Fungsi,fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Matematika adalah salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting yang
semakin dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti
ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada
struktur ilmu dan peralatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini
masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri,
asuransi,
ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik.
Pembuatan makalah yang berjudul komposisi dan invers fungsi ini dilatar
belakangi untuk memenuhi tugas mata kuliah Pembelajaran Matematika SMA
dan SMK, untuk mempermudah proses belajar mengajar mata kuliah
matematika menengah serta untuk melatih pembaca agar berfikir dalam
menjelaskan pengertian dan sifat-sifat fungsi, menjelaskan syarat agar suatu
fungsi mempunyai invers, menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik
fungsi asalnya, mengidentifikasikan sifat-sifat fungsi invers, merancang
masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi fungsi, dan
mengajukan masalah dunia nyata.
B. RUMUSAN MASALAH
1.
Apa yang dimaksud dengan fungsi?
2.
Bagaimana syarat agar suatu fungsi mempunyai invers?
3.
Bagaimana cara menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi
asalnya?
4.
Bagaimana sifat-sifat fungsi invers?
5.
Bagaimana cara memecahkan masalah yang berkaitan dengan komposisi
fungsi?
2
C. TUJUAN PENULISAN
1.
Untuk mengetahui pengertian fungsi
2.
Untuk mengetahui syarat agar suatu fungsi mempunyai invers
3.
Untuk mengetahui cara menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik
fungsi asalnya
4.
Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi invers
5.
Untuk mengetahui cara memecahkan masalah yang berkaitan dengan
komposisi fungsi
3
BAB II
PEMBAHASAN
1. Kompetensi Dasar
Kompetensi Dasar pengetahuan :
3.5 Memahami konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks
sehari-hari dan menerapkannya.
Kompetensi Dasar keterampilan
4.5 merancang dan mengajukan masalah dunia nyata yang berkaitan dengan
komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya.
2. Indikator
3.1.1 Menjelaskan pengertian fungsi
3.1.2 Menjelaskan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers
3.1.3 Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
3.1.4 Mengidentifikasi sifat-sifat fungsi invers
3.1.5 Merancang masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi
fungsi
3.1.6 Mengajukan masalah dunia nyata.
3. Materi Ajar
A. Fungsi
1) Pengertian
a) Relasi
Relasi
atau
hubungan
adalah
suatu
himpunan
yang
anggota-anggota terdiri dari pasangan-pasangan terurut. Misalkan
R adalah sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang
ditulis sebagai :
R= ( x, y) | x  A dan y B}
4
Himpunan semua ordinat pertama dari pasangan terurut (𝑥, 𝑦)
i.
disebut daerah asal atau domain, ditulis sebagai DR.
ii.
Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain, ditulis
sebagai KR.
Himpunan semua ordinat kedua dari pasangan terurut (𝑥, 𝑦)
iii.
disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range, ditulis
sebagai RR.
b) Fungsi
Suatu fungsi biasa disebut juga pemetaan Pengertiannya, suatu
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau
pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A
berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B .
Fungsi atau pemetaan 𝑓 ditulis 𝑓: 𝐴 → B didefiinisikan sebagai
suatu relasi A yang memetakan setiap anggota himpunan A tepat
satu ke anggota himpunan 𝐵. Gambar dibawah merupakan contoh
fungsi.
A
B
a
P
b
q
c
r
Gambar 1
Contoh fungsi
Misalkan kita mempunyai himpunan tak kosong 𝐴 dan 𝐵
sebuah fungsi 𝑓 dari A ke B adalah pemasangan setiap unsur di
A ke tepat suatu unsur di B , atau secara matematis, pemetaan dari
𝐴 ke 𝐵 yang memetakan setiap 𝑎  𝐴 ke 𝑓(𝑎)  𝐵 oleh fungsi 𝑓
dinotasikan sebagai berikut.
f :𝐴 → B
5
a → f (a) = b
Dengan:
Himpunan 𝐴 disebut daerah asal (domain)
Himpunan 𝐵 disebut daerah kawan (kodomain)
Himpunan semua anggota 𝐵 yang mendapat pasangan dari a disebut
range atau daerah hasil.
i.
Domain atau daerah asal f dilambangkan sebagai Df
Daerah asal fungsi f didefinisikan sebagai himpunan semua
absis
dari pasangan terurut yang ada pada fungsi 𝑓 . Domain dari
fungsi,
𝐷𝑓 = {x | ( x, y )  f } atau 𝐷𝑓 = x | y terdefinisi}
Sebagai contoh :
Fungsi F = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}, mempunyai daerah asal
𝐷𝑓 = {1,2,3,4}
ii.
Kodomain atau daerah kawan fungsi 𝑓 dilambangkan dengan Kf
Daerah kawan fungsi f : 𝐴 → 𝐵 didefinisikan sebagai seluruh
anggota (tanpa terkecuali) didalam himpunan 𝐵. Jadi, 𝐾𝑓 = 𝐵
iii.
Daerah hasil atau range fungsi 𝑓 dilambangkan dengan Rf
Daerah hasil fungsi f didefinisikan sebagai himpunan semua
ordinat kedua dari pasangan terurut (𝑥, 𝑦) yang ada pada fungsi
f.
Jadi, 𝑅𝑓 = {𝑦|(𝑥, 𝑦)  f }
2) Sifat-sifat Fungsi
a. Fungsi Satu-satu (Fungsi Injektif)
Fungsi f disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika tidak ada
anggota yang berbeda di A mempunyai bayangan yang sama f
:𝐴 → 𝐵
6
Contoh:
Gambar 2
Fungsi injektif dan Bukan fungsi injektif
b. Fungsi Onto (Fungsi Surjektif)
Suatu fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 dikatan
