kapita trigonometri

MAKALAH
KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Disusun Oleh:
Mu’tiah Silmi (1705113813)
Kelas 5B
Dosen Pengampu Mata Kuliah
Dra. Armis, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS RIAU
2019
DAFTAR ISI
HALAMAN COVER .............................................................................................. 1
DAFTAR ISI ........................................................................................................... 2
PEMBAHASAN ..................................................................................................... 3
1.1 Kompetensi Dasar ......................................................................................... 3
1.2 Tujuan Pembelajaran ..................................................................................... 3
1.3 Persamaan Trigonometri ............................................................................... 3
1.3.1 Persamaan Trigonometri Dasar .................................................................. 3
1.3.1.1 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar...................................... 4
1.3.1.2 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Lanjut ................................. 8
1.3.2 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Berbentuk 𝐴2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 ..... 11
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 13
2
PEMBAHASAN
1.1 Kompetensi Dasar
3. 1Menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri.
4. 1Memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
persamaan trigonometri.
1.2 Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat mendeskripsikan
konsep persamaan trigonometri dan menganalisis untuk membuktikan sifatsifat persamaan trigonometri sederhana dan menerapkannya dalam pemecahan
masalah.
1.3 Persamaan Trigonometri
Defenisi 1.3
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau
lebih fungsi trigonometri dasar, yaitu 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐 𝑥, 𝑦 = 𝑥,
dan 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 (Sukino, 2014).
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita dapat menggunakan
delapan formula dasar berikut ini.
1. 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
1
2. sec 𝑥 = cos 𝑥
1
3. csc 𝑥 = sin 𝑥
1
4. cot 𝑥 = tan 𝑥
sin 𝑥
5. tan 𝑥 = cos 𝑥
6. cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥
7. 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥
8. 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
1.3.1 Persamaan Trigonometri Dasar
Persamaan trigonometri dasar merupakan persamaan yang memuat
satu atau lebih fungsi trigonometri dengan satu variable.
Persamaan tigonometri dasar meliputi:
3
(i) sin 𝑥 = sin 𝛼°
(iv) sin 𝑥 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
(ii) cos 𝑥 = cos 𝛼°
(iv) cos 𝑥 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
(iii) 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = tan 𝛼°
(iv) tan 𝑥 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
Dengan x dan α dalam radian maupun derajat.
Jika kita menyelesaikan suatu persamaan trigonometri berarti kita
harus menemukan nilai-nilai x (dalam satuan radian maupun derajat) yang
memenuhi persamaan tersebut. Menyelesaikan persamaan trigonometri berarti
kita menemukan penyelesaian (atau solusi) ataupun akar-akar persamaan
trigonometri tersebut. Himpunan penyelesaian suatu persamaan trigonometri
dapat tidak ada (himpunan kosong), hanya satu, maupun banyak penyelesaian.
Himpunan penyelesaian yang memuat banyak nilai x dikenal sebagai
himpunan penyelesaian umum dan himpunan yang memuat penyelesaian yang
memuat nilai x terbatas dan berhingga disebut himpunan penyelesaian khusus
(Sukino, 2014)
1.3.1.1 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar
Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri dasar
dapat digunakan aturan berikut.
Sudut dalam derajat
𝑥 = [𝛼 + (360. 𝑘)]°
i. sin 𝑥 = sin 𝛼° →
𝑥 = (180 − 𝛼)° + (360. 𝑘)°
ii. tan 𝑥 = tan 𝛼° → 𝑥 = [𝛼 + (180. 𝑘)]°
𝑥 = [𝛼 + (360. 𝑘)]°
iii. cos 𝑥 = cos 𝛼° →
𝑥 = [−𝛼 + (360. 𝑘)]°
dengan k bilangan bulat
4
90°
Sin (+)
180°
All (+)
KI
KIV
KII
KIII
Cos (+)
0°/ 360°
Tan (+)
180°
Untuk sinus
Sin bernilai positif pada kuadran I (0° − 90°) dan Kuadran II (90° − 180°),
Jika dilihat pada grafik sinus, nilai pada kuadran I dan II terletak pada periode
yang sama, sehingga
𝑥 = [𝛼 + (360. 𝑘)]°
sin 𝑥 = sin 𝛼° →
𝑥 = (180 − 𝛼)° + (360. 𝑘)°
5
Untuk tangen
Tan bernilai positif pada kuadran I (0° − 90°) dan Kuadran III (180° −
270°), Jika dilihat pada grafik, nilai pada kuadran I dan III terletak pada
periode yang berbeda, sehingga
tan 𝑥 = tan 𝛼° → 𝑥 = [𝛼 + (180. 𝑘)]°
Untuk cosinus
Cosinus bernilai positif pada kuadran I (0° − 90°) dan Kuadran IV
(270° − 360°), Jika dilihat pada grafik, nilai pada kuadran I dan IV terletak
pada periode yang sama, namun sehingga
6
𝑥 = [𝛼 + (360. 𝑘)]°
cos 𝑥 = cos 𝛼° →
𝑥 = [−𝛼 + (360. 𝑘)]°
Sudut dalam radian
𝑥 = 𝛼 + 2𝜋𝑘
i. sin 𝑥 = sin 𝛼° →
𝑥 = (𝜋 − 𝛼) + 2𝜋𝑘
ii. tan 𝑥 = tan 𝛼° → 𝑥 = 𝛼 + 𝜋𝑘
𝑥 = 𝛼 + 2𝜋𝑘
iii. cos 𝑥 = cos 𝛼° →
𝑥 = −𝛼 + 2𝜋𝑘
dengan k bilangan bulat
Contoh Soal 1
Tuliskan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut
sin x = sin 40°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
Jawab:
𝑥 = [40 + (360. 𝑘)]°
sin 𝑥 = sin 40° →
𝑥 = (180 − 40)° + (360. 𝑘)°
k adalah bilangan bulat, maka
untuk k = 0
𝑥 = 40°
sin 𝑥 = sin 40° →
𝑥 = 140°
7
HP = {40°, 140°}
Untuk 𝑘 ≥ 1 hasilnya akan lebih dari 360°, maka tidak kita cari
Contoh soal 2
Tuliskan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut
4
tan 3𝑥 − tan 𝜋 = 0
3
Jawab:
4
4
tan 3𝑥 − tan 𝜋 = 0 ↔ tan 3𝑥 = tan 𝜋
3
3
4
3𝑥 = 𝜋 + 𝜋𝑘
3
𝑥=
𝜋
(4 + 3𝑘), 𝑘 ∈ bilangan bulat
9
𝜋
Jadi, HP = {𝑥| 𝑥 = 9 (4 + 3𝑘), 𝑘 ∈ bilangan bulat}
1.3.1.2 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Lanjut
Persamaan trigonometri lanjut berbentuk
sin 𝑥 = 𝑘, cos 𝑥 = 𝑘, 𝑎𝑡𝑎𝑢 tan 𝑥 = 𝑘
Dengan 𝑘 adalah konstanta.
1. Menyelesaikan persamaan 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝒌
Untuk menyelesaikan persamaan sin 𝑥 = 𝑘, kita harus mengasumsikan
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1 agar nilai-nilai x mempunyai solusi. Nilai-nilai x dapat
dalam bentuk satuan derajat maupun radian. Sifat yang harus dipahami
adalah sifat relasi kuadran pada perbandingan trigonometri.
sin(180 − 𝑥)° = sin 𝑥°
Atau
sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥
8
Penentuan solusi dari persamaan sin 𝑥 ° = 𝑘, dapat mengikuti langkahlangkah berikut.
Langkah 1: Tentukan nilai sin−1 𝑘.
Langkah 2: Gunakan sifat simetri: sin(180 − 𝑥)° = sin 𝑥° untuk
menemukan akar-akar persamaan trigonometri tersebut.
Langkah 3: Gunakan sifat periodik: sin(𝑥 ± 360)° = sin 𝑥°, untuk
menemukan akar-akarnya di dalam interval yang ditetapkan.
Contoh Soal
Selesaikan persamaan sin 𝑥 = −0,5, untuk −180° ≤ 𝑥 ≤ 180°.
Jawab:
Langkah 1: Gunakan kalkulator untuk mendapatkan nilai sin−1(−0,5) =
−30°. Satu akar dalam interval −180° ≤ 𝑥 ≤ 180°.
Langkah 2: Gunakan sifat simetri:
sin(180 − 𝑥)° = sin 𝑥°, berarti 180° − (−30)° = 210° bukan akar dari
interval −180° ≤ 𝑥 ≤ 180°.
Langkah 3: Gunakan sifat periodik:
sin(𝑥 ± 360)° = sin 𝑥°, untuk mendapatkan: 210° − 360° = −150°
merupakan akar lainnya dari interval −180° ≤ 𝑥 ≤ 180°.
Jadi, akar-akar dari persamaan sin 𝑥° = −0,5 adalah 𝑥 = −30° dan 𝑥 =
−150°.
2. Menyelesaikan persamaan 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝒌
Untuk
menyelesaikan
persamaan
cos 𝑥 = 𝑘
serupa
dengan
menyelesaikan persamaan sin 𝑥 = 𝑘 tetapi berbeda pada sifat simetrinya,
yaitu:
cos(−𝑥) = cos 𝑥
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan cos 𝑥° = 𝑘:
Langkah 1: Tentukan nilai cos −1 𝑘.
