SOAL DAN PENYELESAIAN (ANVEK) nasrun

TUGAS
“SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANYA”
ANALISA VEKTOR
Oleh:
Nasrun Rozikin
E1R115043
A reguler sore / Semester VI
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MATARAM
2017
1. Jika A dan B adalah vektor-vektor yang diketahui, maka perlihatkan bahwa
|𝐴 + 𝐵| ≤ |𝐴| + |𝐵|
Jawab:
|𝐴 + 𝐵| = √|𝐴|2 + |𝐵|2 + 2𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝛼
Karena −1 ≤ cos 𝛼 ≤ 1 Sehingga
√|𝐴|2 + |𝐵|2 + 2𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ≤ √|𝐴|2 + |𝐵|2 + 2𝐴𝐵
√|𝐴 + 𝐵| ≤ √|𝐴| + |𝐵|
|𝐴 + 𝐵| ≤ |𝐴| + |𝐵|(terbukti)
2. Jika gaya F = 2i - j + 3k bekerja pada titik (2,-1,1), tentukan torsi dari F terhadap titik asal
koordinat!
Jawab:
F = 2i - j + 3k
r = (2,-1,1) – (0,0,0) = (2,-1,1) = 2i – j + k
𝑖 𝑗 𝑘
 = r x F = |2 −1 1|
2 −1 3
= (-3i + 2j -2k) – (-2k –i -6j) = -2i + 8j
3. Sebuah vektor A = (2ax + 3ay + az) dan B = (ax + ay - az).
Hitunglah :
a. A + B
b. A – B
Jawab:
A + B = (2 + 1)ax + (3 + 1)ay + (1 – 1)az = 3ax + 4ay
A + B = (2 - 1)ax+ (3 - 1)ay+ (1+1)az = ax + 2ay + 2 az
4. Sebuah vektor A = (2ax – 3ay + az ) dan vektor B = ( - 4ax – 2ay + 5az).
Tentukan perkalian silang A x B ?
Jawab:
𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑎𝑧
5. A x B = | 2 −3 1 | = -13ax – 14ay – 16az
−4 −2 5
6. Jika ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi enam beraturan, maka carilah resultan
gaya yang dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE, dan AF.
Jawab :
Perhatikan gambar:
E
D
AB  AC  AD  AE  AF  ... ?
AB  AD  BD...(1)
F
C
AC  AD  CD...(2)
A
B
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persoalan, maka diperoleh :
AB  AC  AD  AE  AF  AD  BD  AD  CD  AD  AE  AF
 3 AD  AE  AF  BD  CD
Karena ABCDEF segienam beraturan maka AE  BD DAN AF  CD . Akibatnya
3 AD  AE  AF  BD  CD  3 AD .
Dengan demikian AB  AC  AD  AE  AF  3 AD adalah resultan dari vektor-vektor
tersebut.
7. Jika a, b, dan c adalah vektor-vektor tak koplanar, maka tentukan apakah r1  2a  3b  c,
r2  3a  5b  2c , dan r3  4a  5b  c adalah bebas linier.
Jawab:
Misalkan r3  k1r1  k 2 r2 , maka
4a  5b  c  k1 2a  3b  c   k 2 3a  5b  2c 
 2k1  3k 2 a   3k1  5k 2 b  k1  2k 2 c
2k1  3k 2  4...(1)
 3k1  5k 2  5...(2)
k1  2k 2  1...(3)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh k1 = 5 dan k2 = -2. Substitusikan hasil dari persamaan (1)
dan (2) ke persamaan (3). Karena memenuhi k1 = 5 dan k2 = -2 memenuhi persamaan (3) maka
r1, r2, dan r3 dapat dinyatakan sebagai r3  5r1  2r2 (bergantung linier).
8. Untuk harga-harga a yang manakah A = ai - 2j + k dan B = 2ai + aj – k saling tegak lurus?
Jawab:
A dan B saling tegak lurus maka
A.B=0
( a, -2, 1 ) . ( 2a, a, -1 ) = 0
2a2 – 2a – 4
=0
a2 – a – 2
=0
(a–2)(a+1)
a = 2 atau a = -1
9. Buktikanlah bahwa luas jajaran genjang dengan sisi-sisi 𝑎̅dan 𝑏̅ adalah |𝑎̅ × 𝑏̅|
Jawab:
ℎ
sin ∝ = 𝑎̅ maka ℎ = |𝑎̅|𝑠𝑖𝑛 ∝
𝑎̅
h
𝑏̅
luas jajaran genjang = ℎ|𝑏̅|
= |𝑎̅|𝑠𝑖𝑛 ∝ |𝑏̅|
= |𝑎̅||𝑏̅|𝑠𝑖𝑛 ∝
= |𝑎̅ × 𝑏̅|
10. Buktikan bahwa cos α =
(terbukti)
|𝑐̅|2 +|𝑏̅|2 −|𝑎̅|2
2 |𝑏̅ ||𝑐̅|
!
Jawab:
𝑏̅
𝑎̅
𝜶
𝑐̅
𝑏̅ + 𝑎̅ = 𝑐̅
𝑎̅ = 𝑐̅ − 𝑏̅
𝑎̅. 𝑎̅ = (𝑐̅ − 𝑏̅). (𝑐̅ − 𝑏̅ )
2
|𝑎̅|2 = |𝑐̅|2 + |𝑏̅| − 2 𝑏̅. 𝑐̅
2
|𝑎̅|2 = |𝑐̅|2 + |𝑏̅| − 2 |𝑏̅||𝑐̅| cos(180 − 𝛼)
2
|𝑎̅|2 = |𝑐̅|2 + |𝑏̅| − 2 |𝑏̅||𝑐̅| cos 𝛼
Berdasarkan persamaan di atas diperoleh :
cos 𝛼 =
|𝑐̅|2 +|𝑏̅ |2 −|𝑎̅|2
2 |𝑏̅ ||𝑐̅|
( terbukti )
11. Carilah volume sebuah paralel epipedum yang sisinya dinyatakan oleh A= 2i-3j+4k, B= i+2jk, C=3i-j+2k.
Jawab:
Volume  AB  C 
2 3
ABXC   1
3
4
2
 1  2(4  1)  3(2  3)  4(1  6)  6  15  28  7
1
2
jadi volumenya  7
12. Diketahui vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k membentuk sudut θ, maka nilai sin
θ adalah ...
Jawab:
|𝒖| = √22 + (−3)2 + 52 = √4 + 9 + 25=√38
|𝒗| = √(−3)2 + (−5)2 + 22 = √9 + 25 + 4=√38
u .v = |𝒖||𝒗| cos θ
cos θ =
(−6 + 15 + 10) 19 1
𝐮 .𝐯
=
=
=
|𝒖||𝒗|
38 2
√38√38
1
θ = 600 , sin 600 = 2 √3
1
jadi, sin 600 adalah 2 √3
13. Diketahui u = 5 i + 3 j - k dan v = i + 3j – 2k dimana w = 3u – 4v maka panjang w adalah ...
Jawab:
w = 3u – 4v = 3 [ 5, 3, -1] – 4 [1, 3, -2 ]
= [ 15, 9, -3] – [4, 12, -8]
= [11, -3, 5]
|𝒘| = √112 + (−3)2 + 52 = √121 + 9 + 25=√155
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝒘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ √155