fungsi pada A jika dan hanya jika range f sama dengan 𝐵 atau
𝑓(𝐴) = 𝐵
Contoh :
A
B
A
B
a
x
a
1
b
y
b
c
2
z
c
3
d
4
Fungsi surjektif
Bukan fungsi surjektif
Gambar 3
Fungsi surjektif dan Bukan fungsi surjektif
7
c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Fungsi f disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi
sekaligus merupakan fungsi satu-satu (injektif) dan fungsi
f
(surjektif), dimana setiap anggota dalam himpunan 𝐴 dipasangkan
dengan satu anggota dalam himpunan 𝐵. Begitu pula sebaliknya,
tiap anggota dalam himpunan B dipasangkan satu anggota dalam
himpunan 𝐴. Ini berarti bahwa tiap dua unsur yang berbeda pula
dalam himpunan 𝐵. Oleh karena itu, himpunan 𝐴 dan himpunan
𝐵 dikatakan berada dalam korendensi satu-satu. Contoh :
A
B
a
p
b
q
c
r
A
B
a
1
b
2
c
3
d
Fungsi Bijektif
Bukan fungsi bijektif
Gambar 4
Fungsi bijektif dan Bukan fungsi bijektif
d. Aljabar Fungsi
Aljabar fungsi adalah operasi-operasi yang bisa diterapkan
pada fungsi. Mirip seperti bilangan, operasi aljabar pada fungsi
juga didefinisikan dengan mencakup penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian.. Misalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah dua
fungsi, dan 𝑥 ∈ 𝑅. Operasi aljabar pada fungsi dapat dinyatakan
sebagai berikut.
i.
f
 g ( x)  f ( x)  g ( x)
8
ii.
iii.
iv.
 f  g ( x)  f ( x)  g ( x)
 f  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f
f ( x)
 ( x) 
g ( x)
g
Contoh Soal :
1. Penjumlahan 𝑓 dan 𝑔 berlaku
f
 g ( x)  f ( x)  g ( x)
Diketahui f ( x)  x  2 dan g ( x)  x²  2 . Tentukan
f
 g (x) !
Penyelesaian:
f
 g ( x)  f ( x)  g ( x)
2
= ( x  2)  ( x  4)
= x  2  x2  4
= x2  x  4
2. Pengurangan 𝑓 dan 𝑔 berlaku
f
 g ( x)  f ( x)  g ( x)
Diketahui f ( x)  x² - 3x dan g ( x)  2x + 1 . Tentukan
f
 g (x) !
Penyelesaian:
f
 g ( x)  f ( x)  g ( x)
2
= ( x  3x)  (2 x  1)
= x 2  3x  2 x  1
= x 2  5x  1
3. Perkalian f dan 𝑔 berlaku  f  g ( x)  f ( x)  g ( x)
Diketahui: f ( x)  x  5 dan g ( x)  x²  x . Tentukan
 f  g (x) !
Penyelesaian :
 f  g ( x)  f ( x)  g ( x)
2
= ( x  5)  ( x  x)
= x³ + x² - 5x² - 5x
= x³ - 4x² - 5x
4. Pembagian f dan g berlaku
 f 
f ( x)
 ( x) 
g ( x)
g
 f 
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4 dan g(𝑥) = 𝑥 + 2. Tentukan  (x ) !
g
9
 f 
x2  4
( x  2)( x  2)
Penyelesaian :  (x ) =
=
=x–2
x2
( x  2)
g
3) Jenis-jenis Fungsi
a. Fungsi Konstan
Fungsi yang memetakan setiap unsur didomain kesatu nilai yang
sama.
Contoh: f ( x)  3, x  R
b. Fungsi Identitas
Fungsi yang memetakan setiap unsur di domain kedirinya sendiri
dilambangkan oleh I
c. Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang memetakan setiap unsur di
domain kesuatu nilai fositif atau nol. Nilai mutlak dilambangakan
oleh |𝑥|,
f ( x) | x | {x ,xx,x00
d. Fungsi Linear
Fungsi yang memetakan setiap x  R kesuatu bentuk 𝑎𝑥 + 𝑏
dengan 𝑎 dan 𝑏 merupakan konstanta. Bentuk umum fungsi
linear : f ( x)  ax  b
e. Fungsi Kuadrat
Fungsi
yang
memetakan
setiap
xR
kesuatu
bentuk
ax 2  bx  c, dengan 𝑎 ≠ 0,. Bentuk umum dari fungsi kuarat :
f ( x)  ax 2  bx  c
B. Komposisi Fungsi
1) Pengertian Komposisi Fungsi
Komposisi Fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara
berurutan sehingga menghasilkan fungsi baru. Fungsi baru hasil
kombinasi fungsi-fungsi sebelumnya dinamakan fungsi komposisi.
10
Apabila 𝑔 suatu fungsi dari 𝐴 ke 𝐵 (𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵) dan 𝑓 suatu
fungsi dari 𝐵 ke
(𝑓 ∶ 𝐵 → 𝐶) . Maka ℎ suatu fungsi dari 𝐴 ke
𝐶 (ℎ: 𝐴 → 𝐶) disebut fungsi komposisi.
Simaklah gambar berikut ini:
D
C
C
Gambar 5
D
Komposisi Fungsi
Contoh:
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑥 ∈ R
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥, 𝑥 > 0, 𝑥 ∈ R
𝑔 𝑜 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (2𝑥 + 3), 𝑥 > − , 𝑥 ∈ R
sehingga diperoleh,
Domain dari fungsi yang memetakan 𝑓: 𝑥 → 2𝑥 + 3 adalah 𝑫𝑓 =
{𝑥|𝑥  𝑹}
11
Domain dari fungsi yang memetakan 𝑔 ∶ 𝑥 → 𝑙𝑜𝑔 𝑥 adalah
𝑫𝑔 = {𝑥|𝑥 > 𝑜, 𝑥  𝑹}
Domain dari fungsi yang memetakan 𝑔 𝑜 𝑓 ∶ 𝑥 → 𝑙𝑜𝑔 (2𝑥 + 3) adalah
3
𝑫𝑔 𝑜 𝑓 = {𝑥|𝑥 > − , 𝑥  𝑹}
2
Perhatikan bahwa fungsi ℎ adalah pemetaan dari himpunan 𝐴 ke himpunan
𝐶 dengan perantara himpunan 𝐵. sehingga fungsi h ini adalah komposisi fungsi
𝑔 dan fungsi 𝑓 yaitu fungsi komposisi (𝑓 𝑜 𝑔) atau ℎ(𝑥) = 𝑓 𝑜 𝑔(𝑥) =
𝑓(𝑔(𝑥)).
Definisi:
Misal diketahui fungsi-fungsi :
𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵 ditentukan dengan rumus 𝑔(𝑥)
𝑓 ∶ 𝐵 → 𝐵 ditentukan dengan rumus 𝑓(𝑥)
maka, komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus :
𝑓 𝑜 𝑔 (𝑥) = 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 ))
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) , dibaca 𝑓 komposisi 𝑔 𝑥 atau 𝑓 (𝑔( 𝑥)) atau 𝑓 bundaran
(𝑔 (𝑥))
Dengan menggunakan analisis pemikiran yang sama, komposisi fungsi f(x)
dan fungsi g(x) yaitu fungsi komposisi g o f (x), dapat didefinisikan dengan :
Definisi :
Misalkan diketahui fungsi-fungsi :
𝑓: 𝐴 → 𝐵 ditentukan dengan rumus 𝑓(𝑥)
𝑔: 𝐵 → 𝐶 ditentukan dengan rumus 𝑔(𝑥)
maka, komposisi dari fungsi 𝑔 dan fungsi 𝑓 ditentukan oleh rumus :
𝑔 𝑜 𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑓 ( 𝑥 ))
