matbis

MAKALAH
MATEMATIKA BISNIS
Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas mata kuliah matematika bisnis
Dosen
Gatot Dwiyono, Drs., S.E., M.M
Disusun oleh Kelompok 6 :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Aisyah Endang Puspitasari
Cindy Luciana Agazi
Sani Nurwulansari
Suci Trie Ramadhanti
Sylvi Dwi Anggun
Yusuf Wahyudin
: (102118120028)
: (102118120184)
: (102118120101)
: (102118120070)
: (102118120247)
: (102118120153)
Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi Indonesia Membangun
STIE INABA
2018/2019
BAB I
BARISAN & DERET
1. Cari suku ke 100 dari Barisan Aritmatika 2, 5, 8…..
Jawab :
D1
2,5,8
a=2
b=3
D2
Un = ?
D3
Un = a + ( n - 1) b
Un = 2 + ( 100 – 1) . 3
Un = 2 + ( 99 ) .3
Un = 2 + 297
Un = 299
Jadi suku ke 100 adalah 299
2. Hitung 1 + 2 + 3 + ..... +100
Jawab :
D1
a=1
b=1
Un = 100
D2
dn ?
D3
dn = 2 n (a + Un)
1
1
2
1
dn = 2 100 (1 + 100)
dn = 50 (101)
dn = 5.050
Jadi jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatika diatas adalah 5.050
3. Diketahui Barisan 2, 22, 23,… Hitung U100
Jawab :
D1
2, 22 ,23
a=2
D2
Un = ?
D3
Un = a.p n-1
U100 = 2.2100-1
U100 = 2.299
U100 = 2100
Jadi hasil dari U100 adalah 2100
4. Diketahui Barisan 2, 16, 18,…
a. Suku ke n
b. Jumlah n suku yang pertama
Jawab :
D1
2,16,18
a=2
3
𝑈2
6
p = 𝑈1 = 2 = 3
D2
a) Un = ?
b) dn = ?
D3
a) Un = a.p n-1
Un = 2.3n-1
Un = 2.3n.3-1
2
Un = 3 . 3n
2
Jadi suku ke n adalah 3 . 3n
b) dn = a.
dn = 2.
𝑝𝑛−1
𝑝−1
3𝑛−1
3−1
dn = 2.
dn = 3n – 1
Jadi jumlah n suku pertama adalah 3n – 1
5. Jika diketahui Barisan Aritmatika, a = 100 dan U7 = 160, tentukan :
a. b
=?
b. U11 = ?
c. n jika Un = 250
d. d16
Jawab :
D1
a = 100
U7 = 160
4
D2
a. b = ?
b. U11= ?
c. n jika suku Un = 250
d. d16
D3 a. Un = a + ( n - 1).b
U7 = 100 + ( 7 – 1 ).b
160 = 100 + ( 6 ).b
6b = 160 – 100
6b = 60
b=
60
6
b = 10
Jadi b dari baris aritmatika diatas adalah 10
b.
Un = a + (n-1).b
U11 = 100 + (11-1).10
U11 = 100 + (10).10
U11 = 100 + 100
U11 = 200
Jadi U11 dari baris aritmatika diatas adalah 200
c.
Un = a + (n-1).b
250 = 100 + ( n-1).10
250 = 100 + 10n – 10
-10n = - 250 +100-10
-10n = - 160
5
n=
160
10
n = 16
Jadi n dari baris aritmatika diatas jika Un = 250 adalah 16
d.
1
dn = 2 n . ( a+ Un)
1
d16= 2 .16 (100+250)
d16= 8. 350
d16 = 2.800
Jadi d16 dari baris aritmatika diatas adalah 2.800
6. Diketahui Deret Aritmatika untuk U6 = 24.000 dan U10 = 18.000 Hitunglah
a. b
b. n jika Un = 0
c. d21
d. d22
Jawab :
D1
U6 = 24.000
U10= 18.000
D2
a. b = ?
b.n jika Un =0
c. d21
d. d22
6
D3 a. Un
= a + (n-1).b
U6
= a + (6-1).b
24.000 = a + 5b
Un
= a + (n-1).b
U10
= a + (10-1).b
18.000 = a + 9b
.......................................... (1)
.......................................... (2)
P2
18.000 = a + 9b
P1
24.000 = a + 5b -6.000 = 4b
-4b =
6.000
−4
b = - 1.500
Jadi b dari deret aritmatika diatas adalah – 1.500
b. Cari suku pertama (a)
Un
= a + (n – 1) . b
U6
= a + (6 – 1) . – 1.500
24.000 = a + (5) . – 1.500
24.000 = a + (-7.500)
24.000 = a - 7.500
a
= 24.000 + 7.500
a
= 31.500
Un
= a + (n-1) .b
0
= 31.500 + (n-1) . - 1.500
7
0
= 31.500 – 1.500n + 1.500
0
= 33.000 – 1.500n
- 1.500n
n
= - 33.000
=
n
− 33.000
− 1.500
= 22
Jadi n dari deret aritmatika diatas jika Un = 0 adalah 22
c. Cari Un terlebih dahulu
Un
= a + (n-1) b
U21
= 31.500 + (21 – 1) -1.500
U21
= 31.500 + (20) (-1.500)
U21
= 31.500 – 30.000
U21
= 1.500
dn
= 2 n (a + Un)
d21
= 2 . 21 (31.500+ 1.500)
d21
= 2 . 21 (33.000)
d21
= 21 . 16.500
d21
= 346.500
1
1
1
Jadi nilai d21 dari deret aritmatika diatas adalah 346.500
1
d. dn = 2 n (a + Un)
1
dn = 2 . 22 (31.500+0)
dn = 11. (31.500)
dn = 346.500
8
Jadi nilai d22 dari deret aritmatika diatas adalah 346.500
7. Diketahui Barisan Aritmatika jika d3 = 180 dan U4 = 0 Hitunglah a dan b
Jawab :
D1
d3 = 180
U4 = 0
D2
a =?
b =?
