TUGAS AKHIR MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL

TUGAS AKHIR MATEMATIKA INDUSTRI
APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN
Oleh :
Nama
: Maranatha Fectauli Novianti
NIM
: 125100301111058
No. Absen
: 17
Kelas
:P
JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN
FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2013
PENERAPAN INTEGRAL DALAM DUNIA EKONOMI DAN KETEKNIKAN
Penerapan integral dalam kehidupan sehari-hari sangat luas. Aplikasi integral banyak
digunakan di berbagai disiplin ilmu.Beberapa aplikasai integral di terapkan dalam bidang
ekonomi,biologi,fisika dan juga keteknikan. Tidak hanya itu, integral juga digunakan dalam
disiplin ilmu sosial yang berupa penerapan dalam bidang bisnis dan ekonomi.
Integral digunakan dalam analisis ekonomi dalam berbagai cara,diantaranya :
 Dari fungsi marginal ke fungsi total
Bila diketahui fungsi total (misalnya,fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat
menghasilkan fungsi marjinal (misalnya,fungsi biaya marjinal). Karena proses
integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi,hal ini sebaliknya akan
memungkinkan kita untuk mencari fungsi total dari fungsi marjinal tertentu.
Jika biaya marginal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C’(Q) =
2e = 0.2𝑄 , dan jika biaya tetap adalah Cf = 90, carilah fungsi biaya total C(Q).
Dengan mengintegrasikan C’(Q) terhadap Q, kita dapat bahwa
𝟏
ʃ 𝟐𝒆𝟎,𝟐𝑸 dQ = 2𝟎,𝟐 𝒆𝟎,𝟐𝑸 +c =10𝒆𝟎,𝟐𝑸 +c
Hasil ini dapat digunakakn sebagai fungsi C(Q) yang diinginkan
kecuali,mengingat konstanta arbitrer c,jawabannya timbil tan[a ditentukan.
 Investasi dan Pembentukan Modal
Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persendian atau stok modal.
Dengan menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu,kita
bias menyatakan persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu,K(t) dan
menggunakan derivative dK/dt untuk menunjukkan tingkat pembentukan modal
pada waktu t adalah identik dengan tingkat arus investasi netto(net investment)
pada waktu t yang ditunjukkan dengan I(t). Jadi persediaan modal K dan investasi
netto I dihubungkan dengan dua persamaan berikut:
𝒅𝑲
= 𝑰(𝒕)
𝒅𝒕
𝒅𝑲
Dan K(t) = ʃ I(t) dt =ʃ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 = ʃ 𝒅𝑲
Persamaan pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas
antara investasi netto dan pertambahan modal. Karena I(t) adalah derevatif dari
K(t), maka beralasan bahwa K(t) merupakan integral atau antiderivatif dari I(t),
seperti ditunjukkan dalam persamaan kedua. Transformasi integran dalam
persamaan yang terakhir juga mudah untuk dipahami: Peralihan dari I ke dK/dt
adalah menurut definisi, dan transformasi selanjutnya adalah dengan pembatalan
dua diferensial yang identik, yaitu menurut aturan subtitusi.
Kadang-kadang konsep investasi bruto digunakan bersama dengan investasi netto
dalam model. Dengan menunjukkan investasi bruto dengan 𝐼𝑔 dan investasi netto
dengan I, kita dapat menghubungkannya satu sama lain dengan persamaan
𝑰𝒈 = I +δK
Di mana δ menggambarkan tingkat penyusutan modal dan δK tingkat investasi
pengganti (replacement investment).
 Nilai Sekarang dan Arus Kas
Konsep penjumlahan terus berlanjut ke kasus arus kas yang kontinu, tetapi dalam
konteks yang belakangan symbol Ʃ tentunya harus dihilangkan dan diganti
dengan tanda integral definit. Pertimbangkan aliran pendapatan yang kontinu pada
tingkat R(t) dollar pertahun. Ini berarti bahwa pada t=t1 tingkat arus adalah R(t1)
dollar pertahun,tetapi pada titik waktu lain t=t2 tingkatnya akan menjadi R(t2)
dollar pertahun dengan t dianggap sebagai variable kontinu.Pada setiap titik
waktu,jumlah pendapatan selama interval (t,I +dt) dapat ditulis sebagai R(t) dt
(lihat pembahasan terdahulu atas dK = I(t) dt ). Bila didiskontokan serta kontinu
pada tingkat r per tahun, nilai sekarangnya akan menjadi R(t)𝑒 −𝑟𝑡 dt. Bila
permasalahannya sekarang adalah mencari total nilai sekarang dari aliran tiga
tahun, jawaban kita akan diperoleh dalam integral definit berikut:
𝟑
Π = ∫𝟎 𝑹(𝒕) 𝒆−𝒓𝒕 𝒅𝒕
 Nilai Sekarang dari Arus Perpetual
Jika arus berlangsung selamanya,suatu situasi yang dicontohkan oleh bunga atas
obligasi perpetual atau pendapatan atas aktiva modal yang tak dapat rusak seperti
tanah, nilai sekarang dari arus kas akan terjadi
∞
Π = ∫𝟎 𝑹(𝒕) 𝒆−𝒓𝒕 𝒅𝒕




