Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran y

i. Fungsi kuadrat
- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai
derajad dua dan mempunyai bentuk umum :
y= f(x) = a2x2 + a1x + a0 atau y= f(x) = ax2 + bx + c
(3.17)
dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x
adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik
persamaan kuadrat pada persamaan 3.17 memotong
sumbu x jika y =0.
Sehingga persamaan 3.17 menjadi, ax2 + bx + c = 0.
Untuk menentukan titik potong persamaan kuadrat terhadap
sumbu x pertama-tama kita harus menentukan akar-akarnya.
Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar
x+
tersebut.
Untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat
pertama-tama kita tulis dalam bentuk ,
b
c
(x + x + ) = a (x2 + Bx + C)  B = b/a dan C = c/a
a
a
b
c
2
Memperfaktorkan x + x +
a
a
2
berarti menuliskannya dalam bentuk,
(x + m)(x+n), dimana mn = C dan m + n = B
( 3.18 )
Akar-akar dari persamaan 3.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n
Contoh 3.18
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0
Penyelesaian
B = 1 dan C = –6 ; mn = -6 dan m + n = 1.
Didapat m = -2 dan n = 3
Jadi x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3).
Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 2 dan x2 = -3
Contoh 3.19
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 –4x – 12 = 0
Penyelesaian
B = –4 dan C = –12 ; mn = –12 dan m + n = –4.
Didapat m = –6 dan n = 2
Jadi : x2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2).
Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 6 dan x2 = –2
- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat.
Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa pers. kuadrat
yang memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax2+bx+c = 0
dengan x  bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk ,
2
2
b
b
b
b
a(x2 + x ) + c = a (x2 + x +
)–
+c=0
a
a
4a
4a2
2
2
b
b
a
a
c
a(x +
x )2 = 2 – c  (x +
)2 =
–
2b
4a
2b
4a2 a
b
x+
=
2a
b2 c
=
2
a
4a
b2 4ac
1
b2 4ac
=

4a2 4a2
2a
1
b
x=

2a 2a
x1 =
b2 4ac =
b + b2 4ac
2a
atau
b
b2 4ac
2a
x2 =
b
b2 4ac
2a
(3.19)
Persamaan 3.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut
digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat.
Besaran b2 – 4ac disebut diskriminan atau disingkat D.
Contoh 3.20
Tentukan akar-akar dari persamaan x2 + 4x - 21 = 0 dengan
meng gunakan persamaan kuadrat!
Penyelesaian
Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21
x1 =
x2 =
4 + 42
4(1)(–21)
2a
4
42
4(1)(–21)
2a
=
=
4+
16 + 84
2
4
16 + 84
2
=3
= –7
- Grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai
derajad dua dan bentuknya adalah : y = ax2 + bx + c,
dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril, a  0,
x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas.
Grafik persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau
kebawah tergantung dari nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik
akan membuka keatas. Jika a<0 maka grafik akan membuka
kebawah.
Pada grafik persamaan kuadrat kita mengenal beberapa
istilah penting yaitu :
i) Verteks
Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum )
dari suatu parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih
kecil dari nol (negatif) maka verteks merupakan titik maksimum.
Jika a lebih besar dari nol (positif) maka verteks merupakan
titik minimum. Titik koordinat verteks adalah V(h,k), dimana :
h = – b/2a
dan
k = c – b2/4a
(3.20 )
ii) Sumbu simetri
Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi
dua bagian yang sama. Sumbu simetri adalah,
x = h = – b/2a
3.21
iii) Titik potong dengan sumbu x
Jika diskriminan (D) = 0 maka parabola tidak memotong
sumbu x tetapi verteksnya hanya menyinggung sumbu x.
Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak menyinggung
sumbu x.
Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x pada x1 dan x2
iv) Titik potong dengan sumbu y
Titik potong dengan sumbu y pada y = c
Contoh 3.21
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –x2 + 5x -6
Tentukan verteks, sumbu simetri, ttk potong thd sumbu x dan y
Penyelesaian
Dari soal siketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6
h = –b/2a = – (5/–2) = 5/2
k = c – b2/4a = – 6 – 52/4 (–1) = – 6 +25/4 = 1/4
Verteks = V (h,k) = V (5/2 , 1/4)
Sumbu simetri x = h = 5/2
Titik potong terhadap sumbu x  y = 0
x2 + 5x – 6 = –( x – 3)(x – 2) = 0  x1 = 3 ; x2 = 2
Jadi parabola memotong sum,bu x pada x = 2 dan x = 3
Titik potong terhadap sumbu y  x = 0. Didapat y = –6
Jadi parabola memotong sumbu y pada y = –6
Parabola membuka ke bawah karena a < 0
y
x = 5/2
1/4 

