Uploaded by mutiahsilmi

kapita trigonometri

advertisement
MAKALAH
KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Disusun Oleh:
Mu’tiah Silmi (1705113813)
Kelas 5B
Dosen Pengampu Mata Kuliah
Dra. Armis, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS RIAU
2019
DAFTAR ISI
HALAMAN COVER .............................................................................................. 1
DAFTAR ISI ........................................................................................................... 2
PEMBAHASAN ..................................................................................................... 3
1.1 Kompetensi Dasar ......................................................................................... 3
1.2 Tujuan Pembelajaran ..................................................................................... 3
1.3 Persamaan Trigonometri ............................................................................... 3
1.3.1 Persamaan Trigonometri Dasar .................................................................. 3
1.3.1.1 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar...................................... 4
1.3.1.2 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Lanjut ................................. 8
1.3.2 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Berbentuk 𝐴2 + 𝐡π‘₯ + 𝐢 = 0 ..... 11
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 13
2
PEMBAHASAN
1.1 Kompetensi Dasar
3. 1Menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri.
4. 1Memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
persamaan trigonometri.
1.2 Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat mendeskripsikan
konsep persamaan trigonometri dan menganalisis untuk membuktikan sifatsifat persamaan trigonometri sederhana dan menerapkannya dalam pemecahan
masalah.
1.3 Persamaan Trigonometri
Defenisi 1.3
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau
lebih fungsi trigonometri dasar, yaitu 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 π‘₯, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 π‘₯, 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐 π‘₯, 𝑦 = π‘₯,
dan 𝑦 = π‘π‘œπ‘‘ π‘₯ (Sukino, 2014).
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita dapat menggunakan
delapan formula dasar berikut ini.
1. 𝑠𝑖𝑛2 π‘₯ + π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ = 1
1
2. sec π‘₯ = cos π‘₯
1
3. csc π‘₯ = sin π‘₯
1
4. cot π‘₯ = tan π‘₯
sin π‘₯
5. tan π‘₯ = cos π‘₯
6. cot π‘₯ =
cos π‘₯
sin π‘₯
7. 1 + π‘π‘œπ‘‘ 2 π‘₯ = 𝑐𝑠𝑐 2 π‘₯
8. 1 + π‘‘π‘Žπ‘›2 π‘₯ = 𝑠𝑒𝑐 2 π‘₯
1.3.1 Persamaan Trigonometri Dasar
Persamaan trigonometri dasar merupakan persamaan yang memuat
satu atau lebih fungsi trigonometri dengan satu variable.
Persamaan tigonometri dasar meliputi:
3
(i) sin π‘₯ = sin 𝛼°