14. Untuk harga-harga a yang manakah A = ai - 2j + k dan B = 2ai + aj – k saling tegak lurus?
Jawab :
A dan B saling tegak lurus maka
A.B=0
( a, -2, 1 ) . ( 2a, a, -1 ) = 0
2a2 – 2a – 4 = 0
a2 – a – 2 = 0
(a–2)(a+1)
a = 2 atau a = -1
15. Jika vektor u dan vektor v membentuk sudut 600 dimana |𝒖| = 4 dan |𝒗| = 20, maka
|𝑢 . (𝑣 + 𝑢) |= ...
Jawab:
|𝑢 . (𝑣 + 𝑢) | = u . v + u2
= |𝒖| |𝒗|cos 60 + u2
1
= (4 × 20 × ) + 42
2
= 40 + 16
= 56
jadi, |𝑢 . (𝑣 + 𝑢)| 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 56.
16. Sudut antara vektor a = xi + ( 2x + 1)j - x
ke
sama dengan
. Hitung nilai x ?
Jawab:
Panjang proyeksi
=
ke
k dan vektor b adalah 60°. Jika panjang proyeksi
=
x=
atau x = -1
17. A = ( -1, 5, 4 ) , B = ( 2, -1, -2 ), C = 3, p, q ). Jika titik A, B dan C segaris . Hitunglah nilai p
dan q.
Jawab:
Jika A, B dan C segaris maka
( 4, p-5, q-4) = k ( 3, -6, -6)
( 4, p-5, q-4) = ( 3k, -6k, -6k )
sehingga 3k = 4
k=
sehingga p -5 = -6k = -8
p = -3
q – 4 = -6k = -8
dan
q=-4
18. Diketahui 𝒂 = 8 i + 2 j - 5k dan 𝒃 = 6 i - j + k maka proyeksi vektor a pada b adalah...
Jawab:
|𝒃| = √62 + (−1)2 + 12 = √36 + 1 + 1=√38
𝒂 . 𝒃 = (8𝑥6) + (2𝑥(−1)) + (−5𝑥1) = 48 − 2 − 5 = 41
Proyeksi 𝒂 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝒃 =
𝒂.𝒃
|𝒃|
=
𝟒𝟏
√𝟑𝟖
jadi, Proyeksi 𝒂 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝒃 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
𝟒𝟏
= 𝟑𝟖 √𝟑𝟖
𝟒𝟏
𝟑𝟖
√𝟑𝟖
19. Diketahui 𝒖 = 3 𝑖 − 5 𝑗 ∓ 4𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝒗 = 𝑡 𝑖 − 4 𝑗 + 𝑘 saling tegak lurus, maka nilai 𝑡 adalah
...
Jawab:
Jika 𝒖 𝑑𝑎𝑛 𝒗 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑟𝑢𝑠 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝒖 . 𝒗 = 𝟎
𝒖 . 𝒗 = (𝟑 × 𝒕) + ((−𝟓) × (−𝟒)) + (𝟒 × 𝟏)
0 = 3𝑡 + 20 + 4
0 = 3𝑡 + 24 → 𝑡 = −8
jadi nilai t adalah -8.
20. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah lingkaran adalah siku-siku!
Jawab:
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = jari-jari
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐶
Misalkan c adalah titik sembarang pada busur lingkaran dengan𝑃𝐴
lingkaran.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑃𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑃𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐶 + 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵
𝑃𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑃𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 . 𝐶𝐵
𝑃𝐴). (𝑃𝐵
𝑃𝐶 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= (𝑃𝐶𝑃𝐵
𝑃𝐴𝑃𝐵 − 𝑃𝐶𝑃𝐶
𝑃𝐴𝑃𝐶 ) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐶
=0
Sehingga terbukti bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah lingkaran adalah sikusiku.
21. Carilah proyeksi vektor 2𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘 pada vektor +2𝑗 + 2𝑘 !
Jawab:
Misalkan A= 𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘 dan B=2𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘
𝑖+2𝑗+2𝑘
Vektor satuan pada arah A, 𝑎 = √12
+22 +22
1
2
2
= 3𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘
1
2
2
Proyeksi vektor B pada arah A= 𝐵°𝑎 = (2𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘 )°(3 𝑖 + 3 𝑗 + 3 𝑘)
2
6
=3−3+
12
3
8
=3
22. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua buah sisi sebuah segitiga adalah
sejajar sisi ketiga dan besarnya separuh dari besar sisi ketiga ini.
Jawab:
Perhatikan Gambar :
C
E
D
A
AC  AB  BC
B
Karena DC  12 AC, danEC  12 BC maka
DC  DE  EC
1
2
AC  DE  12 EC
 DE  12  AC  BC  dan AB  AC  BC sehingga
1
2
AB  DE
Karena AB merupakan kelipatan dari DE maka kedua ruas garis tersebut sejajar, dimana
besarnya juga akan mengikuti yaitu
1
2
AB  DE .
23. Diketahui vektor-vektor berikut:
a = ( p, 1,
), b = ( 2, 2
, -2 ), c = ( 2, -2, 1 )
Jika panjang vektor c = enam kali panjang proyeksi vektor a pada b, maka nilai p?
Jawab:
Panjang vektor
= 6 x proyeksi vektor
pada
3=
p =1
24. Carilah jarak terpendek dari (6, -4, 4) ke garis yang menghubungkan (2, 1, 2) dan (3, -1, 4).
Jawab:
misalkan :
P(6.  4,4), Q(2,1,2), R(3,1,4)
P
Q
PQ  4i  5 j  2k
QR  (1,2,2)
PR  3i  3 j
QR  1  4  4  9  3
PS 
PQ PR
QR
PQ XPR  PQ 2 PR 2  PQ PR 
2

