Bahan Ajar Kalkulus Diferensial Yosep Dwi Kristanto https://orcid.org/0000-0003-1446-0422 Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi 4.0 Internasional. Model-Model Matematis: Daftar Fungsi-Fungsi Esensial Proses Pemodelan Permasalahan kehidupan nyata Model matematis Kesimpulan matematis Prediksi kehidupan nyata Model Linear Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk ππ π₯π₯ = ππππ + ππ Grafik fungsi tersebut berupa garis dengan gradien ππ dan memotong sumbu-y di ππ. Latihan Soal a. Ketika udara kering naik, udara tersebut akan mengembang dan menjadi dingin. Jika suhu di permukaan tanah adalah 20β dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10β, nyatakan suhu ππ (dalam β) sebagai fungsi terhadap ketinggian (dalam km), dengan mengasumsikan bahwa model linear berlaku untuk masalah ini. b. Gambarlah grafik fungsi pada bagian a. Apa yang direpresentasikan gradiennya? c. Berapakah suhu pada ketinggian 2,5 km? Latihan Soal Tabel berikut mendaftar tingkat karbondioksida dalam atmosfer, yang diukur dalam ppm dari 1980 sampai 2012. Gunakan data dalam tabel tersebut untuk menentukan model tingkat karbondioksida. Tahun 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 Tingkat CO2 338,7 341,2 344,4 347,2 351,5 354,2 356,3 358,6 362,4 Tahun 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 Tingkat CO2 366,5 369,4 373,2 377,5 381,9 385,6 389,9 393,8 Polinomial Fungsi ππ disebut polinomial jika ππ π₯π₯ = ππππ π₯π₯ ππ + ππππ−1 π₯π₯ ππ−1 + β― + ππ2 π₯π₯ 2 + ππ1 π₯π₯ + ππ0 dimana ππ adalah bilangan bulat tidak negatif dan ππ0 , ππ1 , ππ2 , …, ππππ adalah bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan ππ1 , ππ2 , …, ππππ yang disebut koefisien dan ππ0 disebut konstanta. Latihan Soal Sebuah bola dijatuhkan dari gedung dengan ketinggian 450 m, dan tingginya dicatat setiap 1 detik dalam tabel di bawah. Temukan model yang cocok untuk data tersebut untuk memprediksi kapan bola tersebut sampai di permukaan tanah. Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tinggi (meter) 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61 Fungsi Pangkat Fungsi yang memiliki bentuk ππ π₯π₯ = π₯π₯ ππ , dimana ππ konstanta disebut sebagai fungsi pangkat. Beberapa kasus fungsi ini adalah sebagai berikut. 1. ππ = ππ dimana ππ bilangan bulat positif. 2. ππ = 1⁄ππ dimana ππ bilangan bulat positif. 3. ππ = −1. Fungsi Rasional Fungsi rasional ππ merupakan rasio dari dua polinomial: ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ dimana ππ dan ππ adalah polinomial. Domain fungsi ini memuat semua nilai π₯π₯ sedemikian sehingga ππ π₯π₯ ≠ 0. Fungsi Aljabar Suatu fungsi ππ disebut sebagai fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibentuk dengan operasi-operasi aljabar yang dimulai dari polinomial. Contoh: π₯π₯ 2 − 1 π₯π₯ 2 − 6 + π₯π₯ − 1 ππ π₯π₯ = π₯π₯ + π₯π₯ ππ π₯π₯ = 3 π₯π₯ + 1 Fungsi Trigonometri Fungsi-fungsi sinus dan cosinus memiliki domain −∞, ∞ dan range selang tutup −1, 1 . −1 ≤ cos π₯π₯ ≤ 1 −1 ≤ sin π₯π₯ ≤ 1 Fungsi-fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi-fungsi periodik dengan periode 2ππ. sin π₯π₯ + 2ππ = sin π₯π₯ cos π₯π₯ + 2ππ = cos π₯π₯ Latihan Soal Tentukan domain fungsi berikut. 1 ππ π₯π₯ = 1 − 2 cos π₯π₯ Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki bentuk ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ , dimana basis ππ merupakan konstanta positif. Fungsi Logaritma Fungsi logaritma ππ π₯π₯ = log ππ π₯π₯, dimana basis ππ merupakan konstanta positif, adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial. Latihan Soal Klasifikasikan fungsi-fungsi berikut sesuai dengan jenis-jenis fungsi yang telah dibahas sebelumnya. (a) ππ π₯π₯ = 10π₯π₯ (b) ππ π₯π₯ = π₯π₯ 10 (c) β π₯π₯ = 1+π₯π₯ 1+ π₯π₯ 4 (c) π’π’ π‘π‘ = 5π‘π‘ − 3π‘π‘ 2 + 9 Latihan Soal (Lagi) Biaya berkendara sebuah mobil setiap bulannya bergantung pada jarak tempuh. Pada bulan Mei, Maria mengeluarkan biaya Rp380.000,00 untuk berkendara sejauh 480 km dan pada bulan Juni dia mengeluarkan biaya Rp 460.000,00 untuk berkendara sejauh 800 km. a. Nyatakan biaya berkendara bulanan π΅π΅ sebagai fungsi terhadap jarak π π , dengan asumsi bahwa relasinya linear. b. Gunakan bagian a untuk memprediksi biaya berkendara sejauh 1.500 km per bulan. c. Gambarlah grafik fungsi linear tersebut. Apa yang direpresentasikan gradiennya? d. Apa yang direpresentasikan perpotongan grafik terhadap sumbu vertikal? e. Mengapa fungsi linear cocok sebagai model pada permasalahan ini? Fungsi Baru dari Fungsi Lama Transformasi Fungsi Pergeseran vertikal dan horizontal Misalkan ππ > 0. Untuk memperoleh grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ + ππ, geser grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ sejauh ππ satuan ke atas π¦π¦ = ππ π₯π₯ − ππ, geser grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ sejauh ππ satuan ke bawah π¦π¦ = ππ π₯π₯ − ππ , geser grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ sejauh ππ satuan ke kanan π¦π¦ = ππ π₯π₯ + ππ , geser grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ sejauh ππ satuan ke kiri Pergeseran y π¦π¦ = ππ π₯π₯ + ππ π¦π¦ = ππ π₯π₯ π¦π¦ = ππ π₯π₯ + ππ 0 ππ π¦π¦ = ππ π₯π₯ − ππ ππ ππ π¦π¦ = ππ π₯π₯ − ππ ππ x Pergeseran grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ Transformasi Fungsi Dilatasi dan pencerminan vertikal dan horizontal Misalkan ππ > 1. Untuk mendapat grafik π¦π¦ = ππππ π₯π₯ , rentangkan grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ secara vertikal dengan faktor ππ. π¦π¦ = 1⁄ππ ππ π₯π₯ , susutkan grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ secara vertikal dengan faktor ππ. π¦π¦ = ππ ππππ , susutkan grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ secara horizontal dengan faktor ππ. π¦π¦ = ππ π₯π₯⁄ππ , rentangkan grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ secara horizontal dengan faktor ππ. π¦π¦ = −ππ π₯π₯ , cerminkan grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ terhadap sumbu-x. π¦π¦ = ππ −π₯π₯ , cerminkan grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ terhadap sumbu-y. Dilatasi dan Pencerminan y π¦π¦ = ππ −π₯π₯ 0 π¦π¦ = ππππ π₯π₯ ππ > 1 π¦π¦ = ππ π₯π₯ 1 π¦π¦ = ππ π₯π₯ ππ π¦π¦ = −ππ π₯π₯ x Dilatasi dan pencerminan grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ Latihan Soal Diberikan grafik fungsi π¦π¦ = π₯π₯ di samping. Gunakan transformasi untuk menggambar grafik π¦π¦ = π₯π₯ − 2, π¦π¦ = π₯π₯ − 2, π¦π¦ = − π₯π₯, π¦π¦ = 2 π₯π₯ dan π¦π¦ = −π₯π₯. y π¦π¦ = π₯π₯ 1 1 x Latihan Soal Skestasalah grafik fungsi-fungsi berikut. a. ππ π₯π₯ = π₯π₯ 2 − 8π₯π₯ + 13. b. ππ π₯π₯ = sin 2π₯π₯ c. β π₯π₯ = 1 − sin π₯π₯ Kombinasi Fungsi-Fungsi Dua fungsi ππ dan ππ dapat dikombinasikan untuk membentuk fungsi baru ππ + ππ, ππ − ππ, ππππ, dan ππ⁄ππ dengan cara yang serupa ketika menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilanganbilangan real. ππ + ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ Domain: π·π·ππ ∩ π·π·ππ ππ − ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ − ππ π₯π₯ ππππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ ππ⁄ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ Domain: π·π·ππ ∩ π·π·ππ Domain: π·π·ππ ∩ π·π·ππ Domain: π₯π₯ ∈ π·π·ππ ∩ π·π·ππ | ππ π₯π₯ ≠ 0 Komposisi Fungsi Definisi Diberikan dua fungsi ππ dan ππ, fungsi komposit ππ β ππ (juga disebut dengan komposisi ππ dan ππ) didefinisikan sebagai berikut. ππ β ππ π₯π₯ = ππ ππ π₯π₯ Latihan Soal Jika ππ π₯π₯ = π₯π₯ dan ππ π₯π₯ = 2 − π₯π₯, tentukan masing-masing fungsi berikut beserta domainnya. a. ππ β ππ b. ππ β ππ c. ππ β ππ d. ππ β ππ Latihan Soal Diberikan πΉπΉ π₯π₯ = sin2 π₯π₯ − 4 , tentukan fungsi ππ, ππ, dan β sedemikian sehingga πΉπΉ = ππ β ππ β β. Permasalahan Garis Singgung dan Kecepatan Permasalahan Garis Singgung Apa yang dimaksud garis singgung? Garis Singgung? π‘π‘ (a) πΆπΆ π‘π‘ (b) π π Contoh 1 π¦π¦ π¦π¦ = π₯π₯ 2 0 ππ π₯π₯, π₯π₯ 2 ππ 1, 1 π₯π₯ Tentukan persamaan garis singgung parabola π¦π¦ = π₯π₯ 2 pada titik ππ 1, 1 . Garis Potong π¦π¦ π¦π¦ = π₯π₯ 2 ππ 1, 1 0 π‘π‘ ππ π₯π₯, π₯π₯ 2 π π π₯π₯ Gradien garis potong ππππ adalah π₯π₯ 2 − 1 ππππππ = π₯π₯ − 1 Misalkan, untuk π₯π₯ = 1,5: 1,5 2 − 1 = 2,5 ππππππ = 1,5 − 1 Pendekatan Gradien ππ 2 1,5 1,1 1,01 1,001 πππ·π·π·π· 3 2,5 2,1 2,01 2,001 ππ 0 0,5 0,9 0,99 0,999 πππ·π·π·π· 