Integral
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang
saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang
menuju
pelajaran
matematika
lainnya
yang lebih
tinggi,
yang khusus
mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini penulis ingin
membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral
juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia pendidikan
ataupun dalam dunia kesehatan.
Namun disini penulis akan membahas tentang aplikasi kalkulus integral dalam dunia
pendidikan khusus tentang integral tertentu.
B. Rumusan Masalah
Adapun permasalahan yang akan penulis rumuskan dalam makalah ini adalah sebagai
berikut :
1. Apa itu integral tertentu ?
2. Bagaimana penggunaan integral tentu ?
3. Bagaimana cara menentukan volume benda putar ?
C. Tujuan
Untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh dosen pembimbing serta utuk mengetahui
semua yang berkaitan dengan integral tertentu.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Integral Tertentu
Integral tertentu Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b]
pada garis real.
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh
kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b. Pada notasi integral di atas:
a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain
pengintegralan, ƒadalah integran yang akan dievaluasi terhadap xpada interval [a,b], dan
dxadalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar
subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di
bawah kurva.
B. Penggunaan Integral Tentu
1. Luas Daerah Yang Dibatasi Oleh Kurva Dengan Sumbu X
Untuk merumuskan integral tentu bagi luas suatu daerah yang di batasi oleh kurva
dengan sumbu X, perhatikan kurva y = f(x) yang ditampilkan pada gambar. Kurva f ini
merupakan fungsi kontinu dan tak negatif ( f( x )≥ 0 ) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b .Daerah
yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b misalkan
dilambangkan dengan S. Luas daerah S dirumuskan dengan menggunakan integral tentu
sebagai berikut:
L( S )= ∫ a b f( x ) dx
Jika kurva f ini merupakan fungsi kontinu dan tak positif f(x) ≤ 0 dalam interval
tertutup [ a,b ] . Maka daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan
garis x = b misalkan dilambangkan dengan S. Luas daerah S dirumuskan dengan
menggunakan integral tentu sebagai berikut:
L(S)= − ∫ a b f( x ) dx
atau
L(S)= | ∫ a b f( x ) dx |
Contoh Soal
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3 x 2 + 6x , sumbu X, garis-garis x=0 dan
x=2!
jawab:
L = ∫ 1 2 ( 3 x 2 + 6x ) dx
⇔ L= [ x 3 + 3 x 2 ] 0 2
⇔ L = { ( 2 ) 3 + 3 ( 2 ) 2 } − { ( 0 ) 3 + 3 ( 0 ) 2 } = 20
Jadi luas daerahnya adalah 20 satuan luas.
2. Luas Daerah Yang Dibatasi Oleh Beberapa Kurva
Misalkan diketahui kurva f dan g masing-masing dirumuskan dengan persamaan y=
f(x) dan y= g(x). Kedua kurva ini merupakan kurva-kurva yang kontinu dengan f( x ) ≥ g( x )
dalam suatu interval tertutup a ≤ x ≤ b .Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), kurva y =
g(x), garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan rumus :
L = ∫ a b { f( x ) − g( x ) } dx
Contoh Soal:
Tentukan luas kurva yang dibatasi oleh kurva y = x, kurva y = 2x, garis x = 1, dan garis x =
2!
Jawab:
L= ∫ 1 2 { ( 2x ) − ( x ) } dx
⇔ L= ∫ 1 2 x dx
⇔L= [ 1 2 x 2 ] 1 2 = 1 1 2
Jadi , luas daerahnya adalah 1 1 2
3. Menentukan Volume Benda Putar
Ada 2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:
1.
Metode cakram
2.
Metode Cincin
a. Pengunaan Metode Cakram
Sehingga, volume dari cakram tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Dengan R dan t secara berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.
Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan volume
benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.
Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang terletak
pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis,
akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar yang volumenya,
Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan nbuah
cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,
Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak
cakramnya mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → 0. Sehingga, kita dapat mendefinisikan
volume benda putar sebagai berikut :
Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram dapat
dilihat seperti berikut.
Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila
sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus volume benda putarnya adalah
sebagai berikut.
Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis horizontal
ataupun vertikal, seperti pada gambar berikut :
Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume benda
putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x. Jika sumbu
putarannya adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwaR(x) sama
dengan f(x). Perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Metode Cakram
Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi
oleh grafik,
Dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ π) dengan pusat putaran sumbu-x.
Pembahasan dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari
dari bangun ruang adalah,
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut :
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume.
b. Penggunaan Metode Cincin
Pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang bagaimana menentukan volume benda
putar dengan menggunakan metode cakram. Metode cakram tersebut dapat diturunkan
menjadi metode yang lain, yaitu metode cincin (washer method), yaitu suatu metode yang
menggunakan integral dalam menentukan volume benda putar yang memiliki lubang. Cincin
dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran
tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti terlihat pada
gambar berikut.
Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin
dan t merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.
Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume
benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x),
seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.
Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar
yang dihasilkan adalah
Perhatikan bahwa integral yang melibatkan jari-jari dalam merepresentasikan volume
lubang yang dikurangkan dari integral yang melibatkan jari-jari luar. Untuk lebih memahami
dalam menemukan volume benda putar dengan metode cincin, perhatikan contoh berikut :
Contoh: Penggunaan Metode Cincin
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh
grafik dari y = √x dan y = x2 terhadap sumbu-x, seperti yang ditunjukkan oleh gambar
berikut.
Pembahasan dari gambar di atas dapat ditentukan bahwa jari-jari luar dan dalamnya
adalah sebagai berikut.
Dengan mengintegralkan dengan batas antara 0 dan 1, menghasilkan
BAB III
KESIMPULAN
A. Kesimpulan
1. Integral tertentu diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada
garis real.
2. secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva
grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
3. Ada 2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:
Metode Cakram
Metode Cincin
B. Saran
Penulis harap agar pembaca tidak pernah lagi menganggap bahwa pelajaran
matematika adalah salah satu pelajaran yang sangat sulit dan menakutkan sehingga mata
pelajaran matematika lebih berkembang untuk mengahdapi era yang serba maju sekarang ini.
DAFTAR PUSTAKA
http://apaajalah13.blogspot.com/2016/03/integral.html
https://www.academia.edu/34503245/Integral_1_
https://www.academia.edu/36677838/INTEGRAL_TENTU_DAN_TAK_TENTU
https://www.slideshare.net/sokileonardi1/makalah-matematika-integral?from_action=save
http://akhmadfairuzan.blogspot.com/2017/02/normal-0-false-false-false-en-us-x-none.html