16  25  49  9  12  152
 45(8)  (27) 2
 810  729  81  9
PS 
9
3
3
25. Diketahui A =3i + j + 2k dan B = i– 2j – k adalah berturut-turut vektor-vektor kedudukan dari
titik-titik P dan Q. Carilah persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus PQ ?
Jawab:
PQ = Q – P = (i– 2j – k) – (3i + j + 2k)
= ( -2i, -3j, -6k )
Persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus PQ
( xi + yj + zk ) . ( -2i, -3j, -6k ) = (i– 2j – k) . ( -2i, -3j, -6k )
-2x – 3y – 6z = -2 + 6 + 24
2x + 3y + 6z = 28
26. Pada gambar dibawah OABC adalah bangun geometri segi empat. Titik P dan Q adalah titiktitik tengah ruas garis OB dan ruas garis AC.
Tunjukkan bahwa
Jawab:
Misalkan vektor-vektor posisi titik A, B, C berturut-turut

= +
+(
–
)+( –
)
=2(
–
+
)
 Vektor posisi titik P diwakili oleh ruas garis berarah
=½
=½
, sebab titik P merupakan titik tengah
Vektor posisi titik Q diwakili oleh ruas garis berarah
=½(
+
), sebab titik Q merupakan titik tengah
Dengan menggunakan segitiga OPQ, diperoleh
=½(
+
=½(
-
4
=2(
4
=
)–½
+
-
)
+
)
27. Jika a, b, dan c adalah vektor-vektor tak koplanar, maka tentukan apakah r1  2a  3b  c,
r2  3a  5b  2c , dan r3  4a  5b  c adalah bebas linier.
Jawab:
Misalkan r3  k1r1  k 2 r2 , maka
4a  5b  c  k1 2a  3b  c   k 2 3a  5b  2c 
 2k1  3k 2 a   3k1  5k 2 b  k1  2k 2 c
2k1  3k 2  4...(1)
 3k1  5k 2  5...(2)
k1  2k 2  1...(3)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh k1 = 5 dan k2 = -2. Substitusikan hasil dari persamaan (1)
dan (2) ke persamaan (3). Karena memenuhi k1 = 5 dan k2 = -2 memenuhi persamaan (3) maka
r1, r2, dan r3 dapat dinyatakan sebagai r3  5r1  2r2 (bergantung linier).
28. Perlihatkan bahwa A=
2i  2 j  k  , B  i  2 j  2k danC  2i 
3
satuan yang saling tegak lurus!
Jawab:
3
j  2k 
adalah vector-vektor
3
1
22   22  12  1 9  3  1
3
3
3
1
1
3
12  22  22  9   1
B 
3
3
3
1
22  12   22  1 9  3  1
C 
3
3
3
A 
21  22   12  2  4  2 0