Yang merupakan integral tak wajar (improper integral)
Menentukan Persamaan Harga dan Permintaan
Menentukan Persamaan Harga dan Penawaran
Menentukan Fungsi Biaya
Menentukan Fungsi Pendapatan
Integral digunakan dalam bidang keteknikan ,diantaranya :
 Volume Benda Putar
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume
adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar
secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas
dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka
volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
b
V   A( x)dx
a
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah
diputar
terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode
cakram dan kulit tabung.
 Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar
sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang
bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang
berpusat di titik-titik pada selang [a,b].
Misal pusat cakram x0 ,0 dan jari-jari r  f x0  . Maka luas cakram dinyatakan :
A x0   f
2
x0 
Oleh karena itu, volume benda putar :
2
b
V     f x  dx
a
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar
mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
2
d
V    w y  dy
c
Bila daerah yang dibatasi oleh y  f x  0 , y  g x  0 f x  g x untuk setiap
x  a, b, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :
b


V     f x   g x  dx
2
2
a
Bila daerah yang dibatasi oleh x  w y   0, x  v y   0w y   v y  untuk setiap
y  c, d  , y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
d


V    w y   v y  dx
c
2
2
 Metode Kulit Tabung
Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang
mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda
putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan
dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung.
Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan r2 ,
tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
V  r2  r1 h  2rhr
dengan :
r2  r1
 r rata  rata, jari  jari , r2  r1  r
2
Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu
Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x , r  x dan tinggi tabung
h=
f(x). Oleh karena itu volume benda putar adalah
b
V   2xf x dx
a
misal daerah dibatasi oleh kurva y  f x, y  g x f x  g x, x  a, b, x = a dan x =
b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar adalah
b
V   2x f x   g x dx
a
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x=w(y) x=0, y = c dan y = d
diputar mengelilingi sumbu X, maka volume adalah
d
V   2yw y dy
c
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
x  w y , x  v y w y   v y , y  c, d , y = c dan y = d
diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar
d
V   2yw y   v y dx
c
 Mencari Potensi Listrik
Persamaan integral terkait dengan problem mencari potensial listrik akibat distribusi
muatan di suatu titik. Secara matematik, integrasi potensial yang dijumpai biasanya
sangat rumit :
𝑽(𝒓) =
𝟏
𝟏
∫ 𝝆(𝒓′ )𝒅𝟑 𝒓′ + 𝟐 ∫ 𝒓′𝒄𝒐𝒔𝜽𝝆(𝒓′ )𝒅𝟑 𝒓′ + ⋯
𝒓
𝒓
𝒗𝒐𝒍
𝒗𝒐𝒍
Teknik memperoleh potensial dengan cara ini ini dikenal sebagai cara Metode Ekspansi
Multipol.
DAFTAR PUSTAKA
Alatas,Husein.2009.Buku Perlengkapan Fisika Matematika.Bogor: IPB Press
C.Chiang Alpha,Wainwright Kevin.2005.Dasar-dasar Matematika Ekonomi.Jakarta:Erlangga
Listya Dewi Tri, Herawati.2007.Buku Pelajaran Untuk SMA Kelas XII Program
IPS dan Bahasa.Bandung:Grafindo Media Pratama