(iv) sin π‘₯ = π‘˜π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘Ž
(ii) cos π‘₯ = cos 𝛼°
(iv) cos π‘₯ = π‘˜π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘Ž
(iii) π‘‘π‘Žπ‘› π‘₯ = tan 𝛼°
(iv) tan π‘₯ = π‘˜π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘Ž
Dengan x dan Ξ± dalam radian maupun derajat.
Jika kita menyelesaikan suatu persamaan trigonometri berarti kita
harus menemukan nilai-nilai x (dalam satuan radian maupun derajat) yang
memenuhi persamaan tersebut. Menyelesaikan persamaan trigonometri berarti
kita menemukan penyelesaian (atau solusi) ataupun akar-akar persamaan
trigonometri tersebut. Himpunan penyelesaian suatu persamaan trigonometri
dapat tidak ada (himpunan kosong), hanya satu, maupun banyak penyelesaian.
Himpunan penyelesaian yang memuat banyak nilai x dikenal sebagai
himpunan penyelesaian umum dan himpunan yang memuat penyelesaian yang
memuat nilai x terbatas dan berhingga disebut himpunan penyelesaian khusus
(Sukino, 2014)
1.3.1.1 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar
Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri dasar
dapat digunakan aturan berikut.
Sudut dalam derajat
π‘₯ = [𝛼 + (360. π‘˜)]°
i. sin π‘₯ = sin 𝛼° β†’
π‘₯ = (180 βˆ’ 𝛼)° + (360. π‘˜)°
ii. tan π‘₯ = tan 𝛼° β†’ π‘₯ = [𝛼 + (180. π‘˜)]°
π‘₯ = [𝛼 + (360. π‘˜)]°
iii. cos π‘₯ = cos 𝛼° β†’
π‘₯ = [βˆ’π›Ό + (360. π‘˜)]°
dengan k bilangan bulat
4
90°
Sin (+)
180°
All (+)
KI
KIV
KII
KIII
Cos (+)
0°/ 360°
Tan (+)
180°
Untuk sinus
Sin bernilai positif pada kuadran I (0° βˆ’ 90°) dan Kuadran II (90° βˆ’ 180°),
Jika dilihat pada grafik sinus, nilai pada kuadran I dan II terletak pada periode
yang sama, sehingga
π‘₯ = [𝛼 + (360. π‘˜)]°
sin π‘₯ = sin 𝛼° β†’
π‘₯ = (180 βˆ’ 𝛼)° + (360. π‘˜)°
5
Untuk tangen
Tan bernilai positif pada kuadran I (0° βˆ’ 90°) dan Kuadran III (180° βˆ’
270°), Jika dilihat pada grafik, nilai pada kuadran I dan III terletak pada
periode yang berbeda, sehingga
tan π‘₯ = tan 𝛼° β†’ π‘₯ = [𝛼 + (180. π‘˜)]°
Untuk cosinus
Cosinus bernilai positif pada kuadran I (0° βˆ’ 90°) dan Kuadran IV
(270° βˆ’ 360°), Jika dilihat pada grafik, nilai pada kuadran I dan IV terletak
pada periode yang sama, namun sehingga
6
π‘₯ = [𝛼 + (360. π‘˜)]°
cos π‘₯ = cos 𝛼° β†’
π‘₯ = [βˆ’π›Ό + (360. π‘˜)]°
Sudut dalam radian
π‘₯ = 𝛼 + 2πœ‹π‘˜
i. sin π‘₯ = sin 𝛼° β†’
π‘₯ = (πœ‹ βˆ’ 𝛼) + 2πœ‹π‘˜
ii. tan π‘₯ = tan 𝛼° β†’ π‘₯ = 𝛼 + πœ‹π‘˜
π‘₯ = 𝛼 + 2πœ‹π‘˜
iii. cos π‘₯ = cos 𝛼° β†’
π‘₯ = βˆ’π›Ό + 2πœ‹π‘˜
dengan k bilangan bulat
Contoh Soal 1
Tuliskan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut
sin x = sin 40°, 0° ≀ π‘₯ ≀ 360°
Jawab:
π‘₯ = [40 + (360. π‘˜)]°
sin π‘₯ = sin 40° β†’
π‘₯ = (180 βˆ’ 40)° + (360. π‘˜)°
k adalah bilangan bulat, maka
untuk k = 0
π‘₯ = 40°
sin π‘₯ = sin 40° β†’
π‘₯ = 140°
7
HP = {40°, 140°}
Untuk π‘˜ β‰₯ 1 hasilnya akan lebih dari 360°, maka tidak kita cari