Langkah 2: Gunakan sifat simetri: cos(−𝑥) = cos 𝑥 untuk menemukan
akar-akar persamaan trigonometri tersebut.
9
Langkah 3: Gunakan sifat periodik: cos(𝑥 ± 360)° = cos 𝑥°, untuk
menemukan akar lainnya yang termasuk dalam interval yang ditetapkan.
Contoh soal:
1
Selesaikan persamaan cos θ ° = 2 √2 untuk 0° ≤ 𝜃 ≤ 360° tuliskan
HPnya.
Jawab:
1
Langkah 1: Gunakan kalkulator untuk mendapatkan nilai cos −1 (2 √2)
1
yaitu cos −1 (2 √2) = 45°. 𝜃 = 45° merupakan akar karena memenuhi
0° ≤ 𝜃 ≤ 360°
Langkah 2: Gunakan sifat simetri:
1
cos(−𝜃) = sin 𝜃, berarti 𝜃 = −45° bukan akar persamaan cos θ ° = 2 √2
karena 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.
Langkah 3: Gunakan sifat periodik:
cos(𝜃 ± 360)° = cos 𝜃°, diperoleh:
𝜃 = −45° + 360° = 315° dan
1
𝜃 = −45° − 360° = −405°, bukan akar persamaan cos θ ° = 2 √2
Jadi, 𝜃 = 70,52° atau 𝜃 = 289,48° dan HP = {45° ; 315°}
3. Menyelesaikan persamaan 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝒌
Untuk
menyelesaikan
persamaan
tan 𝑥 = 𝑘
serupa
dengan
menyelesaikan persamaan sin 𝑥 = 𝑘 dan cos 𝑥 = 𝑘, tetapi tinjauan
penentuan akar pada sifat periodik fungsi tangen, yaitu tan(180 − 𝑥)° =
tan 𝑥°.
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan tan 𝑥 = 𝑘
Langkah 1: Tentukan nilai tan−1 𝑘.
Langkah 2: Gunakan sifat periodik: tan(180 ± 𝑥)° = tan 𝑥° untuk
menemukan akar-akar persamaan tersebut dalam interval yang
ditetapkan.
10
Contoh Soal:
Selesaikan persamaan tan 𝑥 = √3, semua sudut ditulis dalam dua tempat
desimal dalam interval 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.
Jawab:
Langkah 1: Tentukan nilai dari tan−1(√3), yaitu 60°, di dalam interval
0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.
Langkah 2: Penentuan akar lain dengan menggunakan sifat periodik,
diperoleh akar-akar dalam interval 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°, yaitu:
𝑥 = 180° + (−60°) = 120° atau
𝑥 = 180° + 60° = 240°
Jadi, penyelesaian dari persamaan tan 𝑥 = √3 dalam interval 0° ≤ 𝜃 ≤
360° adalah 𝑥 = 60°, 𝑥 = 120° dan 𝑥 = 240°
1.3.2 Penyelesaian Persamaan Trigonometri Berbentuk 𝑨𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 = 𝟎
Persamaan trigonometri yang dihadapi terkadang berbentuk persamaan
kuadrat maupun persamaan yang berkaitan dengan polynomial. Hal ini
mengharuskan kita untuk mengubah ke bentuk itu dan mencari penyelesaiannya
menggunakan aturan dalam persamaan tersebut (Sukino, 2014).
Contoh Soal:
1. Selesaikan persamaan 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 5 cos 𝑥 + 2 = 0 untuk 0 < 𝑥 < 2𝜋
dan tuliskan HPnya.
Jawab:
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 5 cos 𝑥 + 2 = 0
Missal cos 𝑥 = 𝑝
2 𝑝2 − 5𝑝 + 2 = 0
(2 𝑝 −1) (𝑝 − 2) = 0
2𝑝 − 1 = 0
1
𝑝=2
atau
𝑝−2=0
𝑝=2
11
1
cos 𝑥 = 2
cos 𝑥 = 2
1
cos −1 𝑥 (cos 𝑥) = cos −1(2)
1
𝑥 = cos −1 (2)
𝑥=
𝜋
3
atau
cos −1 𝑥 (cos 𝑥) = cos −1 (2)
𝑥 = cos −1(2) (tidak ada solusi)
5
atau 𝑥 = 3 𝜋
𝜋 5
Jadi, HP = { 3 , 3 𝜋}
12
DAFTAR PUSTAKA
Sukino. 2014.Matematika Jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan
Matematika dan Ilmu Alam Berdasarkan Kurikulum 2013. Jakarta. Penerbit
Erlangga
13