turunan - Directory UMM

Assalamualaikum Wr. Wb
DIFERENSIAL
Oleh Kelompok 11 :
Rika Farhani (09320011)
Noor Syahrida (09320019)
Yesi Priska Marina (09320033)
Konsep Turunan
Titik Balik
Titik Kritis
Titik Belok
Interval Naik Turun
Menggambar Grafik
Lets go to the
questions
Definisi Turunan
• Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f
aksen) yang nilainya pada sebarang nilai c
adalah :
f (c  h )  f (c )
f ' (c)  lim
h 0
h
• Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
bahwa f terdiferensialkan di c. Pencarian
turunan disebut pendiferensialkan.
Bentuk Lain Notasi Turunan
• untuk menyatakan turunan dari fungsi dapat
digunakan satu diantara notasi=notasi berikut.
Sifat – Sifat Turunan
1. jika dengan c dan n konstanta real, maka
dy
 cnx n 1
dx
2. jika y  c dengan c R maka
3. Jika y  f ( x)  g ( x) maka
4. Jika y  f ( x).g ( x) maka
dy
0
dx
dy
 f ' ( x)  g ' ( x)
dx
dy
 f ' ( x). g ( x)  g ' ( x). f ( x)
dx
5. Jika
y
f ( x)
g ( x)
maka
dy f ' ( x).g ( x)  g ' ( x). f ( x)

dx
g ( x)2
6. Jika y   f ( x) maka
dy
n1
 n f ( x) . f ' ( x)
dx
7. Jika
y  sin f ( x)
maka
dy
 cos f ( x). f ' ( x)
dx
8. Jika
y  cos f ( x) maka
dy
  sin f ( x) f ' ( x)
dx
n
Turunan Ke-n dari suatu fungsi
•
Notasi Yang Digunakan
Turunan Pertama
Turunan kedua
……………………….
Turunan ke-n
y’ atau f’(x) atau dy atau df
dx
dx
y’’ atau f’’(x) atau d²y atau d²f
dx ²
dx ²
…. ….. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….
y
(n ) atau
n
f ( n ) ( x) atau d y
atau d n f
dx n
dx n
Contoh soal
1.Carilah turunan dari y  x3  2x 2
Jawab: y  x 3  2 x 2  dy  3x 2  4 x
dx
2. Carilah turunan dari
Jawab: y  x 2 ( x 2  2)
y  x 2 ( x 2  2)
f ( x)  x 2  f ' ( x)  2 x
g ( x)  x 2  2  g ' ( x)  2 x
 y '  2 x ( x 2  2)  2 x ( x 2 )  4 x 3  4 x
3. Carilah turunan dari
Jawab:
f ( x)  sin( x  1)
f ( x)  sin( x 2  1)
f ( x)  x 2  1  f ' ( x)  2 x


dy
 cos( x 2  1) .2 x  2 x cos( x 2  1)
dx
2
Titik kritis
• Definisi titik kritis
Definisi titik kritis adalah titik interior dalam f
dimana f ‘ 0 atau tidak ada.
Contoh
• f(x) = 4x – 3x2 + 1 ; x [2,1] , tentukan nilai ekstrim fungsi f !
a. titik –titik ujung adalah x = 2 dan x = 1
X = 2f(2) = 4(2) – 3(2)² +1 = 8 – 12 + 1= -3
x = 1f(1) = 4(1) – 3(1)² +1 = 4 – 3 + 1 = 2
b. Titik kritis
f(x) = 4x – 3x² - 1
f’(x) = 4 – 6x
f’ (x) = 0
4 – 6x = 0
4 = 6x
4/6 = x, maka tidak mencapai titik kritis
Nilai minimum = { -3, 2},
nilai maksimum = {-3, 2 } = 2
Interval naik turun
• Kurva naik untuk dan turun untuk Interval
yang memenuhi dan dapat ditentukan
dengan menggambarkan garis bilangan dari
Contoh
Tentukan interval fungsi naik dan turun dari
y  x 3  3x 2  24 x.
Jawab :
2
y  f ( x)  x 3  3x 2  24  3x  2 x  8  3( x  4)( x  2)
x1  4 : x2  2
Dapat diketahui bahwa untuk atau dan untuk
jadi fungsi naik untuk atau dan fungsi turun
untuk
Titik balik
• Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c, f(c))
suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke
atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada
sisi lainnya dari c. Grafik berikut menunjukkan
sejumlah kemungkinan.
Titik Belok
• Definisi titik belok fungsi
Jika pada titik (a, f(a)) terjadi perubahan
kecekungan grafik fungsi y=f(x) (dari cekung ke
bawah menjadi cekung ke atas atau
sebaliknya) maka titik (a,f(a)) dinamakan titik
belok fungsi y= f(x).
Perhatikan
Grafik
disamping
Menggambar Grafik
Langkah-langkah untuk memggambar grafik fungsi:
Langkah I
1. tentukan koordinat-koordinat titik potong
dengan sumbu-sumbu koordinat
2. tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari
fungsi , yaitu f’(x) dan f’’(x)
3. jika fungsi didefinisikan dalam interval tertutup,
tentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval.
4. jika diperlukan, tentuakan beberapa titik tertentu.
Langkah II
Titik-titik yang diperoleh pada langkah I
digambarkan pada bidang cartesius.
Langkah III
Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam
bidang Cartesius pada langkah II dihubungkan
dengan mempertimbangkan naik atau turunnya
fungsi dan kecekunga fungsi pada intervalinterval yang telah ditentukan
Soal – Soal Latihan
y 
x
x2 1
1.
Carilah turunan dari
2.
Carilah turunan dari y = x² sin 3x
3.
Carilah turunan dari y =
x
2

1
1
x
4. Carilah nilai balik maksimum dan nilai balik minimum pada fungsi
f(x)=x⁴ - 2x²
5.
Tentukan koordinat-koordinat titik belok fungsi f(x)= x⁴ -8x³
+18x²+12x-25 dalam daerah asal Df = {x/XєR}