D3
1
a. dn = n ( a + Un)
2
dn =
dn =
d3 =
d3 =
d3 =
d3 =
1
2
𝑛
2
n (a + (n – 1) .b)
(2a + (n – 1).b)
3
2
3
2
(2a + (3 – 1).b)
(2a + 2b)
3 .(2𝑎 + 2𝑏)
2
6𝑎
2
+
6𝑏
2
d3 = 3a + 3b = 180 .............................. (1)
Un = a + (n – 1).b
Un = a + (4 – 1).b = 0
Un = a + 3b = 0 ............................ (2)
9
P1 3a + 3b = 180
P2 a + 3b = 0
2a
= 180
a
=
a
= 90
-
180
2
Jadi a dari barisan aritmatika diatas adalah 90
b.
a + 3b
=0
90 + 3b
=0
3b
= − 90
− 90
b
=
b
= − 30
3
Jadi b dari barisan aritmatika diatas adalah – 30
8.
Suku ke 3 Barisan Geometri = 800 , U7 = 204.800 Berapa a,p dan d5 ?
Jawab :
D1
U3 = 800
U7 = 204.800
D2
a. a = ?
b. p = ?
c. d5= ?
D3
a. Un = a. pn-1
U3 = a. p3-1
800 = a.p2
10
800 = a.42
800 = a.16
800
a
=
a
= 50
16
Jadi a dari barisan geometri diatas adalah 50
b. Un = a. pn-1
U3 = a. p3-1
800 = ap2 .................................. (1)
Un = a. pn-1
U7 = a. p7-1
204.800 = ap6 ............................. (2)
204.800 = ap6
800 = ap2
p4 = 256
p
=4
Jadi p dari barisan geometri diatas adalah 4
c. dn = a.
(1 – 𝑝𝑛 )
1−𝑝
d5 = 50 .
d5 = 50 .
d5 = 50 .
d5 =
(1 – 45 )
1−4
(1 – 1024)
−3
(− 1023)
−3
− 51.150
−3
11
d5 = 17.050
Jadi jumlah suku ke 5 barisan geometri diatas adalah 17.050
9. Diketahui Deret Geometri 10+30+90+270+….. Hitunglah
a. p
b. U6
c. U10
d. U15
Jawab
D1 DG = 10+30+90+270+…..
a = 10
D2
a. p =?
b.U6 = ?
c.U10 =?
d.U15 =?
D3
𝑈
30
a. p = 𝑈2 = 10 = 3
1
Jadi pembanding deret gometri diatas adalah 3
b.
Un = a.pn-1
U6 = 10.36-1
U6 = 10.35
U6 = 10 . 243
U6 = 2.430
Jadi U6 deret gometri diatas adalah 2.430
12
c.
Un = a.pn-1
U10 = 10.310-1
U10 = 10.39
U10 = 10 . 19.683
U10 = 196.830
Jadi U10 deret gometri diatas adalah 196.830
d.
Un = a.pn-1
U15 = 10.315-1
U15 = 10.314
U15 = 10 . 4.782.969
U15 = 47.829.690
Jadi U10 deret gometri diatas adalah 47.829.690
BAB II
BUNGA MAJEMUK
1. Hitung bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga
10% p.a. Apabila bunga dihitung semesteran, dan bandingkan dengan
bunga sederhana yang di hasilkan
Jawab :
D1
P = 1.000.000
n = 2 tahun
J2 = 10%
i=
10%
2
= 5%
= 0,05
D2
i majemuk ?
i sederhana ?
D3
Pokok
Perhitungan Bunga
Nilai Pada Akhir
Pinjaman
Majemuk
Periode
1
1.000.000
1.000.000 x 0,05 = 50.000
1.050.000
2
1.050.000
1.050.000 x 0,05 = 52.500
1.102.500
3
1.102.500
1.102.500 x 0,05 = 55.125
1.157.625
4
1.157.625
1.157.625 x 0,05 = 57.881
1.215.506
Periode
13
14
Jadi total bungan selama 2 tahun menggunakan bunga majemuk adalah Rp
1.215.506 - Rp 1.000.000 = Rp 215.506
Sedangkan bila menggunakan bunga sederhana adalah Rp 1.000.000 x 10% x 2 =
Rp 200.000
2. Berapa nilai S dan P sebesar Rp 10.000.000 jika J12 = 12% selama 5tahun
dan 25 tahun
Jawab :
D1
P = 10.000.000
i=
12 %
12
=1%
= 0.01
n = 5 tahun x 12 = 60 bulan
25 tahun x 12 = 300 bulan
D2
a) S jika n 5 tahun ?
b) S jika n 25 tahun ?
D3
a) S
= P (1 + i) n
= 10.000.000 (1 + 0.01) 60
= 10.000.000 (1.8166967)
= 18.166.967
Jadi nilai Fv selama 5 tahun adalah 18.166.967
b) S
= P (1 + i) n
= 10.000.000 (1 + 0.01) 300
= 10.000.000 (19.788.466.262)
15
= 197.884.662,62
Jadi nilai S selama 25 tahun adalah 197.884.662,62
3. Hitung tingkat bungan efektif J1 yang ekuivalen dengan : J2 = 10% J12 =
12% J365 = 12,25%
Jawab :
D1
J2 = 10 % / 0,1
J12 = 12 % / 0,12
J365 = 13.25 % / 0,1325
D2
a) Tingkat bunga efektif J2 ?
b) Tingkat bunga efektif J12 ?
c) Tingkat bunga efektif J365 ?