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) dibaca 𝑔 komposisi 𝑓(𝑥) atau 𝑔 (𝑓 (𝑥)) atau 𝑔 bundaran
𝑓𝑥
12
Agar lebih memahami dan terampil dalam mengaplikasikan rumus-rumus
komposisi fungsi, simaklah beberapa contoh berikut :
Contoh Soal :
a. Diketahui fungsi-fungsi berikut ini :
𝑓∶ 𝑹→𝑹
ditentukan dengan rumus 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 5
𝑔 ∶ 𝑹 → 𝑹 ditentukan dengan rumus 𝑔(𝑥) = 5 – 3𝑥
Tentukan hasil dari 𝑔 𝑜 𝑓(𝑥) dan 𝑓 𝑜 𝑔 (𝑥) jika 𝑥 = −10
Jawab :
a. 𝑔 𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑔( 𝑓 ( 𝑥 ))
𝑔 𝑜 𝑓 (𝑥) = 𝑔 (2𝑥 − 5)
𝑔 𝑜 𝑓 (𝑥) = 5 – 3 (2𝑥 − 5)
𝑔 𝑜 𝑓 (𝑥) = 5 – 6𝑥 + 15
𝑔 𝑜 𝑓 (𝑥) = 20 – 6𝑥
jika 𝑥 = −10, maka :
𝑔 𝑜 𝑓 (−10) = 20 – 6(−10)
𝑔 𝑜 𝑓 (−10) = 20 + 60
𝑔 𝑜 𝑓 (−10) = 80
b. 𝑓 𝑜 𝑔 (𝑥) = 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 ))
𝑓 𝑜 𝑔 (𝑥) = 𝑓 (5 – 3𝑥)
𝑓 𝑜 𝑔 (𝑥) = 2(5 – 3𝑥) – 5
𝑓 𝑜 𝑔 (𝑥) = 10 – 6𝑥 – 5
𝑓 𝑜 𝑔 (𝑥) = 5 – 6𝑥
jika 𝑥 = −10, maka :
𝑓 𝑜 𝑔 (−10) = 5 – 6 (−10)
𝑓 𝑜 𝑔 (−10) = 5 + 60
𝑓 𝑜 𝑔(−10) = 65
13
2) Menentukan Fungsi Bila Komposisi Fungsi dan Sebuah Fungsi Lain
Misalkan fungsi komposisi (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) atau (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) diketahui
dan sebuah fungsi 𝑓 (𝑥) juga diketahui, maka fungsi 𝑔(𝑥) bisa
ditentukan
begitupun
sebaliknya.
Persoalan
seperti
ini
dapat
diperlihatkan dengan bagan berikut :
Gambar 6 Menentukan Fungsi Bila Komposisi Fungsi dan Sebuah Fungsi
Lain
Contoh soal :
1. Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 dan (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 2𝑥² − 2𝑥 + 7 . Tentukan
rumus fungsi 𝑔(𝑥)!
Penyelesaian :
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 2𝑥² − 2𝑥 + 7
𝑓(𝑔 ( 𝑥 )) = 2𝑥² − 2𝑥 + 7
2(𝑔 ( 𝑥 )) + 1 = 2𝑥² − 2𝑥 + 7
2(𝑔 (𝑥)) = 2𝑥² − 2𝑥 + 6
𝑔(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 + 3
Jadi, rumus fungsi 𝑔(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 + 3
14
2. Diketahui 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5 dan (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 4𝑥² − 10𝑥 + 9. Tentukan
rumus fungsi 𝑓(𝑥).
Penyelesaian :
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 4𝑥² − 10𝑥 + 9
𝑓(𝑔 (𝑥)) = 4𝑥² − 10𝑥 + 9
𝑓(2𝑥 + 5) = 4𝑥² − 10𝑥 + 9
2𝑥 + 5 = 𝑝, maka
misalkan: 2𝑥 = 𝑝 – 5
𝑥 =
p 5
2
𝑓 (𝑞) = 4 − 10 + 9
𝑓(𝑞) = (𝑞 − 5)² − 5(𝑞 − 5) + 9
𝑓(𝑞) = 𝑞² − 10𝑞 + 25 − 5𝑞 + 25 + 9
𝑓(𝑞) = 𝑞² − 15𝑞 + 59
Maka, rumus fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 15𝑥 + 59
3) Sifat-sifat komposisi fungsi
a. Pada umumnya operasi pada fungsi-fungsi tidak komutatif. Untuk
sebarang fungsi-fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥), pada umumnya:
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) ≠ (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)
b. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif. Untuk
sebarang fungsi-fungsi 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥) , maka berlaku
hubungan:
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = ((𝑓 𝑜 𝑔)𝑜 ℎ)(𝑥)
Dengan
demikian,
bentuk-bentuk
((𝑓𝑜)𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥)
((𝑓 𝑜 𝑔) 𝑜 ℎ)(𝑥) ditulis sebagai (𝑓 𝑜 𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥)
Pembuktian:
Ambil sebarang x  R, sehingga;
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑜(𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥)
atau
15
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = 𝑓 (𝑥)𝑜(𝑔(ℎ)(𝑥))
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = (𝑓(𝐺(ℎ)(𝑥)))
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = ((𝑓 𝑜 𝑔)ℎ)(𝑥)
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥)𝑜 ℎ(𝑥)
(𝑓 𝑜 (𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = ((𝑓 𝑜 𝑔)𝑜 ℎ)(𝑥)
Karena persamaan diatas berlaku untuk setiap x, maka menurut
kesamaan dua fungsi, terbukti.
c. Dalam operasi komposisi fungsi-fungsi terdapat sebuah identitas,
yaitu fungsi identitas, 𝐼(𝑥) = 𝑥 .Fungsi identitas 𝐼(𝑥) = 𝑥
mempunyai siifat:
(𝑓 𝑜 𝐼)(𝑥) = (𝐼 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Artinya untuk setiap fungsi akan berlaku;
(𝑓 𝑜 𝐼)(𝑥) = (𝐼 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Contoh Soal:
1. Diketahui 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅, g : R → R, dan ℎ ∶ 𝑅 → 𝑅 ditentukan oleh rumus
𝑓(𝑥) = 2𝑋 + 1, 𝑔(𝑥) = 3𝑥 dan ℎ(𝑥) = 𝑥² − 2 . Fungsi identitas 𝐼 pada
𝑅 ditentukan oleh rumus 𝐼(𝑥) = 𝑥. Tentukan rumus fungsi yang dinyatakan
dengan:
a. (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥)
b (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)
c. ((𝑓 𝑜 𝑔)𝑜 ℎ)(𝑥)
d. (𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥)
e. (𝐼 𝑜 𝑓)(𝑥)
f. (𝑓 𝑜 𝐼)(𝑥)
Penyelesaian:
a. (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑓(3𝑥)
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 2(3𝑥) + 1
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 6𝑥 + 1
b. (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(2𝑥 + 1)
16
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 3(2𝑥 + 1)
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 6𝑥 + 3
c. Jika ditanyakan (𝑓𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) dari 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥) maka,
langkah-langkahnya:

Bisa mengerjakan mencari komposisi (𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) terlebih dahulu lalu
mengganti 𝑥 pada 𝑓(𝑥) dari hasil (𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥)

Atau dengan mencari komposisi (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) terlebih dahulu lalu
mengganti 𝑥 pada ℎ(𝑥) dari hasil (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥).
Jadi, kita bisa memilih untuk mengerjakan komposisi (𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) atau
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) terlebih dahulu, karena operasi komposisi berlaku Sifat Asosiatif.
((𝑓 𝑜 𝑔)𝑜 ℎ)(𝑥) = (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥² − 2)
((𝑓 𝑜 𝑔)𝑜 ℎ)(𝑥) = 6(𝑥² − 2) + 1
((𝑓 𝑜 𝑔)𝑜 ℎ)(𝑥) = 6𝑥² − 12 + 1
((𝑓 𝑜 𝑔)𝑜 ℎ)(𝑥) = 6𝑥² − 11
d.
Sama seperti langkah-langkah pada point c, kita cari terlebih dahulu, (goh)(x).
(𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥))
(𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) = 𝑔(𝑥² − 2𝑥)
(𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) = 3(𝑥² − 2𝑥)
(𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) = 3𝑥² − 6𝑥
Lalu kita mencari (𝑓 𝑜 (𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥)
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = (𝑓(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥)
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = 𝑓(3𝑥² − 6)
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = 2(3𝑥² − 6) + 1
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = 6𝑥² − 12 + 1
(𝑓 𝑜(𝑔 𝑜 ℎ))(𝑥) = 6𝑥² − 11
e.
(𝐼 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝐼(𝑓(𝑥))
(𝐼 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝐼(2𝑥 + 1)
(𝐼 𝑜 𝑓)(𝑥) = 2𝑥 + 1
17
f.
(𝑓 𝑜 𝐼)(𝑥) = 𝑓(𝐼(𝑥))
(𝑓 0 𝐼)(𝑥) = 𝑓(𝑥)
(𝑓 𝑜 𝐼)(𝑥) = 2𝑥 + 1
Dari keenam soal-soal diatas dapat dilihat bahwa semua sifat-sifat pada komposisi
fungsi itu terbukti.
C. Fungsi Invers
1. Pengertian Fungsi Invers
Suatu fungsi atau pemetaan pasti melibatkan dua himpunan.
Misalkan fungsi
f
memetakan unsur a  A ke b  B , shingga
fungsi f dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan berurut : terurut f
= (a, b) | a  A dan b  B} .
Pemetaan b  B ke a  A diperoleh
dengan cara menukarkan
atau membalik pasangan terurut ( a, b)  f menjadi (b, a) . Pasangan
terurut (b, a) ini adalah unsur dari invers fungsi f . Jika invers dari
fungsi f itu dilambangkan dengan f 1 = (b, a) | b B dan a  A} .
Berdasarkan deskipsi di atas, invers atau suatu fungsi dapat
didefinisikan
sebagai berikut. Definisi :
Jika fungsi f : A→B dinyatakan dengan pasangan terurut
f  (a, b) | a A dan b  A}
Maka invers fungsi f adalah f 1 : B  A ditentukan oleh
f 1  (b, a) | b B dan a  A}
Hasil invers suatu fungsi belum tentu berupa fungsi, tetapi dapat
saja merupakan hubungan atau relasi biasa. Jika invers dari suatu fungsi
merupakan fungsi pula, maka invers fungsi yang demikian disebut
fungsi invers.
f : A  B mempunyai fungsi invers f 1 : B  A, jika setiap anggota
B merupakan peta dari tepat satu anggota A, dan merupakan fungsi
bijektif.
Berikut
ini
dinyatakan
teorema
fungsi
invers,
dan
18
pembuktiannya.
Teorema Fungsi Invers
f :A B
Misalkan
adalah
fungsi
bijektif.
Maka
f 1 : B  A
menyatakan fungsi invers dari f yang juga bijektif.
Bukti:
Diketahui
f : A  B bijektif, maka f satu-satu dan pada. Kita akan
membuktikannya bahwa f 1 : B  A adalah merupakan:
a. Suatu fungsi
b. Pada, dan
c. Satu-satu
Pembuktian :
a. Ambil sebarang unsur b  B karena f bijektif, maka b memiliki
padanannya di A, yaitu ada a  A yang memenuhi f ( a )  b : Padanan b
ini tunggal.
1) Untuk sebarang b B, b memiliki padanan di A dan pemedanannya
tunggal.
2) f 1 adalah suatu fungsi.
b. Ambil sebarang unsur di A, misalnya a  A , maka terdapat f ( a )  B
karena
f
fungsi pada. Menurut definisi invers fungsi,
f 1 ( a )
dipadankan ke a .
1) Untuk setiap a  A, terdapat f ( a )  B sehingga f 1 f (a)  a
2) f 1 pada.
b. Ambil dua unsur berbeda di B misalkan b1, b2  B b1  b2 . Karena
f 1 suatu fungsi maka b1 dan b2 dipetakan masing-masing ke f 1 (b1 )
dan f 1 (b2 )  A. Andaikan f 1 (b1 )  f 1 (b2 ), maka ada unsur di A yaitu
f 1 (b1 ) yang dipetakan ke dua unsur berbeda di B (yaitu b1 dan b2 ).
Akibatnya, f bukan fungsi. Hal ini bertentangan dengan fakta bahwa f
19
1
1
itu fungsi. Maka haruslah f (b1 )  f (b2 ).
1) Untuk setiap b1,b2  B dengan b1 b2 berlaku f 1 (b1 )  f 1 (b2 ).
2) f 1 satu-satu.
2. Menentukan Rumus Fungsi Invers
Sebuah fungsi f mempunyai invers berupa fungsi, maka fungsi f
tersebut haruslah merupakan fungsi bijektif. Misalkan f
adalah
sebuah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi invers
f 1 . Dalam bahasa pemetaan, pernyataan
itu dapat diungkapkan
sebagai berikut:
a. Untuk
setiap
anggota
xDf
y  f ( x )  W f . Kemudian oleh
dipetakan
ke
anggota
f 1 , untuk setiap y  f (x )
dipetakan kembali ke x. Berdasarkan aturan komposisi pada
fungsi-fungsi, pemetan berantai f diikuti dengan
f 1 tersebut
ditulis sebagai :
( f 1  f )( x)  x  I ( x), sebuah fungsi identitas.
b. Dengan menggunakan analisis yang sama, apabila pemetaan
dimulai dengan
maka
f 1 terlebih dulu kemudian diikuti dengan f ,
pemetaan
berantai
ini
ditulis
dengan
( f  f 1 )( x)  x  I ( x), sebuah fungsi identitas.
Berdasarkan uraian diatas, fungsi invers f 1 dapat didefinisikan
dengan menggunakan operasi komposisi sebagai berikut.
Definisi :
Misalkan f adalah sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal D f dan
wilayah hasil W f . Fungsi f 1 adalah invers dari f , jika dan hanya jika.
( f 1  f )( x)  x  I ( x) untuk x  D f , dan ( f  f 1 )( x)  x  I ( x) untuk
x W f .Dengan demikian, untuk memeriksa apakah sebuah fungsi (misalnya
20
fungsi g (x) adalah fungsi invers dari fungsi f maka cukup ditunjukkan
bahwa :
( g  f )( x )  x  I ( x ) dan ( f  g )( x )  x  I ( x )
Rumus Fungsi Invers
Misalkan f fungsi yang memtakan x ke y dinyatakan f : x  y atau ditulis
dengan y  f (x ). Invers fungsi f
(dilambangkan
f 1 ) memetakan y ke
x : f 1 ( y ). Invers suatu fungsi bisa berupa fungsi atau bukan fungsi.
Invers suatu fungsi yang berupa fungsi disebut invers.
Langkah-langkah menentukan fungsi inver adalah sebagai berikut.
1. Misalkan y  f (x ), kemudian diubah menjadi bentuk x  g ( y ).
2. Tuliskan x sebagai f 1 ( y ) sehingga f 1 ( y )  g ( y ).
3. Ubahlah huruf y dengan x sehingga didapat rumus fungsi invers f 1 ( x).
Beberapa contoh fungsi dan fungsi inversnya
1. f ( x)  ax  b, f 1 ( x) 
2. f ( x) 
x b
a
ax  b 1
 dx  b
, f ( x) 
cx  a
cx  a
3. f ( x)  ax 2  bx  c, f 1 ( x) 
 b  b 2  4 a (c  x )
2a
4. f ( x) a log cx, f 1 ( x)  f 1 ( x) 
1
5. f ( x)  a cx , f 1 ( x)  a log x c
ax
c
21
Pembuktian :
1. f ( x)  ax  b,
Misal :
y  ax  b
ax  y  b
x
y b
a
y b
a
x

b
f 1 ( x ) 
Terbukti
a
f
1
( y) 
2. f ( x) 
ax  b
cx  d
Misal:
ax  b
cx  d
y (cx  d )  ax  b
y
cxy  dy  ax  b
x(cy  a )  b  dy
 dy  b
cy  a
 dy  b
f 1 ( y ) 
cy  a
 dx  b
f 1 ( x) 
cx  a
x
Terbukti
22
3. f ( x)  ax 2  bx  c,
Misal :
y  ax 2  bx  c
ax 2  bx  y  c
x2 
b
 b 
x

a
 2a 
b 

x 

2a 

2

yc
 b 


a
 2a 
yc
 b 


a
 2a 
2

2
x
b

2a
yc
 b 


a
 2a 
x
b

2a
4a ( y  c )  b 2
4a 2
x
x
f
f
1
1
2
b 2  4a ( y  c )
b

2a
b
2a
b
 4 a (c  y )
2
2a
( y) 
( x) 
b
b 2  4 a (c  y )
b
b 2  4 a (c  x )
2a
2a
4. f ( x) a log cx,
Misal : y  a log cx
y  a log cx
y  a log c  a log x
a
2
log x  y  a log c
x  a y
a
log c
ay
x
a log c

ay
c
a
ay
c
ax
f 1 ( x) 
c
f 1 ( y ) 
Terbukti
Terbukti
23
5. f ( x)  a cx
Misal :
y  a cx
a
log y  cx
1a
, log y  x
c
x  log y
a
1
a
1
a
1
c
f ( y ) log y
f ( x) log x
1
c
1
c
Terbukti
Grafik suatu Fungsi dan Grafik Fungsi Inversnya
Fungsi f memiliki fungsi invers ( f 1 ) hanya jika f bijektif (satu-satu
dan pada). Diketahui bahwa ( f 1 ) juga bijektif dan fungsi invers dari ( f 1 )
adalah f . Fungsi f bijektif, pengertiannya adalah setiap elemen di A dipetakan
tepat satu-satu ke sebuah elemen di B oleh fungsi f yang dituliskan dalam
pasangan terurut sebagai {(𝑎, 1), (𝑏, 2), (𝑐, 3)}.
Fungsi invers dari f
yaitu f 1 . Setiap elemen di B dipetakan tepat
satu-satu ke sebuah elemen di A oleh fungsi f 1 yang dituliskan dalam pasangan
terurut sebgai {(1, 𝑎}), (2, 𝑏), (3, 𝑐)} . Himpunan pasangan terurut oleh f 1
diperoleh dengan menukar urutan dalam himpunan pasangan terurut f . Grafik
fungsi bijektif y  f (x ) pada himpunan bilangan real adalah sebuah kurva yang
dibangun oleh himpunan titik-titik {( x, y  f ( x)}. Sementara itu, grafik fungsi
invers f 1 ( x) ditentukan oleh himpunan titik-titik {( y  f ( x))} . Artinya, grafik
fungsi f 1 ( x) adalah pencerminan dari grafik fungsi f (x) terhadap garis
y  x.
24
Menggambar grafik fungsi invers
Telah Anda ketahui bahwa fungsi f memiliki fungsi invers
f
f 
1
hanya jika
bijektif (satu-satu dan pada). Fungsi-fungsi dan fungsi invernya dapat
disajikan dalam bentuk grafik. Grafik fungsi bijektif pada himpunan bilangan real
(R) adalah bentuk sebuah kurva yang dibangun oleh himpunan titik-titik
[( x, y  f ( x)]. Sedangkan fungsi inversnya f
1
( x) ditentukan oleh himpunan
titik-titik [( y  f ( x), x)]
Agar lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini.
Contoh Soal :
Diketahui fungsi f : R  R ditentukan oleh f ( x)  2 x  6 Tentukan:
a. Rumus fungsi untuk
b. Daerah asal untuk f 1 ( x);
c. Daerah asal untuk
f (x);
d. Gambarlah grafik fungsi f (x ) dan f 1 ( x);
Jawab:
f ( x)  y
2x  6  y
2x  y  6
x
y6
2
f 1 ( y ) 
y6
2
a.
Daerah asal fungsi f (x ) adalah {x | x  R}
b.
Daerah asal fungsi f 1 ( x) adalah {x | x  R}
c.
1) Untuk: f ( x)  2 x  6
x
0
-3
y  f (x )
6
0
25
2) Untuk: f
2
x
y f
1
( x)
( x) 
1
x3
2
0
6
-3
0
d. Grafik f (x ) dan f 1 ( x)
Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik fungsi f (x ) dengan grafik fungsi
inversnya
f 1 ( x) simetris terhadap
f ( x )  x , sehingga dapat dikatakan
bahwa:
Grafik fungsi invers
f 1 ( x) adalah pencerminan dari grafik fungsi
f (x )
terhadap garis f ( x)  x.
Fungsi Invers dari Komposisi Fungsi
Misalkan h (x ) adalah fungsi komposisi yang dibentuk dari fungsi f (x)
dan g (x ) . Ada 2 macam kemungkinan fungsi h (x ) yang dapat dibentuk, yaitu:
h( x)  ( f  g )( x) atau h( x)  ( g  f )( x) dengan demikian, invers dari fungsi
h (x ) adalah
merupakan
f 1 ( x)  ( f  g )( x)
fungsi,
maka
atau
f 1 ( x)  ( g  f ) 1 ( x) .
bentuk-bentuk
Jika
h 1 ( x)  ( f  g ) 1 ( x)
h 1
atau
h 1 ( x)  ( g  f ) 1 ( x) disebut sebagai fungsi invers dari fungsi komposisi.
Perhatikan gambar dibawah ini, misalkan fungsi f dan fungsi g
masing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f
1
26
dan g 1 . Fungsi komposisi ( f  g ) , pemetaan pertama ditentukan oleh g dan
pemetaan kedua ditentukan oleh f . Mula-mula x oleh fungsi g dipetakan
ke y , kemudian y oleh fungsi f dipetakan kembali ke z (gambar a). Fungsi
( f  g )( x) 1 memetakan z ke x . Mula-mula z oleh f
1
dipetakan ke y ,
kemudian y oleh g 1 dipetakan kembali ke x
Gambar 7 Fungsi Invers dari Komposisi Fungsi
Maka
( f  g )( x) 1
dapat
dinyatakan
sebagai
komposisi
dari
(bertindak sebagai pemetaan pertama) dan g 1 ( x) (bertindak sebagai
pemetaan kedua). Sesuai dengan aturan komposisi, pemetaan berantai seperti
itu dituliskan sebagai ( g 1  f
1
)( x)
Dengan demikian, diperoleh hubungan ( f  g ) 1 ( x)  ( g 1  f 1 )( x) .
Dengan menggunakan analisis yang sama, dapat ditunjukkan bahwa
fungsi
invers
dari
fungsi
komposisi
ditentukan
oleh
( g  f )( x)  ( f 1  g 1 )( x) .
Diagram pemetaan
gambar dibawah ini:
( g  f )( x)  ( f 1  g 1 )( x)
diperlihatkan
pada
Gambar 8 Komposisi Fungsi dari Fungsi Invers
Berdasarkan deskripsi di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi invers
dari suatu fungsi komposisi dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan
berikut.
27
( f  g )( x)  ( g 1  f 1 )( x) , atau
( g  f ) 1 ( x)  ( f 1  g 1 )( x)
Apabila fungsi komposisi dari fungsi f dan g adalah fungsi h ,
ditulis h  f  g maka invers dari fungsi komposisi adalah h 1  ( f  g ) 1
1.
( f  g ) 1 ( x)  ( f 1  g 1 )( x)
( g  f ) 1 ( x)  ( g 1  f 1 )( x)
2. ( f  g  h) 1  h 1  g 1  f 1
3.
f  f 1  f 1  f  1
28
SOAL - SOAL
1. UJIAN NASIONAL SMA TAHUN 2010
(9x + 4)
5
Diketahui 𝑓(𝑥) = (6x−5) , 𝑥 ≠ 6 dan fungsi invers dari 𝑓(𝑥) adalah
𝑓 −1 (2) adalah …
A.
B.
C.
𝟏𝟒
D. −
𝟑
17
E. −
14
6
17
14
14
3
21
Pembahasan :
(9𝑥+4)
𝑓(𝑥) = (6𝑥−5)
(9𝑥+4)
𝑦 = (6𝑥−5)
𝑦 (6𝑥 – 5) = (9𝑥 + 4)
6𝑥𝑦 – 5𝑦 = 9𝑥 + 4
6𝑥𝑦 – 9𝑥 = 5𝑦 + 4
(6𝑦 – 9)𝑥 = 5𝑦 + 4
(5y + 4)
𝑥 = (6y − 9)
Maka diperoleh :
(5𝑥 + 4)
9
f −1 (𝑥) = (6𝑥 − 9) dengan 𝑥 ≠ 6
f −1 (2) =
(5.2 + 4)
(6.2 − 9)
f −1 (2) =
14
3
(9x + 4)
5
14
Jadi, nilai 𝑓 −1 (2) pada persamaan 𝑓(𝑥) = (6x−5) , 𝑥 ≠ 6 adalah
3
29
2. UJIAN NASIONAL SMA TAHUN 2019
Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑝𝑥+𝑞
𝑥+2
, 𝑞 ≠ 0. Jika 𝑓 −1 menyatakan invers dari 𝑓
dan 𝑓 −1 (𝑞) = −1 maka nilai 𝑓 −1 (2𝑞) adalah …
5
A. − 2
D.
𝟑
B. − 𝟐
E.
3
2
5
2
C. 0
Pembahasan:
Mencari fungsi invers dari 𝑓(𝑥):
Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑦, maka:
𝑦=
𝑝𝑥+𝑞
𝑥+2
𝑦(𝑥 + 2) = 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑥𝑦 + 2𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑥𝑦 − 𝑝𝑥 = 𝑞 − 2𝑦
𝑥=
𝑞−2𝑦
𝑦−𝑝
Diketahui nilai 𝑓 −1 (𝑞) = −1, maka akan diperoleh nilai p.
𝑓 −1 (𝑥) =
𝑞−2𝑥
𝑓 −1 (𝑞) =
𝑞−2𝑞
𝑥−𝑝
𝑞−𝑝
𝑞
𝑓 −1 (𝑞) = − 𝑞−𝑝
𝑞
−1 = − 𝑞−𝑝
𝑞 =𝑞−𝑝
𝑝 =𝑞−𝑞 =0
Mencari nilai 𝑓 −1 (2𝑞):
𝑓 −1 (2𝑞) =
𝑞−2 ∙ 2𝑞
𝑓 −1 (2𝑞) =
𝑞−4𝑞
2𝑞−𝑝
𝑞−𝑝
30
− 3𝑞
𝑓 −1 (2𝑞) = 2𝑞−𝑝
− 3𝑞
𝑓 −1 (2𝑞) = 2𝑞−0
𝑓 −1 (2𝑞) =
− 3𝑞
2𝑞
3𝑞
3
𝑓 −1 (2𝑞) = − 2𝑞 = − 2
3. UJIAN NASIONAL SMA 2018
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 dan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 4𝑥 − 9. Nilai dari 𝑔−1 (3)
=…
A. 3
C. 5
B. 4
D. 6
E. 7
Pembahasan :
𝑔(𝑓(𝑥)) = 4𝑥 − 9 , maka 𝑔(𝑥) = 4(𝑓 −1 (𝑥)) − 9
INGAT
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 maka 𝑓 −1 (𝑥) =
𝑥−𝑏
𝑎
sehingga diperoleh
𝑥+3
𝑔(𝑥) = 4 (
) − 9 = 2𝑥 − 3
2
Jadi
𝑔−1 (𝑥) =
𝑔−1 (3) =
𝑥+3
2
3+3
2
= 3.
4. UJIAN NASIONAL SMA 2018
Diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 6𝑥 − 4. Nilai dari
𝑔−1 (−4) = …
A. 4
C. 1
B. 2
D. −2
E. −4
Pembahasan :
Diketahui 𝑔(𝑓(𝑥)) = 6𝑥 − 4, maka 𝑔(𝑥) = 6(𝑓 −1 (𝑥)) − 4
31
sehingga diperoleh
𝑥−2
𝑔(𝑥) = 6 (
) − 4 = 2𝑥 −
3
Jadi
𝑥+8
2
−4 + 8
𝑔−1 (−4) =
= 2.
2
𝑔−1 (𝑥) =
5. UJIAN NASIONAL SMA 2018
Diketahui 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 6. Fungsi komposisi
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) adalah ...
A. (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 8𝑥 2 − 8𝑥 − 48
B. (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 8𝑥 2 − 8𝑥 + 48
C. (𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟓𝟎
D. (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 8𝑥 2 − 8𝑥 + 50
E. (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 8𝑥 2 + 8𝑥 − 50
Pembahasan :
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
= 8(𝑥 2 − 𝑥 − 6) − 2
= 8𝑥 2 − 8𝑥 − 48 − 2
= 8𝑥 2 − 8𝑥 − 50
6. UJIAN NASIONAL SMA 2018
2𝑥+3
4
Diketahui 𝑓(𝑥) = 5𝑥+4 ; 𝑥 ≠ − 5. Invers dari fungsi 𝑓(𝑥) adalah ...
A.
B.
5𝑥−4
3
;𝑥 ≠ −2
2𝑥+3
5𝑥+4
2𝑥−3
3
;𝑥 ≠ 2
C.
2𝑥+3
4
;𝑥 ≠ 5
5𝑥+4
D.
−𝟒𝒙+𝟑
𝟓𝒙−𝟐
INGAT
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
maka 𝑓 −1 (𝑥) =
𝟐
;𝒙 ≠ 𝟓
Pembahasan :
Jika 𝑓(𝑥) =
E.
−𝑑𝑥+𝑏
𝑐𝑥−𝑎
4𝑥−3
2
;𝑥 ≠ 5
5𝑥−2
32
2𝑥+3
𝑓(𝑥) = 5𝑥+4
𝑓 −1 (𝑥) =
−4𝑥 + 3
5𝑥 − 2
7. UJIAN NASIONAL SMA 2017
Diketahui fungsi 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔 ∶ 𝑅 → 𝑅. Jika 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 4
dan (𝑔 ∘ 𝑓) = 4𝑥 2 − 24𝑥 + 32, fungsi 𝑓(−2) adalah ….
A. 12
C. 32
B. 24
D. 50
E. 95
Pembahasan :
Berpedoman pada 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 4 maka bisa diartikan (𝑔 ∘ 𝑓) =
2𝑓(𝑥) − 4.
(𝑔 ∘ 𝑓) = 4𝑥 2 − 24𝑥 + 32
2𝑓(𝑥) − 4 = 4𝑥 2 − 24𝑥 + 32
2𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 24𝑥 + 36
𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 12𝑥 + 18
Subtitusikan x = −2 pada fungsi f(x) tersebut.
𝑓(−2) = 2(−2)2 − 12(−2) + 18
= 8 + 24 + 18
= 50
8. UJIAN NASIONAL SMA 2018
Diketahui fungsi 𝑓: 𝑹 → 𝑹, 𝑔 ∶ 𝑹 → 𝑹 dengan 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3 dan
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 4𝑥 2 − 26𝑥 + 32. Nilai 𝑓(1) adalah …
A.− 5
C. −3
B. −𝟒
D. 3
E. 4
Pembahasan :
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 4𝑥 2 − 26𝑥 + 32
33
𝑓(−𝑥 + 3) = 4𝑥 2 − 26𝑥 + 32
Misalkan : −𝑥 + 3 = 𝑡, maka :
𝑓(𝑡) = 4(−𝑡 + 3)2 − 26(−𝑡 + 3) + 32
𝑓(𝑡) = 4(𝑡 2 − 6𝑡 + 9) − 26(−𝑡 + 3) + 32
𝑓(𝑡) = 4𝑡 2 − 24𝑡 + 36 + 26𝑡 − 46
𝑓(𝑡) = 4𝑡 2 + 2𝑡 − 10
𝑓(1) = 4 + 2 − 10
𝑓(1) = −4
Jadi, nilai 𝑓(1)pada persamaan 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3 dan (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 4𝑥 2 −
26𝑥 + 32 adalah -4
9. UJIAN NASIONAL SMA 2018
Diketahui 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) =
3𝑥+2
3𝑥+1
1
; 𝑥 ≠ − 3. Rumus
fungsi 𝑓(𝑥) = …
A.
B.
𝑥
2
3𝑥+2
𝑥
𝑥+2
;𝑥 ≠ −3
; 𝑥 ≠ −2
C.
D.
𝒙
𝒙−𝟏
;𝒙 ≠ 𝟏
3𝑥
E.
1
3𝑥−1
;𝑥 ≠ 3
Pembahasan :
3𝑥 + 2
3𝑥 + 1
3𝑥 + 2
𝑓(3𝑥 + 2) =
3𝑥 + 1
3𝑥 + 2
𝑓(3𝑥 + 2) =
(3𝑥 + 2) − 1
(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) =
Misalkan 3𝑥 + 2 = 𝑡, maka :
𝑡
𝑡−1
𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑓(𝑡) =
Jadi, 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−1
,𝑥 ≠ 1
10. UJIAN NASIONAL SMA 2018
3𝑥
3𝑥−3
;𝑥 ≠ 1
34
2𝑥+3
Diketahui 𝑓(𝑥) =
𝑥−5
, 𝑥 ≠ 5 dan 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1. Rumus
(𝑔 𝑜 𝑓)−1 (𝑥) = …
A.
B.
5𝑥+4
𝑥+7
𝟓𝒙+𝟕
𝒙−𝟕
; 𝑥 ≠ −7
5𝑥+4
C.
𝑥−4
;𝒙 ≠ 𝟕
D.
;𝑥 ≠ 4
5𝑥−4
𝑥−7
E.
5𝑥−7
𝑥−4
;𝑥 ≠ 4
;𝑥 ≠ 7
Pembahasan :
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
2𝑥 + 3
)
𝑥−5
2𝑥 + 3
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 3 (
)+1
𝑥−5
6𝑥 + 9 𝑥 − 5
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) =
+
𝑥−5 𝑥−5
7𝑥 + 4
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) =
𝑥−5
(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔 (
Misalkan (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑦
𝑦=
7𝑥 + 4
𝑥−5
𝑥𝑦 − 5𝑦 = 7𝑥 + 4
𝑥𝑦 − 7𝑥 = 5𝑦 + 4
𝑥(𝑦 − 7) = 5𝑦 + 4
𝑥=
Jadi, (𝑔 𝑜 𝑓)−1 (𝑥) =
5𝑦 + 4
𝑦−7
(𝑔 𝑜 𝑓)−1 (𝑦) =
5𝑦 + 4
𝑦−7
(𝑔 𝑜 𝑓)−1 (𝑥) =
5𝑥 + 4
𝑥−7
5𝑥+4
𝑥−7
11. SBMPTN 2018
Diketahui fungsi 𝑓 dan 𝑔 mempunyai invers. Jika 𝑔(2𝑓(𝑥)) = 2𝑥 − 1
dan f(x-2) = x+3, maka nilai 𝑓 −1 (−1) . 𝑔−1 (−1) adalah …
A. −𝟔𝟎
C. −40
E. −20
35
B. −50
D. −30
Pembahasan :
𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑓 −1 (𝑎) = 𝑥
Mencari nilai 𝑔−1 (−1)
𝑔(2𝑓(𝑥)) = 2𝑥 − 1
𝑔−1 (2𝑥 − 1) = 2𝑓(𝑥)
𝑔−1 (2𝑥 − 1) = 𝑔−1 (−1)
2𝑥 − 1 = −1
2𝑥 = 0
𝑥=0
𝑔−1 (2𝑥 − 1) = 𝑔−1 (𝑥)
𝑔 −1 (2(0) − 1) = 2𝑓(0)
𝑔−1 (−1) = 2𝑓(0)
Mencari nilai 𝑓(0) terlebih dahulu
𝑓(𝑥 − 2) = 𝑥 + 3
𝑓(𝑥 − 2) = 𝑓(0)
𝑥−2=0
𝑥=2
𝑓(2 − 2) = 2 + 3
𝑓(0) = 5
Subtitusikan 𝑓(0) = 5 ke persamaan 𝑔−1 (−1) = 2𝑓(0)
𝑔−1 (−1) = 2𝑓(0)
𝑔−1 (−1) = 2 . 5
𝑔−1 (−1) = 10
Mencari nilai 𝑓 −1 (−1)
𝑓(𝑥 − 2) = 𝑥 + 3
𝑓 −1 (𝑥 + 3) = 𝑥 − 2
𝑓 −1 (𝑥 + 3) = 𝑓 −1 (−1)
36
𝑓 −1 (𝑥 + 3) = 𝑥 − 2
𝑓 −1 (−4 + 3) = −4 − 2
𝑓 −1 (−1) = −6
Subtitusikan 𝑓 −1 (−1) = −6 dan 𝑔−1 (−1) = 10 ke persamaan
𝑓 −1 (−1) . 𝑔−1 (−1)
𝑓 −1 (−1) . 𝑔−1 (−1) = −6 . 10
𝑓 −1 (−1) . 𝑔−1 (−1) = −60
12. SBMPTN 2013
Jika 𝑓 (
1
𝑥−1
)=
A. -1
C. 1
B. 0
D. 2
𝑥−6
𝑥+3
maka nilai 𝑓 −1 (−2) adalah …
E. 3
Pembahasan :
(𝑓 𝑜 𝑔) (𝑥) = ℎ(𝑥)
𝑓(𝑔(𝑥)) = ℎ(𝑥)
Jika
𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔−1 (𝑥)) maka
𝑓 −1 (𝑥) = 𝑔(ℎ−1 (𝑥))
1
𝑔(𝑥) = ( )
𝑥−1
𝑥−6
ℎ(𝑥) =
ℎ−1 (𝑥) =
𝑥+3
−3𝑥−6
𝑥−1
−3(−2)−6
ℎ−1 (2) =
−2−1
=0
𝑓 −1 (𝑥) = 𝑔(ℎ−1 (𝑥))
𝑓 −1 (−2) = 𝑔(ℎ−1 (−2))
𝑓 −1 = 𝑔(0)
𝑓 −1 (−2) =
1
0−1
𝑓 −1 (−2) =
1
−1
37
𝑓 −1 (−2) = −1
1
Jadi, nilai dari 𝑓 −1 (−2) pada persamaan 𝑓 (𝑥−1) =
𝑥−6
𝑥+3
adalah -1
13. SNMPTN 2011
Jika 𝑓(𝑥 − 1) = 𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) =
2−𝑥
𝑥+3
maka nilai (𝑔−1 𝑜 𝑓)(1)
adalah …
A. -6
C. −
B. -2
D.
1
E. 4
6
1
4
Pembahasan :
𝑓(𝑥 − 1) = 𝑥 + 2
𝑓(2 − 1) = 2 + 2
𝑓(1) = 4
𝑔(𝑥) =
Untuk mencari 𝑓(1) dapat
dilakukan cara berikut:
𝑓(𝑥 − 1) = 𝑓(1)
𝑥−1=2
𝑥=2
Pada komposisi fungsi,
berlaku:
(𝑔−1 𝑜 𝑓) (1) = 𝑔−1 ((𝑓(1))
Kemudian
subtitusikan
−𝑥 + 2
𝑥+3
𝑓(1) = 4, sehingga:
−3𝑥 + 2
𝑥+1
−3(4) + 2
𝑔−1 (4) =
4+1
(𝑔−1𝑜 𝑓) (1) = 𝑔−1 (4)
𝑔−1 (𝑥) =
−12 + 2
4+1
−10
𝑔−1 (4) =
5
𝑔−1 (4) =
𝑔−1 (4) = −2
Jadi, nilai dari (𝑔−1 𝑜 𝑓)(1) pada persamaan 𝑓(𝑥 − 1) = 𝑥 + 2 dan
𝑔(𝑥) =
2−𝑥
𝑥+3
adalah -2
38
14. SBMPTN 2014
Jika 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
1
, 𝑥 ≠ 1 maka nilai 𝑓 −1 (𝑥) = …
A. −𝒇(𝒙)
C.
B. −𝑓(−𝑥)
D.
1
1
E. − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
1
𝑓(−𝑥)
Pembahasan :
𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
Ingat, untuk fungsi yang dinyatakan
𝑎𝑥+𝑏
𝑥+1
𝑓
=
𝑥−1
1
+1
1
𝑓 −1 ( ) = 𝑥
1
𝑥
𝑥−1
dengan 𝑓(𝑥) =
, invers nya
𝑐𝑥+𝑏
dapat dinyatakan menjadi:
−𝑑𝑥 + 𝑏
𝑓 −1 (𝑥) =
𝑐𝑥 − 𝑎
−1 (𝑥)
1+𝑥
1
𝑓 −1 ( ) = 𝑥
1−𝑥
𝑥
𝑥
1
1+𝑥
𝑓 −1 ( ) =
𝑥
1−𝑥
1
1+𝑥
𝑓 −1 ( ) = − (
)
𝑥
𝑥−1
1
𝑓 −1 ( ) = −𝑓(𝑥)
𝑥
1
Jadi, nilai 𝑓 −1 (𝑥) pada persamaan 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
, 𝑥 ≠ 1 sama dengan nilai
−𝑓(𝑥)
15. SBMPTN 2016
Jika fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 mempunyai invers dan memenuhi 𝑔(𝑥 − 2) =
𝑓(𝑥 + 2), maka 𝑔−1 (𝑥) = …
A. 𝑓 −1 (𝑥) + 4
B. 4 − 𝑓 −1 (𝑥)
C. 𝑓 −1 (𝑥 + 4)
E. 𝒇−𝟏 (𝒙) − 𝟒
D. −𝑓 −1 (𝑥) − 4
Pembahasan :
𝑔(𝑥 − 2) = 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑎
39
Sehingga kita peroleh 𝑔(𝑥 − 2) = 𝑎 dan 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑎.
𝑔(𝑥 − 2) = 𝑎
𝑔−1 (𝑎) = 𝑥 − 2
𝑔−1 (𝑎) + 2 = 𝑥
𝑓(𝑥 + 2) = 𝑎
𝑓 −1 (𝑎) = 𝑥 + 2
𝑓 −1 (𝑎) = 𝑔−1 (𝑎) + 2 + 2
𝑓 −1 (𝑎) = 𝑔−1 (𝑎) + 4
𝑓 −1 (𝑎) − 4 = 𝑔−1 (𝑎)
𝑔−1 (𝑎) = 𝑓 −1 (𝑎) − 4
𝑔−1 (𝑥) = 𝑓 −1 (𝑥) − 4
16. SBMPTN 2016
Jika fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 mempunyai invers dan memenuhi 𝑓(𝑥) =
𝑔(4 + 2𝑥), maka 𝑓 −1 (𝑥) = …
A. 𝑔−1 (𝑥) − 4
C.
B. 𝑔−1 (𝑥) − 2
D.
𝟏
𝒈−𝟏 (𝒙) − 𝟐
𝟐
1
2
E.
1
2
𝑔−1 (𝑥) − 4
(𝑔−1 (𝑥) − 4)
Pembahasan :
𝑓(𝑥) = 𝑔(4 + 2𝑥) = 𝑦
Sehingga kita peroleh 𝑔(4 + 2𝑥) = 𝑦 dan 𝑓(𝑥) = 𝑦
𝑔(4 + 2𝑥) = 𝑦
𝑔−1 (𝑦) = 4 + 2𝑥
𝑔−1 (𝑦) − 4 = 2𝑥
1 −1
(𝑔 (𝑦) − 4) = 𝑥
2
1 −1
𝑔 (𝑦) − 2 = 𝑥
2
𝑓(𝑥) = 𝑦
40
𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥
1 −1
𝑔 (𝑦) − 2
2
1
𝑓 −1 (𝑥) = 𝑔−1 (𝑥) − 2
2
𝑓 −1 (𝑦) =
17.SBMPTN 2017
