SI217-051038-680-25 878KB Sep 07 2011 02

BAB VIII
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
8.1 Integral tentu
Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu
kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius.
Menentukan luas bidang tersebut sesederhana seperti kita
menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang,
segitiga atau bangun-bangun sederhana lainnya.
Cara yang sederhana untuk menentukan luas bidang yang
dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x = x1 dan x = x2 kita
harus membagi bidang tersebut menjadi beberapa bagian.
Makin banyak pembagian bidang tersebut akan semakin
akurat pula hasilnya.
f(x)
y
a
b
f(x)
y
x
(a)
a
b
(b)
Sejumlah persegi panjang
yang terletak dibawah grafik f
Bidang yang terletak
dibawah grafik f
Gambar 8.1
x
Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat
berupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut kita akan
membagi bidang seperti Gambar 8.1(a).
Misal terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat
kartesius yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, sumbu x dan
grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup [a,b].
Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A
yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan jalan
membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi panjang
yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)).
Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah Ai.
Jika lebar setiap persegi panjang sangat kecil, maka luas Ai  A.
Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan
lebar x maka akan didapat x = (b-a)/n.
Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang x0 , x1 , x2 , … xn
dengan x0 = a dan xn = b, maka
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut.
y
f(x)
f(uk )
0
x0 =a
x1
x2
xk-1 uk xk
Gambar 8.2
xn =b
x
Sehingga,
x0 =a ; x1 =a+x ; x2 =a+2x ; x3 =a+3x ; xk-1 =a+(k-1)x ;
xk =a+kx ; xn =a+nx
Luas persegi panjang adalah
Ai = f(u1) x + f(u2) x + … + f(uk) x + f(un) x
Jika menggunakan notasi penjumlahan “”, maka
Persamaan 8.2 disebut jumlah Riemann dan f(uk) adalah
harga minimum f pada sub-selang tertutup [xk-1,xk].
Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka x
menjadi sangat kecil.
Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x0 = a dan
xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila x sangat kecil
(atau n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis,
Definisi
Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang
tertutup [a,b].
Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai
limit jumlah Riemann atau,
Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat
8.2 Sifat-sifat integral tentu
Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat
utama integral tentu yaitu,
F(x) adalah anti turunan f(x)
Sifat-sifat integral tentu lainnya
4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang
bilangan ril, maka cf terintegralkan pada [a,b].
5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g
juga terintegralkan pada [a,b].
6. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkan pada [a,c] dan [c,b],
maka f(x) terintegralkan pada [a,b].
7. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan f  0 untuk setiap x yang
terletak pada [a,b], maka
Contoh 8.1
Selesaikan
Penyelesaian
8.3 Luas Bidang
Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius
dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = g(x), x1 = a dan x2 = b.
Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada
Gambar 8.3.
Luasnya bidang adalah
f(x)
y
g(x)
0
x1=a
x2=b
Gambar 8.3
x
Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang
seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi
oleh y1 = f(x), y2 = 0, x1 = a dan x2 = b. Luas bidang adalah
f(x)
y
0
x1= a
x2= b
Gambar 8.4
x
Contoh 8.2
Penyelesaian
y
x2
¼ x2
0
x=1
x=3
x
Contoh 8.3
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh
x2 +1, ¼x2 +4 , x = 0 dan x = 3.
Penyelesaian
y
0
x=2
x=3
x
8.4 Volume dan luas kulit benda putar
Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka
akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai volume
dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga diputar
mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu
fungsi f(x) yang diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya
akan terbentuk suatu benda putar seperti Gambar 8.5 b.
Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara
menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan x.
y
x
0
x=a
x=b
(a)
y
f(x)
x
0
xi
x
xn=b
x1=a
(b)
Gambar 8.5
Luas kulit elemen (A) = 2 [f(xi)] x
Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar
dapat ditulis menjadi
Volume elemen (V) = [f(x)]2 .x
Jadi volume benda putar adalah
Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan
terbentuk bangun seperti Gambar 8.6 berikut.
y
y2 =b
f(y)
y1=a
0
Gambar 8.6
x
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit
benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y adalah
Sedangkan volumenya adalah
Contoh 8.4
Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y = ¼ x3
Diputar mengelilingi:
a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3
b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2
Penyelesaian
y
Grafik y = ¼ x3
f(x)
0
x
a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3
y
x
0
x=1
x=3
b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2
y
y=2
y=1
0
x