D3
a) J1
= (1 + i) m -1
= (1 +
0,1 2
)
2
-1
= (1,05) 2 -1
= 1,1025 – 1
= 0,1023
1
= 10 4 %
1
Jadi tingkat bunga efektif J2 adalah 10 4 %
b) J1
= (1 + i) m -1
= (1 +
0,12 12
)
12
-1
= (1,01) 12 -1
= 1,126825 – 1
16
= 0,126825
= 12,68 %
Jadi tingkat bunga efektif J12 adalah 12,68 %
c) J1
= (1 + i) m -1
= (1 +
0,1325 365
)
365
-1
= (1,0003630137) 365 -1
= 1,141651 – 1
= 0,141651
= 14,17 %
Jadi tingkat bunga efektif J365 adalah 14,17 %
4. Apabila diketahui J12 = 12%. Hitung nilai diskonto dari uang sebesar Rp
100.000.000 ,- yang jatuh tempo 10 tahun lagi dan 25 tahun lagi
Jawab :
D1
J12 = 12 %
S = 100.000.000
D2
a) Nilai diskonto yang jatuh tempo 10 tahun ?
b) Nilai diskonto yang jatuh tempo 25 tahun ?
D3
a) P
=
=
=
𝑆
(1+𝑖)𝑛
100.000.000
(1+0,01)120
100.000.000
(1,01)120
17
=
100.000.000
3,3003868946
= 30.299.477,92
Jadi nilai diskonto yang jatuh tempo 10 tahun lagi adalah 30.299.477,92
b) P
=
=
=
=
𝐹𝑣
(1+𝑖)𝑛
100.000.000
(1+0,01)300
100.000.000
(1,01)300
100.000.000
19.788.466,26
= 5.053.448.745
Jadi nilai diskonto yang jatuh tempo 25 tahun lagi adalah 5.053.448.745
5. Tentukan berapa persen tingkat bunga, apabila diketahui P = Rp 4.000.000
n = 12 S = Rp 6.630.470
Jawab :
D1
S = 6.360.470
P = 4.000.000
n = 12
D2
D3
i ?
𝑆
i=( )
𝑃
=(
1
𝑛
-1
6.63..470
4.000.000
)
1
12
-1
18
= (1,6576175)
1
12
–1
= 1,0430 – 1
= 0,0430
= 4,30 %
Jadi persen tingkat bunga (i) adalah 4,30 %
6. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat uang sebesar Rp
5.000.000 menjadi Rp 8.500.000 dengan J12 = 12%
Jawab :
D1
P = 5.000.000
S = 8.500.000
i=
12 %
12
=1%
= 0.01
D2
n ?
log
D3
n=
log(1+ 𝑖)
log
=
=
=
𝑆
𝑃
8.500.000
5.000.000
log(1+ 0,01)
log 1,7
log 1,01
0,230448921
0,00432137378
n = 53,3277 bulan
19
n = 4 Tahun 5 bulan 10 hari
Jadi n = 53.3277 ( 4 Tahun 5 bulan 10 hari )
7. Berapa jumlah penduduk indonesia pada tahun 2014 apabila diketahui
tahun 2004 indonesia memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat
pertumbuhan penduduk per tahun 1,7 %
Jawab :
D1
P2004
= 220.000.000
r
= 1,7 %
t
= 10
e
= 2,71828182845904
D2
P2014 / S ?
D3
S
= P . e rt
= 220.000.000 . 2,71828182845904 (1,7 %) (10)
= 220.000.000 . 2,71828182845904 (17 %)
= 220.000.000 . 1,185304851
= 260.7657.067
Jadi Jumlah penduduk indonesia tahun 2014 adalah 260.7657.067 jiwa
8. Seorang nasabah mendapat fasilitas kredit dari Bank x pada tangga 20
Maret 2012 sebesar Rp 12.000.000 dengan tingkat suku bunga 15% p.a
untuk jangka waktu 6 bulan. Saudara hitung cicilan setiap bulannya
dengan menggunakan metode flat rate dan sliding rate
20
Jawab :
D1
i = 15%
D2
flat rate & sliding rate
D3
Flat Rate
=
=
𝑝𝑖𝑛𝑗𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑥 % 𝑝𝑎
12
12.000.000 𝑥 15%
12
= 150.000
Jadi Flat Rate adalah 150.000
Sliding Rate =
𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑗𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑘𝑜𝑘 𝑥 % 𝑝𝑎
12
=
10.000.000 𝑥 15%
12
= 125.000
Jadi Sliding Rate adalah 125.000
Flate Rate
Saldo
Sliding Rate
Cicilan
Bulan
Total
Pinjaman
Pokok
Bunga
Total
Bunga
Cicilan
Cicilan
0
12,000,000
0
0
0
0
0
1
1,000,000
2,000,000
150,000
2,150,000
150,000
2,150,000
2
8,000,000
2,000,000
150,000
2,150,000
125,000
2,125,000
3
6,000,000
2,000,000
150,000
2,150,000
100,000
2,100,000
4
4,000,000
2,000,000
150,000
2,150,000
75,000
2,075,000
5
2,000,000
2,000,000
150,000
2,150,000
50,000
2,050,000
6
0
2,000,000
150,000
2,150,000
25,000
2,025,000
12,000,000
900,000
12,900,000
525,000
12,525,000
Total
BAB III
FUNGSI
1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang jumlah P = -2Q + 200, Tentukan:
a. Berapa harga P, bila jumlah barang yang dijual 75 unit
b. Berapa jumlah barang yang dijual bila harga barang tiap unit Rp 40
c. Berapa harga barang tertinggi sehingga tidak ada seorang pun sanggup
membeli barang tersebut
d. Gambarkan grafiknya
Jawab :
a. DI Q = 75
D2 P ?