Contoh soal 2
Tuliskan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut
4
tan 3π‘₯ βˆ’ tan πœ‹ = 0
3
Jawab:
4
4
tan 3π‘₯ βˆ’ tan πœ‹ = 0 ↔ tan 3π‘₯ = tan πœ‹
3
3
4
3π‘₯ = πœ‹ + πœ‹π‘˜
3
π‘₯=
πœ‹
(4 + 3π‘˜), π‘˜ ∈ bilangan bulat
9
πœ‹
Jadi, HP = {π‘₯| π‘₯ = 9 (4 + 3π‘˜), π‘˜ ∈ bilangan bulat}
1.3.1.2 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Lanjut
Persamaan trigonometri lanjut berbentuk
sin π‘₯ = π‘˜, cos π‘₯ = π‘˜, π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ tan π‘₯ = π‘˜
Dengan π‘˜ adalah konstanta.
1. Menyelesaikan persamaan 𝐬𝐒𝐧 𝒙 = π’Œ
Untuk menyelesaikan persamaan sin π‘₯ = π‘˜, kita harus mengasumsikan
βˆ’1 ≀ π‘₯ ≀ 1 agar nilai-nilai x mempunyai solusi. Nilai-nilai x dapat
dalam bentuk satuan derajat maupun radian. Sifat yang harus dipahami
adalah sifat relasi kuadran pada perbandingan trigonometri.
sin(180 βˆ’ π‘₯)° = sin π‘₯°
Atau
sin(πœ‹ βˆ’ π‘₯) = sin π‘₯
8
Penentuan solusi dari persamaan sin π‘₯ ° = π‘˜, dapat mengikuti langkahlangkah berikut.
Langkah 1: Tentukan nilai sinβˆ’1 π‘˜.
Langkah 2: Gunakan sifat simetri: sin(180 βˆ’ π‘₯)° = sin π‘₯° untuk
menemukan akar-akar persamaan trigonometri tersebut.
Langkah 3: Gunakan sifat periodik: sin(π‘₯ ± 360)° = sin π‘₯°, untuk
menemukan akar-akarnya di dalam interval yang ditetapkan.
Contoh Soal
Selesaikan persamaan sin π‘₯ = βˆ’0,5, untuk βˆ’180° ≀ π‘₯ ≀ 180°.
Jawab:
Langkah 1: Gunakan kalkulator untuk mendapatkan nilai sinβˆ’1(βˆ’0,5) =
βˆ’30°. Satu akar dalam interval βˆ’180° ≀ π‘₯ ≀ 180°.
Langkah 2: Gunakan sifat simetri:
sin(180 βˆ’ π‘₯)° = sin π‘₯°, berarti 180° βˆ’ (βˆ’30)° = 210° bukan akar dari
interval βˆ’180° ≀ π‘₯ ≀ 180°.
Langkah 3: Gunakan sifat periodik:
sin(π‘₯ ± 360)° = sin π‘₯°, untuk mendapatkan: 210° βˆ’ 360° = βˆ’150°
merupakan akar lainnya dari interval βˆ’180° ≀ π‘₯ ≀ 180°.
Jadi, akar-akar dari persamaan sin π‘₯° = βˆ’0,5 adalah π‘₯ = βˆ’30° dan π‘₯ =
βˆ’150°.
2. Menyelesaikan persamaan 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = π’Œ
Untuk
menyelesaikan
persamaan
cos π‘₯ = π‘˜
serupa
dengan
menyelesaikan persamaan sin π‘₯ = π‘˜ tetapi berbeda pada sifat simetrinya,
yaitu:
cos(βˆ’π‘₯) = cos π‘₯
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan cos π‘₯° = π‘˜:
Langkah 1: Tentukan nilai cos βˆ’1 π‘˜.
Langkah 2: Gunakan sifat simetri: cos(βˆ’π‘₯) = cos π‘₯ untuk menemukan
akar-akar persamaan trigonometri tersebut.
9
Langkah 3: Gunakan sifat periodik: cos(π‘₯ ± 360)° = cos π‘₯°, untuk
menemukan akar lainnya yang termasuk dalam interval yang ditetapkan.
Contoh soal:
1
Selesaikan persamaan cos ΞΈ ° = 2 √2 untuk 0° ≀ πœƒ ≀ 360° tuliskan
HPnya.
Jawab:
1
Langkah 1: Gunakan kalkulator untuk mendapatkan nilai cos βˆ’1 (2 √2)
1
yaitu cos βˆ’1 (2 √2) = 45°. πœƒ = 45° merupakan akar karena memenuhi
0° ≀ πœƒ ≀ 360°
Langkah 2: Gunakan sifat simetri:
