•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1
(merupakan entri diagonal utama)
Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal
utamanya.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Bagaimana menentukan apakah suatu
skalar merupakan nilai eigen?
•
Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.
2 2 0
A   0 4 0 
 0 1 0
Jawab:
Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0,
maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.
2
0 
2  2

det( A  2 I )  det  0
42
0   0
 0
1
0  2 
2
0 
2  0

det( A  0 I )  det  0
40
0   8  0
 0
1
0  0
2
0 
2  4
det( A  4 I )  det  0
44
0   0
 0
1
0  4 
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
2 adalah nilai eigen A
0 bukan nilai eigen A
4 nilai eigen A
Kelipatan skalar vektor eigen
•
Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai
eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A
 1 1 1
A   0 3 3 ,
 2 1 1
 4
x   6
 2 
 2 
1 x   3
2
 
 1 
 1 1 1  4  8 
Ax   0 3 3  6   12  2 x
 2 1 1  2   4 
 40
10 x   60
 20 
 20 
5 x   30 
 10 
 1 1 1  40  80 
A(10 x)   0 3 3  60   120  2(10 x)
 2 1 1  20   40 
Ax = 2 x
A(10x) = 2 (10x)
λ
A
x =
A
(10) x =
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
x
λ
(10) x
Kelipatan skalar vektor eigen
 1 1 1
A   0 3 3 ,
 2 1 1
 2 
1 x   3
2
 
 1 
 4
x   6
 2 
 1 1 1  4  8 
Ax   0 3 3  6   12  2 x
 2 1 1  2   4 
 1 1 1  2
A( 12 x)   0 3 3  3 
 2 1 1  1 
Ax = 2 x
A
x =
 4
 6  2( 1 x)
2
 
 2 
A(1/2 x) = 2 (1/2 x)
λ
x
A
(1/2) x =
λ (1/2) x
Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah
vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Menentukan semua vektor eigen Eλ
•
Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
•
Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan
menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)
Null(A - λ I)
Himpunan semua penyelesaian
SPL (A - λ I)x = 0
Himpunan semua vektor eigen
bersesuaian dengan λ
0
Null(A - λ I)-{0}
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Ruang Eigen
Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol
Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Null(A - λ I)x
0
Ruang Eigen
Eλ
Null(A - λ I) = Eλ
Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x =
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
0
Menentukan ruang eigen Eλ
•
Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan
semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.
1
1 
1  3
A   I   0 3  3 3 
 2
1 1  3
 1 1 1
A   0 3 3
 2 1 1
SPL (A - 3 I)x = 0
1
1   x1  0
1  3
( A  3I ) x   0 3  3 3   x2   0 
 2
1 1  3  x3  0 
Penyelesaian x1
x2
x3

a
 2a
 0
Himpunan penyelesaian
2 x1  x2  x3
3x3
2 x1  x2  2 x3
 1 

  

a  2  , a  R 
 0

  

 1 


Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 : a  2  , a  0, a  R 
 0

  

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
 0
 0
 0
Nilai eigen matriks pangkat
•
•
Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.
 1 1 1
A   0 3 3
 2 1 1
Tentukan nilai eigen untuk
 1 5 5 
A2   6 12 12 , A13 , A20
 4 2 1 
•
•
Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya.
Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga
Ax = λx
kalikan kedua ruas dengan matriks A
A.Ax = A λx
A2x = λ(Ax)
substitusi Ax dengan λx
A2x = λ2x
jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2
Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn
adalah nilai eigen An
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks singular
•
Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A.
Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik:
dengan menganti  dengan 0, diperoleh c0 = 0.
Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0.
Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.
•
Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil  = 0.Jadi det(A) = c0.
Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0.
Sehingga  = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;
 = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.
0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A
tidak mempunyai inverse.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks transpose
det(B) = det(BT)
(A-  I)T = (AT- I)
Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A,
 maka det(A-  I)= 0
Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,
 maka det(A-  I)T= 0
Karena (A-  I)T = (AT- I) ,
 maka det(AT-  I)= 0
Jadi,  adalah nilai eigen dari AT
A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama
A dan A-1 mempuyai nilai
eigen yang sama
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Diagonalisasi
Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang
mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal.
5 6

Contoh: A  

 3 4 
 2 1
P

1
1


P-1AP=
 1 1
P 1  

 1 2 
 1 1 5 6   2 1
2 0 

D
 1 1
 1 2  





 3 4  
 0 1
Matriks
diagonal
A dapat didiagonalkan
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kapan matriks A dapat didiagonalkan?
•
Teorema:
Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:
1. A dapat didiagonalkan
2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier
Bukti (1)  (2)  a11

Diberikan A A   a21


 an1
a12
a22
an 2
a1n 
a2n 


ann 
Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse
 p11
p
P   21


 pn1
p12
p22
pn 2
 p11
p
AP=PD   21


 pn1
p1n 
p2n 


pnn 
p1n 
p2 n 


pnn 
p12
p22
pn 2
Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal
 1 p11 2 p12
 p
 1 21 2 p22


 1 pn1 2 pn 2
n p1n 
n p2 n 


n pnn 
1 0
0 
2
D


0 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
0
0 


n 
Kapan matriks A dapat didiagonalkan?
(lanjt)
P-1AP = D, kalikan dengan P-1,
AP = PD
 p11
p
PD   21


 pn1
p12
p22
pn 2
 a11 a12
a
a
AP   21 22


 an1 an 2
p1n 
p2 n 


pnn 
a1n 
a2n 


ann 
 1 0
0 
2



0 0
 p11
p
 21


 pn1
p12
p22
pn 2
0
0 


n 
 1 p11 2 p12
 p
2 p22
  1 21


 1 pn1 2 pn 2
p1n 
p2 n 


pnn 
  A p1
n p1n 
n p2n 


n pnn 
A p2
 1 p1 2 p2
n pn 
A pn 
AP = PD, jadi
Ap1  1 p1
Ap2  2 p2
Apn  n pn
Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol.
Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai
eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier
(karena P mempunya inverse)
Bukti untuk (2)  (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam
pemahaman.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Prosedur mendiagonalkan matriks
•
Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
Prosedur
1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn
3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya
adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk
j = 1, 2, 3, …, n
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: mendiagonalkan matriks
•
Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
 5 6 
A

 3 4 
Prosedur
1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya
yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian
dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh
2
p1   
1 
1
p2   
1
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.
 2 1
P

 1 1
P
1
 1 1



1
2


3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2
berturut-turut
2 0 
D

0

1


Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Diagonalisasi dan masalah
vektor eigen
• Masalah vektor eigen
Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor
eigen?
• Masalah diagonalisasi
Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P
sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal?
Teorema:
Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas
linier.
Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn.
Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia