TUGAS PARTISIPASI II
MATEMATIKA PDGK 4108
NAMA
: Bernadetha Patricia (Edith)
NIM
: 857063682
KELAS
:A
MODUL 3: PENALARAN DAN SISTEM MATEMATIKA
Kegiatan Belajar 1: Penalaran Matematika
A. Penalaran Induktif: Penarikan kesimpulan dari contoh-contoh.
Contoh: Berapakah hasil penjumlahan: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 199
Tabel Hasil Penjumlahan dengan Penalaran Induktif
Banyak suku
1
2
3
4
:
.
100
Penjumlahan
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
Hasil
1 = …2
4 = …2
9 = …2
16 = …2
1 + 3 + 5 + 7 + 199
…2
Penalaran induktifnya:
1. Jika penjumlahan ity hanya terdiri dari 1 suku, yaitu saja maka hasil jumlahannya hanya 1
juga.
2. Jika jumlahannya terdiri dari 2 suku, yaitu 1 + 3 maka hasilnya adalah 4.
3. Jika jumlahnya terdiri dari 3 suku, yaitu 1 + 3 + 5 maka hasil jumlahannya adalah 9
demikian seterusnya sehingga diperoleh deretan hasil penjumlahan itu, yaitu 1, 4, 9, 16, …
sedemikian hingga kita dapat menerka hasil penjumlahan itu untuk 100 suku.
4. Pola yang didapatkan 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2
5. Jadi, jumlahnya n bilangan ganjul pertama adalah n2.
Peryataan terakhir ini sering disebut rumus. Rumus yang diperoleh dengan penalaran
induktif, dalam matematika baru merupakaan dugaan/terkaan yang masih harus dibuktikan
secara deduktif.
B. Penalaran deduktif: pembuktian suatu rumus
Contoh:
Ambil dua bilangan real sebarnag yang tidak sama dnegan nol, misalnya a dan b. Kita bentuk
suatu barisan denagn suku pertama a, suku kedua (a + b), suku ketiga (a + 2b), dan
seterusnya. Berapakah suku ke n? Dan berapakah jumlah n suku pertama?
Jawab:
Misalnya u1 = a2 , u2 = a + b2 , u3 = a + 3b2 , … , un = …
Maka, jawabannya un = a + (n – 1) b
Sekarang kita mencari jumlah n suku pertamanya. Misalkan hasil penjumlahan n suku
pertama Sn, yaitu
Sn = a + (a + b) + (a + 2 b) + (a + 3 b) + … + (a + (n -1)b
Sn = (a + (n -1) b + (a + (n -1) b + (a + (n -1)b + … (a + 2 b) + (a + b) + a
(+)
2 Sn = 2 a + (n -1) b + 2 a + (n -1) b + 2 a + (n -1) b + … 2a + (n -1) b + 2 a + 2 a + (n -1) b =
n[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏]
1
Sn = 2 𝑛 2𝑎 + (n-1)b
Jumlah n suku pertama deret aritmatika
1
Karena diketahui un = 𝑎 + (n – 1) b maka Sn = 2 𝑛 2𝑎 + (n -1) b diubah menjadi
1
Sn = 2 𝑛 𝑎 + un Jumlah n suku pertama deret aritmatika
Kegiatan Belajar 2: Sistem Matematika
A. Sifat tertutup penjumlahan
Jika a dan b bilangan-bilangan asli sebarang, maka (a + b) adalah suatu bilangan asli pula.
Contoh:
Himpunan semua bilangan asli A = {1, 2, 3, 4, … }. Operasi penjumlahan pada 2 bilangan asli
maska hasilnya adalah suatu bilangan asli maka (a + b) adalah suatu bilangan asli pula. Hal
ini dapat dikatakan bahwa operasi penjumlahan pada himpunan bilangan asli bersifat
tertutup. 3 kriteria yang terpenuhi untuk membentuk suatu sistem yaitu:
-
Adanya suatu himpunan yang tidak kosonng, yaitu jimpunan semua bilangan asli A;
Adanya operasi pada eleme-elemen dari himpunan, yaitu operasi penjumlahan pada
elemen-elemen A
Hasil operasi penjumlahan dari elemen-elemen A adalah suatu elemen A pula.
B. Sifat asosiatif penjumlahan
Jika a, b, dan c bilangan-bilangan asli sebarang, maka (a + b) + c = a + (b + c)
Contoh:
37 + 76 + 24 = …
Karena (37 + 76) + 24 = 37 + (76 + 24) maka kita akan lelbih mudah melakukan perhitungan
37 + (76 + 24) = 37 + 100 = 137
C. Sifat komutatif penjumlahan
Jika a dan b bilangan-bilangan asli sebarang, maka a + b = b + a
Contoh:
6 + 27 = 27 + 6
33
=
33
D. Sifat tertutup perkalian
Jika a dan b bilangan-bilangan asli sebarang, maka (a x b) adalah suatu bilangan asli pula.
Contoh:
8 x 4 x 7 = (8 x 4) x 7 = 32 x 7 = 224 atau 8 x 4 x 7 = 8 x (4 x 7) = 8 x 28 = 224
Dari contoh tersebut terlihhat sifat asosiatif (peneglompokan)
E. Sifat asosiatif perkalian
Jika a, b, dan c bilangan-bilangan asli sebarang, maka (a x b) x c = a x (b x c)
Contoh:
37 x 4 x 25 = ..
Karena (37 x 4) x 25 = 37 x (4 x 25) maka lebih mudah mengerjakan 37 x (4 x 25).
37 x (4 x 25) = 37 x 100 = 3.700
F. Sifat komutatif perkalian
Jika a dan b bilangan-bilangan asli sebarang, maka a x b = b x a
Contoh:
6829
32 x
218528
32
6829 x
218528
G. Elemen identitas (elemen netral) perkalian
Sistem bilangan asli dengan perkalian memiliki elemen identitas, yaitu 1, sebab untuk
sebarang bilangan asli a berlaku a x 1 = 1 x a = a.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4, … } memuat suatu bilangan yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain
akan sama dnegan bilangan asli lainnya itu. Bilangan itu adalah 1.
H. Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan
Jika a, b, dan c bilangan-bilangan asli sebarang, maka
a x (b x c) = a x b + a x c
distribusi kanan
(a x b) x c = a x c + b x c
distribusi kiri
Contoh:
83 x 125 = …
Akan lebih mudah menjadi
83 x 125 = (80 + 3) x 125 = 80 x 125 + 3 x 125 = 10.000 + 375 = 10.375
I. Elemen identitas penjumlahan
Sistem bilangan bulat memiliki elemen identitas, yaitu 0 sebab untuk sebarang bilangan bulat
a, a + 0 = 0 + a = a
Contoh:
-5 + 0 = 0 + -5 = -5
J. Elemen invers penjumlahan (lawan)
Untuk sebarang bilangan bulat a mempunyai invers penjumlahan (lawan), yaitu suatu
bilangan bulat – a, sebab a + (-a) – (-a) + a = 0
Contoh:
7 dan -7 maka, 7 + (-7) – (-7) + 7 = 0
K. Elemen invers perkalian
Untuk sebarang bilangan rasional a dengan a ≠ 0, ada invers perkalian (balikan) dari a (ditulis
1
a -1), sedemikian hingga a x a -1 = a -1 x a = 1. Dalam hal ini a-1 = 𝑎
Contoh:
4
-35 = -
19
5
5
maka balikannya adalah - 19 karena -
19
5
5
4
5
x - 19 = 1. Dapat dituliskan (−3 5)−1 = - 19
MODUL4: PEMECAHAN MASALAH
Kegiatan Belajar 1: Proses Pemecahan Masalah
Empah langkah umum proses pemecahan masalah:
- Langkah 1: Memahami masalah
- Langkah 2: Menyusun perencanaan
- Langkah 3: Melaksanakan rencana
- Langkah 4: Melihat/memeriksa
1. Langkah 1: Memahami masalah (soal)
Membaca soal dan memerinci masalah, seperti:
-
Apakah semua kata yag ada dalam soal telah dimengerti?
Katakan isi soal dengan kata-katamu sendiri.
Apa saja yang ditentukan dalam soal tersebut?
Apa saja yang ditanyakan dalam soal itu?
Informasi apa saja (jika ada) yang kurang atau tidak diperlukan.
2. Langkah 2 : Menyusun perencanaan
Menemukan atau memilih strategi untuk menyelesaikan masalah. Strategi yang dapat
digunakan:
-
Mencari pola yang sesuai.
Mencari soal-soal yang mungkin penyelesaian mirip dengan soal tersebut.
Menyederhanakan soal untuk keadaan khusus yang diperkirakan dapat menuju pada
pemecahan soal.