Jika 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 , dan 𝑔(𝑥) = √5 − 𝑥 maka daerah hasil fungsi
komposisi
𝑓 ∘ 𝑔 adalah...
A. { 𝒚 ∣ −∞ < 𝑦 < ∞ }
B. { 𝑦 ∣ 𝑦 ≤ −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 ≥ 1 }
C. { 𝑦 ∣ 𝑦 ≤ 5 }
D. { 𝑦 ∣ 𝑦 ≤ 1 }
E. { 𝑦 ∣ −1 ≤ 𝑦 ≥ 1 }
Pembahasan :
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
= 1 − (𝑔(𝑥))2
= 1 − (√5 − 𝑥)2
= 1 − (5 − 𝑥)
=𝑥−4
Fungsi (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 − 4adalah fungsi linear (garis lurus), sehingga
untuk himpunan daerah asal (𝑥) yang tidak dibatasi maka daerah
hasil (𝑦) merupakan himpunan tak hingga.
Jadi, maka daerah hasil fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔
adalah { 𝑦 ∣ −∞ < 𝑦 < ∞ }
18.SBMPTN 2017
𝑥−2
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1, dan 𝑔(𝑥) = 𝑥+1 maka daerah asal fungsi 𝑓 ⋅ 𝑔
41
adalah ...
A. { 𝑥 ∣ −∞ < 𝑥 < ∞ }
B. { 𝒙 ∣ 𝒙 ≠ −𝟏 }
C. { 𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 2 }
D. { 𝑥 ∣ 𝑥 < −1 }
E. { 𝑥 ∣ 𝑥 ≥ 2 }
Pembahasan :
𝑥−2
𝑥+1
𝑥−2
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ⋅
𝑥+1
𝑓⋅𝑔 =𝑥−1⋅
=
(𝑥−2)(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥+1
Himpunan daerah asal sebuah fungsi adalah himpunan daerah asal
(domain) agar fungsi mempunyai hasil (range) real.
Dari bentuk diatas 𝑓 ⋅ 𝑔 adalah
(𝑥−2)(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥+1
, sehingga agar fungsi 𝑓 ⋅
𝑔 mempunyai hasil real, maka domain harus { 𝑥 ∣ 𝑥 ≠ −1 }. Karena
saat 𝑥 = −1 nilai 𝑓 ⋅ 𝑔 adalah tak tentu.
Jadi, daerah asal fungsi 𝑓 ⋅ 𝑔 adalah { 𝑥 ∣ 𝑥 ≠ −1 }
19. SBMPTN 2018
Diketahui 𝑓 dan 𝑔 merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥 + 1) = 𝑥 − 3, maka nilai 𝑓 −1 (3) . 𝑔−1 (3)
adalah …
A. 14
C. 0
B. 9
D.−9
E. −𝟏𝟒
Pembahasan :
𝑔(𝑥 + 1) = 𝑥 − 3
Misalkan :
𝑥+1=𝑡
42
Maka
𝑥 =𝑡−1
:
𝑔(𝑡) = 𝑡 − 1 − 3
𝑔(𝑡) = 𝑡 − 4
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4
𝑔(𝑥) = 𝑦
𝑦 =𝑥−4
𝑥 =𝑦+4
−1 (𝑦)
𝑔
=𝑦+4
𝑔−1 (𝑥) = 𝑥 + 4
Misalkan :
Maka
:
𝑔−1 (𝑥) = 𝑥 + 4
𝑔−1 (3) = 3 + 4
𝑔−1 (3) = 7
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 − 1
𝑓(𝑥 − 4) = 2𝑥 − 1
Misalkan :
Maka
:
𝑥−4=𝑠
𝑥 =𝑠+4
𝑓(𝑠) = 2(𝑠 + 4) − 1
𝑓(𝑠) = 2𝑠 + 8 − 1
𝑓(𝑠) = 2𝑠 + 7
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 7
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 7
Misalkan : 𝑓(𝑥) = 𝑧
Maka
:
𝑧 = 2𝑥 + 7
𝑧−7
𝑥= 2
𝑓 −1 (𝑧) =
𝑓
−1 (𝑥)
=
𝑧−7
2
𝑥−7
2
𝑥−7
2
3−7
𝑓 −1 (3) =
2
−4
𝑓 −1 (3) =
2
𝑓 −1 (𝑥) =
43
𝑓 −1 (3) = −2
𝑓 −1 (3) . 𝑔−1 (3) = 7 . (−2) = −14
Jadi, nilai dari 𝑓 −1 (3) . 𝑔−1 (3) pada persamaan 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 − 1 dan
𝑔(𝑥 + 1) = 𝑥 − 3 adalah -14
20. SBMPTN 2018
Diketahui 𝑓 dan 𝑔 merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥 + 2) = 𝑥 − 4, maka nilai 𝑓 −1 (2) + 𝑔−1 (2)
adalah …
A. −5
C. 1
B. −3
D. 3
E. 5
Pembahasan :
𝑔(𝑥 + 2) = 𝑥 − 4
Misalkan :
𝑥+2=𝑡
Maka
:
𝑥 =𝑡−2
𝑔(𝑡) = 𝑡 − 2 − 4
𝑔(𝑡) = 𝑡 − 6
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 6
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 6
Misalkan : 𝑔(𝑥) = 𝑦
Maka
:
𝑦 =𝑥−6
𝑥 =𝑦+6
𝑔−1 (𝑦) = 𝑦 + 6
𝑔−1 (𝑥) = 𝑥 + 6
𝑔−1 (𝑥) = 𝑥 + 6
𝑔−1 (2) = 2 + 6
𝑔−1 (2) = 8
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥 + 1
𝑓(𝑥 − 6) = 𝑥 + 1
44
Misalkan :
𝑥−6=𝑠
Maka
:
𝑥 =𝑠+6
𝑓(𝑠) = 𝑠 + 6 + 1
𝑓(𝑠) = 𝑠 + 7
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 7
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 7
Misalkan : 𝑓(𝑥) = 𝑧
Maka
:
𝑧=𝑥+7
𝑥 =𝑧−7
𝑓 −1 (𝑧) = 𝑧 − 7
𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥 − 7
𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥 − 7
𝑓 −1 (2) = 2 − 7
𝑓 −1 (𝑥) = −5
𝑓 −1 (2) + 𝑔−1 (2) = −5 + 8 = 3
Jadi, nilai 𝑓 −1 (2) + 𝑔−1 (2) pada persamaan 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥 + 1 dan
𝑔(𝑥 + 2) = 𝑥 − 4 adalah 3
45
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Relasi khusus dua himpunan yang menghubungkan setiap anggota
himpunan daerah asal
dengan tepat satu anggota himpunan kawan
disebut fungsi. Dalam fungsi terdapat grafik fungsi yang dapat
menggambarkan hubungan variabel dalam persamaan fungsi. Dengan
mengenal jenis-jenis fungsi sambil mempelajari bahwa konsep fungsi
biasa digunakan dalam bidang peternakan. Konsep fungsi ini digunakan
untuk memberikan gambaran konkrit dari sebuah analisis dilihat dari segi
perhitungan matematika.
B. Saran
1. Pemahaman terhadap konsep komposisi fungsi dan invers fungsi harus
betul-betul menjadi penekanan dalam proses pembelajaran sehingga
siswa mampu mengaitkan dan menggunakan rumus-rumus yang sesuai
untuk menyelesaikan persoalan komposisi fungsi dan invers fungsi.
2. Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para
guru dalam pembelajaran matematika di SMA. Penulis menyadari
adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan ajar ini,
sehingga kritik dan saran sangat diharapkan
46
DAFTAR PUSTAKA
Sinaga, B.dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK KELAS X. Jakarta:
Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud
Supadi dan Saifudin Indra. 2011. 100% Siap Ujian Matematika SMA. Yogyakarta:
Indonesia Tera