deret fourier

Bab 5
DERET FOURIER
Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar
dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial
pada setiap tingkat. Untuk fungsi yang tidak terdiferensial masih ada alternatif
lain untuk mengekspansikannya ke dalam deret yang disebut deret Fourier. Agar
suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam deret Fourier maka fungsi tersebut harus
periodik.
5.1
Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil
Definisi 5.1.1. Suatu fungsi f (x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T
jika untuk setiap x berlaku
f (x + T ) = f (x).
Contoh 5.1.1. Fungsi f (x) = sin(x) mempunyai periode T = 2π, 4π, 6π, · · ·
sebab
sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) = sin(x + 6π) = · · ·
Bilangan T paling kecil yang dianggap sebagai periode suatu fungsi. Dalam
contoh ini, fungsi f (x) = sin(x) mempunyai periode 2π.
Contoh 5.1.2. Fungsi f (x) = sin nx, dengan n suatu bilangan bulat positip
merupakan fungsi periodik dengan periode 2π
, sebab
n
2π
2π
f x+
) = sin(nx + 2π) = sin nx = f (x).
= sin n(x +
n
n
65
66
Ilustrasi untuk n = 2 dapat dilihat pada gambar.
Gambar 5.1: Grafik fungsi f (x) = sin 2x dan periodanya
Kita dapat membuat fungsi yang didefinisikan pada suatu interval menjadi
fungsi periodik dengan cara copy-paste. Artinya, fungsi y = f (x) dengan x ∈ [a, b]
diperluas menjadi y = fb(x) dengan x ∈ R yaitu
(
f (x)
bila x ∈ [a, b]
fb(x) =
f (x − T ) bila x ∈
/ [a, b].
Kita sebut teknik ini dengan periodisasi fungsi.
Definisi 5.1.2. Fungsi f (x), x ∈ R dikatakan
i. Fungsi ganjil jika f (−x) = −f (x) untuk setiap x ∈ R,
ii. Fungsi genap jika f (−x) = f (x) untuk setiap x ∈ R.
Contoh 5.1.3. Berikut ini beberapa contoh fungsi genap dan fungsi ganjil.
a. Fungsi f (x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab cos(−x) = cos x.
b. Fungsi f (x) = sin x merupakan fungsi ganjil, sebab sin(−x) = −sinx.
c. Fungsi f (x) = x3 merupakan fungsi ganjil, sebab (−x)3 = −x3 .
67
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi
Gambar 5.2: Periodisasi fungsi f (x) = x2 , x ∈ [0, 1].
d. Fungsi f (x) = x2 merupakan fungsi genap, sebab (−x)2 = −x2 .
e. Fungsi f (x) = ex bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil,
sebab e−x 6= ex dan e−x 6= −ex .
Berikut ilustrasi grafis fungsi genap dan fungsi ganjil.
5.2
Deret Fourier fungsi periodik
Definisi 5.2.1 (Deret Fourier). Misalkan fungsi f (x) periodik dengan periode
2L. Jika fungsi ini terdefinisi pada interval (c, c + 2L) dengan c suatu konstanta
maka fungsi ini dapat disajikan dalam bentuk deret
∞
a0 X nπx
nπx +
an cos
+ bn sin
2
L
L
n=1
dengan
1
an =
L
Z
c
c+2L
nπx
1
f (x) cos
dx dan bn =
L
L
Z
c+2L
f (x) sin
c
(5.2.1)
nπx
dx.
L
(5.2.2)
Secara khusus, jika fungsi f didefinisikan pada interval (−L, L) yaitu bersesuaian
dengan c = −L maka koefisien deret Fourier di atas menjadi
Z
Z
nπx
1 L
nπx
1 L
f (x) cos
dx dan bn =
f (x) sin
dx.
an =
L −L
L
L −L
L
(5.2.3)
68
2
y = x
y = x
1
1
0.9
0.8
0.8
0.6
0.7
0.4
0.6
0.2
0.5
0
0.4
−0.2
0.3
−0.4
0.2
−0.6
0.1
−0.8
0
−1
0
−1
−1
1
3
0
1
Gambar 5.3: Grafik fungsi f (x) = x2 (genap) dan f (x) = x3 (ganjil)
.
Teorema 5.2.2. Misalkan f : [−L, L] → R. Jika f genap maka
2
an =
L
Z
L
f (x) cos
0
nπx
dx dan bn = 0.
L
Jika f ganjil maka
2
an = 0 dan bn =
L
Z
L
f (x) sin
0
nπx
dx.
L
Bukti. Akan dibuktikan saja kasus f ganjil. Untuk fungsi genap mahasiswa
dapat mencoba sendiri. Karena f ganjil maka f (−x) = −f (x).
an =
=
=
=
Z
1 L
nπx
f (x) cos
dx
L −L
L
Z 0
Z L
nπx
1
nπx
dx +
f (x) cos
dx
f (x) cos
L −L
L
L
0
Z 0
Z L
1
nπx
nπ(−x)
d(−x) +
f (x) cos
dx
f (−x) cos
L L
L
L
0
Z L
Z L
1
nπx
nπx
dx +
f (x) cos
dx = 0
−
f (x) cos
L
L
L
0
0
69
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi
Selanjutnya,
bn =
=
=
=
=
Z
1 L
nπx
f (x) sin
dx
L −L
L
Z 0
Z L
1
nπx
nπx
dx +
dx
f (x) sin
f (x) sin
L −L
L
L
0
Z 0
Z L
1
nπ(−x)
nπx
f (−x) sin
d(−x) +
f (x) sin
dx
L L
L
L
0
Z L
Z L
nπx
1
nπx
f (x) sin
f (x) sin
dx +
dx
L 0
L
L
0
Z
2 L
nπx
f (x) sin
dx
L 0
L
Berikut ini nilai integral yang memuat fungsi sinus dan cosinus yang sering
digunakan dalam menentukan koefisien deret Fourier.
Z
Z L
kπx
kπx
dx = 0,
dx = 0
sin
cos
L
L
−L
−L
Z L
nπx
mπx
cos
sin
dx = 0,
L
L
−L
(
Z L
Z L
0 bila m 6= n
nπx
mπx
nπx
mπx
cos
cos
dx =
sin
sin
dx =
L
L
L
L
L bila m = n.
−L
−L
L
Contoh 5.2.1. Temukan deret Fourier untuk fungsi
(
−1
f (x) =
1
bila − 5 < x < 0
bila 0 < x < 5.
dan diluar interval ini [−5, 5] dilakukan periodisasi dengan periode = 10.
Penyelesaian. Diperhatikan bahwa fungsi ini adalah ganjil dengan 2L = 10,
lihat gambar berikut Karena itu, berdasarkan Teorema sebelumnya diperoleh
an = 0 dan
70
1
0
−1
−5
0
5
Gambar 5.4: Grafik fungsi f
.
bn =
=
=
=
Z
2 5
nπx
f (x) sin
dx
5 0
L
Z
nπx
2 5
sin
dx
5 0
L
5
2
5
nπx
−
cos
dx
5
nπ
5 0
2
2
−
[cos nπ − cos 0] = −
[cos nπ − 1]
nπ
nπ
Jadi deret Fourier untuk fungsi ini adalah
∞
X
n=1
−
2
nπx
[cos nπ − 1] sin
.
nπ
5
Untuk melihat bagaimana deret Fourier ini mengaproksimasi fungsi f (x),
kita ambil jumlah parsial N sukunya seperti terlihat pada Gambar berikut.
Diperhatikan bahwa semakin dekat dengan titik diskontinu x = 0 maka
aproksimasinya semakin jelek. Fakta ini sesuai dengan sifat kekonvergenan deret
Fourier, yaitu
a0 X nπx
nπx +
an cos
+ bn sin
=
2
L
L
n=1
∞
(
f (x)
f (x+ )−f (x− )
2
jika x titik kontinu
jika x titik diskontinu.
71
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi
2
1.5
N=8
N = 30
1
0.5
N=3
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−5
0
5
Gambar 5.5: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier
dimana f (x+ ) dan f (x− ) menyatakan limit kanan dan limit kiri. Kode MATLAB yang dapat digunakan untuk mendefinisikan N suku pertama deret Fourier
diberikan sebagai berikut
function y = fourier1(x,N)
%N suku pertama deret Fourier contoh 5.1.4
a0=0; y=a0/2;
for n=1:N
an=0; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-1);
y1= an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L);
y=y+y1;
end
%untuk kasus lainnya, perlu dimodifikasi
%pada a0, an dan bn.
Contoh 5.2.2. Ekspansikanlah fungsi f (x) = x2 pada interval (0, 2π) dalam
deret Fourier jika fungsi tersebut diperiodisasi dengan periode 2π.