 0
33
9
9
(2)( 2)  (2)(1)  (1)( 2) 4  2  2
Ao C 

0
(3)(3)
9
(1)( 2)  (2)(1)  (1)( 2) 2  2  4
Bo C 

0
(3)(3)
9
Ao B 
Jadi A,B dan C adalah vector-vektor yang saling tegak lurus
29. Diketahui P = ( a, 0, 3 ), Q = ( 0, 6, 5 ) dan R = ( 2, 7, c ). Agar vector-vektor
, maka hitunglah nilai a –c .
Jawab:
tegak lurus
.
sehingga
=0
(0–a ,6–0,5-3).(2–0,7–6,c-5) =0
(-a,6,2).(2,1,c–5)=0
-2a + 6 + 2c – 10 = 0
-2a + 2c = 4
a – c = -2
30. Vektor
maka
= i + j + 2k dan
.
Jawab :
?
A
B
α
O
= i + 2j + 3k. Titik P pada garis AB sehingga
p (x , y, z)
tegak lurus
.
=
.
=
Sehingga
.
=
=
=
=
31. Carilah persamaan bidang singgung terhadap permukaan z  xy di titik (2, 3, 6) .
Jawab :
Misalkan x = u, y = v, z = uv adalah persamaan parameter dari permukaan.
Vektor kedudukan dari sebarang titik pada permukaan adalah

r  u iˆ  v ˆj  uv kˆ
Maka
 rˆ ˆ
 i  v kˆ
u
Pada titik (2, 3, 6) maka
 rˆ ˆ
 i  3 kˆ
u
Normal n terhadap permukaan di titik ini adalah


r r
n

u v
iˆ
ˆj kˆ
n  1 0 3  3 iˆ  2 ˆj  kˆ
0 1 2
Vektor kedudukan dari titik (2, 3, 6) adalah Ro  2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ
Vektor keududukan dari sebarang titik pada bidang adalah R  x iˆ  y ˆj  z kˆ
Persamaan bidang yang dikehendaki adalah:
 R  Ro   n  0
x iˆ  y ˆj  z kˆ  2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ  3 iˆ  2 ˆj  kˆ  0
x  2iˆ   y  3 ˆj  z  6 kˆ  3 iˆ  2 ˆj  kˆ  0
 3 x  2   2 y  3  z  6  0
 3x  6  2 y  6  z  6  0
3x  2 y  z  6
32. Carilah persamaan-persamaan untuk bidang singgung dan garis normal pada permukaan
dititik ( 2, -1, 5 )
Jawab :
di titik ( 2, -1, 5 ) = 4i - 2j – k
Persamaan bidang singgung :
Persamaan garis normal
33. Carilah persamaan untuk bidang yang ditentukan oleh titik-titik P (3, -2, 2), Q(4, -3, -2) dan
R(-2, 4, 3)
Jawab:
Vektor posisi masing-masih titik adalah
P : 3i – 2j + 2k
Q : 4i – 3j – 2k
R : -2i + 4j + 3k
Misalkan S(x, y, z) adalah sebarang titik pada bidang, maka vektor posisi S : xi – yj +zk
PS  S  P   x  3i   y  2 j   z  2 k
PQ  Q  p  4  3i   3  2  j   2  2 k  i  j  4k
PR  R  P   2  3i  4  2  j  3  2 k   5i  6 j  k


PS  PQ  PR   x  3i   y  2 j   z  2 k   i  j  4k    5i  6 j  k 
  x  3i   y  2  j   z  2 k   23i  2 j  k 
 23 x  3  21 y  2   z  2 
 23 x  69  21 y  42  z  2
23 x  21 y  z  29
34. Buktikan bahwa vektor n  ai  bj adalah vetor yang tegak lurus dari garis ax + by = c
Jawab:
c 
Garis ax + by = c memotong sumbu-x di titik A  , 0  dan memotong sumbu-y di titik B
a 
c 

 0,
 dengan demikian:
 ba 
c
c
OA  i dan OB  j
a
b
c
c
BA  OA  OB  i  j
a b
c
c
n  BA  ai  bj    i  
a b
 ac cb 
n  BA   i 
j
b 
 a
 ac cb 
n  BA   i 
j
b 
 a
n  BA  c  c  0
ini berarti n  BA atau vektorn  ai  bj tegak lurus garis ax  by  c


d   dB dA  
 A

 B  jika A dan B adalah fungsi-fungsi diferensiabel.
35. Carilah
ds 
ds ds

Jawab :




