11-aplikasi-integral-luasvolume

APLIKASI INTEGRAL
PENERAPAN INTEGRAL
APLIKASI INTEGRAL
Luas daerah kelengkungan

Integral digunakan pada design Menara Petronas di
Kuala lumpur, untuk perhitungan kekuatan menara.
 Sydney
Opera House di design berdasarkan
irisan-irisan bola. Banyak persamaan diferensial
diselesaikan (dalam menyelesaikannya
menggunakan integral) pada design gedung tsb
CRASH TESTS

Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh yang
beresiko tinggi untuk terluka yg menyebabkan kematian
adalah kepala. Karena itu, di dalam mobil perlu dipasang
alat-alat pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.
PENERAPAN INTEGRAL
Indikator 1
Indikator 2
y  x2
9
Luas daerah di bawah
2
kurva y  x berdsar
prinsip Riemaan
2
Volume benda putar, jika kurva y   x  4 x
diputar mengelilingi sumbu Y
Luas
Luas Daerah
Daerah
Integral Tentu
Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
b
 f (x) dx  F(b)  F(a)
a
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai  F(x)  ab
Contoh 1 :
2


Hitunglah nilai dari  6 x 2  4 x dx
1
Jawab
2

 6x
1
2



2
 4 x dx = 2x 3  2x 2 1
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 + 2 = 12
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
Berubah Menjadi
Jumlah Luas Partisi
y
Integral
y
f (x)
f (x)
Tentukan limitnya
n
b
n

i 1
 f ( x) dx
f (xi )xi
a
x
x
0
a
x
0
b
b
n
a
L   f (x) dx  lim  f (xi ) xi
a
n   i 1
b
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
y
y  f(x)
xi
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
f ( xi )
Li
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li  f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
x
0
L   f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi
6. Nyatakan dalam integral L 
a

0
f (x) dx
xi
a
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 1.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Jawab
Langkah penyelesaian :
f(x)  x 2
y
1. Gambarlah daerahnya
xi
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li  xi2 xi
4. Jumlahkan luasnya L   xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
xi 2
L = lim  xi2 xi
Li
6. Nyatakan dalam integral dan
3
hitung nilainya L   x 2 dx
x
0
0
L
3
3
x 
 3  0

33
3
0  9
xi
3
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 2.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4
Jawab
f ( x)  x 2
y
Langkah penyelesaian :
4
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
xi
y
3. Aproksimasi luasnya L  xi.y
4. Jumlahkan luasnya L   y. y
y
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim  y. y
6. Nyatakan dalam integral
dan
4
hitung nilainya L 

0
y . dy
3 4
2
2 
2
16
L   y   .8 
3
 3 0 3
x
0
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 6
Jawab
xi
y
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
4 xi  xi 2
2. Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan
Aj  -(4xj - xj2)xj
3. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan
Li
0
xj
4
A
  -(4xj - xj2)xj
xi
0  (4 x  x 2 )
6
xj
Aj
4. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi2)xi
dan A = lim  -(4xj - xj2)xj
5. Nyatakan dalam integral
4
L   (4 x  x 2 ) dx
0
6
A   ( 4 x  x 2 ) dx
4
f(x)  4 x  x 2
x
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
4
L   (4 x  x 2 ) dx
0

L  2x 2 
1
3
x3

4
0
L  2(4)2  31 (4)3  0  32 
6
A   ( 4 x  x 2 ) dx
4

xi
y
A   2 x 2  13 x 3
4 xi  xi 2
64
3
Li
4
0
xi

6
4
A  2(6)2  13 (6)3   2( 4)2  13 ( 4)3 
64
A  72  216

32

3
3
A
152
3
xj
Aj
f(x)  4 x  x 2
 40
Luas daerah  32  643  152
3  40  21
0  (4 x  x 2 )
6
xj
1
3
x
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Kesimpulan :
y
y
xi
y  f(x)
y
xi
y
f ( xi )
x
0
b
L   y.dx
a
x
0
b
L   x.dy
a
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
y
1. Partisi daerahnya
x
y  f(x)
2. Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim  [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
L
b

a
f(x)  g(x)dx
f(x)  g(x)
Li
0
a
x
b
x
y  g(x)
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Jawab
Langkah penyelesaian:
y  2x
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
(2  x)  x 2
4. Aproksimasi luasnya
Li  (2 - x - x2)x
5. Nyatakan dalam integral tertentu
1
2
L   (2  x  x ) dx
2
y
5
x
4
3
Li
y  x2
2
1
x
-3
-2
-1
x
0
1
2
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
L
1
 (2
2
 x  x 2 ) dx

L  2x 

x2
2

1
x3
3 2
y
y  2x
5
x
L   2(1) 


L  2
1
2
L  2
12
2


1
3
1
2

13
3
   4  2  
8
3
1
3
42
3
(2  x)  x 2
1
2
4
1
2
Li
y  x2
2
1
8
3
x
-3
L 5
4
   2(2)  (2)2  (2)3 
2
3
 