Membuat table dari ketentuan-ketentuan dalam soal (jika mungkin).
Membuat diagram dari ketentuan-ketentuan dalam soal (jika mungkin).
Membuat gambar dari ketentuan-ketentuan dalam soal (jika mungkin).
Menggunakan penalaran langsung.
Menggunakan penalaran tidak langsung.
Mencari dan menerapkan rumus yang sesuai.
Menuliskan persamaan.
Membuat dugaan dan memeriksa kebenarannya.
Bekerja mundur, dari hasil yang diharapkan menuju pada ketentuan soal.
Mengidentifikasi bagian-bagian yang menuju pada penyelesaian keseluruhan.
3. Langkah 3: Melaksanakan yang telah direncanakan.
Perlu mempertimbangkan hal-hal berikut:
-
Mengimplementasikan strategi yang telah diputuskan pada langkah 2 dan dilanjutkan
dengan penyelesaian yang diperlukan atau perhitungan.
Dalam menyelesaikan selalu menjaga ketelitian, baik dalam menulis atau menghitung.
Memeriksa setiap langkah pada perencanaan yang telah dipilih.
4. Langkah 4: Melihat/memeriksa kembali
-
Mencocokkan hasil penyelesaian dengan ketentuan-ketentuan dan yang ditanyakan
dalam soal.
Mencari apakah ad acara lain untuk menyelesaikan soal itu.
Jika mungkin, mengembangkan soal tersebut menjadi soal yang lebih umum yang
mempunyai kemiripan pemecahan atau cara pemecahan yang berlainan.
Bagan Pemecahan Masalah
menterjemahkan
Model kalimat Matematika
menyelesaikan
memeriksa
Soal dalam kalimat sehari-hari
Jawaban soal semula
mengintrepretasikan
Menyelesaikan model
Kegiatan Belajar 2 : Strategi Pemecahan Masalah
1. Mencari pola dari ketentuan dalam soal.
2. Membuat dugaan jawaban soal dan mengecek kebenarannya.
3. Membuat gambar/diagram/table dari ketentuan dalam soal dan melengkapinya untuk
memperoleh jawaban soal.
4. Menggunakan suatu variable danmembentuk model matematika dari ketentuan dan yang
ditanyakan.
5. Membuat daftar yang terorganisasi dari ketentuan dalam soal.
6. Memilih dan menerapkan rumus yang sesuai.
8. Bekerja mundur.
Contoh strategi pemecahan masalah dengan penyederhanaan lalu mencari pola
Berapakah banyaknya semua persegi ( dengan ukuran sama atau berbeda) pada papa catur?
Langkah 1: memahami bentuk persegi dan ukuran dari persegi dari papan catur, yaitu 8 x 8
Langkah 2: menyusun perencanaan dengan melakukan strategi penyederhanaan. Mulai
menghitung dengan persegi 1 x 1, 2 x 2 dan seterusnya.
Langkah 3: melaksanakan rencana dnegn membuat table banyaknya persegi.
Banyaknya
persegi
Banyaknya persegi dengan ukuran
Jumlah semua
persegi
1
5
14
30
1x1
2x2
3x3
4x4
1x1
1
0
0
0
2x2
4
1
0
0
3x3
9
4
1
0
4x4
16
9
4
1
Banyaknya persegi adalah merupakan jumlah dari kuadrat sempurna. Jadi jumlah persegi
pada papan catur ukuran 8 x 8 adalah jumlah kuadrat bidang perseginya:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 204
Langkah 4: memeriksa kembai dengan menghitung kembali.
Contoh strategi pemecahan masalah dengan penalaran langsung
Seorang penjual minyak tanah hanya mempunyai takaran 3 literan dan 5 literan, karena
takaran 1 literan rusak. Ada seorang yang ingin membeli 14 liter minyak tanah, bagaimana
penjual minyak tersebut harus menakarkan minyak untuk pembeli tersebut?
Langkah 1: memahami soal bahwa dengan takaran 3 literan dan 5 literan si penjual minyak
harus menakar 14 liter.
Langkah 2: merencanakan pemecahan dengan menjadikan 14 dari penjumlahan 3 dan 5.
Langkah 3: melaksanakan rencana dengan mencoba melakukan penjumlahan
3 + 3 + 3 + 3 + 5 = 14
Langkah 4: memeriksa kembali dengan menghitung kembali atau mencoba cara lain
meskipun kurang efisien.