d   dB dA  
d   dB  d  dA  
 A
 A
    B

 B  =


ds 
ds ds
ds  ds  ds
 ds 







 d  dB  dA dB  dA dB d  dA   

= A  



    B

ds  ds  ds ds  ds ds ds  ds 








 d 2 B dA dB dA dB d 2 A 
= A 2 




B
ds ds
ds ds
ds
ds 2


 d 2B
d2A 
= A 2 
B
ds
ds 2

36. Jika   2 xyz3 , x 2 z 3 ,3x 2 yz 2 carilah  x, y, z  jika  1,2,2  4 .
Jawab :
 



i
j
k
x
y
z

 2 xyz3    x 2 yz 3  c1
x

 x 2 z 3    x 2 yz 3  c2
y

 3x 2 yz 2    x 2 yz 3  c3
z
Akibatnya,   x 2 yz 3  c1  c2  c3    x 2 yz 3  c .  1,2,2  4  4  16  c  c  20 .
Dengan demikian, maka   x 2 yz 3  20 .
37. Jika A sebuah vector konstan, maka buktikan
.
Jawab :
Misalkan
dan
dimana
adalah konstanta
 F  GF  FG
38. Buktikan   
jika G  0 .
G2
G
Jawab :
F
G
F
F
G
 F 
G  F Gx
 F   F   F 
y G  F y
z G  F z
   G i  G j  G k  x
i

j

k
y
z
G2
G2
G2
 G  x
1
1
G F  F G
 2 Fx Gi  Fy Gj  Fz Gk  F Gx i  F Gy j  F Gz k  2 GF  FG  
G
G
G2

 

39. Carilah persamaan untuk bidang singgung pada permukaan xz 2  x 2 y  z  1 di titik
(1, -3, 2).
Jawab :
Normal bidang singgung n   di mana  ( x, y, z )  xz 2  x 2 y  z  1
 xz 2  x 2 y  z  1
n  
      
n
,
,

  x  y z 
n  z 2  2 xy , x 2 , 2 xz  1



Normal di titik (1, -3, 2) maka n  4  6,1, 4  1
  2,1, 3
Jadi, persamaan bidang singgung tersebut adalah
V  2x  1   y  3  3z  2  0
V  2 x  2  y  3  3z  6  0
V  2 x  y  3z  1  0
40. Jika R  e t i  ln t 2  1 j  tan tk maka carilah a)
dR
dR
d 2R
d 2R
, b)
,c)
,
dan
pada t = 0.
dt
dt
dt 2
dt 2
Jawab :
a)
dR
2t
  e t i  2
j  sec 2 tk  i  k untuk t = 0.
dt
t 1


b)

d 2R
 2 t 2  1  4t 2 

t
2

e
i


 j  2 tan t sec tk  i  2k untuk t = 0.
2
2
2
dt


 t 1

c)
dR
 12  12  2
dt
d)
d 2R
 12  2 2  5
2
dt




2
41. Jika A  t ,t , 2t  1 , dan B  2t  3,1,t , maka carilah
d  A  B  d  A  B  d A  B d  A  dB
dt 
pada t = 0.
,
,
,
dt
dt
dt
dt
Jawab :
d  A  B  dA
dB

 B  A
 2t ,1,2 2t  3,1,t   t 2 ,t ,2t  1  2,0,1
dt
dt
dt
 4t 2  6t  1  2t  2t 2  0  2t  1  6


pada t = 1.
i
j
2
t
2t  3
1
A B 
t
k

2t  1  t 2  2t  1, t 3  4t 2  4t  3,3t 2  3t
t
d A  B
 2t  2,3t 2  8t  4,6t  3  0,7,3
dt


pada t = 1.
t
A B 
d A B
dt

2

 2t  3   t  1  t  1  t 4  4t 3  12t  11
2
2
4t 3  12t 2  12
2 t 4  4t 3  12t  11
2
1
pada t = 1.
i
dB
A
 t2
dt
2
j
t
0
k

2t  1  t , t 2  4t  2,2t
1
dB 

d A

dt 

 1,2t  4,2  1,6,2
dt
pada t = 1.


42. A(t) = 3t2 i – (t + 4) j + (t2 – 2t ) dan B(t) = sin ti + 3e-t j – 3 cos tk. Carilah
d2
 A  B  pada
dt
t = 0.
Jawab :
i
A  B  3t
j
k
 t  4  (t  2t )  {3t  12  cos t  3t 2 e t  6te t }i  {( t 2  2t ) sin t 
2
2
3e t
sin t
 3 cos t
9t 2 cos t} j  {9t 2 e t  t  4 sin t}k


3 cos t  3t  12 sin t  6te t  3t 2 e  t  6e  t  6te t , 2t  2 sin t  
d
A B   2

2
t
2 t
dt
 t  2t cos t  18t cos t  9t sin t ,18te  9t e  sin t  t  4  cos t 


 3 sin t  3 sin t  3t  12  cos t  6e t  6tet  6tet  3t 2 e t  6e t  6e t 


 6tet ,2 sin t  2t  2  cos t  2t  2  cos t  t 2  2t sin t  18 cos t  18t 
d2

A B  
dt 2
sin t  18t sin t  9t 2 cos t ,18e t  18tet  18tet  9t 2 e t  cos t  cos t  


t  4 sin t

 
 


  A  B  B    A  A    B …..!
 30,14,20
43. Buktikan








Jawab:

Misalkan A  A1 iˆ  A2 ˆj  A3 kˆ

B  B1 iˆ  B2 ˆj  B3 kˆ
iˆ
 
A  B  A1
ˆj
kˆ
A2
A3
B1
B2
B3
  A2 B3  A3 B2 iˆ   A3 B1  A1 B3  ˆj   A1 B2  A2 B1  kˆ