1 1,5 1,9 1,99 1,999 Berdasarkan tabel di samping, maka gradien garis singgung parabola adalah ππ = lim ππππππ dan ππ→ππ π₯π₯ 2 − 1 =2 ππ = lim π₯π₯→1 π₯π₯ − 1 Persamaan Garis Singgung Berdasarkan investigasi sebelumnya diperoleh gradien garis singgung ππ = 2 dan melalui titik ππ 1, 1 . Maka, persamaan garis singgung tersebut adalah π¦π¦ − π¦π¦1 = ππ π₯π₯ − π₯π₯1 π¦π¦ − 1 = 2 π₯π₯ − 1 π¦π¦ − 1 = 2π₯π₯ − 2 π¦π¦ = 2π₯π₯ − 1 π¦π¦ π¦π¦ = π₯π₯ 2 −1 1 0 −1 π¦π¦ = 2π₯π₯ − 1 ππ 1, 1 1 π₯π₯ Ilustrasi Proses Limit Permasalahan Kecepatan Bagaimana mendefinisikan kecepatan sesaat? Contoh 2 Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari puncak Gama Tower di Jakarta, 290 meter di atas permukaan tanah. Tentukan kecepatan bola tepat setelah 5 detik dijatuhkan. Kecepatan Jarak π π yang telah ditempuh bola setelah jatuh π‘π‘ detik dapat dirumuskan π π π‘π‘ = 4,9π‘π‘ 2 Rumus kecepatan rata-rata adalah perubahan posisi kecepatan rata−rata = waktu Berapakah kecepatan bola tepat ketika π‘π‘ = 5 detik? Pendekatan Kecepatan Sesaat Kecepatan rata-rata ketika π‘π‘ = 5 detik sampai π‘π‘ = 5,1: perubahan posisi kecepatan rata-rata = waktu π π 5,1 − π π 5 = 5,1 − 5 4,9 5,1 2 − 4,9 5 = 5,1 − 5 2 = 49,49 m/s Kecepatan rata-rata pada selang 5 ≤ π‘π‘ ≤ 5,1 adalah 49,49 m/s. Kecepatan Sesaat Selang Waktu 5 ≤ π‘π‘ ≤ 5,1 5 ≤ π‘π‘ ≤ 5,05 5 ≤ π‘π‘ ≤ 5,01 5 ≤ π‘π‘ ≤ 5,005 5 ≤ π‘π‘ ≤ 5,001 Kecepatan ratarata (m/s) 49,49 Berdasarkan tabel di samping kecepatan rata-ratanya akan mendekati —? —. Kecepatan sesaat ketika π‘π‘ = 5 didefinisikan sebagai nilai limit kecepatan rata-rata tersebut selama periode waktu yang terus menerus semakin singkat, yang dimulai dari π‘π‘ = 5. Hubungan Garis Singgung & Kecepatan Sesaat π π π π = 4,9π‘π‘ 2 ππ π π Gradien garis potong = kecepatan rata-rata ππ 0 ππ π π = 4,9π‘π‘ 2 ππ ππ + β π‘π‘ 0 Gradien garis singgung = kecepatan sesaat π‘π‘ Latihan Soal Titik ππ 3, −1 terletak pada kurva π¦π¦ = 1⁄ 2 − π₯π₯ . (a) Jika ππ adalah titik π₯π₯, 1⁄ 2 − π₯π₯ , gunakan kalkulator untuk menentukan gradien garis potong ππππ (sampai 6 angka di belakang koma) untuk nilai-nilai π₯π₯ berikut: (ii) 2,9 (iii) 2,99 (iv) 2,999 (i) 2,5 (v) 3,5 (vi) 3,1 (vii) 3,01 (viii) 3,001 (b) Dengan menggunakan hasil di bagian (a), perkirakan gradien garis singgung kurva pada titik ππ 3, −1 . (c) Dengan menggunakan gradien di bagian (b), tentukan persamaan garis singgung pada titik ππ 3, −1 . Limit Suatu Fungsi Pertanyaan Awal Bagaimana perilaku fungsi ππ π₯π₯ = π₯π₯ 2 − 2π₯π₯ + 3 untuk nilai-nilai π₯π₯ yang dekat dengan 3? Tabel Nilai Fungsi ππ 2 2,5 2,8 2,9 2,95 2,99 2,995 2,999 ππ ππ 3 4,25 5,24 5,61 5,8025 5,9601 5,98003 5,996 ππ 4 3,5 3,2 3,1 3,05 3,01 3,005 3,001 ππ ππ 11 8,25 6,84 6,41 6,2025 6,0401 6,02003 6,004 Grafik Fungsi π¦π¦ f(x) mendekati 6. Tampak bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 6 dengan memilih nilai x yang dekat dengan 3. π¦π¦ = π₯π₯ 2 − 2π₯π₯ + 3 6 lim π₯π₯ 2 − 2π₯π₯ + 3 = 6 π₯π₯→3 3 0 x mendekati 3. π₯π₯ Definisi Intuitif Limit Misalkan f(x) terdefinisi ketika x dekat dengan a. Maka kita menuliskan lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ dan mengatakan “limit f(x), untuk x mendekati a, sama dengan L” jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih nilai x yang dekat ke a (pada kedua sisinya) tetapi tidak sama dengan a. Ilustrasi Limit Fungsi … tetapi π₯π₯ ≠ ππ y y y L L L 0 a x 0 a x 0 a x Contoh 1 Tebaklah nilai limit π₯π₯ − 2 lim 2 π₯π₯→2 π₯π₯ − 4 Pembahasan Tabel di samping memberikan nilai-nilai ππ π₯π₯ untuk π₯π₯ mendekati 2 (tetapi tidak sama dengan 2). ππ < ππ ππ ππ ππ > ππ ππ ππ 1,5 0,285714 2,5 0,222222 1,9 0,25641 2,1 0,243902 1,99 0,250672 2,01 0,249377 1,999 0,250063 2,001 0,249938 1,9999 0,250006 2,0001 0,249994 Contoh 1 Berdasarkan tabel sebelumnya dan grafik di samping diperoleh π₯π₯ − 2 = 0,25 lim 2 π₯π₯→2 π₯π₯ − 4 y 0,25 π¦π¦ = π₯π₯ − 2 π₯π₯ 2 − 4 2 x Masalah… Bagaimana jika, π₯π₯ − 2 ππ π₯π₯ = οΏ½π₯π₯ 2 − 4 , 1, Berapakah nilai lim ππ π₯π₯ = —?— π₯π₯→2 y π₯π₯ ≠ 2 π₯π₯ = 2 0,25 π¦π¦ = ππ π₯π₯ 2 x Latihan Soal Perkirakan nilai limit berikut. π‘π‘ 2 + 25 − 5 lim π‘π‘→0 π‘π‘ 2 Kesalahan Kalkulator Pada latihan soal sebelumnya bagaimana jika kita memilih nilai-nilai x yang sangat dekat dengan 0? ππ ±0,000001 ±0,0000001 ±0,00000001 ππππ + ππππ − ππ ππππ 0.099476 0.0888178 0,0000000 −5 ≤ π‘π‘ ≤ 5 −10−6 ≤ π‘π‘ ≤ 10−6 Latihan Soal Selidikilah nilai limit berikut. ππ lim sin π₯π₯→0 2π₯π₯ Nilai Limit Tidak Ada y ππ π¦π¦ = sin 2π₯π₯ 1 –2 2 –1 Terlalu banyak fluktuasi x Nilai Limit Tidak Ada y f(x) = 1 1 –3 ππ π₯π₯ = –2 − π₯π₯ π₯π₯ –1 1 2 f(x) = –1 –1 Perilaku kanan & kiri tidak sama 3 x Limit Sepihak DEFINISI LIMIT KIRI Kita menulis lim− ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ dan mengatakan limit kiri f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x kurang dari a. Limit Sepihak DEFINISI LIMIT KANAN Kita menulis lim+ ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ dan mengatakan limit kanan f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x lebih dari a. Ilustrasi Limit Sepihak y y f(x) x 0 lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ − L L a x 0 f(x) a x lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ + x Limit dan Limit Sepihak lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ jika dan hanya jika lim− ππ π₯π₯ = πΏπΏ dan lim+ ππ π₯π₯ = πΏπΏ. π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ Latihan Soal Gunakan grafik di samping untuk menentukan nilai-nilai limit (jika ada) berikut. (b) lim+ ππ π₯π₯ (a) lim− ππ π₯π₯ π₯π₯→2 (c) lim− ππ π₯π₯ π₯π₯→5 (e) lim ππ π₯π₯ π₯π₯→2 π₯π₯→2 (d) lim+ ππ π₯π₯ π₯π₯→5 (f) lim ππ π₯π₯ π₯π₯→5 y y = g(x) 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x Definisi Formal (ε-δ) Limit Permasalahan Awal 1 2 π₯π₯ 2 Gunakan grafik untuk menentukan seberapa dekat π₯π₯ ke 2 untuk menjamin bahwa ππ π₯π₯ berjarak kurang dari 0,5 dari 2. Mengapa? y 3 π¦π¦ = 1 2 π₯π₯ 2 2 1 0 1 2 3 x Pembahasan y 3 2,5 2 2 1 1,5 0 1 2 3 x 2 1,5 1,5 2 2,5 2 2,5 Pembahasan Nilai ππ π₯π₯ akan berjarak kurang dari 0,5 dari 2, atau dapat dituliskan ππ π₯π₯ − 2 < 0,5 Jika nilai-nilai π₯π₯ berada di antara 2 1,5 ≈ 1,732 dan 2 2,5 ≈ 2,236, yaitu 1,732 < π₯π₯ < 2,236. Dari dua ujung interval tersebut, 2,336 lebih dekat ke 2, yaitu 2 – 2,236 = 0,236. Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa: Jika 1,764 < π₯π₯ < 2,236 maka ππ π₯π₯ − 2 < 0,5 Definisi Formal Limit Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada beberapa selang buka yang memuat bilangan a, kecuali mungkin di a itu sendiri. Maka kita mengatakan limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ Jika untuk setiap bilangan ε > 0 ada bilangan δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < π₯π₯ − ππ < πΏπΏ maka ππ π₯π₯ − πΏπΏ < ππ (Definisi ini sering disebut dengan definisi ε-δ limit.) Cerita Nanang & Christin Nanang memiliki dugaan bahwa: lim 2π₯π₯ + 3 = 5 π₯π₯→1 Bagaimana Nanang membuktikan kepada Christin bahwa dugaannya benar? Contoh Soal Dengan menggunakan definisi ε-δ limit, buktikan bahwa limit (4x – 5) untuk x mendekati 2 sama dengan 3, yaitu lim 4π₯π₯ − 5 = 3 π₯π₯→2 Pembahasan Analisis Pendahuluan Misalkan diberikan bilangan positif ε. Kita ingin mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga jika 0 < π₯π₯ − 2 < πΏπΏ maka 4π₯π₯ − 5 − 3 < ππ. Padahal, dengan menggunakan aljabar kita peroleh 4π₯π₯ − 5 − 3 < ππ ⇔ 4π₯π₯ − 8 < ππ ⇔ 4 π₯π₯ − 2 < ππ ⇔ 4 π₯π₯ − 2 < ππ Sifat Nilai Mutlak: ππππ ⇔ π₯π₯ − 2 < Sehingga kita pilih πΏπΏ = ππ ⁄4. ππ 4 = ππ ππ Pembahasan Bukti Formal Diberikan ε > 0 pilih δ = ε/4. Jika 0 < |x – 2| < δ, maka 4π₯π₯ − 5 − 3 = 4π₯π₯ − 8 = 4 π₯π₯ − 2 = 4 π₯π₯ − 2 ππ 4 < 4 οΏ½ = ππ Dengan menggunakan sifat transitif = dan <, diperoleh 4π₯π₯ − 5 − 3 < ππ ο’ Tugas Kelompok Definisi Limit Sepihak Definisi Limit Kiri lim− ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ Jika untuk setiap bilangan ππ > 0 ada bilangan πΏπΏ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < ππ − π₯π₯ < πΏπΏ maka ππ π₯π₯ − πΏπΏ < ππ. Definisi Limit Kanan lim+ ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ Jika untuk setiap bilangan ππ > 0 ada bilangan πΏπΏ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < π₯π₯ − ππ < πΏπΏ maka ππ π₯π₯ − πΏπΏ < ππ. Contoh Gunakan definisi limit sepihak untuk membuktikan bahwa lim+ π₯π₯ = 0 π₯π₯→0 PEMBAHASAN Analisis Pendahuluan Misalkan ε adalah bilangan positif yang diberikan. Kita akan mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga maka π₯π₯ − 0 < ππ jika 0 < π₯π₯ − 0 < πΏπΏ yaitu, jika 0 < π₯π₯ < πΏπΏ maka π₯π₯ < ππ Pembahasan Perhatikan bahwa, π₯π₯ < ππ π₯π₯ < ππ 2 Sehingga, kita pilih πΏπΏ = ππ 2 . Bukti formal Diberikan ππ > 0 ada πΏπΏ = ππ 2 , sedemikian sehingga jika 0 < π₯π₯ − 0 < πΏπΏ, maka π₯π₯ − 0 = π₯π₯ < πΏπΏ = ππ 2 = ππ Berdasarkan definisi limit sepihak, terbukti bahwa lim+ π₯π₯ = 0. π₯π₯→0 ο’ Teorema-Teorema Limit Beberapa Limit Dasar Teorema A Misalkan ππ bilangan bulat positif, ππ adalah konstanta. Maka 2. lim π₯π₯ = ππ; 3. lim π₯π₯ ππ = ππππ . 1. lim ππ = ππ; π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ Teorema Limit Utama lim ππ π₯π₯ οΏ½ ππ π₯π₯ = lim ππ π₯π₯ οΏ½ lim ππ π₯π₯ ; Teorema B Misalkan ππ bilangan bulat 4. π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ positif, ππ adalah konstanta, dan ππ dan lim ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ lim = jika lim ππ π₯π₯ ≠ 0; ππ adalah fungsi-fungsi yang memiliki 5. π₯π₯→ππ lim ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ limit di ππ. Maka ππ ππ 6. lim ππ π₯π₯ = lim ππ π₯π₯ ; π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ 1. lim ππππ π₯π₯ = ππ lim ππ π₯π₯ ; π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ ππ ππ 7. lim ππ π₯π₯ = lim ππ π₯π₯ , asalkan 2. lim ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ = lim ππ π₯π₯ + lim ππ π₯π₯ ; π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ 3. lim ππ π₯π₯ − ππ π₯π₯ = lim ππ π₯π₯ − lim ππ π₯π₯ ; π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ lim ππ π₯π₯ ≥ 0 jika ππ genap. π₯π₯→ππ Contoh 1 Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya. lim 3π₯π₯ 2 − 2π₯π₯ + 5 π₯π₯→1 PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya. lim 3π₯π₯ 2 − 2π₯π₯ + 5 = lim 3π₯π₯ 2 − lim 2π₯π₯ + lim 5 Teorema B2 dan B3 π₯π₯→1 π₯π₯→1 π₯π₯→1 π₯π₯→1 = 3 lim π₯π₯ 2 − 2 lim π₯π₯ + lim 5 π₯π₯→1 3 12 = =6 π₯π₯→1 −2 1 +5 π₯π₯→1 Teorema B1 Teorema A3, A2, dan A1 Latihan 1 Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya. 3π₯π₯ 5 − 7π₯π₯ 4 + 5π₯π₯ − 3 lim π₯π₯→2 π₯π₯ 3 − 2π₯π₯ 2 + 1 Teorema Substitusi Teorema C Jika ππ adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan ππ berada di domain ππ, maka lim ππ π₯π₯ = ππ ππ π₯π₯→ππ Latihan 2 Tentukan limit berikut. π₯π₯ 2 − 25 lim π₯π₯→5 π₯π₯ + 5 Fungsi yang Berbeda di Satu Titik Teorema D Jika ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ ketika π₯π₯ ≠ ππ, maka lim ππ π₯π₯ = π₯π₯→ππ lim ππ π₯π₯ dengan syarat limit-limitnya ada. π₯π₯→ππ Contoh 2 Tentukan lim ππ π₯π₯ dimana π₯π₯→5 π₯π₯ + 5 ππ π₯π₯ = οΏ½ ππ jika π₯π₯ ≠ 5 jika π₯π₯ = 5 PEMBAHASAN Di sini fungsi ππ terdefinisi di π₯π₯ = 5 dan ππ 5 = ππ. Tetapi nilai limit ππ π₯π₯ ketika π₯π₯ mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena ππ π₯π₯ = π₯π₯ + 5 untuk π₯π₯ ≠ 5, maka lim ππ π₯π₯ = lim π₯π₯ + 5 = 5 + 5 = 10 π₯π₯→5 π₯π₯→5 Pembahasan π¦π¦ = ππ π₯π₯ π¦π¦ 10 10 5 5 0 2 4 6 π¦π¦ = ππ π₯π₯ π¦π¦ 8 π₯π₯ 0 2 Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2) 4 6 8 π₯π₯ Latihan 3 Tentukan nilai limit-limit berikut. (a) 2+β 2 −4 lim β β→0 (b) π‘π‘ 2 +9−3 lim π‘π‘ π‘π‘→0 Teorema Apit Teorema E Misalkan ππ, ππ, dan β adalah fungsi-fungsi yang memenuhi ππ π₯π₯ ≤ ππ π₯π₯ ≤ β π₯π₯ untuk semua π₯π₯ yang dekat dengan ππ, kecuali mungkin di ππ dan maka lim ππ π₯π₯ = lim β π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ π₯π₯→ππ y h g L f 0 a x Latihan 4 Tunjukkan bahwa 1 2 =0 lim π₯π₯ sin π₯π₯→0 π₯π₯ Ilustrasi y 0 x Limit-Limit Trigonometri Limit Fungsi-Fungsi Trigonometri Teorema A Untuk setiap bilangan real a dalam domain fungsi, 2. lim cos π₯π₯ = cos ππ 1. lim sin π₯π₯ = sin ππ 3. 5. π₯π₯→ππ lim tan π₯π₯ = tan ππ π₯π₯→ππ lim sec π₯π₯ = sec ππ π₯π₯→ππ 4. 6. π₯π₯→ππ lim cot π₯π₯ = cot ππ π₯π₯→ππ lim csc π₯π₯ = csc ππ π₯π₯→ππ Pembuktian Teorema A Bukti Teorema A1 Pertama kita akan buktikan untuk x = 0. Misalkan x > 0 dan misalkan titiktitik A, B, dan P didefinisikan seperti pada gambar di samping. Maka, οΏ½ 0 < π΅π΅π΅π΅ < π΄π΄π΄π΄ < π΄π΄π΄π΄ οΏ½ = π₯π₯, maka Karena π΅π΅π΅π΅ = sin π₯π₯ dan π΄π΄π΄π΄ 0 < sin π₯π₯ < π₯π₯ Jika π₯π₯ < 0 maka π₯π₯ < sin π₯π₯ < 0. Dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh lim sin π₯π₯ = 0. π₯π₯→0 0, 1 ππ ππ cos π₯π₯ , sin π₯π₯ π΅π΅ π₯π₯ π΄π΄ 1, 0 Pembuktian Teorema A Untuk melengkapi bukti, kita perlu membuktikan lim cos π₯π₯ = 1. Hal π₯π₯→0 ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit akar. lim cos π₯π₯ = lim 1 − sin2 π₯π₯ = π₯π₯→0 π₯π₯→0 1 − lim sin π₯π₯ π₯π₯→0 2 = 1 − 02 = 1 Pembuktian Teorema A Sekarang, untuk menunjukkan bahwa lim sin π₯π₯ = sin ππ, pertama π₯π₯→ππ kita misalkan β = π₯π₯ − ππ sehingga β → 0 jika π₯π₯ → ππ. Maka, lim sin π₯π₯ = lim sin ππ + β π₯π₯→ππ β→0 = lim sin ππ cos β + cos ππ sin β β→0 = sin ππ lim cos β + cos ππ lim sin β β→0 = sin ππ 1 + cos ππ 0 = sin ππ β→0 ο’ Contoh 1 Tentukan lim π₯π₯→0 π₯π₯ 2 −1 sin π₯π₯ π₯π₯+1 . PEMBAHASAN Pertama kita gunakan teorema limit perkalian, kemudian kita gunakan Teorema A1. lim π₯π₯→0 π₯π₯ 2 −1 sin π₯π₯ π₯π₯+1 = π₯π₯ 2 −1 lim π₯π₯→0 π₯π₯+1 lim sin π₯π₯ π₯π₯→0 = −1 0 = 0. Limit perkalian Substitusi dan A1 ο’ Latihan 1 Tentukan nilai limit berikut. cos2 π‘π‘ lim π‘π‘→0 1 + sin π‘π‘ Limit-Limit Trigonometri Khusus Teorema B 1. sin π₯π₯ lim π₯π₯→0 π₯π₯ =1 2. 1−cos π₯π₯ lim π₯π₯ π₯π₯→0 =0 Pembuktian Teorema B Bukti Teorema B1 Pada pembuktian sebelumnya, kita telah menunjukkan lim cos π₯π₯ = 1 π₯π₯→0 dan lim sin π₯π₯ = 0 π₯π₯→0 Untuk − ππ⁄2 ≤ π₯π₯ ≤ ππ⁄2, π₯π₯ ≠ 0, kita gambar ruas garis vertikal BP dan busur BC, seperti pada gambar di samping. Dari gambar kita dapat melihat bahwa πΏπΏjuring ππππππ ≤ πΏπΏβππππππ ≤ πΏπΏjuring ππππππ 0, 1 ππ πΆπΆ ππ cos π₯π₯ , sin π₯π₯ π΅π΅ π₯π₯ π΄π΄ 1, 0 Pembuktian Teorema B Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi, sedangkan luas 1 2 juring dengan sudut pusat x dan berjari-jari r adalah ππ π₯π₯ . 2 Sehingga, 1 2 cos π₯π₯ 2 π₯π₯ ≤ 1 cos π₯π₯ 2 sin π‘π‘ ≤ 1 2 1 2 π₯π₯ Dengan mengalikan semua ruas dengan 2⁄ π₯π₯ cos π₯π₯ , kita peroleh cos π₯π₯ ≤ sin π₯π₯ π₯π₯ ≤ 1 cos π₯π₯ Pembuktian Teorema B Karena bentuk sin π₯π₯ ⁄π₯π₯ positif untuk − ππ⁄2 ≤ π₯π₯ ≤ ππ⁄2, π₯π₯ ≠ 0, maka sin π₯π₯ ⁄ π₯π₯ = sin π₯π₯ ⁄π₯π₯. Sehingga, sin π₯π₯ 1 cos π₯π₯ ≤ ≤ π₯π₯ cos π₯π₯ Karena limit fungsi-fungsi “terluar” di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1, maka dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh sin π₯π₯ lim =1 π₯π₯→0 π₯π₯ ο’ Contoh 2 Tentukan sin 5π₯π₯ lim . π₯π₯ π₯π₯→0 PEMBAHASAN Dengan menggunakan teorema-teorema limit, kita peroleh sin 5π₯π₯ lim π₯π₯→0 π₯π₯ = lim 5 οΏ½ = = π₯π₯→0 sin 5π₯π₯ 5π₯π₯ sin 5π₯π₯ 5 lim π₯π₯→0 5π₯π₯ sin π¦π¦ 5 lim π¦π¦→0 π¦π¦ =5 1 =5 Kalikan dengan 5/5 Limit perkalian konstanta Misal π¦π¦ = 5π₯π₯ ο’ Latihan 2 Tentukan nilai limit-limit trigonometri berikut. (a) sin 2π₯π₯ lim π₯π₯→0 3π₯π₯ (b) 1−cos π‘π‘ lim π‘π‘→0 sin π‘π‘ (c) tan 3π₯π₯ lim π₯π₯→0 sin π₯π₯ Tugas Pada gambar di samping, misalkan D adalah luas segitiga ABP dan E adalah luas daerah yang diarsir. (a) Tebaklah π·π· lim π₯π₯→0+ πΈπΈ 0, 1 dengan melihat gambar di samping. (b) Temukan rumus D/E dalam x. (c) Gunakan kalkulator untuk mendapat perkiraan yang lebih akurat dari nilai π·π· lim+ . π₯π₯→0 πΈπΈ ππ cos π₯π₯ , sin π₯π₯ ππ π₯π₯ π΅π΅ π₯π₯ π΄π΄ 1, 0 Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga Limit di Tak Hingga Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus? y –5 0,5 π₯π₯ ππ π₯π₯ = 2 π₯π₯ + 1 0 5 –0,5 x Tabel Nilai-Nilai Fungsi π₯π₯ 10 100 1.000 10.000 ↓ ∞ π₯π₯ 2 π₯π₯ 2 + 1 0,0990 0,0100 0,0010 0,0001 ↓ ? Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar. π₯π₯ =0 lim 2 π₯π₯→∞ π₯π₯ + 1 Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa π₯π₯ =0 lim 2 π₯π₯→−∞ π₯π₯ + 1 Definisi Formal Limit Ketika π₯π₯ → ±∞ Limit Ketika π₯π₯ → ∞ Misalkan f terdefinisi pada [a, ∞) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ jika untuk π₯π₯→∞ setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehingga jika π₯π₯ > ππ maka ππ π₯π₯ − πΏπΏ < ππ Limit Ketika π₯π₯ → −∞ Misalkan f terdefinisi pada (–∞, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim ππ π₯π₯ = πΏπΏ jika untuk π₯π₯→−∞ setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehingga jika π₯π₯ < ππ maka ππ π₯π₯ − πΏπΏ < ππ Contoh 1 Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka 1 lim ππ = 0 π₯π₯→∞ π₯π₯ Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga jika π₯π₯ > ππ maka 1 π₯π₯ ππ − 0 < ππ Pembahasan Perhatikan bahwa 1 π₯π₯ ππ − 0 < ππ 1 π₯π₯ ππ < ππ Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga 1 π₯π₯ ππ < ππ ππ π₯π₯ > π₯π₯ > 1 ππ ππ 1⁄ππ Sehingga, kita akan memilih ππ = ππ 1⁄ππ Pembahasan Bukti Formal Misalkan diberikan ππ > 0. Pilih ππ = sehingga jika π₯π₯ > ππ, maka 1 π₯π₯ ππ −0 = 1 π₯π₯ ππ < 1 ππππ = ππ ππ 1⁄ππ, sedemikian ο’ Latihan 1 Buktikan bahwa 1 lim ππ = 0 π₯π₯→−∞ π₯π₯ Contoh 2 Buktikan bahwa π₯π₯ =0 lim 2 π₯π₯→∞ π₯π₯ + 1 PEMBAHASAN Kita bagi pembilang dan penyebut dengan π₯π₯ berpangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yaitu π₯π₯ 2 . 1 1 lim π₯π₯ 0 π₯π₯ π₯π₯→∞ π₯π₯ = lim =0 lim 2 = = 1 1 π₯π₯→∞ π₯π₯ + 1 π₯π₯→∞ 1 + 0 lim 1 + lim 2 1+ 2 π₯π₯ π₯π₯→∞ π₯π₯→∞ π₯π₯ Latihan 2 Tentukan 3π₯π₯ 3 lim 3. 1−π₯π₯ π₯π₯→−∞ Definisi Limit Suatu Barisan Misalkan sn terdefinisi untuk semua bilangan asli lebih dari atau sama dengan beberapa bilangan a. Kita mengatakan bahwa lim π π ππ = πΏπΏ jika untuk setiap ε > 0 ada bilangan ππ→∞ asli M sedemikian sehingga jika ππ > ππ maka π π ππ − πΏπΏ < ππ Latihan 3 Tentukan limit barisan berikut. lim ππ→∞ 2ππ + 1 ππ − 2 Limit Tak Hingga Definisi Kita mengatakan bahwa lim+ ππ π₯π₯ = ∞ jika untuk setiap π₯π₯→ππ bilangan positif M, ada δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < π₯π₯ − ππ < πΏπΏ maka ππ π₯π₯ > ππ Contoh 3 Tentukan lim+ π₯π₯→3 1 π₯π₯−3 2 dan lim− π₯π₯→3 1 . π₯π₯−3 2 PEMBAHASAN Ketika π₯π₯ → 3 penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga 1⁄ π₯π₯ − 3 2 dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga, 1 π₯π₯−3 2 =∞ 1 lim π₯π₯→3− π₯π₯−3 2 =∞ lim+ π₯π₯→3 Dengan alasan yang serupa + y 1 π¦π¦ = π₯π₯ − 3 2 2 0 2 4 6 x Limit Tak Hingga & Asimtot Garis π₯π₯ = ππ merupakan asimtot vertikal grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar. 1. 3. lim+ ππ π₯π₯ = ∞ π₯π₯→ππ lim− ππ π₯π₯ = ∞ π₯π₯→ππ 2. 4. lim+ ππ π₯π₯ = −∞ π₯π₯→ππ lim− ππ π₯π₯ = −∞ π₯π₯→ππ Kekontinuan Fungsi Kekontinuan di Suatu Titik Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi f kontinu di a jika lim ππ π₯π₯ = ππ ππ π₯π₯→ππ Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a: 1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f) 2. lim ππ π₯π₯ ada π₯π₯→ππ 3. lim ππ π₯π₯ = ππ ππ π₯π₯→ππ Contoh 1 Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa? y PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena 0 lim ππ π₯π₯ ≠ ππ 5 π₯π₯→5 1 2 3 4 5 x Latihan 1 Misalkan ππ π₯π₯ = f kontinu di 3? π₯π₯ 2 −9 , π₯π₯−3 π₯π₯ ≠ 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar Kontinu dari Kiri dan dari Kanan Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jika lim+ ππ π₯π₯ = ππ ππ π₯π₯→ππ Dan f kontinu dari kiri di a jika lim− ππ π₯π₯ = ππ ππ π₯π₯→ππ Contoh 2 Untuk setiap bilangan bulat ππ, fungsi ππ π₯π₯ = π₯π₯ (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena lim+ ππ π₯π₯ = lim+ π₯π₯ = ππ = ππ ππ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ y 1 –1 0 1 2 3 x Kekontinuan pada Interval Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.) Contoh 3 Tunjukkan bahwa fungsi ππ π₯π₯ = 1 − π₯π₯ 2 kontinu pada selang [–1, 1]. PEMBAHASAN Jika –1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit lim ππ π₯π₯ = lim 1 − π₯π₯ 2 π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ = lim 1 − π₯π₯ 2 π₯π₯→ππ = 1 − ππ2 = ππ ππ Sehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika –1 < a < 1. Pembahasan Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh y lim + ππ π₯π₯ = ππ −1 , dan π₯π₯→−1 lim− ππ π₯π₯ = ππ 1 π₯π₯→1 sehingga f kontinu dari kanan di –1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [–1, 1]. 1 –1 0 ππ π₯π₯ = 1 − π₯π₯ 2 1 x Operasi-Operasi Fungsi Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a. 1. f + g 2. f – g 4. fg 5. f/g, jika g(a) ≠ 0 3. cf Pembuktian Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka lim ππ π₯π₯ = ππ ππ , dan π₯π₯→ππ lim ππ π₯π₯ = ππ ππ . π₯π₯→ππ Sehingga, lim ππ + ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ = lim ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ = lim ππ π₯π₯ + lim ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ = ππ ππ + ππ ππ π₯π₯→ππ Hal ini menunjukkan bahwa f + g ο’ kontinu di a. Fungsi-Fungsi Kontinu Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya. • • • • Fungsi polinomial Fungsi rasional Fungsi akar Fungsi trigonometri Latihan 2 Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu? π₯π₯ 2 − π₯π₯ + 2 ππ π₯π₯ = π₯π₯ 2 − 4 Teorema Limit Fungsi Komposit Teorema 6 Jika f kontinu di b dan lim ππ π₯π₯ = ππ, maka lim ππ ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ = ππ ππ . Dengan kata lain lim ππ ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ π₯π₯→ππ = ππ lim ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit ππ β ππ kontinu di a. Latihan 3 Dimanakah fungsi berikut kontinu? 1 πΉπΉ π₯π₯ = π₯π₯ 2 + 7 − 4 Teorema Nilai Tengah Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) ≠ f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N. y f(b) N f(a) 0 a c1 c2 c3 b x Latihan 4 Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x – 3 = 0 di antara 1 dan 2. Turunan Permasalahan Garis Singgung y y Q(x, f(x)) y = f(x) Q Q fx) – f(a) Q P(a, f(a)) Q x–a 0 a Q x x 0 P Q x Garis Singgung DEFINISI Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(a, f(a)) adalah garis yang melalui P dan bergradien ππ π₯π₯ − ππ ππ ππ = lim π₯π₯→ππ π₯π₯ − ππ Latihan y y = 2/x (2, 1) 0 x Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2/x di titik (2, 1). Permasalahan Kecepatan Posisi ketika t=a 0 Posisi ketika t=a+h f(a + h) – f(a) f(a) f(a + h) s Kecepatan rata-rata ππ ππ + β − ππ ππ β Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat adalah nilai limit dari kecepatan rata-rata: ππ ππ + β − ππ ππ π£π£ ππ = lim β→0 β Latihan Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 60 km/jam dan kemudian direm, sehingga posisinya dari awal pengereman dapat dimodelkan dengan π π π‘π‘ = 60π‘π‘ − 5π‘π‘ 2 Tentukan kecepatan sesaat mobil tersebut 5 detik setelah pengereman. Dua Bentuk Satu Makna ππ π₯π₯ − ππ ππ lim π₯π₯→ππ π₯π₯ − ππ ππ ππ + β − ππ ππ lim β→0 β Turunan DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan f’(a), adalah ππ ππ + β − ππ ππ ′ ππ ππ = lim β→0 β Latihan Tentukan turunan fungsi ππ π₯π₯ = π₯π₯ 2 − 4π₯π₯ + 3 di π₯π₯ = 4. Latihan Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di bilangan a. (a) ππ π₯π₯ = 3 − 5π₯π₯ (b) ππ π₯π₯ = π₯π₯ 2 − 2π₯π₯ + 1 (c) β π‘π‘ = π₯π₯ 3 + 3π₯π₯ (d) πΉπΉ π₯π₯ = π₯π₯, π₯π₯ > 0 Latihan Masing-masing bentuk berikut ini merupakan turunan, tetapi turunan dari fungsi apa dan di bilangan mana? (a) 4+β 2 −16 lim β β→0 5 5 − π₯π₯ 3 (b) lim π₯π₯→3 π₯π₯−3 Tugas Jari-jari balon udara yang berbentuk bola bertambah dengan kecepatan 0,5 cm per detik. Jika jari-jarinya adalah 0 cm ketika t = 0, tentukan kecepatan perubahan volume balon udara tersebut pada saat t = 3. Turunan Sebagai Suatu Fungsi Turunan Sebagai Suatu Fungsi DEFINISI Turunan f didefinisikan sebagai berikut. ππ π₯π₯ + β − ππ π₯π₯ πππ π₯π₯ = lim β→0 β untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada. Catatan: Nilai f’ di x, yaitu f’(x), dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai gradien garis singgung grafik f di titik (x, f(x)). Contoh 1 Grafik fungsi f ditunjukkan pada gambar di samping. Gunakan gambar tersebut untuk mensketsa grafik f’. y 2 y = f(x) 1 0 1 2 3 x Pembahasan Kita dapat memperkirakan nilai turunan pada sembarang x dengan menggambar garis singgung di titik (x, f(x)) kemudian memperkirakan gradiennya. Dengan memperkirakan turunan f di beberapa titik kemudian menghubungkannya dengan kurva harus, diperoleh grafik f’ seperti gambar di samping. y y = f’(x) 2 1 m=0 m=0 1 m=0 m=1 2 3 x Soal 1 (a) Jika ππ π₯π₯ = π₯π₯ 3 − π₯π₯, tentukan rumus untuk f’(x). (b) Ilustrasikan rumus ini untuk membandingkan grafik f dan f’. Soal 2 Jika ππ π₯π₯ = π₯π₯, carilah turunan f. Nyatakan domain f’. Soal 3 Tentukan f’ jika ππ π₯π₯ = 2−π₯π₯ . 1+π₯π₯ Notasi-Notasi Lainnya Jika kita gunakan notasi y = f(x) untuk menunjukkan bahwa x sebagai varibel bebas dan y sebagai variabel terikat, maka beberapa notasi alternatif turunan adalah sebagai berikut. ππππ ππππ ππ ′ ′ = = ππ π₯π₯ = π·π·π·π· π₯π₯ = π·π·π₯π₯ ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ = π¦π¦ = ππππ ππππ ππππ Jika kita ingin menunjukkan nilai turunan dalam notasi dy/dx (notasi Leibniz) pada bilangan tertentu a, maka kita tuliskan ππππ οΏ½ ππππ π₯π₯=ππ atau ππππ οΏ½ ππππ π₯π₯=ππ Fungsi Terdiferensialkan DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (– ∞, a) atau (–∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut. Soal 4 Dimanakah fungsi f(x) = |x| terdiferensialkan? Terdiferensialkan Mengakibatkan Kekontinuan TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a. Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan y 0 y a (a) Pojok x 0 y a (b) Tidak kontinu x 0 a (c) Garis singgung vertikal x Turunan yang Lebih Tinggi Jika f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka turunannya f’ juga merupakan suatu fungsi, sehingga f’ memiliki turunan sendiri, dan dinotasikan dengan (f’)’ = f”. Fungsi baru ini disebut dengan turunan kedua dari f. Dengan menggunakan notasi Leibniz, turunan kedua dari y = f(x) dapat dituliskan menjadi ππ ππππ ππ2 π¦π¦ = 2 ππππ ππππ πππ₯π₯ Soal 5 Jika ππ π₯π₯ = π₯π₯ 3 − π₯π₯, cari dan interpretasikan f”(x). Eksplorasi Diberikan ππ π₯π₯ = π₯π₯ 3 + π₯π₯ 2 − π₯π₯ dan π₯π₯0 = 1. (a) Gambarlah grafik y = f(x). (b) Tentukan bentuk (c) (d) (e) (f) ππ π₯π₯ + β − ππ π₯π₯ β Tentukan limit bentuk (b) ketika h mendekati 0. Substitusi nilai π₯π₯ = π₯π₯0 dan gambarlah grafik fungsi y = f(x) bersama dengan garis singgungnya di titik tersebut. Substitusikan beberapa nilai x yang lebih dari atau kurang dari x0 ke dalam rumus (c). Apakah hasilnya masuk akal dengan grafiknya? Gambarlah grafik yang diperoleh pada bagian (c). Apa artinya ketika nilainya negatif? Nol? Positif? Apakah masuk akal dengan grafik pada bagian (a)? Berikan alasan. Aturan-Aturan Turunan Apa yang Telah Kalian Pelajari? • Menentukan gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu. • Menentukan kecepatan sesaat suatu objek pada waktu tertentu. • Menggunakan definisi limit untuk menentukan turunan suatu fungsi pada titik tertentu. • Menyatakan turunan sebagai suatu fungsi dengan menggunakan definisi limit. • Memahami hubungan antara kekontinuan dan keterdiferensialan. Apa yang Akan Kalian Pelajari? • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi Konstan. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Pangkat. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Perkalian Konstanta. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi Konstan. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Penjumlahan dan Pengurangan. • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi. Fungsi Konstan •L y c Gambar di samping adalah grafik fungsi konstan. Apakah turunan dari fungsi konstan? y=c gradien = 0 0 x Turunan Fungsi Konstan TEOREMA 1 Turunan dari fungsi konstan adalah 0. Yaitu, jika c adalah bilangan real, maka ππ ππ = 0 ππππ BUKTI Kita terapkan definisi turunan kepada f(x) = c, fungsi yang outputnya selalu konstanta c. Untuk setiap nilai x, diperoleh ππ π₯π₯ + β − ππ π₯π₯ ππ − ππ ′ π₯π₯ = lim = lim = lim 0 = 0 ππ ο’ β→0 β→0 β β→0 β Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif TEOREMA 2 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka ππ ππ π₯π₯ = πππ₯π₯ ππ−1 ππππ Ekspansi Binomial Sebelum membuktikan turunan bilangan bulat positif, kita akan cari pola dalam ekspansi binomial: π₯π₯ + β π₯π₯ + β π₯π₯ + β π₯π₯ + β 2 π₯π₯ + β ππ 3 4 5 = π₯π₯ 2 + 2π₯π₯π₯ + β2 = π₯π₯ 3 + 3π₯π₯ 2 β + 3π₯π₯β2 + β3 = π₯π₯ 4 + 4π₯π₯ 3 β + 6π₯π₯ 2 β2 + 4π₯π₯β3 + β4 = π₯π₯ 5 + 5π₯π₯ 4 β + 10π₯π₯ 3 β2 + 10π₯π₯ 2 β3 + 5π₯π₯β4 + β5 Secara umum, ekspansi binomial untuk suatu bilangan bulat positif n adalah = π₯π₯ ππ + πππ₯π₯ ππ−1 β ππ ππ−1 π₯π₯ ππ−2 2 + β 2 + β― + βππ . Faktor persekutuan sukusuku ini adalah h2 Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif BUKTI Jika n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka dengan menggunakan ekspansi binomial kita peroleh ππ ππππ π₯π₯ ππ = π₯π₯+β ππ −π₯π₯ ππ lim β β→0 = lim β→0 = lim = ππ ππ−1 π₯π₯ππ−2 2 ππ ππ−1 π₯π₯ +πππ₯π₯ β+ β +β―+βππ −π₯π₯ ππ 2 πππ₯π₯ ππ−1 β→0 πππ₯π₯ ππ−1 = πππ₯π₯ ππ−1 + β ππ ππ−1 π₯π₯ ππ−2 β 2 + 0 + β―+ 0 + β― + βππ−1 Untuk kasus n = 1, pembuktian diserahkan kepada pembaca. ο’ Aturan Pangkat TEOREMA 3 Jika n adalah sembarang bilangan real, maka ππ ππ π₯π₯ = πππ₯π₯ ππ−1 ππππ untuk semua x dimana xn dan xn – 1 terdefinisi. CONTOH 1 (a) Jika ππ π₯π₯ = π₯π₯ 8 , maka πππ π₯π₯ = 8π₯π₯ 7 . (b) Jika π¦π¦ = π₯π₯ 100 , maka π¦π¦π¦ = 100π₯π₯ 99 . (c) Jika π¦π¦ = (d) ππ ππππ π‘π‘ 5 , maka ππ 3 = 3ππ 2 ππππ ππππ ο‘ Sekarang coba Uji Pemahaman 7 = 5π‘π‘ 4 ο’ Aturan Perkalian Konstanta TEOREMA 4 Jika c adalah suatu konstanta dan f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka ππ ππ ππ π₯π₯ ππππ π₯π₯ = ππ ππππ ππππ Aturan Perkalian Konstanta BUKTI Misalkan g(x) = cf(x). Maka, πππ π₯π₯ = ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ lim β β→0 = lim ππ = β→0 ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ ππ lim β β→0 = πππππ π₯π₯ = ππππ π₯π₯+β −ππππ π₯π₯ lim β β→0 ο’ Contoh 2 Turunan berikut ππ πππ₯π₯ 2 = ππ οΏ½ 2π₯π₯ = 6π₯π₯ ππππ menyatakan bahwa jika kita mengalikan masing-masing koordinat-y dengan 3, maka kita juga mengalikan gradien garis singgung pada masing-masing titik dengan 3. Sekarang coba Uji Pemahaman 8 y y = 3x2 3 y = x2 2 1 –2 gradien = 6 (1, 3) –1 0 gradien = 2 (1, 1) 1 2 x ο’ Aturan Penjumlahan dan Pengurangan TEOREMA 5 Jumlah (atau selisih) dua fungsi-fungsi yang terdiferensialkan menghasilkan fungsi yang terdiferensialkan. Selain itu, turunan dari f + g (atau f – g) merupakan jumlah (atau pengurangan) dari turunan f dan g. ππ ππ ππ ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ = Aturan Penjumlahan ππππ ππππ ππππ ππ ππ ππ Aturan Pengurangan ππ π₯π₯ − ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ − ππ π₯π₯ = ππππ ππππ ππππ Aturan Penjumlahan dan Pengurangan BUKTI Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka, πΉπΉπΉ π₯π₯ = = = = = πΉπΉ π₯π₯+β −πΉπΉ π₯π₯ lim β β→0 ππ π₯π₯+β +ππ π₯π₯+β − ππ π₯π₯ +ππ π₯π₯ lim β β→0 ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ lim + β β β→0 ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ lim + lim β β β→0 β→0 ππ ππ ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ ππππ ππππ Aturan Pengurangan dapat dibuktikan dengan cara yang serupa. ο’ Contoh 3 Apakah kurva y = x4 – 2x2 + 2 memiliki garis singgung horizontal? Jika iya, dimana? PEMBAHASAN Garis singgung horizontal, jika ada, terjadi jika gradiennya nol. Padahal ππππ = 4π₯π₯ 3 − 4π₯π₯ ππππ Pembahasan Selanjutnya kita selesaikan persamaan dy/dx = 0: 4π₯π₯ 3 − 4π₯π₯ = 0 4π₯π₯ π₯π₯ + 1 π₯π₯ − 1 = 0 π₯π₯ = 0, −1, 1 Jadi, kurva tersebut memiliki garis singgung horizontal di x = 0, –1, dan 1. Perhatikan gambar di samping. ο‘ Sekarang coba Uji Pemahaman 12–14 y y = x4 – 2x2 + 2 (0, 2) (–1, 1) –1 1 0 (1, 1) 1 x ο’ Aturan Hasil Kali TEOREMA 6 Jika f dan g keduanya terdiferensialkan, maka ππ ππ ππ ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ ππππ ππππ ππππ Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam π’π’π’π’ ′ = π’π’π£π£ ′ + π’π’′ π£π£ Aturan Hasil Kali BUKTI Misalkan F(x) = f(x)g(x). Maka πΉπΉπΉ π₯π₯ = = πΉπΉ π₯π₯+β −πΉπΉ π₯π₯ lim β β→0 ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ lim β β→0 Untuk menentukan nilai limit ini, kita akan memisahkan fungsifungsi f dan g seperti pada pembuktian di Aturan Penjumlahan. Aturan Hasil Kali Untuk memisahkan f dan g, kita jumlahkan dan kurangkan suku f(x + h)g(x) pada pembilang. πΉπΉπΉ π₯π₯ = ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ +ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ lim β β→0 = lim ππ π₯π₯ + β β→0 = lim ππ π₯π₯ + β οΏ½ β→0 = ππ π₯π₯ ππ ππ ππππ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β + ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ lim β β→0 π₯π₯ + ππ π₯π₯ ππ ππ ππππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β + lim ππ π₯π₯ οΏ½ β→0 ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ lim β β→0 ο’ Contoh 4 Tentukan turunan dari F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1). PEMBAHASAN (a) Dari Aturan Hasil Kali, kita peroleh πΉπΉπΉ π₯π₯ = π₯π₯ 2 −3 ππ ππππ π₯π₯ 3 +1 + π₯π₯ 3 +1 ππ ππππ π₯π₯ 2 − 3 = π₯π₯ 2 − 3 3π₯π₯ 2 + π₯π₯ 3 + 1 2π₯π₯ = 3π₯π₯ 4 − 9π₯π₯ 2 + 2π₯π₯ 4 + 2π₯π₯ = 5π₯π₯ 4 − 9π₯π₯ 2 + 2π₯π₯ (b) Turunan F juga bisa ditentukan dengan mengalikan faktor-faktornya terlebih dahulu: F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1) = x5 – 3x3 + x2 – 3. Sehingga πΉπΉπΉ π₯π₯ = 5π₯π₯ 4 − 9π₯π₯ 2 + 2π₯π₯ ο‘ Sekarang coba Uji Pemahaman 11 ο’ Gambaran Aturan Hasil Kali Misalkan f(x) dan g(x) positif dan nilainya naik ketika x naik, dan h > 0. Maka, perubahan fg merupakan selisih luas “persegi” yang lebih besar dengan yang lebih kecil, yang sama dengan jumlah dari luas persegi panjang merah bagian atas dan kanan. g(x + h) g(x) βππππ = ππ π₯π₯ + β ππ π₯π₯ + β − ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ + β βππ + ππ π₯π₯ βππ Δg f(x + h)Δg f(x)g(x) g(x)Δf Dengan membagi bentuk tersebut dengan h, diperoleh βππππ β = ππ π₯π₯+β βππ+ππ π₯π₯ βππ β Limit bentuk tersebut untuk β → Aturan Hasil Kali. Δf 0+ akan menghasilkan 0 f(x) f(x + h) Aturan Hasil Bagi TEOREMA 7 Jika f dan g terdiferensialkan, maka ππ ππ ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ − ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ ππ ππ π₯π₯ ππππ ππππ = ππ π₯π₯ 2 ππππ ππ π₯π₯ Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam π’π’ ′ π’π’π’π’π’ − π’π’π’π’π’ = π£π£ 2 π£π£ Aturan Hasil Bagi BUKTI Misalkan F(x) = f(x)/g(x). Maka πΉπΉπΉ π₯π₯ = πΉπΉ π₯π₯+β −πΉπΉ π₯π₯ lim β β→0 = lim = β→0 ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ −ππ π₯π₯ β ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β lim βππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ β→0 Selanjutnya kita akan memisahkan f dan g. Aturan Hasil Bagi Pemisahan f dan g dapat dilakukan dengan menjumlahkan dan mengurangkan bentuk f(x)g(x) pada pembilang. πΉπΉπΉ π₯π₯ = = ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β lim βππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ β→0 ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ +ππ π₯π₯ ππ π₯π₯ −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β lim βππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ β→0 = lim β→0 ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β ππ π₯π₯+β ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β β→0 lim ππ π₯π₯ οΏ½lim = β→0 −ππ π₯π₯ ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β β→0 lim ππ π₯π₯+β οΏ½lim ππ π₯π₯ β→0 ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β β→0 −lim ππ π₯π₯ οΏ½lim β→0 = ππ ππ ππ π₯π₯ ππππππ π₯π₯ −ππ π₯π₯ ππππππ π₯π₯ ππ π₯π₯ 2 ο’ Contoh 5 Misalkan π¦π¦ = π¦π¦π¦ = = = = π₯π₯ 2 −π₯π₯−6 , π₯π₯ 3 +5 maka ππ ππ π₯π₯ 3 +5 ππππ π₯π₯ 2 −π₯π₯−6 − π₯π₯ 2 −π₯π₯−6 ππππ π₯π₯ 3 +5 π₯π₯ 3 +5 2 π₯π₯ 3 +5 2π₯π₯−1 − π₯π₯ 2 −π₯π₯−6 3π₯π₯ 2 π₯π₯ 3 +5 2 2π₯π₯ 4 −π₯π₯ 3 +10π₯π₯−5 − 3π₯π₯ 4 −3π₯π₯ 3 −18π₯π₯ 2 π₯π₯ 3 +5 2 −π₯π₯ 4 +2π₯π₯ 3 +18π₯π₯ 2 +10π₯π₯−5 π₯π₯ 3 +5 2 Pembahasan Kita dapat menggunakan kalkulator grafik untuk memeriksa jawaban Contoh 8 masuk akal. Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi pada Contoh 5 dan turunannya. Perhatikan bahwa ketika y naik dengan cepat (di dekat –2), y’ bernilai besar. Dan ketika y naik secara perlahan, y’ dekat dengan 0. ο‘ Sekarang coba Uji Pemahaman 10 3 y’ –4 4 y –3 ο’ Rangkuman ππ ππππ ππππ ππ ππππ ππ = 0 ππππ ′ ′ = πππππ ′ = ππππ + πππππ π₯π₯ ππ = πππ₯π₯ ππ−1 ππ + ππ ππ ′ ππ = ′ = ππ ′ + πππ ππππ′ +ππππ′ ππ2 ππ − ππ ′ = ππ ′ − πππ Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri Fungsi Sinus y 0 π/2 π y 0 Apakah turunan fungsi sinus? y = f(x) = sin x 2π x y = f’(x) π/2 π 2π x Menemukan Turunan Fungsi Sinus Misalkan f(x) = sin x. Maka ππ π₯π₯+β −ππ π₯π₯ β β→0 πππ π₯π₯ = lim sin π₯π₯+β −sin π₯π₯ β β→0 sin π₯π₯ cos β+cos π₯π₯ sin β−sin π₯π₯ lim β β→0 sin π₯π₯ cos β−sin π₯π₯ cos π₯π₯ sin β lim + β β β→0 cos β−1 sin β lim sin π₯π₯ + cos π₯π₯ β β β→0 cos β−1 lim sin π₯π₯ οΏ½ lim + lim cos π₯π₯ β β→0 β→0 β→0 Definisi turunan = lim Substitusi f(x) = sin x = Pisahkan = = = = sin π₯π₯ 0 + cos π₯π₯ 1 = cos π₯π₯ Identitas penjumlahan sudut Faktorkan sin β β→0 β οΏ½ lim Limit Perkalian Sederhanakan Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus TEOREMA 1 Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensialkan, dan ππ ππππ sin π₯π₯ = cos π₯π₯ ππ ππππ cos π₯π₯ = − sin π₯π₯ Latihan 1 Tentukan turunan dari π¦π¦ = 5 sin π₯π₯ − 7 cos π₯π₯. Menemukan Turunan Fungsi Tangen Dengan menggunakan Aturan Hasil Bagi, kita bisa mendapatkan ππ ππππ tan π₯π₯ = = = = = ππ sin π₯π₯ ππππ cos π₯π₯ ππ Identitas trigonometri ππ cos π₯π₯ ππππ sin π₯π₯−sin π₯π₯ ππππ cos π₯π₯ cos2 π₯π₯ cos π₯π₯οΏ½cos π₯π₯−sin π₯π₯ − sin π₯π₯ cos2 π₯π₯ cos2 π₯π₯+sin2 π₯π₯ cos2 π₯π₯ 1 2 π₯π₯ = sec cos2 π₯π₯ Aturan Hasil Bagi Turunkan Sederhanakan Identitas trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya Teorema 2 Untuk semua x dalam domain fungsi, ππ ππππ ππ ππππ tan π₯π₯ = sec 2 π₯π₯ sec π₯π₯ = sec π₯π₯ tan π₯π₯ ππ ππππ ππ ππππ cot π₯π₯ = − csc 2 π₯π₯ csc π₯π₯ = − csc π₯π₯ cot π₯π₯ Latihan 2 Tentukan turunan ππ π₯π₯ = sec π₯π₯ . Tentukan semua nilai x 1+tan π₯π₯ yang membuat grafik f memiliki garis singgung horizontal. y –π 2 y = f(x) 0 π –2 x Latihan 3 Suatu objek di ujung sebuah pegas ditarik sejauh 4 cm dari posisi istirahatnya dan dilepaskan pada waktu t = 0. (perhatikan gambar di samping.) Posisi objek tersebut pada waktu t adalah π π = ππ π‘π‘ = 4 cos π‘π‘ Tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t dan gunakan hasilnya untuk menganalisis gerak objek tersebut. 0 4 s Latihan 4 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Perhatikan persamaan diferensial berikut. (a) (b) (c) π¦π¦π¦ π‘π‘ + π¦π¦ π‘π‘ = 0 Tunjukkan bahwa π¦π¦ = π΄π΄ sin π‘π‘ memenuhi persamaan tersebut untuk sembarang konstanta A. Tunjukkan bahwa π¦π¦ = π΅π΅ cos π‘π‘ memenuhi persamaan tersebut untuk sembarang konstanta B. Tunjukkan bahwa π¦π¦ = π΄π΄ sin π‘π‘ + π΅π΅ cos π‘π‘ memenuhi persamaan tersebut untuk sembarang konstanta A dan B. Latihan 5 Turunan sinn x Tentukan turunan-turunan berikut dengan menggunakan Aturan Hasil Kali. (a) ππ ππππ (b) sin2 π₯π₯ ππ ππππ sin3 π₯π₯ (c) ππ ππππ sin4 π₯π₯ (d) Berdasarkan jawaban pada bagian (a) – (c), buatlah dugaan ππ mengenai sinππ π₯π₯ . ππππ Aturan Rantai Turunan Fungsi Komposit 2 π₯π₯ 3 1 3 Fungsi π¦π¦ = = 2π₯π₯ merupakan komposisi dari fungsi π¦π¦ = dan π’π’ = 2π₯π₯. Padahal, ππππ 2 ππππ 1 = , = , ππππ 3 ππππ 3 2 1 Karena = οΏ½ 2, kita dapat 3 3 ππππ ππππ ππππ = οΏ½ ππππ ππππ ππππ dan ππππ ππππ = 2. melihat dalam kasus ini bahwa 1 π’π’ 3 B: u putaran 1 3 2 A: x putaran C: y putaran CONTOH 1 Fungsi y = (2x2 – 1)2 merupakan komposisi dari fungsi y = f(u) = u2 dan u = g(x) = 2x2 – 1. Kita tentukan turunan fungsi komposit tersebut, dan diperoleh ππππ ππππ = ππππ ππππ οΏ½ ππππ ππππ = 2π’π’ οΏ½ 4π₯π₯ = 2 2π₯π₯ 2 − 1 οΏ½ 4π₯π₯ = 16π₯π₯ 3 − 8π₯π₯ Turunan y = (2x2 – 1)2 juga dapat ditentukan dengan mengekspansi (2x2 – 1)2 = 4x4 – 4x2 + 1. Sehingga kita peroleh ππππ ππππ = ππ ππππ 4π₯π₯ 4 − 4π₯π₯ 2 + 1 = 16π₯π₯ 3 − 8π₯π₯ ο’ Aturan Rantai Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f β g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan ππ β ππ ′ π₯π₯ = πππ ππ π₯π₯ ⋅ πππ π₯π₯ Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka ππππ ππππ ππππ = ⋅ ππππ ππππ ππππ dimana dy/du ditentukan di u = g(x). Latihan 1 y Jika ππ π₯π₯ = ππ π₯π₯ , dimana grafik f ditunjukkan pada gambar di samping, tentukan g’(4) dan g’(–2). y = f(x) 2 0 2 x Latihan 2 Sebuah objek bergerak di sepanjang sumbu-x sedemikian sehingga posisinya pada sembarang waktu t ≥ 0 diberikan oleh persamaan π₯π₯ π‘π‘ = sin π‘π‘ 2 + 1 Tentukan kecepatan objek tersebut sebagai fungsi terhadap t. Contoh 2 Aturan Luar-Dalam Tentukan turunan sin(x2 + x) terhadap x. PEMBAHASAN Kita langsung gunakan Aturan Rantai untuk memperoleh Fungsi dalam tetap ππ sin π₯π₯ 2 + π₯π₯ ππππ Fungsi dalam = cos π₯π₯ 2 + π₯π₯ ⋅ 2π₯π₯ + 1 Turunan fungsi dalam ο’ Latihan 3 Penggunaan Berulang Aturan Rantai Tentukan turunan fungsi berikut. ππ π‘π‘ = tan 3 + cos 5π‘π‘ Aturan Rantai untuk Fungsi Pangkat Aturan Pangkat dan Aturan Rantai Jika n adalah sembarang bilangan real dan u = g(x) terdiferensialkan, maka ππ ππ ππππ ππ−1 π’π’ = πππ’π’ ππππ ππππ Atau dapat dituliskan menjadi ππ ππ π₯π₯ ππ = ππ ππ π₯π₯ ππ−1 ⋅ πππ π₯π₯ ππππ Latihan 3 Tentukan turunan dari fungsi berikut. 10 1 − 3π‘π‘ ππ π‘π‘ = 3 + π‘π‘ Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai? Analisis Pendahuluan Misalkan y = f(x) dan x berubah dari a ke a + Δx, kita definisikan perubahan y sebagai Δπ¦π¦ = ππ ππ + Δπ₯π₯ − ππ ππ Berdasarkan definisi turunan, βπ¦π¦ lim Δπ₯π₯→0 βπ₯π₯ = πππ ππ Sehingga jika kita notasikan selisih Δy/Δx dan f’(a) sebagai ε, kita peroleh βπ¦π¦ Δπ₯π₯→0 βπ₯π₯ lim ππ = lim Δπ₯π₯→0 − πππ ππ = ππ′ ππ − ππ′ ππ = 0 Tetapi βπ¦π¦ − πππ ππ ⇒ βπ¦π¦ = πππ ππ βπ₯π₯ + ππβπ₯π₯ ππ = βπ₯π₯ Jika kita definisikan ε sama dengan nol ketika Δx = 0, maka ε menjadi fungsi yang kontinu terhadap Δx. Sehingga untuk fungsi f yang terdiferensialkan, kita dapat menulis Persamaan 1 βπ¦π¦ = πππ ππ βπ₯π₯ + ππβπ₯π₯ dimana ππ → 0 ketika βπ₯π₯ → 0 dan ε merupakan fungsi kontinu terhadap Δx. Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai? Pembuktian Aturan Rantai Misalkan u = g(x) terdiferensialkan di a dan y = f(u) terdiferensialkan di b = g(a). Jika Δx adalah perubahan di x dan Δu dan Δy merupakan perubahan di u dan y yang bersesuaian, maka kita dapat menuliskan βπ’π’ = πππ ππ βπ₯π₯ + ππ1 βπ₯π₯ = πππ ππ + ππ1 βπ₯π₯ dimana ππ1 → 0 ketika βπ₯π₯ → 0. Dengan cara yang serupa, βπ¦π¦ = ππ′ ππ βπ’π’ + ππ2 βπ’π’ = ππ′ ππ + ππ2 βπ’π’ dimana ππ2 → 0 ketika βπ₯π₯ → 0. Persamaan 2 Persamaan 3 Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai? Jika kita substitusi bentuk Δu dari persamaan 2 ke persamaan 3, kita peroleh βπ¦π¦ = πππ ππ + ππ2 ππ′ ππ + ππ1 βπ₯π₯ Sehingga βπ¦π¦ βπ₯π₯ = πππ ππ + ππ2 πππ ππ + ππ1 Ketika βπ₯π₯ → 0 persamaan 2 menunjukkan bahwa βπ’π’ → 0 juga. Sehingga ππ1 → 0 dan ππ2 → 0 ketika βπ₯π₯ → 0. Oleh karena itu ππππ ππππ = βπ¦π¦ lim βπ₯π₯→0 βπ₯π₯ = lim πππ ππ + ππ2 πππ ππ + ππ1 βπ₯π₯→0 = πππ ππ πππ ππ = πππ ππ ππ ′ππ ππ Kita telah membuktikan Aturan Rantai. ο’ Pemecahan Masalah Piston Roda Perhatikan piston roda pada gambar di samping. Roda tersebut memiliki jari-jari 10 cm dan berputar berlawanan arah jarum jam pada kecepatan 2 radian per detik. Batang besi yang menghubungkan roda dan kepala piston tersebut panjangnya 50 cm. Pada waktu t = 0, titik P berkoordinat di (10, 0). (a) Tentukan koordinat P pada waktu t. (b) Tentukan koordinat-y titik Q pada waktu t (koordinat-x titik Q selalu nol). (c) Tentukan kecepatan Q pada waktu t. (Gunakan fakta 1 bahwa π·π·π’π’ π’π’ = .) 2 π’π’ Q y 50 P x (10, 0) Turunan Implisit Fungsi Terdefinisi Implisit Beberapa fungsi didefinisikan secara implisit sebagai suatu relasi antara x dan y: π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2 = 25, π¦π¦ 2 − π₯π₯ = 0, π₯π₯ 3 + π¦π¦ 3 = 9π₯π₯π₯π₯ Grafik Fungsi Implisit y –5 0 π¦π¦1 = − 25 − π₯π₯ 2 π¦π¦1 = 25 − π₯π₯ 2 5 x y y π¦π¦1 = π₯π₯ 0 3 π¦π¦1 = − π₯π₯ π¦π¦2 = ππ2 π₯π₯ x –4 0 π¦π¦1 = ππ1 π₯π₯ 4 x π¦π¦3 = ππ3 π₯π₯ Contoh 1 Tentukan ππππ⁄ππππ dari π¦π¦ 2 − π₯π₯ = 0. PEMBAHASAN Persamaan π¦π¦ 2 − π₯π₯ = 0 mendefinisikan dua fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, yaitu π¦π¦1 = π₯π₯ dan π¦π¦2 = − π₯π₯. Sehingga turunan kedua fungsi ini adalah πππ¦π¦1 ππππ = 1 2 π₯π₯ dan πππ¦π¦2 ππππ =− 1 2 π₯π₯ Pembahasan Turunan y terhadap x juga dapat ditentukan tanpa kita harus mengetahui persamaan fungsinya. Dengan menurunkan kedua ruas kita peroleh ππ ππππ ππ ππππ π¦π¦ 2 π¦π¦ 2 − π₯π₯ = ππ − π₯π₯ ππππ ππππ 2π¦π¦ − 1 ππππ ππππ ππππ ππ ππππ =0 =0 = 1 2π¦π¦ 0 Latihan 1 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2 = 25 di titik (3, –4). Turunan Implisit PROSEDUR Langkah-langkah berikut digunakan untuk menentukan turunan implisit. (1) Turunkan kedua ruas terhadap x, anggap y sebagai fungsi terdiferensialkan terhadap x. (2) Asingkan suku-suku dy/dx pada satu ruas persamaan, kemudian selesaikan dy/dx. Latihan 2 y 2 2 π¦π¦ 2 = π₯π₯ 2 + sin π₯π₯π₯π₯ x Tentukan dy/dx jika π¦π¦ 2 = π₯π₯ 2 + sin π₯π₯π₯π₯ Latihan 3 Tentukan ππ2 π¦π¦⁄ππππ 2 jika 2π₯π₯ 3 − 3π₯π₯ 2 = 8. Tugas y π¦π¦ 2 = π₯π₯ 3 (1, 1) x (1, –1) 2π₯π₯ 2 + 3π₯π₯ 2 = 5 Apakah ada yang spesial dari garis singgung kurva π¦π¦ 2 = π₯π₯ 3 dan 2π₯π₯ 2 + 3π₯π₯ 2 = 5 di titik 1, ±1 ? Berikan alasan. Nilai Maksimum dan Minimum Pertanyaan Awal Apa yang dapat kalian amati pada grafik f ketika x = 1 dan 5? y 4 y = f(x) 2 0 2 4 6 x Maksimum dan Minimum Absolut DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakan • Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di D. • Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di D. Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem. Contoh 1 –2 y y y y 2 2 2 2 0 2 y = x2 pada (–∞, ∞) Hanya min absolut x –2 0 2 x y = x2 pada [0, 2] Maks dan min absolut –2 0 2 y = x2 pada (0, 2] Hanya maks absolut x –2 0 2 x y = x2 pada (0, 2) Tidak ada maks/min absolut Teorema Nilai Ekstrem TEOREMA 1 Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum absolut f(c) dan nilai minimum absolut f(d) untuk beberapa bilangan c dan d di [a, b]. Latihan 1 y –1 y 1 y = f(x) 0 1 –1 1 x –1 0 –1 y = g(x) 1 x Tentukan nilai ekstrem absolut fungsi f dan g di samping. Apakah kedua fungsi tersebut memenuhi Teorema Nilai Ekstrem? Maksimum dan Minimum Lokal DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam domain D fungsi f. Maka f(c) merupakan • Nilai maksimum lokal dari f jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c. • Nilai minimum lokal dari f jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c. y Maks lokal Min lokal c1 Min lokal c2 c3 x Teorema Turunan Pertama untuk Nilai-Nilai Ekstrim Lokal TEOREMA 2 Jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di c dan f’(c) ada, maka f’(c) = 0. Calon Titik Ekstrim Lokal f’(d) = 0 f’(c) tidak ada f’(e) tidak ada a c d e b x Titik Kritis DEFINISI Titik kritis suatu fungsi f adalah c dalam domain f sedemikian sehingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada. Latihan 2 –25 Tentukan titik-titik kritis fungsi f berikut pada [–3, 3]. –4 4 –5 ππ π₯π₯ = π₯π₯ 2 π₯π₯ + 3 Menentukan Maksimum dan Minimum Absolut METODE SELANG TUTUP Penentuan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut. 1. 2. 3. Tentukan nilai f di titik-titik kritis pada (a, b). Tentukan nilai f di titik-titik ujung selang [a, b]. Nilai terbesar dari nilai-nilai pada Langkah 1 dan 2 merupakan nilai maksimum absolut; nilai terkecil dari nilai-nilai tersebut merupakan nilai minimum absolut. Latihan 3 Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi f pada Latihan 2. Tugas Setiap Detik Berharga Anda harus pergi dari titik P untuk menolong seseorang yang akan tenggelam dalam danau, yang posisinya 50 m dari titik Q di pantai dan titik tersebut terletak 50 m dari posisi Anda, perhatikan gambar di samping. Jika Anda dapat berlari dengan kecepatan 4 m/s dan berenang dengan kecepatan 2 m/s, di titik manakah seharusnya Anda mulai berenang? P 50 m 50 – x Q x 50 m Turunan dan Grafik Fungsi Fungsi Naik dan Fungsi Turun DEFINISI Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang I jika ππ π₯π₯1 < ππ π₯π₯2 ketika π₯π₯1 < π₯π₯2 dalam I Suatu fungsi f dikatakan turun pada selang I jika ππ π₯π₯1 > ππ π₯π₯2 ketika π₯π₯1 < π₯π₯2 dalam I y 0 y = f(x) x1 x2 x f naik: f(x1) < f(x2) ketika x1 < x2 y 0 y = f(x) x1 x2 x f turun: f(x1) > f(x2) ketika x1 < x2 Apa yang Ditunjukkan f’ Tentang f? y D B C A 0 x Uji Naik/Turun Teorema 1 (a) Jika f’(x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang tersebut. (b) Jika f’(x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang tersebut. Uji Naik/Turun Bukti (a) Misalkan x1 dan x2 sembarang dua bilangan dalam suatu selang dengan x1 < x2. Berdasarkan definisi fungsi naik, kita akan tunjukkan bahwa f(x1) < f(x2). Karena f’(x) > 0, maka f terdiferensialkan dalam [x1, x2]. Sehingga berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, ada bilangan c di antara x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x2) – f(x1) = f’(c)(x2 – x1) Karena f’(c) > 0 dan (x2 – x1) > 0, maka ruas kanan persamaan sebelumnya positif. f(x2) – f(x1) > 0 atau f(x2) > f(x1) Sehingga f fungsi naik. (b) Bagian (b) dapat dibuktikan dengan cara serupa. Latihan 1 Tentukan di mana fungsi f(x) = x4 – 2x2 + 3 naik dan di mana