1
cos(βˆ’πœƒ) = sin πœƒ, berarti πœƒ = βˆ’45° bukan akar persamaan cos ΞΈ ° = 2 √2
karena 0° ≀ πœƒ ≀ 360°.
Langkah 3: Gunakan sifat periodik:
cos(πœƒ ± 360)° = cos πœƒ°, diperoleh:
πœƒ = βˆ’45° + 360° = 315° dan
1
πœƒ = βˆ’45° βˆ’ 360° = βˆ’405°, bukan akar persamaan cos ΞΈ ° = 2 √2
Jadi, πœƒ = 70,52° atau πœƒ = 289,48° dan HP = {45° ; 315°}
3. Menyelesaikan persamaan 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = π’Œ
Untuk
menyelesaikan
persamaan
tan π‘₯ = π‘˜
serupa
dengan
menyelesaikan persamaan sin π‘₯ = π‘˜ dan cos π‘₯ = π‘˜, tetapi tinjauan
penentuan akar pada sifat periodik fungsi tangen, yaitu tan(180 βˆ’ π‘₯)° =
tan π‘₯°.
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan tan π‘₯ = π‘˜
Langkah 1: Tentukan nilai tanβˆ’1 π‘˜.
Langkah 2: Gunakan sifat periodik: tan(180 ± π‘₯)° = tan π‘₯° untuk
menemukan akar-akar persamaan tersebut dalam interval yang
ditetapkan.
10
Contoh Soal:
Selesaikan persamaan tan π‘₯ = √3, semua sudut ditulis dalam dua tempat
desimal dalam interval 0° ≀ πœƒ ≀ 360°.
Jawab:
Langkah 1: Tentukan nilai dari tanβˆ’1(√3), yaitu 60°, di dalam interval
0° ≀ πœƒ ≀ 360°.
Langkah 2: Penentuan akar lain dengan menggunakan sifat periodik,
diperoleh akar-akar dalam interval 0° ≀ πœƒ ≀ 360°, yaitu:
π‘₯ = 180° + (βˆ’60°) = 120° atau
π‘₯ = 180° + 60° = 240°
Jadi, penyelesaian dari persamaan tan π‘₯ = √3 dalam interval 0° ≀ πœƒ ≀
360° adalah π‘₯ = 60°, π‘₯ = 120° dan π‘₯ = 240°
1.3.2 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Berbentuk π‘¨πŸ + 𝑩𝒙 + π‘ͺ = 𝟎
Persamaan trigonometri yang dihadapi terkadang berbentuk persamaan
kuadrat maupun persamaan yang berkaitan dengan polynomial. Hal ini
mengharuskan kita untuk mengubah ke bentuk itu dan mencari penyelesaiannya
menggunakan aturan dalam persamaan tersebut (Sukino, 2014).
Contoh Soal:
1. Selesaikan persamaan 2 π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ βˆ’ 5 cos π‘₯ + 2 = 0 untuk 0 < π‘₯ < 2πœ‹
dan tuliskan HPnya.
Jawab:
2 π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ βˆ’ 5 cos π‘₯ + 2 = 0
Missal cos π‘₯ = 𝑝
2 𝑝2 βˆ’ 5𝑝 + 2 = 0
(2 𝑝 βˆ’1) (𝑝 βˆ’ 2) = 0
2𝑝 βˆ’ 1 = 0
1
𝑝=2
atau
π‘βˆ’2=0
𝑝=2
11
1
cos π‘₯ = 2
cos π‘₯ = 2
1
cos βˆ’1 π‘₯ (cos π‘₯) = cos βˆ’1(2)
1
π‘₯ = cos βˆ’1 (2)
π‘₯=
πœ‹
3
atau
cos βˆ’1 π‘₯ (cos π‘₯) = cos βˆ’1 (2)
π‘₯ = cos βˆ’1(2) (tidak ada solusi)
5
atau π‘₯ = 3 πœ‹
πœ‹ 5
Jadi, HP = { 3 , 3 πœ‹}
12
DAFTAR PUSTAKA
Sukino. 2014.Matematika Jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan
Matematika dan Ilmu Alam Berdasarkan Kurikulum 2013. Jakarta. Penerbit
Erlangga
13
Download
Random flashcards
Secuplik Kuliner Sepanjang Danau Babakan

2 Cards oauth2_google_2e219703-8a29-4353-9cf2-b8dae956302e

Dokumen

2 Cards oauth2_google_646e7a51-ae0a-49c7-9ed7-2515744db732

PENGANTAR ILMU EKONOMI

2 Cards junianto97

Create flashcards