-2
-1
x
0
1
2
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Untuk kasus tertentu pemartisian
y  g(x)
y
secara vertikal menyebabkan ada
y  f(x)
x
dua bentuk integral. Akibatnya
Li
x
f(x)  g(x)
diperlukan waktu lebih lama untuk
Ai
menghitungnya.
0
x
a
b
2 f ( x)
a
b
0
a
Luas daerah =  2 f ( x)dx   f (x)  g(x)dx
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
y  g ( x)  x  g ( y )
y
y  f ( x)  x  f ( y )
d
g(y)  f(y)
y
Li
x
0
c
d
Luas daerah =  g(y )  f (y ) dy
c
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 5.
Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li  (6 - y - y2)y
5. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah =
 6  y
2
0
y
2
dy
y
6
(6  y)  y 2
x  y2
2
Li
y
y
6 x
0
x 6y
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Luas daerah =
 6  y
2

 y 2 dy
0

Luas daerah = 6 y 


y2
y 

2
3 
0

3
6( 2)  4  2
Luas daerah = 

2
3

Luas daerah =
12


 2 8
3

y
3 2




6
(6  y)  y 2
x  y2
0
2
Li
y
6 x
0
22
Luas daerah =
3
y
x 6y
PENERAPAN INTEGRAL
Volume benda putar
Pendahuluan
Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu.
Gb. 4
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Pendahuluan
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
y
y
4
3
0
x
2
x
1
x
2
1
0
1
2
PERLU DI INGAT !!!!!

RUMUS DASAR TABUNG :
>> LUAS PERMUKAAN TABUNG
L = 2 x π x jari-jari x tinggi
L=2 πrt
>> VOLUME TABUNG
V = luas alas x tinggi
V = π x (jari-jari) 2 x tinggi
V= π r2 t
Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat dianalogikan
seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-
motongnya sehingga tiap
potongan berbentuk cakram.
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Metode Cakram
y
Bentuk cakram di samping dapat
x
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
f (x)
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V  r2h atau V   f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
a
x
x
y
limitnya, dan nyatakan dalam integral
h=x
diperoleh:
V    f(x)2 x
V = lim   f(x)2 x
r  f(x)
x
0
a
v    [ f (x)]2dx
0
a
V    y 2dx
0
x
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Metode Cakram
y
y
y  f (x)
y  f ( x)  x  f ( y )
x
x
f (x)
x
a
x
y
y
x
h=x
y
r  x  f ( y)
r  f(x)
x
0
h=y
y
x
x
a
V    y 2 .dx
0
a
V    x 2 .dy
0
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cakram
Contoh 6.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
Langkah penyelesaian:
y
y  x2 1
1. Gambarlah daerahnya
x
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Nyatakan dalam bentuk
integral.
h=x
1
x2 1
x
2
r  x2 1
x
x
x
2
V    y 2 .dx
0
2
V    ( x 2  1) 2dx
0
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cakram
2
V    y 2 .dx
y
0
2
V    ( x 2  1) 2dx
h=x
0
r  x2 1
2
V    ( x 4  2 x 2  1) dx
V 

0
x

1 x5  2 x3  x 2
5
3
0
V   ( 32  16  2  0)  1311 
5
3
15
x
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
y
Jawab
y  x2
Langkah penyelesaian:
2
1. Gambarlah daerahnya
y
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
x
y
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
r
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
y
h=y
y
x
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cakram
2
V    x 2 .dy
y = x2
y
0
2
V    ydy
2
0
r y
2
V    ydy
h=y
y
0
V 

1
2
y2

V   ( 21  4  0)
V  2
2
0
x
Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotongmotongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cincin
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
R
cincin dilakukan dengan
r
memanfaatkan rumus volume
h
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= (R2 – r2)h
b


V    y1  y2 .dx
a
2
2
b
dan


V    x1  x2 .dy
a
2
2
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cincin
Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y
y  x2
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
y = 2x
4
x
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
x
2x
x2
x
2
x
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Cincin
V  (R2 – r2) h
V   [
(2x)2
y
– (x2)2
] x
y  x2
y = 2x
4
x
2
V    ( y1  y2 ) dx
2
2
0
V 
2

0
R=2x
r=x2
(4 x 2  x 4 ) dx
3
5 2
4
1

V 
x  x
3
5
0
x
2
x
y
V   ( 32  32)
3
5
V   (160 96 )
15
V  64 
15
x
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Kulit Tabung
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y  x2
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral.
4
3
x
2
x2
1
x
0
x
1
2
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume roti pada
gambar disamping.
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Kulit Tabung
r
r
h
a
b
b
V  2  x. y.dx
a
h
V = 2rhΔr
2r
Dimana x merupakan jari-jari (r) dan y merupakan tinggi tabung (h)
Δr
Volume
Volume Benda
Benda Putar
Putar
Metode Kulit Tabung
y
yx
y
2
4
4
3
x
3
x
r=x
2
2
x2
1
1
h = x2
x
0
x
1
2
x
1
2
0
1
2
2
V  2rhx
V 
2(x)(x2)x
V   2x3x
V = lim  2x3x
V  2  x. y.dx
2
0
V  2  x 3 dx
0

1x
V  2 4
V  8
4

2
0