D3 P = -2Q + 200
P = -2 (75) + 200
P = -150 + 200
P = 50
Jadi harga barang tiap unit adalah Rp 50
b. D1 P = 40
D2 Q ?
D3 P = -2Q + 200
40 = -2Q + 200
2Q = 200 - 40
2Q = 160
21
22
Q=
160
2
Q = 80
Jadi jumlah barang yang dijual adalah 80 unit
c. D1 Q = 0
D2 P ?
D3 P = -2Q + 200
P = -2 (0) + 200
P = 0 + 200
P = 200
Jadi harga tertinggi bila Q = 0 adalah 200
d. Titik potong dengan sumbu Q = 0  P
= -2Q + 200
P
= -2 (0) + 200
P
= 0 + 200
P
= 200 (0,200)
Titik potong dengan sumbu P = 0  P
= -2Q + 200
0
= -2Q + 200
2Q
= 200
Q
=
Q
200
2
= 100 (100,0)
23
P
200
(0, 200)
150
P = -2Q + 200
100
50
0
(100, 0)
50
100
150
200
Q
2. Permintaan terhadap barang tertentu diketahui jika harga Rp 200 per unit
maka jumlah barang yang diminta adalah 600 unit, sedangkan jika harga
barang tersebut naik menjadi Rp 250 per unit maka jumlah barang yang
diminta adalah 400 unit. Tentukan fungsi permintaan barang tersebut
Jawab :
D1 P1 = Rp 200
Q1 = 600 unit
P2 = Rp 250
Q2 = 400 unit
D2 P ?
𝑃− 𝑃
D3
1
𝑃 −𝑃
2
=
1
P−200
250−200
𝑄− 𝑄
1
𝑄 −𝑄
2
=
1
Q−600
400 −600
24
P−200
50
=
Q−600
−200
( P – 200).( −200) = ( Q – 600). (50)
– 200P + 40.000 = 50Q – 30.000
– 200P = 50Q – 30.000 – 40.000
– 200P = 50Q – 70.000 : – 200
P = – 0,25Q + 350
P=–
1
4
Q + 350
Jadi Fungsi permintaan (P) adalah P = –
P=–
1
4
Q + 350
Titik potong dengan sumbu P  Q = 0
P=–
P=–
1
4
1
4
Q + 350
(0) + 350
P = 350 (0,350)
Titik potong dengan sumbu Q  P = 0
P=–
0=–
1
4
Q
1
4
1
4
Q + 350
Q + 350
Q = 350
= 1.400 (1.400, 0)
1
4
Q + 350
25
P
350
(0, 350)
300
P=–
200
1
4
100
0
Q + 350
(1400, 0)
1000 1200 1400 1600
Q
3. Diketahui jika harga barang tertentu per unit Rp. 60,- maka jumlah barang
yang di tawarkan adalah 150 unit. Sedangkan jika harga barang naik
menjadi Rp. 75,- per unit maka jumlah barang yang di tawarkan adalah 200
unit. Tentukan fungsi penawaran barang tersebut.
Jawab :
D1
D2
D3
P1 = 60
P2 = 75
Q1 = 150
Q2 = 200
Fungsi Penawaran & Grafik
P−P1
P2−P1
P−60
75−60
P−60
15
=
=
=
Q−Q1
Q2−Q1
Q−150
200 −150
Q−150
50
( P – 60).(50)=( Q – 150). (15)
50P – 30.000= 15Q – 2.250
26
50P = 15Q – 2.250 + 30.000
50 P = 15Q + 750 : 50
P = 0,3 +15
P=
3
10
Q + 15
Jadi Fungsi penawaran adalah P =
P=
3
10
3
10
Q + 15
Q + 15
Titik potong dengan sumbu P → Q = 0
P=
P=
3
10
3
10
Q + 15
.( 0 ) + 15
P = 0 + 15
P = 15 → ( 0,15 )
Titik potong dengan sumbu Q → P = 0
P=
0=
3
10
3
10
−
3
10
Q + 15
Q + 15
Q = 15
Q = 15
−
3
10
Q = 15 x –
10
3
Q = 50 → ( – 50,0 )
27
P
(0, 15)
P=
3
10
Q + 15
10
(-50, 0)
Q
15
5
-50
-40
-30
-20
-10
0
4. Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P=15–Q ,
sedangkan penawarannya P= 3+ 0,5 Q, Berapa harga keseimbangan dan
jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?
Jawab
D1
P = 15 – Q  Q = 15 – p
P= 3+ 0,5 Q  Q = -6 + 2p
D2
Pe = ?
Qe =?