  
 ˆ  ˆ
  A  B   iˆ 
j  k    A2 B3  A3 B2 iˆ   A3 B1  A1 B3  ˆj   A1 B2  A2 B1  kˆ

x

y
z 




  A2 B3  A3 B2    A3 B1  A1 B3    A1 B2  A2 B1 
x
y
z






  A2 B3    A3 B2    A3 B1    A1 B3    A1 B2    A2 B1 
x
x
y
y
z
z


 A2 B3     A3 B1     A1B2      A3 B2     A1B3     A2 B1 
x
y
z
y
z
 x



B A
A2
B A
B
 B3  A2  3  3  B1  A3  1  1  B2  A1  2
x
x
y
y
z
z
 A
B A
B
A
B 
  3  B2  A3  2  1  B3  A1  3  2  B1  A2  1 
x
y
y
z
z 
 x
A 
 A
 A A 
 B1   3  1   B2   1  3   B3
y 
x 
 z
 y

  A1

A 
 A
  2  1 
y 
 x
B 
B 
B
 B
 B
 B
  3  2   A2   1  3   A3   2  2
z 
x 
x
 x
 z
 y

 



  A
A 
A  
 A
 A A 
 B1 iˆ  B2 ˆj  B3 kˆ    3  1  iˆ   1  3  ˆj   2  1  kˆ 
y 
x 
y  
 z
 x
  y



  B
B 
B 
B   
 B
 B
  A1 iˆ  A2 ˆj  A3 kˆ    3  2  iˆ   1  3  ˆj   2  2  kˆ  

z 
x 
x   
 x
 z
  y

 


 B  A  A  B .
 
 


Jadi, terbukti bahwa   A  B  B    A  A    B

d2A
44. Jika
 6t iˆ  24t 2 ˆj  4 sin t kˆ , carilah A bila pada saat t = 0, diketahui bahwa
2
ds


d
A
A  2iˆ  ˆj dan
 iˆ  3kˆ saat t = 0 .
dt










Jawab :

d2A
 6t iˆ  24t 2 ˆj  4 sin t kˆ
ds 2


 d2A
dA
 dt
 
Maka
dt   dt 2 
= 3t 2  C1 iˆ   8t 3  C 2  ˆj   4 cost  C3 kˆ
Pada saat t = 0, maka

dA
 3(0)  C1 iˆ   8(0)  C 2  ˆj   a cos(0)  C 3 kˆ
dt

dA
 C1 iˆ  C 2 ˆj   4  C 3 kˆ
dt

dA
Karena diketahui
 iˆ  3kˆ pada saat t = 0, maka
dt
C1 iˆ  C2 ˆj   4  C3 kˆ  iˆ  3kˆ
Sehingga diperoleh
C1 = -1
C2 = 0
 4  C 3  3
C3  1
Dengan mensubstitusikan nilai dari C1, C2, dan C3 diperoleh

dA
 3t 2  1iˆ   8t 3  ˆj   4 cos t  1kˆ
dt


 dA 
A     dt
 dt 

 

= t 3  t  C1 iˆ   2t 4  C2 ˆj   4 sin t  t  C3 kˆ
Pada saat t = 0, maka

A  0  0  C1 iˆ   2(0)  C 2  ˆj   4 sin( 0)  0  C3 kˆ


A  C i  C ˆj  C kˆ
1
2
3

Karena diketahui pada saat t = 0 A  2iˆ  ˆj , maka

C1 i  C2 ˆj  C3 kˆ  2iˆ  ˆj
Sehingga diperoleh
C1 = 2
C2 = 1
C3 = 0
Dan dengan mensubstitusikan nilai C1, C2, dasn C3 diperoleh

A  t 3  t  21 iˆ   2t 4  1 ˆj   4 sin t  t kˆ

 

 2 .
45. Carilah kelengkungan K untuk kurva ruang x    sin  , y  1  cos  , z  4 sin 
Jawab :
  2 kˆ

Vektor kedudukannya adalah r    sin  iˆ  1  cos   ˆj  4 sin 

dr
 1  cos  iˆ  sin   ˆj  2 cos  kˆ
2
d

ds
dr

 12  2 cos   cos 2   sin 2   4 cos 2 
2
d
d
  
 
 1  cos  
 1  2 cos   1  4

2


 1  2 cos   1  2  2 cos 
 4
2
  
 dr dr d 1  cos  iˆ  sin   ˆj  2 cos  2 kˆ
T


ds ds d
2
  
 1  cos   ˆ  sin   ˆ

i  
 j  cos  2 kˆ
2
2

 

Menurut rumus Frenet-Serret

dT
 kN
ds

dT  1
 1
 1
  sin  iˆ   cos  ˆj   sin 
2
d  2
 2
 2
 kˆ
 
1
 1
 1



 sin  iˆ   cos   ˆj   sin  2 kˆ
dT d T d   2
 2
 2



ds
ds d
2
 
1
 1
 1

  sin  iˆ   cos   ˆj   sin  kˆ
2
4
 4
 4


dT
 kN
ds

dT
k N
ds
karena N merupakan suatu vektor satuan dalam arah nirmal, maka N  1 .
Sehingga persamaan di atas dapat ditulis

2
2
2
dT
1
 1
 1

k
  sin     cos     sin  
2
ds
4
 4
 4
 
 