 
O 2
3
–6

Sumbu
simetri
Gambar 3.12
x
j. Fungsi pangkat tinggi
Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah
polinomial derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akarakar dan menggambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi
biasanya kita perlu untuk memaktorkan fungsi pangkat tinggi
tersebut.
- Pemfaktoran fungsi pangkat tinggi
Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan
salah satu faktor dari f(x)  f(c) = 0. Berarti c merupakan
salah satu akar dari polinomial. Berikut adalah contoh
pemfaktoran fungsi pangkat tinggi.
Contoh 3.22
Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat
tinggi y = f(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24
Penyelesaian
Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error
Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12.
Karena f(1)  0, maka x = 1 bukan akar dari f(x).
Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0.
Karena f(2) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x).
Sehingga (x – 2) adalah salah satu faktor dari f(x).
Untuk mencari faktor lainnya kita bagi f(x) dengan faktor
yang sudah didapat, yaitu (x3 – 3x2 – 10x + 24) dibagi dengan
(x – 2).
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x2
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x2
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3
x2
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
x2
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
x2
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
x2 – x
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
x2 – x
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2
x2 – x
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
x2 – x
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
x2 – x
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
x2 – x – 12
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
x2 – x – 12
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
– 12x
x2 – x – 12
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
– 12x + 24
x2 – x – 12
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
– 12x + 24
x2 – x – 12
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
– 12x + 24
0
x2 – x – 12
x–2
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
– x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
– 12x + 24
0
Hasil bagi x3–3x2–10x+24 dengan x–2 adalah x2–x–12. Berarti,
x2–x–12 adalah faktor lain dari x3–3x2–10x+24.
Selanjutnya x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk
(x–2)(x2–x–12).
Akan tetapi faktor x2–x–12 masih mungkin untuk diuraikan
lagi karena mempunyai derajad dua.
Persamaan dari x2–x–12 dapat ditulis dalam bentuk faktor,
yaitu (x–4)(x+3). Sehingga secara keseluruhan persaman
x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk (x–2)(x–4)(x+3).
Jadi faktor-faktor dari x3–3x2–10x+24 adalah
(x–2), (x–4) dan (x+3).
Sedangkan akar-akarnya adalah x=4, 2 dan –3.
- Grafik fungsi pangkat tinggi
Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu
dengan bantuan tanda dari faktor-faktornya (positif atau
negatif) seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.
Contoh 3.23
Gambarkan grafik fungsi f(x) = x3 – x
Penyelesaian
Faktorkan f(x)  x3 – x = x(x – 1)(x + 1).
x
x–1
x+1
: --------------0+++++++++++
: ------------------------0++++++
: - - - - 0+ + + + + + + + + + + + + + + + +
x3 – x
: ----0+++++0-------- 0++++++
–1
0
1
Grafik dari fungsi f(x) = x3 – x adalah
y
1
–1
0
Gambar 3.13
x
B. Fungsi pecah
a. Daerah definisi (domain)
Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk
P(x)/Q(x); P(x) dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial
dan Q(x)  0. Dalam bentuk formulasi fungsi pecah dapat
ditulis menjadi :
f(x) =
P(x)
Q(x)
, Q(x)  0
(3.22)
Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah,
pertama-tama kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor
tersebut kita dapatkan akar-akarnya.
Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua bilangan ril
kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah.
Contoh 3.24
Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut!
a)
2x – 1
x2
–x–2
Penyelesaian
b)
x+3
x3 + 4x2 + x
a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
2x – 1
Himpunan daerah definisi 2
adalah ,
x –x–2
{x|x semua bilangan ril, x  2 dan x  – 1}
b) Perhatikan Q(x) : x3 + 4x2 + x = 4x (x + 1/2)2
x+3
Himpunan daerah definisi
adalah ,
3
2
x + 4x + x
{x|x semua bilangan ril, x  0 dan x  – 1/2}
b. Grafik fungsi pecah
Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu
melakukan langkah-langkah sebagai berikut :
i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x)
ii) Tentukan daerah definisi (domain) dari f(x) dengan cara
menentukan Q(x) = 0.
Harga x yang didapat bukan domain f(x).
iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan
faktor dari P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a
merupakan titik tak kontinu dari f(x).
iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada.
Untuk mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan
P(x) = 0.
Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong
f(x) dengan sumbu x.
Untuk mencari titik potong dengan sumbu y tetapkan x = 0.
Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan
sumbu y.
Akar atau akar-akar yang berasal dari faktor yang
bersekutu antara pembilang dan penyebut tidak
digunakan untuk mencari titik potong.
v) Coret faktor/faktor-faktor yang bersekutu antara pembilang
dan penyebut.
vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada.
Garis x = c merupakan asimtot tegak jika x – c merupakan
faktor dari Q(x) setelah langkah v.
vii) Misal fungsi pecah berbentuk :
f(x) =
an xn + an - 1 xn - 1 + … + a1 x + a0
bm xm + bm - 1 xm-1 + … + b1 x + b0
- Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar.
- Jika n = m maka garis y = an/bm adalah asimtot datar.
- Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar.
ix) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara
asimtot tegak (positif atau negatif).
Contoh 3.25
Gambarkan grafik y = f(x) =
3x2 – x – 2
2x2 – x – 1
Penyelesaian
( x – 1)(3x+ 2)
3x2 – x – 2
i)
=
(x – 1)(2x +1)
2x2 – x – 1
ii) Q(x) = (x – 1)(2x+1) = 0  x = 1 dan x = – 1/2.
Jadi daerah definisi (domain) dari f(x) adalah semua
bilangan ril kecuali 1 dan – 1/2.
iii) Karena (x – 1) adalah faktor persekutuan dari P(x) dan Q(x),
maka f(x) tak kontinu pada titik x = 1.
iv) Titik potong dengan sumbu x.
P(x) = 3x2 – x – 2 = 0  (x-1)(3x+2)  x = – 2/3.
Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x= –2/3.
Sedangkan x=1 bukan titik potong pada sumbu x, karena (x–1)
merupakan faktor persektuan P(x) dan Q(x).
Titik potong dengan sumbu y,
x = 0  y = 2. Jadi titik potong dengan sb.y terjadi pada y = 2.
v)
3x2 + x + 3
x2 – x – 1
=
( x – 1)(3x+ 2)
(x – 1)(2x +1)
=
(3x+ 2)
(2x +1)
vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan
langkah v), maka x= –1/2 adalah asimtot tegak.
vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar
viii)
x–1
3x+2
2x + 1
: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+ + + +
: - - - - - - - 0+ + + + + + + + + + + + + + +
: - - - - - - - - - - - - - - - -0 +++++++++
3x2 – x – 2
: +++++ 0 --- -- - 0 ++++ ? ++++
2x2 – x – 1
– 2/3
– 1/2
1
y
-1/2
-2/3