Grafiknya
D3
Qd
=
Qs
15 – Q = 3+ 0,5 Q
15 – 3 = 0,5Q + Q
12 = 1,5Q
Q=
12
1,5
28
Q=8
P = 15 – Q
P = 15 – 8
P=7
Jadi Harga keseimbangan (Pe) adalah 7 dan Jumlah keseimbangan (Qe)
adalah 8
Qd
=
Qs
15 – p = -6 + 2p
15 + 6 = 2p + p
21 = 3p
p=
21
3
p=7
Q = 15 – p
Q = 15 – 7
Q=8
Jadi Harga keseimbangan (Pe) adalah 7 dan Jumlah keseimbangan (Qe)
adalah 8
Titik potong dengan fungsi permintaan dengan sumbu Q  P = 0
P = 15 – Q
0 = 15 – Q
Q = 15 (15, 0)
Titik potong dengan sumbu P  Q = 0
P = 15 – Q
29
P = 15 (0)
P = 15 (0, 15)
Titik potong dengan fungsi permintaan dengan sumbu Q  P = 0
P = 3 + 0,5 Q
0
= 3 + 0,5 Q
-0,5 Q = 3
Q=
3
−0,5
Q = -6 (-6, 0)
Titik potong dengan sumbu P  Q = 0
P = 3 + 0,5 Q
P = 3 + 0,5 (0)
P = 3 (0, 3)
P
15
(0,15)
Pe 7
(-6,0)
3
-6 0
P = 3 + 0,5Q
Qs
E (8,7) Titik Keseimbangan
(0,3)
8
Qe
15
Q
P = 15 – Q
5. Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 15 –
Q sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Terhadap barang tersebut
30
dikenakan pajak sebesar 3 perunit. Berapa harga keseimbangan sebelum
pajak dan berapa harga dan jumlah keseimbangan setelah pajak ?
Jawab :
D1 P = 15 – Q
(Sebelum pajak)
P = 15 – Q + 3
(Setelah pajak)
P = 3 + 0,5 Q
(Sebelum pajak)
P = 3 + 0,5Q + 3
(Setelah pajak)
D2 -
E?
-
E setelah pajak ?
-
Gambar grafik ?
D3 - E → Qd = Qs
(sebelum pajak)
P = 15 – Q
Qd = 15 – P ......................... (1)
P
= 3 + 0,5 Q
0,5Q= 3 – P
Q
=
Qs = -6 + 2p ........................ (2)
Qd = Qs
15 – P
= -6 + 2P
-2P – P = -6 – 15
-3P
= 21
P
=7
Q = 15 – P
Q = 15 – 7
Q=8
E ( 8,7)
31
E→
Qd = Qs
P
= 15 – Q
(setelah pajak)
Qd = 15 – P ......................... (1)
P
= 3 + 0,5 Q + 3
0,5Q= 6 – P
Q
=
Qs = -12 + 2p ........................ (2)
Qd = Qs
15 – P
= -12 + 2P
-2P – P = -12 - 15
-3P
= - 27
P
=
P
=9
Q = 15 – P
Q = 15 – 9
Q=6
E (6,9)
P = 15 – Q
Titik potong dengan sumbu Q → P = 0
P = 15 – Q
0 = 15 – Q
Q = 15
→ (15,0)
Titik potong dengan sumbu P → Q = 0
32
P = 15 – Q
P = 15 – 0
→ (0,15)
P = 15
P = 3 + 0,5 Q
Titik potong dengan sumbu Q → P = 0
P = 3 + 0,5 Q
0 = 3 + 0,5 Q
-0,5 Q = 3
→ (-6,0)
Q = -6
Titik potong dengan sumbu P → Q = 0
P = 3 + 0,5 Q
P = 3 + 0,5 (0)
→ (0,3)
P=3
P
Setelah Pajak
(6, 9)
15
Sebelum Pajak
(8, 7)
(Pe)
9
(Pe)
7
E
E
5
3
-12
-6
0
6
(Qe)
8
(Qe)
15
6. Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 15 –
Q sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Pemerintah memberikan subsidi
sebesar 1,5 pada setiap unit barang yang di produksi . Berapa harga
Q
33
keseimbangan tanpa subsidi dan berapa harga dan jumlah keseimbangan
dengan subsidi ?
Jawab :
d1 : P = 15 - Q
P = 3 + 0,5 Q
d2 : -
E?
Gambar grafik ?
d3 : - E  Qd = Qs
P
= 15 – Q
Qd = 15 – P ......................... (1)
P
= 3 + 0,5 Q
0,5Q= 3 – P
Q
=
Qs = -6 + 2p ........................ (2)
Qd = Qs
15 – P
= -6 + 2P
-2P – P = -6 – 15
-3P
= 21
P
=7
Q = 15 – P
Q = 15 – 7
Q=8
E ( 8,7)
P = 15 – Q
Titik potong dengan sumbu Q → P = 0
34
P = 15 – Q
0 = 15 – Q
→ (15,0)
Q = 15
Titik potong dengan sumbu P → Q = 0
P = 15 – Q
P = 15 – 0
→ (0,15)
P = 15
= 3 + 0,5 Q – 1,5
P
0,5Q= 1,5 – P
Q
=
Qs = -3 + 2p
Qd = Qs
15 – P
= -3 + 2P
-2P – P = -3 - 15
-3P
= - 18
P
=
P
=6
Q = 15 – P
Q = 15 – 6
Q=9
(9,6)
P = 1,5 + 0,5 Q
Titik potong dengan sumbu Q → P = 0
P = 1,5 + 0,5 Q
0 = 1,5 – 0,5Q
- 0,5Q = 1,5
35
Q=
→ (-3,0)
Q=-3
Titik potong dengan sumbu P → Q = 0
P = 1,5 + 0,5 Q
P = 1,5 – 0,5 (0)
→ (0,1.5)
P = 1,5
P
Pajak
15
(6, 9)
(Pe)
9
(8, 7)
(Pe)
7
(Pe)
6
Subsidi
(9, 6)
3
1,5
-12
-6
-3
0
6
(Qe)
8
9
(Qe) (Qe)
Q
BAB IV
DIFERENSIAL
1. y = 2x3 – 4x2 + 7x – 5
Jawab :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= n . x n-1
