Composite Functions

BAB VIII
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
8.1 Integral tentu
Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan
luas bidang pada koordinat Kartesius. Menentukan luas bidang tsb. sesederhana
seperti kita menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang, segitiga atau
bangun-bangun sederhana lainnya. Cara yang sederhana untuk menentukan luas
bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x=x1 dan x=x2 kita harus membagi
bidang tersebut menjadi beberapa bagian. Makin banyak pembagian bidang tersebut
akan semakin akurat pula hasilnya.
y
0
y
y=f(x)
a
b
x
0
y=f(x)
a
b
(a)
(b)
Bidang yang terletak
dibawah grafik f
Sejumlah persegi panjang
yang terletak dibawah grafik
f
x
Gambar 8.1
Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat berupa Gambar 8.1(a)
atau (b). Pada analisa berikut kita akan membagi bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal
terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis
x=a, garis x=b, sumbu x dan grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup
[a,b]. Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A yang mendekati
harga sebenarnya adalah dengan jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa
persegi panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)). Misal luas
seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah Ai. Jika lebar setiap persegi
panjang sangat kecil, maka luas Ai  A.
Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar x maka akan
didapat x = (b-a)/n. Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang : x0, x1, x2, x0, …
xn dengan x0 = a dan xn = b, maka
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut.
164
y
y=f(x)
x
f(uk)
0
x0=a
x1
x2
xk-1 uk xk
xn=b
x
Gambar 8.2
Sehingga : x0=a ; x1=a+x ; x2=a+2x ; x3=a+3x
xk-1=a+(k-1)x ; xk=a+kx ; xn=a+nx
Luas persegi panjang adalah
Ai = f(u1) x + f(u2) x + … + f(uk) x + f(un) x
Jika menggunakan notasi penjumlahan “”, maka
Persamaan 9.2 disebut jumlah Riemann dan f(uk) adalah harga minimum f pada
sub-selang tertutup [xk-1,xk]. Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka
x menjadi sangat kecil. Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x0 = a
dan xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila x sangat kecil (atau n
sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis,
Definisi
Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]. Integral
tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau,
Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat
165
8.2 Sifat-sifat integral tentu
Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat utama integral tentu yaitu,
F(x) adalah anti turunan f(x)
Sifat-sifat integral tentu lainnya
4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang bilangan ril, maka cf
terintegralkan pada [a,b].
5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g juga terintegralkan pada [a,b].
6. Jika a<c<b dan f(x) terintegralkan pada [a,c] dan [c,b], maka f(x) ter-integralkan
pada [a,b].
7. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan f  0 untuk setiap x yang terletak pada [a,b], maka
166
Contoh 8.1
Selesaikan
Penyelesaian
Soal-soal
Selesaikan
8.3 Luas Bidang
Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius dibatasi oleh y1= f(x), y2=
g(x), x1 = a dan x2 = b. Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada
Gambar 8.3. Luasnya adalah
167
y
f(x)
g(x)
0
x1=a
x2=b
x
Gambar 8.3
Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang seperti yang terlihat pada
Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi oleh y1=f(x), y2 = 0, x1 =a dan x2 = b. Luasnya
adalah
y
f(x)
f(uk)
0
x1=a
x2=b
Gambar 8.4
Contoh 8.2
Penyelesaian
168
x
y
x2
¼x2
0
x=1
x
x=3
Contoh 8.3
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh x2 +1, ¼x2+4, x=0 dan x=3.
Penyelesaian
y
x2 + 1
0
x=2 x=3
169
¼ x2 + 4
x
Soal-soal
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh :
3
1. y= x + 3 , y = x2, sumbu y dan x = 2
4
2. y = x+6, sumbu y, y= - x2+4, sumbu x dan x = 4
3. y = 1/x , y = x2 dan sumbu x
4. y = 1/x , y = x2, y = -x2 + 8, x = 1 dan x=5/2
8.4 Volume dan luas kulit benda putar
Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu
benda putar yang mempunyai volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga
diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang
diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar seperti
Gambar 8.5 b.
y
y=f(x)
x=a
0
x=b
x
(a)
f(x)
y
x
0
xi
x
x1 =a
xn=b
(b)
Gambar 8.5
Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara menganalisa elemen tipis yang
mempunyai ketebalan x.
170
Luas kulit elemen (A) = 2[f(xi)].x
Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar dapat ditulis menjadi
Volume elemen (V) = [f(x)]2.x
Jadi volume benda putar adalah
Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk bangun seperti Gambar
8.6 berikut.
y
y2=b
f(y)
y1= a
0
x
Gambar 8.6
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit benda putar yang
diputar mengelilingi sumbu y adalah
Sedangkan volumenya adalah
171
Contoh 8.4
Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y= 1 4 x3 diputar mengelilingi
a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3
b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2
Penyelesaian
Grafik y = ¼ x3
y
x
0
a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3
y
x
0
x=1
x=3
172
b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2
y
y=2
y=1
0
x
Soal-soal :
1. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu
dan x = 0 yang berputar pada :
a) Sumbu y
b) Garis y = 2
,y=2
2. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis
y = 4 yang berputar pada :
a) Sumbu y
b) Sumbu x
c) garis x = 2
a) garis y = 4
173