1
1
1
sin 2   cos 2   sin 2 
2
16
16
16

1
1  1  1  cos  
16
16 
2


3
1
 cos 
32 32

1
6  2 cos  
64

1
6  2 cos 
8
46. Carilah persamaan bidang singgung terhadap permukaan z  xy di titik (2, 3, 6) .
Jawab :
Misalkan x = u, y = v, z = uv adalah persamaan parameter dari permukaan.
Vektor kedudukan dari sebarang titik pada permukaan adalah

r  u iˆ  v ˆj  uv kˆ
Maka
 rˆ ˆ
 i  v kˆ
u
Pada titik (2, 3, 6) maka
 rˆ ˆ
 i  3 kˆ
u
Normal n terhadap permukaan di titik ini adalah


r r
n

u v
iˆ
ˆj kˆ
n  1 0 3  3 iˆ  2 ˆj  kˆ
0 1 2
Vektor kedudukan dari titik (2, 3, 6) adalah Ro  2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ
Vektor keududukan dari sebarang titik pada bidang adalah R  x iˆ  y ˆj  z kˆ
Persamaan bidang yang dikehendaki adalah:
 R  Ro   n  0
x iˆ  y ˆj  z kˆ  2 iˆ  3 ˆj  6 kˆ  3 iˆ  2 ˆj  kˆ  0
x  2iˆ   y  3 ˆj  z  6 kˆ  3 iˆ  2 ˆj  kˆ  0
 3 x  2   2 y  3  z  6  0
 3x  6  2 y  6  z  6  0
3x  2 y  z  6
47. Hitunglah
 A  dr dimana A = (2x – y)i – (yz )j – (y z)k dengan S adalah permukaan setengah bola
2
2
C
2
2
2
x +y +z =1, bagian atas dan C adalah batasnya
Jawab :
Keliling C dari S merupakan lingkaranpada bidang XoY yang berjari-jari 1 dan berpusat di
(0,0,0). Lintasan C dapat ditulis dalam koordinat polar: x = cos t, y = sin t, z = 0
0  t  2
 A  dr   2 x  y dx  yz dy  y z dz 
2
C
2
C
2

 2 cos t  sin t  sin t dt
0
2

  2 sin t cos t  sin t dt
2
0
2
cos 2t  1 

    sin 2t 
dt
2

0
2
1
1

    sin 2t  cos 2t  dt
2
2
0
1
1  2
1
  cos 2t  sin 2t  t 
4
2 0
2
1
 1

   0       0  0
2
 2


  A  dr  
C
2
48. Hitunglah  ln r  .
Jawab :
Misalkan r  x 2  y 2  z 2
  x  y  z 



ln 

ln  x  y  z  
x
y
 2 ln r    2 ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 x2  y2  z2


2
x
2

2
 y2  z2
x2  y2  z2

x

1
r
2
 y2  z2

2
x2  y2  z2

 z ln 
2
2
x2  y2  z2

x2  y2  z2
x
2
 y2  z2

2
x2  y2  z2
x

 y2  z2
1
 2
x  y2  z2
1

x2  y2  z2
2

2

2
49. Carilah vektor singgung satuan disebarang titik pada kurva r  a cos ti  a sin tj  btk ,
dimana a,b,dan  adalah konstanta.
Jawab :
T
dr
dr
dt
.
dt
dr
 a sin ti  a costj  bk dan
dt
dr
 a 2 2 sin 2 t  a 2 2 cos2 t  b 2  a 2 2  b 2
dt
Dengan demikian, T 
dr
dr
dt

 a sin ti  a cos tj  bk
a 2 2  b 2
dt
.
50. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepangjang kurva
r  2 sin 3ti  2 cos 3tj  8tk pada sebarang t > 0. Carilah besar kecepatan dan percepatan.
Jawab :
r  2 sin 3ti  2 cos 3tj  8tk maka
v
dr
d 2r
 6 cos 3ti  6 sin 3tj  8k dan a  2  18 sin 3ti  18 cos 3tj .
dt
dt
Besarnya
kecepatan
dan
percepatan
masing-masing
adalah
v  36 cos 2 3t  36 sin 2 3t  64  10 dan a  182 sin 2 3t  182 cos 2 3t  18 .
d
( A  ( B  C ))
51. A  sin ui  cos uj  uk , B  cos ui  sin uj  3k , dan C  2i  3 j  k , carilah
du
pada u = 0.
Jawab :
i
j
k
2
3
1
B  C  cos u  sin u  3  sin u  9,6  cos u,3 cos u  2 sin u 
3 cos 2 u  sin 2u  6u  u cos u, u sin u 


A  B  C   sin u
cos u
u
  9u  3 sin u cos u  2 sin 2 u,6 sin u  

sin u  9  6  cos u 3 cos u  2 sin u sin u cos u  sin u cos u  9 cos u


d  A  B  C   6 cos u sin u  2 cos 2u  6  cos u  u sin u, sin u  u cos u  9  3 cos 2u 


du
4 sin u cos u,6 cos u  cos 2u  cos 2u  9 sin u

 2  6  1,9  3,6  1  1  7,6,6
i
j
k

52. Hitunglah integral permukaan
S
yz dS , dengan S adalah bagian bidang z  y  3 yang
terletak di dalam silinder x 2  y 2  1.
Jawab :
z  y3
z
1
y
z
0
x
2
 z   z 
S yz dS = D yz  x    y   1dA  D y  y  3 2dA
2
 2  y 2  3 ydA
D
Dengan menggunakan koordinat polar dalam menyelesaikan
 y
2
 3 ydA dimana x  r cos
D