= 2 . 3x3 – 1 – 4 . 2x 2 – 1 + 7
= 6x 2 – 8x + 7
2. y = 9 – 3x -1 + 6x -2
Jawab :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= n . x n-1
= -3 (-1)x -1-1 + 6 (-2)x-2-1
= 3x -2 – 12x -3
3. y = (x2 – 4) (2 x – 6)
Jawab :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=u
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+v
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (x2 – 4) (2x) + (2x – 6) (2 . x 2-1)
= (x2 – 4) (2x) + (2x – 6) (2x)
= 2x 2 – 8x + 4x 2 – 12x
= 6x 2 – 12x – 8x
4. y = (3x2 – x) (2 + x -1)
36
37
Jawab :
𝑑𝑦
=u
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑢
+v
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= (3x2 – x) (-1x -1-1) + (2 + x -1) (3 . 2x2-1 – x)
𝑑𝑥
= (3x2 – x) (-x-2) + (2 + x -1) (6x -1)
= -3 + x-1 + 12x -2 + 6 – x-1
= 12x + 1
𝑥2 − 4
5. y =
2𝑥+1
Jawab :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑣
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑣
−𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑣2
(2𝑥 + 6)(2 .𝑥 2−1 )− (𝑥 2 – 4)(2 .1𝑥 1−1 )
(2𝑥−6)2
(2𝑥 + 6)(2𝑥)− (𝑥2 – 4)(2)
(2𝑥−6)2
(4𝑥 2 − 12𝑥)− (2𝑥 2 − 8)
4𝑥 2 − 24𝑥+36
4𝑥 2 − 12𝑥 − 2𝑥 2 + 8)
4𝑥 2 − 24𝑥+36
2𝑥 2 − 12𝑥 + 8)
:2
4𝑥 2 − 24𝑥+36
𝑥 2 − 6𝑥 + 4
= 2𝑥 2 − 12𝑥+18
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥 2 − 6𝑥 + 4
= 2𝑥 2 − 12𝑥+18 ∶2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑥 2 − 6𝑥 + 4
𝑥 2 − 6𝑥+9
𝑥 2 − 6𝑥 + 4
𝑥2 (𝑥−3)2
5𝑥+2
6. y = (3x2 – x) (
𝑥
)
38
Jawab :
5𝑥+2
y = (3x2 – x) (
𝑥
)
y = (3x2 – x) (5x + 2) (x-1)
y = (3x2 – x) (5x + 2x-1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=u
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+v
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (3x2 – x) (2 . -1x -1-1) + (5x + 2x-1) (3 . 2x2-1 – 1x1-1)
= (3x2 – x) (-2x-2) + (5x + 2x-1) (6x - 1)
= -6x 2-2 + 2x 1-2 + 30x – 5 + 12x -1+1 - 2x -1
= -6x + 2x -1 + 30x – 5 + 12x – 2x -1
= -6x + 30x -5 + 12
= 30x + 1
7. y = (5x + 12 – 2x -1)3
Jawab :
Misalkan u 5x + 12 – 2x -1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5 + 0 – 2x (-1)-1-1
= 5 + 2x-2
= n . u n–1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3(5x + 12 – 2x -1)3 – 1(5 + 2x-2)
2
= 3(5x + 12 – 2x -1)2 (5 + 𝑥 2 )
39
8. y = (
5𝑥+2 2
)
𝑥
Jawab :
y=(
5𝑥+2 2
)
𝑥
y = (5x.x -1 + 2.x -1)2
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑣
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 (5 + 2x -1) 2-1 (2 . -1x -1-1)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 2 (5 + 2x -1) (-2x-2)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 2 (-10x-2 – 4x-3)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= -20x -2 – 8x -3
𝑑𝑥
9. Dengan mengkonsumsi jenis barang tertentu, jumlah kepuasan adalah TU
= 20Q – 0,2Q2. Tentukan :
-
Berapa jumlah barang yang akan dibeli ada tingkat harga Rp 10 per
unit
-
Kepuasan total yang akan diperoleh konsumen, jika kepuasan total
konsumen dapan dinyatakan dalam rupiah
Jawab :
D1 TU = 20Q – 0,2Q2
D2 a) Q  P = 10
b) TU
D3 a) TU = 20Q – 0,2Q2
40
MU = 20 – 0,2 . 2Q 2-1
MU = 20 – 0,4Q
Kepuasan terpenuhi bila P = MU
10 = 20 – 0,4Q
0,4Q = 20 – 10
0,4Q = 10
10
Q = 0,4
Q = 25
Jadi jumlah barang yang akan dibeli konsumen sebanyak 25 unit
b) TU = 20Q – 0,2Q2
= 20 (25) – 0,2 (25)2
= 500 – 0,2 (625)
= 500 – 125
TU = 375
Jadi kepuasan total konsumen diukur dengan uang adalah Rp 375
10. Fungsi produksi suatu perusahaan yang menggunakan bahan baku variabel
1
adalah Q = 3x
3
1
- 22 x2 + 7x Jika harga input x sama dengan harga
outputnya, berapa jumlah output yang harus diproduksi agar keuntungan
produsen maksimum
Jawab :
1
1
D1 Q = 3x 3 - 22 x2 + 7x
P x = Pq
41
D2 Qmax
?