 
0

1
Gambar 3.14
x
3.2.3.2 Fungsi irasional
Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk :
f ( x ) = n g(x)
(3.23)
dengan g(x) adalah fungsi rasional.
Daerah definisi fungsi irasional (Df) dapat dijelaskan
sebagai berikut :
Dg
Df =
x|g(x)  0
bila n bilangan ganjil
bila n bilangan genap
Dg adalah daerah definsi dari g.
(3.24)
Contoh 3.26
Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari y =
9x – x2
Penyelesaian
Karena n genap (dalam hal ini 2), maka 9x – x2  0
9x – x2  0  x(9 – x )  0
x
9–x
9x – x2
: - - - - - - - -0 ++++++++++++++++++
: ++++++++++++++ 0 - - - - - - - - - - - - : - - - - - - -- 0 +++++++++ 0 - - - - - - - - - - - - - - -

0
Jadi daerah definisi atau domain dari

9
9x – x2 adalah 0  x  9
Daerah nilai dari
y=
9x – x2 dicari dengan cara
9x – x2  y2 = 9x – x2  x2 – 9x + y2 = 0
Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = –9, c = y2
Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac
Selanjutnya kita cari harga diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac
Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga
harus ril. Artinya D  0. Secara otomatis b2 –4ac  0.
Jika kita masukkan nilai a, b dan c maka didapat :
(-9)2 -4(1)(y2)  0.
4y2  81  -9/2  y  9/2
Akhirnya didapat dua pertaksamaan, y  -9/2 dan y  9/2.
Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol,
maka pertaksamaan y  -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan
yang digunakan adalah y  9/2 dan y  0. Jadi daerah nilai untuk
f(x) =
9x – x2 adalah 0  y  9/2
3.2.4 Fungsi komposisi
Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi
dari beberapa fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu
f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi
dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan f o g
(baca f circle g) dan didefinisikan sebagai,
(f o g)(x) = f(g(x))
(3.25)
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi
dari g maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f)
dan didefinisikan sebagai,
(g o f)(x) = g(f(x))
(3.26)
Contoh 3.27
Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3
Tentukan a) (fog)(x)
dan b) (gof)(x)
Penyelesaian :
a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1
= x2 + 8x + 16
b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4
3.2.5 Fungsi satu ke satu
Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai
(range) fungsi f berasal dari satu daerah definisinya,
maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu.
Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang
mempunyai daerah definisi untuk semua x ril dan untuk
setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai.
Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu
ke satu.
Contoh lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang
mempunyai daerah definisi untuk semua x ril.
Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh
lebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua),
sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu.
2.2.6 Fungsi invers
Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan
mempunyai invers jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi
g sedemikian rupa sehingga,
i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f
ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g
berlaku :
f(x) = y  g(y) = x
2.27
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis,
g = f -1 atau x = f -1 (x)
2.28
Contoh 2.27
Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2
Penyelesaian
y = x3 + 2  x3 = y – 2  x = ( y–2 )1/3
f -1(y) = (y – 2)1/3
f -1(x) = (x – 2)1/3
2.2.7 Fungsi transenden
2.2.7.1 Fungsi eksponen
Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f
yang didefinisikan sebagai f(x) = ax disebut fungsi
eksponen dengan basis a. Sifat-sifat ax dapat
dijelaskan sebagai berikut :
i) ax > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari ax
adalah semua bilangan positif.
ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1
iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x
iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari ax
ax < az untuk a > 1
v) Jik aterdapat x < z, maka x
a > az untuk 0 < a <1
(3.29)
Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik ax akan menanjak
pada arah kanan (Gambar 3.15a).
Sedangkan bila a < 1, grafiknya akan menurun kearah sebelah
kanan (Gambar 3.15b).
y
y
1
1
O
x
(a)
O
x
(b)
Gambar 3.15
Fungsi eksponen ex
Fungsi yang mempunyai bentuk ex disebut fungsi eksponen
natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah
bilangan irasional yang besarnya adalah 2,7182818…
Persamaan eksponensial
Misal a > 0 dan a  1
x = az untuk x = z
a
Jika
ax  az untuk x  z
(3.30)
Contoh 3.28
x
Jika 27 = 3
x
27 = 3
x2 – 4
x2 – 4
, tentukan nilai x
x
 (33) = 3
x2 – 4
3x
3
=3
x2 – 4
3x = x2 – 4  x2 – 3x – 4 = 0  (x – 4)(x +1)
Didapat x1 = 4 , x2 = –1
Contoh 3.29
Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9)
Penyelesaian :
f(x) = ax  9 = a2  32 = a2
Jadi a = 3
3.2.7.2 Fungsi logaritma
Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah
bilangan a>0 dan a1. Untuk setiap bilangan positif y maka
logaritma y dengan basis a ditulis,
loga y adalah bilangan unik x sedemikian, sehingga ax = y
Jadi
loga y = x  y = ax
3.31
dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y
sama dengan a pangkat x”. Jika harga y pada pers. 3.31 sama
dengan satu, maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga
x = 1. Jadi,
loga 1 = 0
loga a = 1
(3.32)
(3.33)
Contoh 3.30
Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini
menjadi bentuk logaritma !
a) 103
b) 6251/4
Penyelesaian
a) y = 103  log10 y = 3
b) y = 6251/4  log625 y = 1/4
Contoh 3.31
Hitung a) log2 32
b) log16 1/4
Penyelesaan
a) y = log2 32  2y = 32 = 25 . Jadi y = 5
b) y = log16 ¼  16y =1/4 = 4–1  24y = 2– 2
Jadi 4y = –2  y = –1/2
Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a  1 fungsi
logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai,
f(x) = loga x untuk x > 0
Jika kita tulis logx a = loga x , maka dari persamaan 3.31 didapat,
a
loga x
= x , untuk x > 0
(3.34)
Jika kita tulis persamaan ax = ax, maka dari persamaan 2.31
dapat ditulis menjadi,
loga ax = x , untuk setiap bilangan x
Hukum-hukum logaritma
a) logb PQ = logb P + logb Q
b) logb P = logb P – logb Q
Q
c) logb Pn = n logb P
d) logb
n
P
1
= logb P
n
(3.35)
Logaritma natural
Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e.
Logaritma natural ditulis sebagai,
loge x = ln x
(3.36)