72
Penyelesaian. Dalam soal ini kita mempunyai L = π. Dengan mengambil
c = 0 maka dengan menggunakan teknik integral parsial diperoleh
an
Z
1 2π 2
=
x cos nx dx
π 0
2π
1 2 sin nx
− cos nx
− sin nx
4
=
x
− 2x
+
2
=
, n 6= 0.
π
n
n2
n2
n2
0
Untuk n = 0, a0 =
bn
1
π
R 2π
0
x2 dx =
8π
.
3
Z
1 2π 2
=
x sin nx dx
π 0
cos nx 2π
− sin nx
4π
1 2 − cos nx
x
− 2x
+2
=− .
=
2
2
π
n
n
n
n
0
Karena f (x) = x2 kontinu didalam interval (0, 2π) maka untuk setiap x ∈ (0, 2π)
berlaku
4π 2 X
f (x) = x =
+
3
n=1
∞
2
4
4π
cos nπx −
sin nπx .
n2
n
Anda dapat melihat pola aproksimasi deret Fourier terhadap fungsi f dengan menggambarkan grafiknya seperti di atas.
5.3
Deret Fourier jangkauan setengah
Misalkan suatu fungsi f (x) didefinisikan pada interval (0, L). Fungsi ini dapat
diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada
interval (−L, L). Jadi diperlukan pendefinisian fungsi pada interval (−L, 0). Ada
dua cara yang dapat dilakukan, yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil
atau menjadi fungsi genap. Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut.
Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret
∞
X
n=1
bn sin
nπx
L
(5.3.1)
73
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi
y = f(x)
−L
0
L
Gambar 5.6: Pengembangan menjadi fungsi genap
dengan
2
bn =
L
Z
L
f (x) sin
0
nπx
dx.
L
Sedangkan untuk pengembangan menjadi fungsi genap maka akan didapat deret
a0 X
nπx
+
an cos
2
L
n=1
∞
(5.3.2)
dengan
2
an =
L
Z
L
f (x) cos
0
nπx
dx.
L
Deret yang terdapat pada (5.3.1) dan (5.3.2) disebut deret Fourier jangkauan
setengah.
Contoh 5.3.1. Ekspansikanlah fungsi f (x) = cos x, x ∈ [0, π] dalam bentuk deret
sinus.
Penyelesaian. Pertama-tama kita perluas fungsi f (x) = cos x yang semula
didefinisikan pada [0, π] menjadi fungsi genap yang didefinisikan pada [−π, π].
74
y = f(x)
−L
0
L
Gambar 5.7: Pengembangan menjadi fungsi ganjil
Karena L = π maka berdasarkan (5.3.1) diperoleh
Z
2 π
cos x sin nx dx
bn =
π 0
Z
2 π1
=
[sin(n − 1)x + sin(n + 1)x] dx
π 0 2
π
1
1
1
= −
cos(n − 1)x +
cos(n + 1)x
π n−1
n+1
0
1
2n
= −
(cos(n + 1)π − 1) , untuk n ≥ 2.
π n2 − 1
Sedangkan untuk n = 1, dengan melihat langkah kedua penjabaran diatas, diperoleh b1 = 0. Jadi deret sinus untuk fungsi cosinus adalah
∞
X
1 2n cos(n + 1)
cos x = (1 − π)
sin nx
π
n2 − 1
n=2
Dengan cara yang sama, kita dapat manyajikan fungsi f (x) = cos x dalam deret
sinus.
Contoh 5.3.2. Ekspansikanlah fungsi berikut
(
x
jika 0 < x < 4,
f (x) =
8 − x jika 4 < x < 8
kedalam (a) deret sinus dan (b)deret cosinus.
75
kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi
Penyelesaian. (a) Untuk ekspansi kedalam deret sinus, fungsi f perlu diperluas
menjadi fungsi ganjil seperti terlihat pada gambar berikut. Karena L = 8 maka
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−8
−4
0
4
8
Gambar 5.8: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier
diperoleh
bn
Z
2 8
nπ
=
f (x) sin
x dx
8 0
8
Z 4
Z 8
nπ
1
nπ
x sin
=
x dx +
(8 − x) sin
x dx
4 0
8
8
4
Dengan menerapkan integral parsial, kemudian memasukkan batas-batasnya maka
akhirnya diperoleh
bn =
32
nπ
sin
.
2
2
π n
2
Selanjutnya, pertanyaan (b) dapat diselesaikan dengan prinsip yang sama.