1
1
D3 Q = 3x 3 - 22 x2 + 7x
𝑑𝑞
MP = 𝑑𝑥
1
1
MP = 3 . 3x 3-1 - 22 . 2x 2-1 + 7
MP = x2 – 5x + 7
𝑑𝑥
MP = 𝑑𝑞  Px = Pq
MP = 1
MP = x2 – 5x + 7
x2 – 5x + 7 = 1
x2 – 5x + 7 – 1 = 0
x2 – 5x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x–3=0˅x–2=0
x=3˅x=2
MP = x2 – 5x + 7
MPˈ = 2X – 5
Jika x = 3  m = 2 (3) – 5
m=6–5
m = 1 (tidak terpenuhi)
Jika x = 2  m = 2 (2) – 5
m=4–5
m = -1 (terpenuhi)
42
1
1
Q = 3x 3 - 22 x2 + 7x
1
1
Q = 3 (2) 3 - 22(2) 2 + 7(2)
1
1
Q = 3 (8) - 22(4) + 7(2)
8
5
Q = 3 - 2 (4) + 14
8
Q = – 10 + 14
3
8
Q=3+4
8
Q=3+
Q=
12
3
20
3
2
Q=63
Q =7
Jadi jumlah output yang harus di produksi agar keuntungan produsen
maksimun adalah 7
11. Untuk suatu barang diketahui fungsi permintaannya : P = 75 –
1
3
Q.
Tentukan elastisitas permintaannya, bila hrga barang sebesar Rp 50.
Jawab :
Diketahui harga semula P0 dan jumlah barang Q0. Apabila harga naik
menjadi P1 maka jumlah barang akan turun menjadi Q1 sesuai dengan
hukum permintaan jumlah barang yang diminta berubah
maka harga berubah menjadi
𝑃1 − 𝑃0
P0
∆𝑃
x 100% = P0 x 100%
𝑄1 − 𝑄0
Q0
x 100%
43
Ep =
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑃
x 𝑄, koefisien Ep selalu negatif maka untuk mengabaikan tanda
negatif tersebut Ep dianggap positif dengan menambahkan nilai mutlak
maka : Ep =
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝑃
x𝑄
1
D1 Fungsi permintaan P = 75 – 3 Q
Ep bila P = 50
D2 Ep ?
D3
P = 75 –
75 –
–
–
1
3
1
3
1
3
1
3
Q, P = 50
Q = 50
Q = 50 – 75
Q = - 25
Q = -25 (-3)
Q = 75
P = 75 –
𝑑𝑝
𝑑𝑥
=–
Ep =
1
3
Q
1
𝑑𝑞
3
𝑑𝑝
𝑑𝑞
𝑑𝑥
x
𝑃
𝑄
50
= -3 x 75
= -2
=2
= -3
BAB V
MAKSIMISASI DAN MINIMISASI
1. Bila fungsi biaya total ditentukan dengan persamaan TC = 30 – 8Q3 + 6Q4
Tentukan
: a) Berapa TFC dan TVC
b) Berapa MC pada saat Q = 2
Jawab :
D1 TC = 30 – 8Q3 + 6Q4
D2 a) Berapa TFC dan TVC
b) Berapa MC pada saat Q = 2
D3
a. Karena TFC tidak tergantung pada jumlah output yang diproduksi,
sedangkan TVC tergantung pada jumlah output yang diproduksi, maka
TFC = 30 TVC = – 8Q3 + 6Q4
b. MC =
𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄
= -8 . 3Q 3-1 + 6 . 4Q4-1
= -24Q2 + 24Q3
MC = -24Q2 + 24Q3
= -24(2)2 + 24(2)3
= -24(4) + 24(8)
= -96 + 192
MC = 96
Jadi Marginal Cost pada saat Q = 2 adalah 96
44
45
2. Bila kurva biaya total ditunjukkan oleh persamaan TC = 25Q – 8Q2 + Q3
Tentukan
: a) Output yang diproduksi pada saat ACmin
b) Besarnya ACmin
Jawab :
D1 TC = 25Q – 8Q2 + Q3
D2 a) Q  ACmin
b) ACmin
D3 a) AC =
AC =
𝑇𝐶
𝑄
25𝑄 – 8𝑄 2 + 𝑄2
𝑄
AC = 25 – 8Q + Q2
ACmin =
𝑑𝐴𝐶
𝑑𝑄
=0
-8Q + 2Q = 0
2Q = 8
8
Q=2
Q=4
Jadi output yang diproduksi pada saat ACmin adalah 4
b) AC = 25 – 8Q + Q2
AC = 25 – 8(4) + (4)2
AC = 25 – 32 + 16
AC = 9
Jadi besarnya ACmin adalah 9
46
3. fungsi permintaan yang di hadapi seorang monopolis di tunjukanoleh
1
persamaan P = 10 –
2
Q tentukan dan gambarkan : penerimaan total (TR),
penerimaan rata- rata (AR) dan penerimaan marjinal (MR)
Jawab :
1
D1 P = 10 – 2 Q
D2
a. TR = ?
b.AR = ?
c. MR = ?
d. Grafik
D3 a. TR = P.Q
1
TR = (10 – 2 Q ). Q
1
TR = 10 Q – 2 Q2
1
Jadi Penerimaan Total (TR) adalah 10 Q – 2 Q2
b. AR =
AR =
𝑇𝑅
𝑄
1
10− 𝑄2
2
𝑄
1
AR = 10 – 2 Q
1
Jadi Penerimaan Rata-rata (AR) adalah 10 – 2 Q
c. MR =
𝑑𝑇𝑅
dQ
1
MR = 10 – 2 . 2. Q2-1
MR = 10 – Q
Jadi Penerimaan Marjinal (MR) adalah 10 – Q
1
P = 10 – 2 Q
d.