fungsi tersebut turun. Nilai-Nilai Ekstrem Lokal Teorema 2 Uji Turunan Pertama Misalkan c adalah titik kritis fungsi kontinu f. (a) Jika f’ berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki maksimum lokal di c. (b) Jika f’ berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki minimum lokal di c. (c) Jika f’ positif di kiri dan kanan c, atau negatif di kiri dan kanan c, maka f tidak memiliki lokal maksimum atau minimum di c. Ilustrasi Uji Turunan Pertama y y y f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0 f’(x) < 0 0 y c (a) Maksimum lokal x 0 c (b) Minimum lokal x f’(x) < 0 f’(x) > 0 0 c (c) Tidak ada maks atau min x 0 c (d) Tidak ada maks atau min x Latihan 2 Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal fungsi f pada Latihan 1. Kecekungan DEFINISI Grafik fungsi terdiferensialkan y = f(x) (a) terbuka ke atas pada selang I jika f’ naik pada I; (b) terbuka ke bawah pada selang I jika f’ turun pada I. y y = x3 f’ naik f’ turun 0 x Uji Kecekungan Teorema 3 y (a) Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f terbuka ke atas pada I. (b) Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f terbuka ke bawah pada I. y = x2 2 y” > 0 y” > 0 –1 0 x Titik Belok DEFINISI Titik P pada kurva y = f(x) disebut titik belok jika f kontinu di titik tersebut, dan kecekungan kurvanya berubah (dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya). Latihan 3 Sketsalah grafik fungsi f yang memenuhi kondisi-kondisi berikut. (a) f(0) = 0, f(2) = 3, f(4) = 6, f’(0) = f’(4) = 0. (b) f”(x) > 0 untuk x < 1 dan f”(x) < 0 untuk x > 1. Uji Turunan Kedua Teorema 4 Misalkan f” kontinu di dekat c. (a) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c. (b) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c. Latihan 4 Sketsa grafik fungsi ππ π₯π₯ = π₯π₯ 4 − 4π₯π₯ 3 + 10 dengan langkah-langkah berikut. (a) Tentukan dimana ekstrim f terjadi. (b) Tentukan selang ketika f naik dan selang ketika f turun. (c) Tentukan dimana grafik f terbuka ke atas dan di mana f terbuka ke bawah. (d) Sketsa bentuk umum grafik f. (e) Plot beberapa titik, misalkan titik-titik maksimum dan minimum lokal, titiktitik belok, dan titik-titik potong sumbu-x dan sumbu-y. Rangkuman Sketsa Grafik Panduan Sketsa Grafik y = f(x) 1. Domain. Tentukan domain D dari f, yaitu himpunan nilainilai x dimana f didefinisikan. 2. Simetri. Gunakan kesimetrian fungsi. Apakah f fungsi genap? Fungsi ganjil? 3. Turunan pertama dan kedua. Informasi ini berguna untuk menentukan nilai ekstrem, kecekungan, titik belok, dan selang naik/turun. 4. Titik kritis dan titik belok. Tentukan titik-titik dimana f’(x) = 0 atau f’(x) tidak terdefinisi. Tentukan titiktitik dimana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak terdefinisi. Panduan Sketsa Grafik y = f(x) 5. Selang naik/turun dan terbuka ke atas/bawah. Turunan pertama digunakan untuk menentukan selang naik/turun. Turunan kedua digunakan untuk menentukan selang terbuka ke atas/bawah. 6. Nilai ekstrem dan titik belok. Gunakan turunan pertama atau kedua untuk mengklasifikasi titik-titik kritis. 7. Asimtot dan perilaku ujung. Asimtot vertikal sering muncul ketika penyebutnya nol. Tentukan limit x → ±∞ untuk menentukan asimtot horizontal. Panduan Sketsa Grafik y = f(x) 8. Titik potong. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu-y dengan mensubstitusi x = 0. Titik potong sumbu-x dapat dicari dengan menyelesaikan f(x) = 0. 9. Sketsa grafik. Dengan menggunakan semua informasi 1–8, sketsalah grafik fungsi yang diberikan. Contoh 1 Pemanasan Berikut ini merupakan informasi mengenai turunan pertama dan kedua fungsi f yang kontinu pada (−∞, ∞). Rangkumlah informasi tersebut dengan garis bilangan, dan sketsalah kemungkinan grafik fungsi f. f’ < 0, f” > 0 pada (−∞, 0) f’ > 0, f” < 0 pada (1, 2) f’ < 0, f” > 0 pada (3, 4) f’ > 0, f” > 0 pada (0, 1) f’ < 0, f” < 0 pada (2, 3) f’ > 0, f” > 0 pada (4, ∞) Garis Bilangan f’ < 0, f” > 0 f’ > 0, f” > 0 Turun Ter. ke atas f’ > 0, f” < 0 Naik Ter. ke atas 0 Minimum lokal f’ < 0, f” > 0 Naik Turun Ter. ke bawah Ter. ke bawah 1 Titik belok f’ < 0, f” < 0 2 Maksimum lokal f’ > 0, f” > 0 Turun Ter. ke atas 3 Naik Ter. ke atas 4 Titik belok Minimum lokal Sketsa Grafik y = f(x) y = f(x) 0 1 2 3 4 x Latihan 1 Fungsi Polinomial Gunakan panduan mensketsa grafik sebelumnya untuk menggambar grafik fungsi f berikut pada domainnya. π₯π₯ 3 − 400π₯π₯ ππ π₯π₯ = 3 Latihan 2 Fungsi Rasional Sketsalah grafik fungsi g berikut pada domainnya. 10π₯π₯ 3 ππ π₯π₯ = 2 π₯π₯ − 1 Tugas Sketsa f dari Grafik f’ dan f” Gambar di samping menunjukkan grafik turunan pertama dan turunan kedua fungsi y = f(x). Jika grafik f melalui titik P, sketsalah grafik f tersebut. y y = f’(x) y = f”(x) 0 x Optimasi Terapan & Aturan L’Hôpital Optimasi Terapan Menyelesaikan Masalah Optimasi Terapan 1. Baca masalahnya. Apa yang diberikan? Kuantitas apa yang akan dioptimasi? 2. Buat gambar. Gambarlah informasi penting dalam soal. 3. Identifikasi variabel. Daftarlah semua relasi dalam gambar dan soal sebagai suatu persamaan atau bentuk aljabar, dan identifikasi variabel yang tidak diketahui. 4. Tulis persamaan untuk kuantitas yang tidak diketahui. Jika bisa, nyatakan kuantitas yang tidak diketahui sebagai sebuah fungsi. 5. Ujilah titik-titik kritis dan titiktitik ujung dalam domain kuantitas yang tidak diketahui. Latihan 1 BIAYA MINIMUM Kaleng aluminium yang berbentung tabung akan dibuat untuk menampung air 1 L. Tentukan ukuran kaleng tersebut agar biaya untuk membeli aluminium seminimum mungkin. Latihan 2 PENDAPATAN MAKSIMUM Sebuah toko telah menjual 200 TV layar datar dalam seminggu dengan harga satuan 3,5 juta rupiah. Suatu survei pasar menunjukkan bahwa setiap potongan harga sebesar Rp100.000,00 yang diberikan kepada pembeli, maka banyaknya TV yang terjual akan naik sebanyak 20 dalam seminggu. Tentukan fungsi harga (fungsi permintaan) dan fungsi pendapatannya. Seberapa besar potongan harga yang harus ditawarkan agar toko tersebut mendapatkan pendapatakan maksimum? Latihan 3 MELIPAT KERTAS Bagian pojok kanan atas kertas berukuran 21 cm × 29,7 cm dilipat sampai menyentuk sisi bawahnya (perhatikan gambar). Bagaimana Anda melipatnya agar menghasilkan panjang lipatan terpendek? Dengan kata lain, bagaimana Anda memilih x untuk meminimumkan y? π¦π¦ 21 cm 29,7 cm π₯π₯ Aturan L’Hôpital Misalkan f dan g terdiferensialkan pada selang buka I yang memuat a dengan g’(x) ≠ 0 pada I ketika x ≠ a. Jika lim ππ π₯π₯ = lim ππ π₯π₯ = 0 maka ππ π₯π₯ ππ′ π₯π₯ = lim lim π₯π₯→ππ ππ π₯π₯ π₯π₯→ππ ππ′ π₯π₯ π₯π₯→ππ dengan syarat limit bentuk yang di ruas kanan ada. π₯π₯→ππ Latihan 3 Menggunakan Aturan L’Hôpital Tentukan limit-limit berikut ini. (a) (b) π₯π₯ 3 +π₯π₯ 2 −2π₯π₯ lim π₯π₯−1 π₯π₯→1 9−3π₯π₯−3 lim π₯π₯ π₯π₯→0 Referensi Boelkins, M. R., Austin, D., & Schlicker, S. (2016). Active calculus, 2016 edition. Allendale: Orthogonal Publishing L3C. Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2013). Calculus for scientists and engineers early transcendentals. Boston, MA: Pearson Education. Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2015). Calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson. Goldstein, L. J. (2014). Calculus & its applications. Boston: Pearson Education. Hass, J., Weir, M. D., & Thomas, G. B. (2016). University calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson. Kristanto, Y. D., & Putra, D. W. (2018). Students' Mathematical Reasoning in Exploring Functions and Its Derivative. In B. Utomo, J. Donovan, H. Avci, & F. Lin (Eds.), Proceedings of International Conference on Research in Education (pp. 383-392). Yogyakarta: Sanata Dharma University Press. Kristanto, Y. D., Melissa, M. M., & Panuluh, A. H. (2019). Discovering the formal definition of limit through exploration in dynamic geometry environments. Journal of Physics: Conference Series, 1180, 012004. doi:10.1088/17426596/1180/1/012004 Larson, R., & Edwards, B. H. (2014). Calculus. Boston, MA: Brooks/Cole. Stewart, J. (2016). Calculus. Boston, MA: Cengage Learning. Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2016). Thomas calculus. Upper Saddle River: Pearson. Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon, S. (2006). Calculus. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
