kelompok 3

DERET FOURIER
Oleh
Kelompok 3
DOAN YUDANTO
ATYKA SETIYANI
AFDHOLUDIN
RUSTAM
ERIK PRATAMA
TEO SAPUTRA. R
Fungsi Periodik
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan
perioda T, jika untuk semua harga x
berlaku:
f(x+T) = f(x); T adalah konstanta positif
Harga terkecil dari T > 0 disebut
perioda terkecil atau disebut perioda
dari f(x).
Contoh:
• Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4,
6,…karena sin (x+2) = sin (x+4)= sin
(x+6) =…=sin x
• Periode dari sin nx atau cos nx: dengan
n bilangan bulat positif adalah 2/n
• Periode dari tan x adalah 
• Fungsi konstan mempunyai periode
sembarang bilangan positif
Contoh gambar dari fungsi-fungsi
periodik
a.
f(x)
x
periode
b.
f(x)
x
periode
Kontinuitas
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap
segmen (piecewise continuous function),
bila f(x) hanya kontinu pada intervalinterval tertentu dan diskontinu pada
titik-titik yang banyaknya berhingga.
Harga f(x) di titik-titik diskontinu
ditentukan dengan menghitung harga
limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik
diskontinu
(ujung
masing-masing
interval)
Contoh gambar kontinuitas
f(x)
x
x1
x2
x3
x4
Definisi Deret Fourier
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval
(-L,L) dan diluar interval tersebut f(x)
periodik dengan periode 2L, maka
Deret Fourier atau Ekspansi Fourier
dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan
sebagai berikut:
a0  
nx
nx 
f ( x)     an cos
 bn sin

2 n 1 
L
L 
... (1)
dengan koefisien Fourier an, bn
ditentukan oleh:
1
nx
1
an   f ( x) cos
dx ; a0   f ( x)dx
L L
L
L L
... (2)
1
nx
bn   f ( x) sin
dx ; n  0,1, 2, 3, ....
L L
L
... (3)
L
L
L
Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x)
mempunyai periode 2L maka
1 C  2L
nx
1 C  2L
a 
f ( x) cos
dx ; a 
f ( x) dx ... (4)


n L
0 L
L
C
C
1 C  2L
nx
b 
f ( x) sin
dx ; n  0,1, 2, 3, ...
... (5)

n L
L
C
dengan C sembarang bilangan real.
Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan
sama dengan (2) dan (3).
CONTOH :
0
-5<x<0
f(x)=
periode = 10
3
0<x<5
a. Gambarkan f(x) diatas !
b. Tentukan koefisien Fourier an dan bn!
c. Tuliskan deret Fourier !
d. Uraikan deret Fourier !
Jawab :
f(x)
a.
6
3
x
-10
-5
5
10
b. Periode
2L
L
=
=
=
10
10
5
1
n πx
a   f(x) cos
L
L
1
n πx
a   f(x) cos
5
L
1
n πx
n πx 
a    f(x) cos
dx   f(x) cos

5
L
L 
c  2L
n
c
5
n
n
5
0
5
5
0
1
n πx
n πx 
a    (0)cos
dx   (3)cos
dx 
5
L
L

n
0
5
5
0
5
3
nπx
a n   cos
dx
50
5
5
3 5
nπ x
an  
sin

5  nπ
5 0
3 5

an  
sin nπ  0
5  nπ

an  0
n  0
3
a0 
5
1
bn 
L
1
bn 
5
5
3
0 cos 0 dx  5
c  2L

c
5
 dx  3
0
nπx
f(x) sin
dx
L
5
nπx
5 f(x) sin 5 dx
0
5

1
nπx
nπx 
b n    (0) sin
dx   (3) sin
dx 
5 5
5
5
0

5

1
nπx
b n    (3) sin
dx 
5 0
5

5
3
nπx
b n   sin
dx
50
5
5
bn 
3
nπ x
cos
nπ 
5  0
3
cos nπ  cos 0
bn 
nπ
3
cos nπ  1  3 1  cos nπ 
bn 
nπ
nπ
c. Deret Fourier
Dari hasil sebelumnya diperoleh a0 = 3,
3(1- cos n π )
an = 0, dan bn =
nπ
a0 ∞
nπx
nπx
+ ∑(an cos
 bn sin
)
2 n=1
L
L
3 ∞ 3(1- cos n π )
nπx
+ ∑(
sin
)
2 n=1
nπ
5
d. Uraian Deret Fourier
Syarat / Kondisi Dirichlet
Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/
kondisi Dirichlet
Teorema: Jika
1.f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal,
kecuali pada beberapa titik yang
banyaknya berhingga pada interval
(-L,L)
2.f(x) periodik dengan periode 2L
3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi
yang kontinu pada setiap segmen
pada interval (-L,L).
maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2)
dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke :
1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada
interval (-L,L)


f
(
x
)

f
(
x
)
2.
jika x adalah titik diskontinu
2