AR
Titik potong dengan sumbu P  Q = 0
1
P = 10 – 2 Q
47
1
P = 10 – 2 . (0)
P = 10  ( Q,P ) = ( 0,10 )
Titik potong dengan sumbu Q  P = 0
1
0 = 10 – 2 Q
1
2
Q = 10
Q= 10 = 10 x 2 = 20
1
2
( Q,P ) = ( 20, 0 )
1
TR 10 Q – 2 Q2
Q
1
TR 10 Q – 2 Q2
( Q, TR )
1
10.(15) – 2 .( 15 )2
1
0
10
20
0
50
0
( 0,0 )
( 10,50 )
( 20,0 )
1
10. (10) – 2 .(10)2
1
150 – 2 .( 225 )
100 – 2 .(100)
150 – 112,5 = 37,5
100 – 50 = 50
MR = 10 – Q
Q
0
10
20
MR = 10 – Q
10
0
– 10
( Q , MR )
( 0, 10 )
( 10,0 )
( 20, – 10)
48
d.
P
50
(10,50)
37,5
(0,10) 10
AR (20,0)
0
5 10 15 20
- 10
Q
MR
(20,-10)
3. Fungsi permintaan di tunjukkan oleh persamaan : P = 100 – 4Q dan biaya ratarata ditunjukan oleh persamaan AC = 20 +
50
𝑄
Tentukan :
a. Jumlah output di produksi agar produsen memperoleh keuntungan maksimum
b. Besar nya Keuntungan
Jawab
D1
P = 100 – 4Q
AC = 20 +
D2
50
𝑄
a. Q  𝜋 max
b.𝜋 = ?
D3
a. 𝜋 = TR – TC
TR = P.Q
TC = AC .Q  AC =
TR = P.Q
TR = ( 100 – 4Q ). Q
TR = 100Q – 4Q2
TC = AC.Q
𝑇𝐶
𝑄
49
TC = ( 20 +
50
𝑄
).Q
TC = 20Q + 50
π = TR – TC
π = 100Q – 4Q2 – (20Q + 50)
π = 100Q – 4Q2 – 20Q – 50
π = – 4Q2 + 80Q – 50
a. Syarat pertama
𝑑𝜋
𝑑𝑄
= 0 → − 4.2𝑄 2-1+ 80 = 0
−8 Q + 80 = 0
−8 Q = −80
Q = 10
𝑑2 𝜋
Syarat kedua 𝑑𝑄2 < 0
-8Q + 80 < 0
-8 < 0
Jadi jumlah output yang harus diproduksi sebanyak 10 unit
b. π = – 4Q2 + 80Q – 50
π = – 4.(10)2 + 80.(10) – 50
π = – 4.(100) + 800 – 50
π = – 400 + 800 – 50
π = 800 – 450 = 350
Jadi besarnya keuntungan (π ) maks adalah 350
TUGAS KELOMPOK
1. Perusahaan genteng suka jaya menghasilkan 3.000 buah genteng pada
bulan pertama produksinya dengan penambahan tenaga kerja dan
peningkatan produktif perusahaan mampu menambah produksinya
sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan,
berapa buah genteng yang dihasilkan pada bulan 5 ? berapa buah yang
dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?
Jawab :
D1
a = 3.000
b = 500
D2
a) Berapa genteng yang dihasilkan bulan 5 ?
b) Berapa genteng yang dihasilkan bulan tersebut ?
D3
a) Un
= a + (n – 1) b
= 3.000 + (5 – 1) 500
= 3.000 + (4) 500
= 3.000 + 2.000
= 5.000
Jadi genteng yang dihasilkan bukan ke 5 adalah 5.000
b) dn
d5
1
= 2 n (a + Un)
1
= 2 5 (3.000+ 5.000)
1
= 2 5 (8.000)
50
51
1
= 2 40.000
= 20.000
Jadi genteng yang dihasilkan bulan tersebut adalah 20.000
2. Besarnya penerimaan PT. Cemerlang dari hasil penjualan barangnya
sebesar 720.000.000 pada tahun ke – 5 dan 980.000.000 pada tahun ke – 7
apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berola seperti deret
hitung aritmatika, berapa perkembangan penerimaannya pertahun ? berapa
besar penerimaan pada tahun pertama ? dan pada tahun keberapa
penerimaannya sebesar 460.000.000 ?
Jawab :
D1
U5 = 720.000.000
U7 = 980.000.000
D2
a) Jumlah penerimaan pertahun ?
b) Besar penerimaan tahun pertama ?
c) Pada tahun berapa penerimaan sebesar 460.000.000 ?
D3
a) Un
= a + (n – 1) b
U5
= a + (5 – 1) b
720.000.000
= a + 4b ..................................... (1)
Un
= a + (n – 1) b
U7
= a + (7 – 1) b ............................ (2)
980.000.000
= a + 6b
52
a + 6b = 980.000.000
a + 4b = 720.000.000
2b = 260.000.000
b=
260.000.000
2
b = 130.000.000
Jadi penerimaan pertahunnya adalah 130.000.000
b) a + 4b
= 720.000.000
a + 4 (130.000.000)
= 720.000.000
a + 520.000.000
= 720.000.000
a
= 720.000.000 – 520.000.000
a
= 200.000.000
Jadi besar penerimaan tahun pertamanya adalah 200.000.000
c) Un = a + (n – 1) b
460.000.000 = 200.000.000 + (n – 1) 130.000.000
460.000.000 – 200.000.000 = 130.000.000 n -130.000.000
260.000.000
260.000.000 + 130.000.000
390.000.000
= 130.000.000 - 130.000.000 n
= 130.000.000 n
= 130.000.000 n
390.000.000
n = 130.000.000
n=3
Jadi penerimaan sebesar 460.000.000 adalah pada tahun ke – 3