, y  r sin  dan D   r ,  0  r  1, 0    2 akibatnya

S
yzdS  2 
2
0
 r
1
0
2
sin 2   3r sin  rdrd  2 
2
0
 r
1
0
3
sin 2   3r 2 sin  drd
2

2
0
 r
1
0
3
sin 2  drd  2 
2
0
  3r
1
2
0
sin  drd


r 1
1

2
r 1
2
4
3
 2   sin  r
d  2 0 r sin  r 0 d
0  4
r 0 

2 1
2
1

2
 cos 2  1 d  2   sin  d

0
0
4
2
2
 1

1
2

2   sin 2     2  cos  0
 2

8
0 

1

2  2   2  1  1
8
2


2

4

  yzdS 
S
2

4
53. Carilah usaha total yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya
yang diberikan oleh F = 3xy i – 5 z j + 10x k sepanjang kurva x = t2 + 1 , y = 2t2 , z = t3 dari t
= 1 hingga t = 2
Jawab :
usaha total :
ʃc F. dx
= ʃc (3xy i – 5 z j + 10x k) . (dx I + dy j + dz k )
= ʃc 3xy dx – 5z dy + 10x dz
2
= ∫𝑡=1 3(𝑡 2 + 1)(2𝑡 2 )𝑑(𝑡 2 + 1) − 5(𝑡 3 )𝑑(2𝑡 2 ) + 10(𝑡 2 + 1)𝑑(𝑡 3 )
2
= ∫1 (12𝑡 5 + 10𝑡 4 + 12𝑡 3 + 30𝑡 2 )𝑑𝑡
= 303


54. Jika F  2 y, z, x 2 dan S adalah permukaan silinder parabolik y 2 8x dalam oktan pertama
yang dibatasi oleh bidang-bidang y = 4 dan z = 6. Hitunglah
 F  n  dS .
S
Jawab :
Normal satuan n 
2 x,0,2 z 

4 x z
2
2

, maka n  k 
z
3
dx  dy 3
 dx  dy
nk
z
  8,2 y,0

2
 F  n  dS   2 y, z, x 
S
6 4
64  4 y 2
4z
 dy  dz    2 y   dy  dz
0 0
8
4
64  4 y 2
R
6
  16  2 z  dz  132
0
55. Hitunglah ∫ 𝐴 𝑥
𝑑2 𝐴 𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡.
jawab :
𝑑
𝑑𝐴
𝑑 2 𝐴 𝑑𝐴 𝑑𝐴
𝑑2𝐴
(𝐴𝑥
)=𝐴𝑥
+
𝑥
= 𝐴𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡^2 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡^2
dengan mengintegrasi, ∫ 𝐴 𝑥
𝑑2 𝐴 𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
𝑑
𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 (𝐴 𝑥
𝑑𝐴
𝑑𝑡
) 𝑑𝑡 = 𝐴 𝑥
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+𝑐
56. Tunjukkan bahwa F = (2xy + z3)i + x2j + 3xz2k adalah suatu medan
konservatif dan
tentukanlah kerja yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel di medan ini dari (1,2,1) ke (3,1,4).
Jawab :
●
Gaya F adalah suatau medan konservatif jika dan hanya jika curl F =
xF 
i
j
k

x

y
2

z
2 xt  z
3
x

xF=0

 i (0) - j 3z 2  3z 2  k 2x - 2x   0
3xz
2
 F adalah medan konservati f
● Kerja yang dilakukan :
P2
P2
 F  dr   2 xy  z  dx  x
3
P1
P1
P2
P2
 F  dr   d x
P1
P1
2
 
3
dy  3xz 2 dz
y  xz3  x 2 y  xz3
 
3,1, 4 
1, 2 ,1
 202
.
57. Hitunglah ∫𝑐 𝐀(𝑟) · dr dimana A = 3y i – x j dan C adalah potongan garis lurus dari (0, 0) ke
(2, 12 ) .
Jawab :
A = 3y i – x j dan r = x i + y j + z k ⇨ dr = dx i + dy j + dz k
.
.
∫𝑐 𝐀(𝑟) · dr = ∫𝐶(3𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑗) · (dx i + dy j + dz k)
persamaan parameter garis lurus (0,0) ke (2, 12) :
.
r(x,y,z) = [(0,0) + (2, 12) – (0,0)] t , dimana 0⩽ t ⩽1 , sehingga :
x = 2t ⇨ dx = 2 dt dan y = 12 t ⇨ dy = 12 dt. Jadi
.
.
1
∫𝑐 𝐀(𝑟) · dr = ∫𝐶(3𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦) = ∫0 3( 12 t) 2 dt – (2t) 12 dt
1
1
= ∫0 3 𝑡 dt – t dt = ∫0 2 𝑡 dt
= t3 |
1
= 13 – 0 = 1
0
.